장음표시 사용
221쪽
. In sininum. 2 3. ras ambages manuducuntur. At contra id quod dixi, magnitudinem nempe omnium linearum, & planorum &c. posse comparari sic inuehitur Culdinus in Sec. 23. Pag.3q2.
Sectio XXIII. Dicit ergo Caualerius, non comparare svumerum omnium linearum, quem ut recte iuris ignoramus,
fediantum magnitudinem, quae adequatur alio ab eisdem li. neis occupato, cum illi congruat: Congruentia qualis sit, esse possit iuximus Propos pracedenti Num. I. Magnitudo autem, qua adequatur fario ab esdem lineis occupato, duplex es austes id spatium, quod occupant linea in motu, O hoc est tota sata rescies proposita, quam linea pertrans ne ulla dependentia
is linea non mota, velflabiti, hoc carucedimus. Aue s id, quod i e cuincere vult patium, in quo concipiantur esse linea indesinitae fabborare enim a vocabulo insinui ) quae linea occupent illud patium; ct negamus, quia nihil aliud scrvant ni. slongitudines, qua omnes longitudines , mulsum a numquam egpciunt spatium sue latitudinem. De congruentia dictum est superius . inoad magnitudinem vero , iuxta componentes Continuum ex Indiuisibilibus, respondendum erit magnitudinem omnium linea. rum Oblati planae figura inum , & idem este cum magnitudine, superficiei. At iuxta aliter sentientes, concedam pro
spatio ab omnibus lineis occupato, presse loquendo, intelis Iigendum esse aggregatum ex meris longitudinibus , quarusingulae singularum linearum tamquam loca concipi possunt, horumq; locorum magnitudini dicam alis quam omnium dictarum linearum magnitudinem. Hoc tamen non obstante euincitur propositum: quia cum horum locorum,& subinde omnium linearum aggregatum ex nulla parte excedat figuram, cuius dicuntur omnes linei, sed eius limiatibus coerceatur, idcirco illi poterit fieri additio, vel subtra. ctio, & subinde huiusinodi aggregata erunt inter se copa. rabilia. Hoc vero confirmaueram in prςfaro Scholio, quod habetur in Exerc. prima Pag. a 3. a partibus, in quas contianuit est separabile, etsi enim illi sint infinitς cum sit iuxta Philosophos diuisibile in semper divisibilio hoc tamen non
obstante continua esse comparabilia conceduntur. Vnde apari quamuis huiusinodi Indiuisibilia sint infinita, non iob Cc a letur
222쪽
latur tamen quin eorum aggregata sint ad inuicem comparabilia. Cui confirmationi sic occutit Auctor noster in Sec. et . & in eadem Pag. 3 a. Sectio XXIV. Respondeo continuῶ esse aeuisibile in insin tum, non autem cin me partibus infinitis actu,sed tantum inpotenria, qua numquam exhauriri potnt ; partes autem illa inseν Indiui ita comprehensanosunt, nisi a absignetur Imaeuisibilia. Ita ut si assignetur in figura piana una linea, per murum figurae utroque termino suo attingens,velfecans, diri des illa continuum in duas partes quae duapanes se componMseum totum.ct comparari possunt cum a spartibus e huius, e aberiss figura μὶ duabus siue trisus siue pluribus per alias lineas assignatis, qua etiam Hsumpta componant suum rorum : quia partes tam huius quam alterius figura multiplicari ossent, ita ut hae uti, superent, se corura illa has, quod idem de lineis asgnatis, ct imusquoad longitudinem sumptis dictu Molo; ac proinde ex desinitione a Unta Euinti Eumerarum dicuntur Babere interse Milonem. Et sic si matur aliqua congeries , siue linearum, siue partium planae abcuis versiciei, eris illa finita .se inter se rationem habebunt, lineae nimirum culineis, se partes cum partuas, non autem umea cum partibus. Ruare cum non detur, nec dari post congeries omnium linearum, aut omnium partium possibil um, ergo nec proportionem inter se habere pisunt, neque linea cum lineis,neque partes cupartibus quα enim nonsent, nec vuo modo essepossunt, comm rationem non admittunt. Hura, in reapud omnes Geometras clarifuma, non adtamus.
His tamen no obstantibus, dico si comparentur inuicem continua, pari ratione Indiuisibilium aggregata comparari posse, nec obitare quod actu continuum non sit resolutum in suas infinitas partes. Demus enim ex. gr. quod prae fata, quae iuxtaposuimus quadrata, perimpossibile de facto in sitas infinitas partes resolueretur, certe aggregata ex his infinitis partibus actu resolutis non essent quantitate diuerissa ab ipsis quadratis , totum enim est squale omnibus suis partibus simul sumptis. Cum ergo ipsa quadrata sint comparabilia , etiam istarum infinitarum partium aggregata eL sent comparabilia.Ergo& Indiuisibilium licet infinitorum aggre
223쪽
Insininum. Iosaggregata pari ratione poterunt ad initiem comparari,non enun obstabit infinitas, ut & supra alia ratione probabatur. Non est autem necesse haec omnia aetti assignari in cotinuo, Ut eorum aggregata comparentur, sed sufficit intellectum ex aliquibus numero finitis assignat is, ipsa aggregata concipere, eorumq; proportionem tamquam ineffabilium radicum in luce extrahere, ut eam colligat pro ipsis continuis, seu figuris. Qu0d in omnibus dictae Geometriς demonstrationibus liquitio apparet,in eis enim assumptis tantum quatuor utcumq; magnitudinibus ex infinitis In diuisibilibus, quae serent consideranda, nempe ea ratione, qua declaratur in Exerc.prima num. 29. colligitur proportio quesita. Vtex. gr. dum in Prop. s. Libria. que posita est in eadem EXerc. prima Pag. 3I. probare intendo parallelogramma quealta esse ut bases duco basibus parallelam utcumq; r
Aam lineam indefinita, cuius portiones in dictis parallel grammis conclusas ostendo esse ut bases: cu vero sit eadem ratio de reliquis, hocq; intellectus su ffcienter comprehendar, absq; eo quod hi illi necesse actu omnia hic Indi uisbulia in ipsis parallelogrammis assignare, ideo concludo omnes lineas dictorum paraues ramorum subintellige si omnes forent actu assignatae & subinde ipsa parallelogram ma esse ut bases.
AVctor noster in filaProp.3arasit ad examinadas Prop. a.& Tertia eiusde Libri Secundi cu suis Corollarijs, ut pag. 3 3. videre licet.Dicit enim in Sectione a F. Pag. 3 3. Sectio XXV. Pro filios dassese habet. Aequalium planarum figuratu omnes linei fiunt qquales, &aequalium solidaruomnia plana sunt squalia, regula quavis assumpta.
Iam diximus omnes lineas dari non posse,sed nequester ima. sinationem assumi, quare respuunt i a aquaditatem, vel remus illas aequalitas allicere non potest. Sisermo est de lineis
finitis numero aequalibus, ipsa simul sumpta in quavis Aura sorsim, or AEquato possent ese, O inquaui, pro specierim
224쪽
rarum, est linearum variis modis in ipsis ductarum, sed hae non vult Auctor, neque ad ipsis facit propositum. Mod ergo de infinitis ante diximus, is hic repetita volumus.
Ad his c autem per supelius di Aa patet responsio. Subdit
deinde ibidem in Sec. 26. Sectio XXVI. Iucundum addit Corollarium n quot ter alia ex hac Propositione deducit quasi per exemplum, ιι Ulim rus planis secetur, se per axem , ct eidem aequidstantibus ubi creatur paralielogramma; scetur es alijs basi aquid'-ribus ubi sunt circuis, iucit omnia illa parallelogramma simul sumpta aequali ore omnibus circAbs simulomptis. Sedidem dicenaum est quod de lineis diximus, in lascilicet plana esse, an dari nonposse: si sunt ita poterunt esse aequalia, vesinaequalia. Itaque Propositio haec cuseo Corollaris nonfissisit. Non ab re hoc Corollarium iucundum appes lauit, quod& admirabile dicere poterat. Licet enim hic infinitorum ci culorum quodam odo intueri quadraturam, quod de uno tantum non adhuc protulit Geometria, Prosequitur deinde ibidem in Scctione a . sic loquendo. Sectio XXVII. Propius iam accedit, adiaciendum, abiliendumquefundamentῆρrosea Noua Geometria, unde tertionc prosonis. Figulae pia iὶς habent inter se candem ratione; quam catu omncs lineae iuxta quamuis regulam assumpis,& figurae solidae , quam earum omnia plana iuxta quamuis regulam assumpta. Pro demonstrationeproponit circulum, Aor triangulum, D, ct c argumentatur: Si continuum componitur cX In diuisibilibiis,patctabique alia demonstratione figuram, A, ad figuram; D, esse ut omnes lineae figurae,A, ad omnes lineas figurae, D, tunc cnim comparare continuum ad continuum non esset, nisi ipsa In diuisibilia comparat e. Si hoc negetur, mis figurarumstro starum aeque mul-riplices , Orsic dependenter a Prossitione antecedente, eiusque Corollario propositum vult concisiare ri fed quia antecedens Propositio cum suo Corrollario nihil prebat, etiam in hac Propo-stione nihilsrobatur. Ad quam ab iste respondems guras
posse habere ad inuicem rationes, non autem omnes lineas, aut omniafiana unius ad tineas omnes aut omniastana alterius,
225쪽
Issatimum. 2 o TDe hoe sati. iuperius dictum est. Addit deinde ibidem
Sectio XXVIII. Sed odi xus Corollarium. Liquet eκ hoc inquit , quod ut inueniamus qua in rationem habeant inter se duae figurae planae, vel solidae sustici et nobis reperire. quam in figuris planis inter se rationcm habeant earundem omnes lineae, & in figuris solidis earundem omnia plana, iuxta quamuis regulam assiimpta, quod Nouae huius meae
Cometriae veIuti maximum iacio fiundamentum. Verum hoc fundamentum nauum es, nullius enim figura dari. aut 'gnari possunt omnes linea, aut omnιa plana , quare per ea, qua nullo modo sunt, aut esse posisnt, nihil'obarefossumus. Hoc pariter non alia responsione indiget. Prεfatis vero
continuat hic Auctor Scholium subsequens in Sectione as.
Sectio XXIX. Cum funda entum pracipuum huius noua Geometria meo iudicio nosus flat in hac Methodo ulteriuspro hac vice rogredι uolumus: Vs vero Auctor licet sua fundamenta ario firma, at inconcussa in Praefatione Libri Septimi
depraduet,ut velut adamanti summorum ingeniorum tamquam arietώ- ma pia ara, ne minimum quidem nutantia
agnoscantur , c ubit hoc deberi Mathematicinum dignitati. An id ego fusticienter praestiteνim, aliorum iudicio relinquam; unicuiqMe enim haec perlegenti, ex animi sui sententia iudicare licebit. Hac fraus inuitatione ausus fum, ea, qua obiter occurrebant in medium proferretroutfeci hactenus: ct adhuc
fortas' acturus fum. Caieνum ipse post aliqua, qua ad propriam pertinebant defensionem, or ego insupradictis attuli, ex aliorum mentesis loquitur. Hic dicendi modus adhuc videtur subobscurus, durior quam par est evadit hic omnium t nearum, seu omnium planorum conceptus; qua proter hunc tu e Geometriae, ceu Gordium nodum, aut austras, gut saltem frangas nisi dissoluas. Et paalo post. Interim qualiscumque mea suerit illius nodH ictitata dissolutio, ipiam tamen in praesemi Libro, nouis alijs denuo stratis fiundamentis, quibus ea omnia, quae indivisibilium Methodo inanti. c dentibus Libris iam ostensa sunt, alia ratione ab infinitatis exempta conceptu comprobamur, omnino e medio tollem
226쪽
dum esse censu i. Itaque hoc Septimo Libro omnia ea, qua in prioribu ex GHis per Methodum Indiuisibilium probata His, . independenter ab ea, nouis aliis denuos ratis fundamentis promittis se demon Murum. Relictis ergo tantisper sex prioribus Llabris, ad hunc Septimum in iciendum,esqua occurrent 'disticultates, eadem, qua supra breuitate, es Inceritate, an notandas me accingo: quem itis legere incipiam, ac olus, ut promittitur,fub Miat,stabsque praecedentibus intellum queat. In hoc ergo Scholio patet Auctorem censuram complere circa Libri Secundi meet Geometriar has paucas Propositiones, citeris relictis, quae reperiuntur tum in eodem Libro Secundo,tum in Tereio, Quarto, Quinto, ac Sexto, ubi imgens Propositionum est numerus eκ ditius landamentis deductarum. Miror autem hunc Auctorem ex tot vel una salicm non delegisse, quam ostenderet expresse falsiam esse, cum tamen in tot coclusionibus saltem a Iiqua falsa esse deberet, si earum principia falsia sunt. His ergo cum eo inposito fine, transbimus in subsequenti Cap. ad eiusdem examen Libri Septimi.
AD eorum intelligentiam, quae a Guldino contra Liri
brum 7. mes Geometriae afferuntur satis erit Lect rem in Exerc. Secunda pro nunc videre Prop.primam dicti Libri 7. quae ponitur Pag. 88. quae superaddita fuit, utcon. ceptus infinitorum Indiuisibiliu posset euitari, prout iuxta posteriorem Methodum ibidem explicatum suit. Ille ergon Prop.q.&in eadem Pag. 3qq. proponit se velle. diuid deprima Propositione Libri ptimi sentiendumsis aperire, quare sic incipit in Se 3 o. Sectio XX X. In hacpropositione prima Auctor c loquitur. Figurae planae quaecumque in ijsdem parallelis coiistitutae,
in quibus, ductis quibuscunq; eisdem parallelis aequidistantibus rectis lineis, conceptae cuiuscunque rectae lineae portiones sunt aequales, etiam inter se aequales erunt. Et ligu
227쪽
rae solidae quaecumque in eisdena parallelis constitutae, in quibus ductis quibulcumque planis eisdem planis parali lis aequi distantibus, conceptae cuiuscunque sic ducti plani in ipsis solidis figurae planae sunt aequales, pariter inter se
aequales et unt. Dicantur autem figure aequaliter analogs, tum planae, tum ipsae solidae inter se comparatae, ac etiam iuxta regulas, lineas, seu plana parallela, in quibus esse sep poniantur, cum hoc fuerit opus explicare. Conatur hoc de. monstrare persuprapositionem tam in planis, quam in solidis,
verum sipresse, ac geometrice loqui velimus, mhil demonstrat. Nam cum ipse figurarum qualitates non solum no determinet, fed eas omnino irregulares, ac diuersissimarum specierum criuas, plenas, insiexis, varinque modis sese habentibus terminis comprehensas, esseposse admittat, quis nobis indicabit floquamur primo de figuris planis tantum quari altera alteri perinponitur, an ibi congruat nec ne P riis erit iudex manu e, an oculus, aut intellectus ' Respondebitur intellectum fore imdicem mamo tactus, or visus hinc excludit 6 ct ideo condistionem necessaria positam esse hanc; ut aequales . tque corre-θondentes linea rectae sibi superponantur, hae enim cum aquainles sint, sιbi congruwni, inollictu iudice. Pso sint sibi prapositae,'congruant, quid concludetur r Lineas esse aequales Sed hoc habetur etiam ex hypothesi, neque hoc quaeritur. Sm
perficies inter rectas lineas parallelas interceptas esse aequales' Nequaquam: nihil enim intellectui constru de binis aidis teraminis , qui has particulares perficies unis cum duabus rectis
paralleuis comprehendunt, an siti congruant nec ne, cum diauersimoia in 'xarum tincarum esse possint. Sed quod de una particulari perficie dicitur,de quibonis es infinitis alijspariticularibus superficiebus dicentam cst Ergo de tineis rectis tantam, nihil autem H perficierum aut planarum figurarῶ propositarum aequalitate concluditur. Ergo, ut ἀπιμμέ, propositum de figuras planis nou demonstratur. Obij cli et go me nihil demolitare, qtria cgo qualitates figura i ta no dercrmino. Ad quod dico incomtenientem hanc determinatione, quam per me fieri voluisset,suturam suille,
cum de figuris planis aequaliter analogis quibuscumq; stipia Propositio. Quoad superpositioncita vcio modus prῖ. Dd scri-
228쪽
scribitur, dum precipitur extrema tangentia figuras semper in extremis tangentibus esse costituenda, & no aliter. Cum vero petit quis superpositionis suturus sit iudex. Respondeo intellebum , cui ex hypothesi constat fieri aliquam L. perpositionem , quomodocumq; illa fiat, dumodo ea iuxta pis scriptam legem effecta sit. Et cum subdit. Eso nisuer-
posca, or congruant quid coneludetur ' lineas esse aquales PDico non hoc concludi, sed pat tem figurae superpolitae n, si primo rota toti cog ruat parti eius, cui superponitur congruere, quaecumq; pars illa sit, satis enim est intellectui suin Ponere neri aliquam superpositionem: unde non est neceς se eidem innotescere binos alios terminos paraliciarum, quae se perponuntur ; sequitur enim ex hypothesi aliqua Partium congruentia, quicumq; sint dicti termini. Frustra igitur adduxit incoueniens de lineis rectis tantum hoc de monstrari. Pergit tamen ipse in eadem Pagina sic discurrem
Sectio XXXI. Sed diret fuassis Demonstratome tot ἀπ-cere velle lineas, immo iam ductasse onere, qua superficies tuas intercluses assumant, se in nimium redigant, aut tamor se ciant, ut pro nihilo habenaeae sint ,-sic mo ramulam aequalitatem Agurarum, quam demonstrare proposuerit. Et ego, qui hoc fecerit, respondeo na uis erit mihi magnus ouo , non autem magnus sol nius temper enim alν duo termini, quiuna cum par altius rectis minimam illam, quam Me putat, superficiem comprehendunt, infinita fuscipiunt puncta. in uasique terminabunt rectas paraueias, qua ominnes nullam unqua constituent superficiem; ac proiniue nullam absumere, aut anuitare poterunt e diuisi vesciet in aeternuferi poterat in partes, quae omnes simulsumpta temper paraviunt componere, se refluere suum ab initio inriuisum totam: linea aeuidentea nihil conferunt superficiei, aut ab eadem am, ferunt. Et sic redise debet Dem strator ad argumentῶ proxime propositu soluendum. Transeat dicet aliquis quod ex supradructis minimam pre ciem exhibere non possim, exhibeo i men aliunde per meas lineas parasielas superscie, minoinem quacumque proposita ronc conclusio erit ex parte mea; simia tur enim ea, cum mimae dari nonpossit super ea Ha,q-
229쪽
In Gulaenum. 2II per meas frequentes parallelas eo deduxi , perficies minima ;hoc es linea ct sic ex hoe capite habeo quod volo, eritqigura tota figura toti aequalis. Mod erat demonstraudia. Festina lente. Dabis quidem superficiem quacumque data minorem sed
numquam talem, quae sit minima, velaqualis bneae; urget enim adhuc suprapositum argumentum, quod per hoc nonsoLuttur, quia tua illa, quam tu vocas minimam superficiem, tui e minorem dare poteris , quae efficiet ut illa prior non sit minima, nequeposterior hac ,sed temper persit id ,per quod minor adhuc detur. Pluribus enim in locis , ct Archimedes, ct plures alij puriori Geometria addim, demonstrant Proposita figurae inscribi posse , or circumscribi alias figuras, ita
ut circumscripta figura excedat inscriptam magniturine , quae minor si quacumque eiusdem generas magnitudine pro- posta. Ergo concludunt circumscriptam aequalem esse inscriptae Neutiquam , sed alio adhibito medio teνmino demon.
rant figuram illam, cui circumscriptio, or inscriptio facta
ess,AEqualem esse cuidam alteri quae minor quidemst circumscripta, maior autem inscripta. Conclurimur ergo ex his quae attulimus Propstionem hanc de Planis figuris nequa quam legitima rimo frat-ν se. Hic ergo denuo conatur Auctor noster Lectori persuadere dictam Propositionem primam non fui sae a me imitu me demostrata, Ied quod illius pace dictum sit c x discursu parum, vel nihil ad rem nostram pertinente, ut is facile intelliget quia me allatam demonstrationem recte perpeni derit. Nusquam enim ita processi per dictarum linearum aequalitatem, ceu continiui voluerim per sicquentes lineas parallelas scindere in minimas particulas, ut ipse putauit. Sed suppositi in prima figurarum stuperpositione saltem ca-h, Iuin partem parti congruere, ostendiq; residua es. qtioq; figuras squaliter analogas. Hic vero residua iterum eadem lege dixi esse superponenda ; & si adhuc tota figura non congruat toti, probaui adhuc remanere residua aequaliter analoga,& sic semper fieri, continuata superpositione. Vnde si aliquado unius nullum sit residuum, neq; fore residuualterius, figurasq; inuicem congruere concludo, S subinde aequales esse. Ab his uero quam diuersus sit discursus huius Dd a Auct
230쪽
ii 1 Exercitatio Tertia. Auctoris quiuis facile intelligere potest. Non ingnoro tamen pret Bis demonstrationi ob ij ci posse, quod dicta superpositio, quae per frusta continuo facienda est, in aliquibus' figuris numquam forte absolueretur I nescimus enim, quae,
quotaue sit pars illa figurae superpositae, quq alteri in subiecta figura cogruere intelligitur. Eademq; instantia fieri poterat circa Prop. primam Libri secundi, in qua fit frustatim
haec superpositio, quae si per continuos actus fieri debeat forsan in aliquibus figuris numquam finiretur, cum hinc frusta numero infinita videantur in continua superpositi ne suboliti posse. Verum hanc difficultate non animaduertit, nec in oppositum attulit Guldinus, quae magis ad rem fecisset, quam superius ab eo allata. Huic tamen ut satisfaciam,dico non necesse esse actu efficere hanc infinitorum residuorum, quae obuenire possunt, superpositionem sicuti de omnibus lineis in discussione prioris Methodi Ind. dic batur non opus esse singulas actu describere sed sufficere quod intellectus ex una ad libitum assumpta reliquas intelligat, quamuis infinitas, saltem conceptu negativo, cum sit eade ratio de omnibus. Si enim ponamus per impossibile has superpositiones ab lui, hoc est continua frustorum ata sIatione facta a figura superposita,de ea tandem nihil remasisse, necessario iuxta habitam demonstrationem sequetur inihil superesse residui in figura, cui fit superpositio. Εκ quo recte hic infertur figuras squaliter analogas, & ibi omnes lineas aequalium planarum figurarum, aequales esse. Si enim in squales essent, consumptis per superpositionem a terius superpositae frustis, licet hoc fieri ser infinitos actus superpontietur, nihilominus aliquid residui posset remancire in figura cui fit superpositio,si illa maior esset,quod tameeuenise non posse euincitur per dictam demonstrationem.