장음표시 사용
251쪽
dij, p E ,& altitudine, C E. Hic veno cylindricus squatur cylindrico in basi, H E, &altitudine via rotationis, I L, cum utrique basses habeant altitudinibus reciprocas. Etenim circulus radij , F E, habetur ex ductu ipsius, F E, in semiperiphaeriam ab , F E, descriptam, hoc est in viam rotationis, I I D, dimidia ipsius, F E,&subinde etiam periphaeria, I L , est dimidia periphaeriae r ij, F E. Parallelogrammum quoque , Η Ε, fit ex duchi eiusdem, F Ε, in , E C, undevicirculiis radj,FE, ad parallelogrammum. H E, ita reciproce est via rorationis, I L, ad , E C. Cum ergo cylindricus in basi, H E, altutudine via rotationis, I L, aequetur rotundo ipsius, H Retiam cylindricus in basi figura, C G E, altitudine via potationis, M Κ, aequabitur rotundo ab eadem, C G descripro, sunt enim haec quatuor solida proportionalia, ut probarum est. Ergo si via rotationis, M Κ, ducatur in ipsam figuram, C G fiet rotundum ipsius, C G E. Hoc autem est tonso e regulae Guldini,quae est huiusmodi, nempe:
Euantitas rot-da in viam relationis dume producu Potestarem rotundam unogindu amorem Potcstate , e quantitate inta, ais Pag. Hoc est figura plana producit
252쪽
Eaciscitatis Tertia. COROLLARIVM I.
Ex hac demonstratione in rescit , propositaria aplana
non adiacrarer sui altiturini , qualis P IF is nonatur , C G E N G'. cinu altitudosin C E , assumpta in A B, utq; adiaceat rectan uosm , Η C; quod tunc per supplement morirum λfigura C G E Gad onte i IC E , coa leta mra, C N E i ,s Epariter Wdiacente, eodem modo, quo demonstratur momenta Ugurarum .H E C G E, esse ut ror unda ab QM eincta inc quoque Ψι πῶ disse momenta figura rum, H E,C N E, esse ut earum rotunda. Vnde patebis, dempto momento figura , C G E, ex moment gura, C NO rotundo i us, C G E, ex rorando, C A E, momenta figurarum, H E, C N E G C, esse ut ναώnda ex , Η Ε, C N E U C, discripta. Haec reto erunt in ratione eae posita ex ratione ararum . H E,C N E G Cct d antimrum centrorum grauitatis 4b axe, A B, librationis, hoc est viarum rotationis. Auapropter ut in superiori demonseratione concludetur viam rotationis centrigrauitatisfigura . C NE G C, in eandem figuram Euctam producere rotundum ab ea in rotatione circa, A B , defcr iptum, quo--ocunque t cetur ad alteνam axis partem proposet a figura. Ex quibus manifes um euadii regulam GHdini quoad figuras planas,earum- quefolida roranda uniuersaliter reram esse
IN per ex earim demonstratione liquitae apparet, si pro quadraiis ,seu circulis ab , R X, X S tamquam arasis .fcriptis, obstituerimus alias quascumque planas, ac simile guras , uni cuidam parastelas ct ab Urim, R X, X S ct c. tamquam ab homo.s aescriptas. eodem modo, qui supra adhibitus es, nos concludere posse non tantum de sobris rotundis ,sed uniuersinissime de quibuscunquefolidis itaribus genitis ex iisdem Aguinis, Hain, C G ae, ψ ωM atur
inui a Exerc. I. num. II. ea esse in ratione compos Rex rati ne genitricium figurarum , ct ex ratione radorum, nempe re .
253쪽
tinum inter axem librationis, or centragrauitatis earandem interceptarum. Ex quo denique patebit etiam per hanc uiam centri grauitatis, ope Indiui ilium, ad insinita periessi doram siue sint recta, siue etiam scatena, nempe etiamsi, B, nonopponereturperpendicularisi is, R X, X S,su planis figurarum ab , eisdem, R X, X S orc. tamquam is
homologis descriptarum Iprocessum flerim', non secus ac in
metho o Inae demonstrationes circa selida νotunda ad infinitas speries iugiter ampliari ricebatar in eadem Exerc. prima
Scio autem praefata omnia ad styIum Archimedeum reduci posse ouod saltem indicatum Guldino ab ipsis Inm- uisibilibus, si illa respuisset, satis poterat descruire nempe conuersa demostratione per Indi uisibilia in Archimedeam .
ut sunt quaecunque per Ind. methodum ostenduntur: L, cet ille ubique affectans demonstrationis ostensiuae nobilitatem, quam sola Inditiisibilia poterant illi suppeditare,
ab ijsdem resedere non debuis it. Frustra enim tunc Euclidis, & Archimedis Propositiones per absurdum osten- fas ut praefata ostensiuae demonstrationis nobilitate potiarentur Libro Quarto restaurasset, nisi& dicta regula generalis ostensiue probata fui sset, secus enim omncs ab ea pullulantes demonstrationes vitio radicis laborassent. Hanc quidem regulam pluribus rationibus, ijs tamen non nisi probabilibus, quae in concordantia cum aliorum inuentis plerumque fundantur, confirmare conatus est;hic vero ubi deficit, remanet manca, & inpers ista demonstratio, cum ad omnia nequeat se ext edere. Obiter autem innuo, dum hoc nititur probare de solidis rotundis Pag. 17y. eum sic procedere. Probat enim conum partialem
descriptum a triangulo, A B F, ad totum conum descriptum, ab , A B C, esse vir. ad 4. quia illius radius ad huius radium rotationis est vi I. ad . hoc est, inquit, per Cor. t. Prop. 3. Cap. 8. Libri Secundi Verum hoc Cor. pendet ex regula generali Pag. I 7. quam hic per hoc medium intendit probare. Deniq; praefatae rationes non maiorem videntur habere
probabilitatem, quam illae, quas affert Libro Primo eius-
254쪽
dem Centrobarycae Pag. Ia7. vi consideranti innotescet, ubi asserit, data Sphaerae, Sphaeroidis, aut Conoidis portione, si per axem , & centrum basis ducatur planum, comceptae figurae centrum grauitatis esse quoque centrum grauitatis superficierum dictorum corporum , exceptis basibus. Ait enim hoc similitudinem probare, quam habent haec selida cum Cono, eiusque frusta, in quibus eadem sunt cerura figurarum per axem. & conicae superficiei sine base, vel basibus ; hocque iubdit per inscriptionem, et circum riptionem superlicierum conicarum, &c. probari posse. Quod an verum sit subsequens demonstratio satis, puto, indicabit. Esto enim triangulus equi cruris, B A F. in bast, B F, quam secet
bifariam in M, quae ex tendatur utcumque in , D , sit autem circa, MD , quoque tamquam axim trapezium aequi crure, B C E F,ita ut,
AB, non sit in directum ipsi, BC, nec, A F, ipsi, F E. oportebit ergo iuκta GuI. dinum centrum grauitatis figurae, A B C E F, per axem . AD, transeuntis, quod sit, H, esse etiam centrum grauia talis compositi ex superficie conica, B A F , & frusti comci, BC EF, si currit dicta similitudo, quod videamus an
verum sit. Supponamus centrum grauitatis trianguli, BAResse, G,&trapezij, BC EF, esse, I, quae erunt quoque centra grauitatis superficierum, nempe G, conicae,
B A F, &, i, frusti, BC E F, superficiei per ibidem ostem saa Gu Idino. Erit ergo ut, I H, ad , Η G, ita triangulum, BA F, ad trapezium, BC EF, &ita sit perficies, BA F, ad superficiem, B C E F, quod serua. Insuper triangulus, AB F, ad trapeZium, BC EF, est. vi rectangulum sit b, A ivl, M B, ad rectangulum sub , M D , & aggregato ex , B M, C D, cquia his rectangulis singillatim aequantur dictus triangulus, &trapezium hoc est in ia-
255쪽
tione composita ex ea,quam habet; A W ad,M D,& ex ea, quam habet, B M, ad, B M, cum, C D, quod pariter serua. Superficies similiter, B A F, aequatur circulo, cuius radius medius est proportionalis inter, A B,& B M, ex Archimede Libro primo de Sphaeia, & cylindro, Prop. Iq. & supermcies frusti conici, BC EF, aequatur circulo, cuius radius medius est proportionalis inter , BC,& aggregatum ex , BM,C D, ex eiusdem Libri Prop. I 6. Erit ergo superficies,
A B F, ad superficiem frusti, B C E F, subintellige semper sine basibusὶ ut ille circulus ad hunc circulum, vel ut qua dratum illius radij ad quadratum radi j istius, vel ut recta gulum sub, A B, B M, ad rectangulum sub , B C, & aggregato ex, BM,C D, hoc est in ratione composita ex ratione, AB, ad, BC,&ex ratione, BM, ad aggregatum ex , B M,C D. Si ergo triangulus, A BF, ad traperium, BCE F, est ut superficies, A B F, ad superficiem fiusti, B C E F .cum ostensum sit triangulum, B A F, ad trapeatum, B C E F, habere rationem 'compositam ex ratione, A M, ad, MD, &ex ratione, B M, ad aggregatum cx, B M, C D, oportebitratione, A in ad, M D, &, B M, ad, B M, cum, C D, com-
pohere eamdem rationem iam componunt rationes, A B,
ad , B C, & B M, ad, B M, cum, C D. Ergo ablata commutni ratione ipsius, B M, ad, B M, cum,C D, erit vi, A M, ad, M D, ita, A B, ad, B C, quod is absurdum. Si enim iunxerimus, A C, qu et secet, B M, productam, si opus sit, in, Κ, cum vi, A M, ad, M D, ita sit, A Κ, ad, Κ C, erit, A B, ad , B C, ut, A Κ, ad Κ C, unde per Prop.3. Sexti Elem. ansu lus, C B Κ, qui est obtusus erit aequalis angulo, A B Κ, qui
est acutus, quod esse non potest. Non ergo, Η, centrum grauitatis figurae,A BC EF, erit centrum,grauitatis superficiei, CBAFE, ut putat Gu idinus. Ex quo patet hoc falsuquod; esse in inscriptibilibus,& circumscriptibilibus superficiei sphyricae,*hqrodis. & conoidis parabolici, unde per has neutiouam intentum Gul linus obtinere potuisset. Si ergo hoc ipse animaduertisset, insimul quoq; agnoui set,quam parum in geometricis probabilibus rationibus, similitudinibus,& analogiis,quas de ipse Keplero exprobrauerat, fidendum sit. Unde rationibus demonstrativis suum
256쪽
sundamentum probare non neglexisset, nec sorth adeo ab I n diuisibilibus abhorruisset, a quibus tantum beneficium ubiq; retenta quae adeo illi probabatur demonstratione ostensiva obtinere poterat, nisi Archimedeam methodum, quam ob demonstrationem ad impossibile ducentem auerasabatur, prosequi maluisset, qua per inscriptionem, & circumscriptionem &c. puto, & i eliqua pars regulae de lineis, earum ΤῆPotestatibus, uniuersaliter poterat demonstrari. Verum haec cum omni Guldini honore, ac reuerentia dicta esse volo, quem ob aureum hoc inuentum, plurimi facio. aeternaq; fama dignum & ipse censeo.
In qua D tur quaedam dissicultas, conoa Indixi bilia' fieri poterat, licet eam GHdinus non animaduerteris. cum alia quadam ab Anonymo obiecta.
INterea, quς contra Indiuisibilia ab Auctore nostro alia
lata suere, nihil est sorte, quod tantam habeat apparentia , & ex Geometriae proprijs magis procedat, quam haec, quae nunc producetur, licet eam ipse non viderit, est autem huiusmodi.
Sint duo triangula, H D G, H D A, in eadem altitudine, H D, sed in basibus,GD, maiori,&,DA, minori. Ipsi vero, H D, ducantur quotcumq; arquidistantes, B Κ, CI, di per Κ, I, puncta aliae ipsi, A G, parallellae extendantur,
257쪽
F, L E. Qitoniam ergo, Κ F, IE, sunt parallelogramma, erunt, Κ B, M F, inter se aequales, ut &, IC, L E. Hoc vero eodem modo de quibuscumq;alijs ostendetur. Ergo orn. neS .iineae trianguli, H D A, pquabuntur omnibus lineis trianguli, H D G, regula communi, H D, Vnde per Prop. . 3. Libri Secundi Geo. Ind. quae ponitur in Exerc. prima Pag. 23. triangulus, H D A, eritiqualis triangulo, H DG. quod est absurdum. Cum enim, G D sit maior, D A, ex hypothesi, etiam triangulus, Η D G, maior est triangulo, HD A, per Prop. prima Sexti Elem. Falsa est ergo dicta Proinpositio Geo. Ind. supracitata. ergo corruunt omnia,quε iniI a se adantur, hoc est lota huiu odi Geometria. i Ad huius ergo Bhmoncm dissicultatis recolat studiosusca, quae dicta sunt in E cerc. prima, num. 13. I II. ex eis
enim intelliget me semper omnes lineas planarum figurara usurpare sub eodem transitu, nempe vel semper recto, vel semper obliquo, qui transitus explicatur in dicto Numero 33. Ostensiam est autem num. I s. ex hoc sequi, si non fiant. vel supponantur sub eode transitu, non esse inuicem equaliter distantes quastum' in Munius transitus, cum alijs duabus illis respondentibus,quae siuit alterius transitus: &,. quae siunt eiusdem transitus semper aequalem distantiam indier se continere, quae sibi e regione respondent. Cum ergo duae, Κ B, IC, non aequaliter distent inter se ac duae, M F, LE, praedictis respondentes ideo erunt omnes lineae triangulorum , H D A, H D G, hac ratione assumptae, perinde ac si fierent sub diuersis transitibus, quapropter excluduntur a definitione, quam tradidi omniu linearum planarum figurarum. Perperam ergo sumptis omnibus lineis triangulorum H D A, H D G, mirum non est ea aequalia concludi,
cum tamen sint inaequalia. Hanc aut m solutionem apprbi declarat tela filis contexta, e qua decerpta supponantur dicta triangula. Si enim ponantiis in H A D, esse Ioo. fila ipsi, ΗD parallela; erust signata in, Η A, Ioo. pumsta, in triangulo, H AG, alia io o. fila ipsi, AG, aequidistantia &sebinde in , HG, alia Ioo. puncta,&in triangulo, H D G, pariter Ioo. fila. At si, D G, supponatur ex. gr. dupla
258쪽
ipsius, D A, erunt in triangulo, H D G. cu m fingatur
propter haec rariora erunt quam fila trianguli, H D A. Ita ergo res suo modo succedit in omnibus lineis dictorii trian. gulorum ut sic acceptis,non enim squa ratione sibi respondent, quemadmodum fit dum omnes linei sumuntur tamquam sub eodem transitu effectaeo , ' . . Supradictam difficultatem mihimet obieci, aliam vero fecit quidam Anonymus ex Gallia, quae, ut ex quodam amico intellexi, talis suit. Demonstratum est Coroll. a. Prop. I9. Libri Secundi Geo. Ind. quod omnes maiores ahscisIssint ad omnes ab scissas in ratione dupla. Prop. 2q. trivia ε ostensum est quadrata omnia maiorum abscissarum esse ad omnia quadrata abscissarum in ratione tripla. Prop. prima Libri Quarti, cuius Schema hic appo
ad,IM,aur,CN,quadratu est ut,GC, ad, IC; ideoq; omnia quadrata parallelogrammi, C H, siue omnia quadrata maiorum abscisarum, C E, ad omnia quadrata dimidiae par bolae, CC H, siue ad omnia quadrata abscissarum, C E, erunt ut reliqui maiores abscissae, G C, ad reliquas abscissas eiusdem, G C. Sed quadrato im tripla est ratio, linearum dupla ex demonstratis: itaq; ratio tripla aequalis est rationi duplar, quod in absurdum . Ad quam difficultatem respondeo no bene accipi mai res abscissas, α abscissas ipsius , CE. Non enim parallelogrammum, C H, exhibet maiores abscissas,C E, & semi- parabola, C G H, eiusdi m abscissas, ut putat Anonymus: sed abscissae exhibentura triangulo ipsi, CE , adiacente, ut ab ipso, CEU, si, HE, supponatur aequalis ipsi, EC, & maiores abscissae tunc etiam a parallelogrammo, CH , exponentur, iuxta dicta in praeuato Cor. Propositionisas. Libri Seeundi, quod habetur in Exerc. prima Pag. 3 6. Circa quod Cor. vide ibidem dicta num. 23.Cum ergo abscissisas hic recte non acςeperit, ideo potuit absurduin ex his colli
259쪽
colligere, quod nempe ratio tripla esset aequalis rationi duplae. Verum, ut admonui in dicto nu .as .possumus sine istis abscissis Propositiones demonstrare, si illae aliqualiter Lectori negotium faciant. Sed iam tempus est ut huic dissertationi fine imponam, in qua non alium scopum habui, quam ut ipsa veritas clucesceret, Indiuisibiliumq; usum tibi amplius, benigne Lector, aperirem, quo de his aequius dijudicare posses. Iam tibi notum est quibus rationibus priorem Methodum Ind. probauerim, & ab oppositionibus vindicari posse existimauerim: quod si non sufficiat, habes posteriorem methodum, liberam a conceptu infinitorum indivisibilium collective sumptorum. At si haec tibi adhuc non satisfaciant, recole uae iuxta Archimedis stylum in confirmationem usus Iniuisibilium allata sunt, praecipue in Exerc. a. His enim te omni circa eadem ambiguitate expoliari posse reor. Haec ad inueniendum plurimum valere vel ipse Guldinus fassus est Lib. Pag. 33I. tu autem quoq; perpende num & ad demonstrandum recipi possint , nempe vel sub ea sorma, qua
a me usurpata suerunt, ves cutem ielative ad methodum Archimedeam, iuxta quam confirmata sunt ; ac Mniq; eis
utere prout tibi libuerit,in his enim iussi ijs, & disputationibus potius philosophicis, quam geometricis mihi fere semper aegrotanti, nequaquam quod superin tempus inaniterterendum esse censeo. Iudices erunt tot praestantes Gemmetre, quot scimus hac nostraetate florere, quoru gratiam
meis hisce Indiuisibilibus conciliare pluribus dictis frusta
tenta uero, nisi ab eisdem accurate examinata, eorum sus fragijs approbentur.