장음표시 사용
241쪽
sfaiia,per quapunctum, Esine duce transire debet. Nihil ergis
concludemas etiam hoc Lemmate: Multo minus admittetur
Corolgarium hoc. Hinc habetur figuram, S P F R, ipsis, A NE, aequalem esse,& uniuersaliter figuras planas, in quibus
earum regulae aequi distantium quotcunque linearum comceptae portiones integrae sunt, inter se aequales esse. Ergo interiusprogrediendum erit, quod se fecerimus perueniemus adimam. quae demonstranda Archimedeo modo promissafuit, 'opstionen primam , pra Propositione nostra quarta rei ram, qua b eodem nomine Propiationis Prima Septimi Libris proponitur.
Supposito Lectorem hoc Lemma ubi supra vidisse, dico in eo, quod spectat ad progressum puncti, E, ut describat lineam, ELMN A, eodem prorsus modo id perficiendum esse,quo Auctor noster inquit, nepe a rectis, H D, QC,P B, abscindendo, D L, aequalem sibi respondenti, I Η, &,M C, ipsi, Q Ο, ut&,N B, ipsi, PR. Hoc verib satis Lector ibidem intelligere potest, dum dieitur punctum,Ε,ita in ipsa, F E, inccdere debere, ut describat lineam, ENA, cum, A E, comprehendentem figuram aequaliter analogamis S P F R, regula, F E. Quid enim aliud est hoc, quam dicere, producta quacumque recta in, SPF R, assumpta, usque M,A E,ex eadem punctum, E,in transitu abscindere debere aequalem ei, quae est illi in dirci
ctum in ipsa figura, S P F R Et siquidem Problematice id
exequendum esset, certe omnes lineae figurae, S P F R , producendae essent usque ad , AE, &eκ singulis abscinden, dae aequales sibi resipondentibus: sed Theorematice sufficit ex una intellectum percipere modum, quo in reliquis id praestandum sit. Non enim pro demonstrationis veritate necesse est, has figuras aequaliter analogas actu describere,
sed lassicit intellectui illas supponere descriptas, quia eκ. eo, quod in una recta fieri apprehendit, id in reliquis percipit esse possibile, &consequenter nihil absurdi inferri, si istae figurae tanquam factae supponantur. Cum ergo,& hic Problematis possibilitas sufficiat , nihilominus loquutus sum tanquam Problematice id praestarem quocumque
modo id fieri possit quia hoc demonstrationis veritati non
242쪽
derogat. Transibit ergo punctum, E, inter, E, &,L, inter, L,&,M,&c. non alio duce, quam intellectu, qui percipit ipsum debere semper abscindere rectam aequalem sibi respondenti in figura, S P F R, etsi Problematice id λαε nomnisi mechanice, stante hac figurarum generalitate, &nisi ad ipsarum species descendamus,exequi sit possibile. Haec igitur nihil officiunt veritati subsequentis Corollari j, quo deinde usus sum ad priorem partem Propositionis Primae
Libri Septimi meae Geometriae demonstrandam. Deniq; Auctor insurgit contra aliam demonstrationem prioris partis eiusdem Prop. ant. ex praecedentibus Lemmatibus constructam, quam videre licet in eadem Exerc.
2. Pag. Io I.Sic autem de eadem effatur in Sec. 37. Pag.3 9.
Sebio X XXVII Ostensa quidem in charta per varias figuras c quas qui videre velit ipsa mei confulat Auctorem sed
non demonstrata pro communi fatrem Geometrarum intellectu . Mirabiles quidem ostendit figuras, quas vocat aequaliter analogas, sed uae t figure aequaliter analogae , squaeramus more Geometrarum definitionem, respondetur illas esse figuras
aqualitere anatigas. qua eas habeant proprietates, quas Prima Propositio Librι Septimi illis attribuit, quam retuum; Propo- tione nostra quarta, Numero primo . Si quae reo quomodo Geometrice describantur, unum assertur exemplum in parenthesdemonstrationis Lemmatis a. de parallelogrammo tantum
hoc modo; quo pacto data basi,& curua linea tota in eodem plano cum ipsa basi,ac uni extremorum eiusdem conterminante, parallelograminum curvilineum, abhsdem apprehensum describere docemur. Eomodo autem reliqua, qua nono parallelogramma describenda ni, ritum plantium. Mouetur quidem linea arrigetiter alteri,st ad eius extremum unum attenditur mea uid sit de altero e quod imum deberet esse via descriptionis . Pulchra se et huius operis sae Lemma sue Propo stio. Data figura quacumque inter pinaltius . exposta, describere ei figuram abam, quoad perimetrum qui dem diuersimode dormitem,sed aqualuer Malogam. Frultra Auctor lite vim facit in hac figurarum aqualiter analogarum geometrica descriptione, cum in gratiam demonstrationis castacin ut factas , supponere tantum sufficiat
243쪽
. ciat, nihil enim ex hoc sequitur absurdi, aut impossibilis. dare cum ea, quae hic opponit, nonnisi hisce Problemati
cis descriptionibus innitantur, tamquam ex eiusdem sententia necessarijs, patet incongrue ab eodem pronuntiatum esse hanc tantum ostensam esse in charta per varias figuras,sed non dcmonstratam pro communi saltem Geometrarum intelle ictu, nihil enim apparci, in quo illi haesitandum sit. Postcriorem autem partem eiusdem Prop. I. non dissimili methodo confirmatam videre potest studiosus in eadem Exer. a. a pag. Ia O. v sq. ad pag. Ι7q.
In quo examinantur obiecta a Sec. 38. q. ad a. or Ult.
CVm Culdinus ea omnia,quae in utraq. Methodo Ind. ipsi nc gntiu faciebant protulisset, deniq.talem subiunAit conclusioncm in Sec. 38. & in cadem pag. 3 9. Sectio XXXVIII. Visis ergo istis, tam in Methodo Indixissibilium , quam in hoc Libro Septimo ab Indius bilibus, iuxta
Auctoris sententiam independente, occurrentibus pluramisissicultatibus, nolumus, neglectis proprνs nostris in Libras Centroba corum om4'sparergis, inquirere ulterius; maxime cum haec inquisiti uisa non si ,protestor, ad confundendum, aut opprimendum Auctorem, quem magnifacimus, sed ut ex illis nouis Inventis aliquid obtineremus, quo I fum, Fructum ,-Gloriam Centrigrauitatis augeremus. Euare cum nostrum propositum hac ratione assequi posse hac vice desperaremus ; Incerta enim pro ι ertis f ropone re noluimus: Issio hoc labore persedendum esse iudicauimus. Reirqua huius nego- ij in aliud tempus, uti monuimus .in Deus vitam, bonam valetudinem dederit refer antes. Mod se tamen usum Ca--lerium rogatum volo , ne id vitio vertat, quodi e τυι retvltro expetierat; se reliqua qua in e Propostionis II Capitis praecedentis de Keplero diximus ,r e ctiam s/bιdicra esse putet : Scopum enim veritatem, eiusq; cognitionem mani am fuimustinum enim attigisse. Hoc Matheniat scat una dignitati, ac sultimae certitu alia. , quam prae omnibus alijs hu-
244쪽
inanis scientsis, nemine Philosophorum reclamante, ipsae sibi vindicarunt, maxime conuenire manifestum est. hoillo in Praefatione Lib. 7. hoc edicente.
Quod Auctor iste utrainq. Methodum Ind. tamquam incertam pronuntiarit, & ideo neglexciit, iam dixi mirandum non esse, cum non accurate, ut sepe fastiis est, nec totam dictam Geometriam inspexerit. Quod vero haec mea censere voluerit, aequi boni q. facio, solius enim veritatis amore hanc eum sit scepisse prouinciam facile mihi persua. deo. Qtaod si accurariorem, quam promiserat, de his quoq. habui licet disquisitio item, multo gratior liaec fuisset: vel enim haec Indi uisibilia tamquam geometrica portenta petapetuis tenebris sui 'nt damnata, aut ab eodem quoq. approbata, e tot dissicultatum latebris Delicius emersissent. Is vero in eadem Pagina diluit in sine quamdam Obiectioin nem, quam sol te aliquis ex Clamo in fauorem Indi uisibialium contra ipsi in affere posset, quae est huiusmodi, ut patet in Sec. 39. S ectio XXXIX. tamen hoc loco, id nimirum, quod
his omnibus scriptis ultimo memoriae debilitata occurrat es ;quod tam Caualerius, quam alj rtassis contra ea, qua adhuc disputauimus obiicero pulsent, quod omnino diluae um ante sinem huius Capitis videtur Christophorum videlicet Clam
tum, quem in omnibus,invbiq. qua lex professo defendere constituimus umfuisse in aliquo saltem loco hoc , quem nos
reiecimus are umentandi modo : IAsem nimirum ex pluribus
punctis concissi se de lineis; immo usum fuisse vocibus sis a.
nobis reprobaras,omnia puncta,omnes lineae; es hoc non tam argumentando induxi e quam ut principium proposuisse,adeo clarum. vi lumine naturali cognitum sit, nemoque fanae meniis illud negarepossit. In Scholio enim Proposetionis 28. Lib. Primi Elementorum, ubi axioma, 3. Euelidis, quod iudicaratra quam principium assemen dum non eme, demonstrare cona-trer scowetrice : postquam Procli demonstrationem qui idem scutitor I ulisset . eamq. non satis validam, aut omnibus numeris absolutam , quas reprobrabset, i e Clanius Numero I hoc ponit princ sum. Linea cultis omnιa puncta a rccta linca,quaeras csti m cuw cap etno existit, s qualiter distant, recta st. Diqiliaco by Corale
245쪽
Circa quam dubitationem non opus erat ipsum laborare,eam enim nunquam in fauore In diuisibilium attulisse m , cum loco Claui j supracitato manifestum sit illum loqui de Omnibus lineae punctis non collective,sed distributive sumptis, perinde ac in definitione circuli dicuntur omnes lines a centro ad periphaeriam diristar inter se aequales, quod manifestum est non collective, sed distributivh intelligendum esse . Hoc autem dico, si loquamur de priori Methodo Ind. in quo ipsa In diuisibilia collective sumuntur. Quoad posteriorem vero Methodum, in qua utimur Indi uisibilibus
tamquam distributive sumptis, haud negandum est potius hunc Clauij loquendi modum ipsis fauere Indiuisibilibus, quam aduersari. At Guldinus haec postea subiungit in
Sec. o. Pag. 3So. Settio XXXX. Ad quod respondendum iudicor Si hoc loco omnia puncta fumantur ut collecta, ut facit Caualerius de suis punctis ut tineis,idem de illis dicendum esse,quod hoc capite de Urim dicimus. Si vero intelliganturpe r omnia p ncta, tot, quot signari possunt, adhuc in eadem manemus feniensia , dicimus nihilominus nihil'obariper ea pumcta de linea, quia an vis ρ-- . cum Ant in ta assignari
nequeunt, ea autem, qua asgnant- sinisa nullam componunt lineam sed adhuc semper inter duo proxima puncta duci potes linea. ue recta, siue carua, ct hoc in infinitum. Ergo nihil constat de linea; Hq. ex hoc capite claudicat hoc principium.
Circa liaec autem no aliud addam,nisi, si per tot puncta, quot assignari possunt. nihil de linea, Clauius concludere . potuit: a pari nullum Geometram per tot linearum, quot intra circulum ab eodem puncto duci possunt,aequalitatem, de ipso circulo quidquam concludere posse,quia quotcuq. lineae nullam constituere possunt superficiem, quemadmodum,inquit ipse,quotcumq. puncta nullam unquam faciut, lineam. His vero ibidem subdit pauIo post in Sectione 4 I. huiusinodi verba- Nullas autem dubito Clarium hoc viri e , vel si non vidit
nam quandor. bonus doνmitat Homerus nihιlominus tamen
MEAM, O iure merito quidem non fatife cisser per hocprinci
246쪽
pium, aliud Num. a. subiungit his verbis. Si recta lineasu
per aliam rectam in transuersum moueatur, constituens infusextremo cum ea angulos semper rectos, deferabet alteram illius extremum lineam quoq. rectam. Dignum nimirum Clauio
principium, quodq; ne illo priori intento suo σ Geometris omnibus satisfacit; potes enim ut principium per se solum assumi eo in loco, quo Claria unonit 28. Propos. Primi Libri Elem. demonstratas, oes opus esset ab illis Halys Princvise
praemissis dependens; nulla enim alia indiget probatione: Huiceni oti assentitur intellectus Geometrae illius, qui item illa de quibus diximus principia, or Propositiones percepit: non priori, licet Clarius addat: Estprincipium hoc aequὸ clarum, es euidens, atq. antecedens. Eu enim hoc non aequὸ clarum, sed longe clarius; quia per hoc ex motu recta linea V suo uno termino, altero autem ita fixo recta alteri lineae, ut neq; in motu, neq; con ensis ea, aut ab ea dimoueri, aut ima linea mota inclinationem mutare ρ sit, describit lineam,de qua re te conuuiatur eam fore rectam. Illud autem principium, sprincipium dicendum,non ni ola, litariaq. asignat puncta, quaequidem omnia in eadem erunt linea recta,qus tamen prius cogitetur per duo fallem puniau. iae quod ultro admittimus, ducta, se quanto opus es ad utramque partem producta: Puncta tamen illa quotquot tandem fuerint; repetimus idem; nullam partem tinea ductae eonstituunt, ac proinde nihil ex illis de qualitate linea probare aut afumere possumus . Ergo
sne priori illo principio per posterius, ct reliquasequentia Clauius id quodproposuit orienter demonstrat. Elod ad tuemdam Clau= auctoritatem, ct nostra ementiam roborandam
nunc ossiciat. Si prius principium cui posterius aeque clarum dixit
Clauius, licet lioc neget Guldinus iuxta eundem repudiamdum est, posteriori retentor a pari definitio circuli tradita per aequalitatem linearu repudianda erit petenta illa tan- tum, quae assumit reuo utionem rectar lineae circa manens punetum, quod nemo non videt quam sit absurdum. Deniq. in Sec. a. & vltima habitam censuram placidis hisce verbis concludit in eadem Pag. 3Io. Sed vi finem tandem desederatum aliquando attingamus,
247쪽
nore prosecuti fumus; immo or Pani Alexandνini, quem pr te riuimus, Keptiri etiam, se Cauaurij, quos τι amicostra Minuimus, huic libro quarto, ct toti operi de Centro Graminis finem imponimus. Coronidein tamen operimponimus or Epilogi loco deniso in medium producimus Problema quoddam Arithmeticum quod Anno Ioa 2.Viennae ad excitandos nostros discipulos composuimus, cir per unum illorum publice demon.srare curauimus, ea ratione, visquitur.
Quibus & ipse addo me haec ab eo, tamquam ab amico, solam q. veritatem affectanti dicta excepisse, ut & supra innuebam. Namq. amicorum est admonere mutuum. Ego enim in maiori lucro reponam amici libere redarguentis censuram, quam blandientis adulatoris assensum. Vndξ cum Plauto in Trinummo sic eum compellare possum. Sed tu ex amicis certis mihi es certissimus,
Si quid me scis fecisse is scisὸ, aut improbe,
. Si id non accusas tu i e obiurgandus es. Ego autem quoq. non contradicendi studi , aut phi- lautia deceptus, sed solius veritatis amore, quae obiectis responderi posse mihi visa m. silentio nequaquam prae tereursa esse duxi.
In quo manifestatum insegnis quaedam utilitas, qua ab Inῶ-us bili sini us Guldini Centroia eam, ni illa respuisset, poterat derivari. CVm nostri Auctoris regula generaIis sepius comm morata,quae in eiusdem Centrobaryca ponitur Pag. 147. tanti esset momenti, quanti in ipsa apparer, tota enim in ea fundaturi, unde nequaquam dcceret illam demonstrarive non probatam relinquere, mihi monendus erat idem Auctor, dum viveret, quod, nisi renuisset, insigne hoc beneficium ab ipsis Indiuisibilibus obtinere poterat, saltem quoad figuras planas,earum'. Potestates. Id vero, eo iam mortuo, nunc reticerem,nisi ipse dixisset Pag. 34'. in Scho-
248쪽
23o Exercitatio Tertia. liose huiusmodi Indiuisibilia aggressum fuisse, ut aliquid
obtineret, quo Vsius, Fructus, & Gloria Centri grauitatis augeretur, sed frustra laborasse . Inquit enim ibidem. cum nostrumpropositum hac ratione assequi posse desperaremus sec. Vt ergo amplius eorum utilitas appareat Stucliosis, hacq. occasione eisdem indicetur qua ratione hunc ab Inditiis bilibus fructum ad Gloriam Centri grauitatis augendam sibi ipse compararc potuisset, placuit in huius explicationem praesens Caput adiungere. Id vero eo ibbentius seci, quod non mei, sed alterius opera & industria in huiusmodi In diuisibilium cultura strenue laborontis, eiusdem regulae suppetias afferi posse demonstrauit. Is autem fuit acri ingenio praeditus, & insignis Geometra Ioannes Antonius Roccha, qui duobus annis antequam hic appareret dicta Guldini Centrobaryca praesens Lemma Ostenderat, ac mihi communicarat, a quo praefata Regula
Si figura ρί-a super aliqua fui recta linea figuram ipsam
scante libratur, erunt momentas mentorum figura, ut sunt solida rotunda ab uses segmentis, circa secantem tineo reuo. lutis, defcrapta. Huius rationem unusqui'. videre potest in Operibus Geometricis Torri cellij Problemate I. de Dimensione Parabolae, Pag. 77. Vt vero totam hanc rem percipere quoq.
possint, qui carent dictis operibus,ponitur hic sequens d
monstratio, ex qua dicti Lemmatis veritas manifestatur, procedens iuxta mentem eiusdem Rocchar. Supponatur recta, A B, tanquam axis , circa quem retro luatur quaecumque plana figura, C G E, adiacens
ipsi , C E , suae altitudini, ut fiat solidum rotundum . Sit autem eiusdem figurae , C G E , centaum grauitatis, Κ, in dicta rotatione describens periphaeriam, ΚM, quam Guldinus appellauit viam rotationis centri grauitatis, Κ, ut & , Κ D , radium rotationis. Rursus lateri , C E , in plano figurae , C G E, sit applicatum
quodcumque parallelogrammum rectangulum, Η C E F. cuius centrum grauitatis sit, d, &recta, ID, sit perpendicu laris ipsi , A B , nempe sit radius eiusdem rotationis
249쪽
nis. Insuperextendatur quaecunque recta Iinea, RS, ipsi, F E, parallela, ita ut eius portio, R X, sit in parallelogrammo, Η Ε,&,X S, in figura, C G E, quae bifariam secentur in punctis, T, V. Momentum ergo ipsius, R X , ad momentum, X S, si viretque circa, X, librari
intelligantur, est inratione composita ex ratione. R X, ad , X S, & ex ratione distantiarum centrorum grauitatis, T, V, earunῖem linearum, R X, X S, a puncto, X hoc est ex ratione ipsius, T X, ad , X V, vel, R X, ad, XS : Facile enim hoc de quibuscunque magnitudinibus eiusdem generis probari potest, ex eo quod molium squa lium momenta sunt ut distantiae a puncto librationis; & ab eodem aeque distantium molium momenta sunt ut ipse minles. Duae autem rationes, R X , ad , X S, componunt ra tionem quadrati, R X, ad quadratum, X S : ergo momentum rectae, R X, ad momentum rectae, X S, est ut quadratum, R X , ad quadratum, X S, hoc est ut circulus descriptus radio, R X , ad circulum descriptum radio, X S. Hoc idem vero de caeteris ut sic assumptis ipsi, F E, parallelis in dictis figuris eodem modo probabitur, suntque
omnia antecedentia aequalia . Ergo momenta omnium linearum , H E , ad momenta omnium linearum figurae , CG E, parallelarum ipsi, F E, hoc est monacia tum rectrinis guli,
250쪽
232 Exercitatio Tertia. guli, H E, ad momentum figurae, C G E, ῆςcirca, A
B, axim libratis) erit ut omnes circuli, H E, nempe descripti tamquam a radijs ab omnibus lineis ipsius, H E, ad omnes circulos figurae, C G E, nempe descriptos tanquam a radijs ab omnibus lineis ipsius, C G E, ut elicitur ex Prop. 26. Libri Secundi Geo. Ind. eiusque Corollario 3. quae Propositio habetur in Exerc. I. Pag. 38i hoc est erunt ut rotundum cx, H E, ad rotundum ex , C G E, descriptum, ex Propo 3. eiusdem Lib. Secundi.
Exp sensis patet veritas praedicti Lemmatis colla tione segmentorum libratae figura sem parasielogrammst , ut, Π Ε, in eadem cum Aura altitudine con tuto , ac cum
iisdem pariter librato. HIs demonstratis remanet ostendendum quomodo ex his inferatur regula Guldini quoad figuras planas,
car Lmque Potestates, quod nunc patefiet. Namque figura lilm,H E,C G E, momenta, iuxta superius di nata, sunt in ratione composita ex ratione ipsarum figurarum ,
H E, C G E, & radiorum , I D, D Κ, nam hi sunt distantiae centrorum grauitatis, I, Κ, ab axe, A B, hoc est periphaeriarum, seu viarum notationis, I L, M K. Elgo
dicta rotunda erunt in ratione composita ex ijsdem rationibus. Sed caedem rationes componunt quoque rationem corporum columnarium, hoc est iuxta appcllationem usitatain in mea G cometita cylindricorum, qui in basibus ductis figuris , H E, C G E, altitudinibus vero ij scicinperiphaerijs, IL, M Κ, in rcctum extensis intclligi possitnt, ut a me ostenditur in Prop. II. & 14. Libri Secundi dictar eo. Ind. explicaturq. in eadem Exerc. I. num. 22. Ergo rotunda ex , H E, G E, descripta, erunt ut dicti cylindrici. R mundum autem ipsius, H E, equatur cylindrico in basi, H E , altitudine periphaeria, I L , quod sic probo. I lud rotundum idcm cst cum cylindrico in basi circulo ra-