장음표시 사용
231쪽
Fasias hic disseritar circa Sectionem 3 a. ALiam instantiam affert Auctor contra eande Propositionem primam sic obijciens in Sec. 32. Pag. 3q6.
Sectio XXII. Sedes aliunde haec, quae moratur demonstratio, rimonstr alio non es ex ipsiquem adhibet demonserationis medio termis, o, qai s figurarum superpositos de quibus multi quidem multa , cr tandem tamen ea paucis probatur, quando res ima aliter demon aripotes . Hando ver o recipitur , certis tantum conditionibus recipitur, id quodpaucismis verbis tradit raser Cristophorus Grienbergerus ad Pronunciatum Libri Primi Elementorum, quod Phabet. Quae sibi mutuo congruunt sunt aequalia. Dcbet autem, addit ille talis congruentia constare i ntellectui. Ea congruentia in hac demonstratione inteliactui non patet,cums vltra squales rectassarastelas non extendat. Sic Euclides quando usus es
hoc Pronunciato Prop.q.Lib. I. ElemenIorum, nonsum aqua.
Ira lineas rectas supcrponis qualitas lineis rectis, sed tales etiam, qua aquales continent angulos, undis intellectus iudi.
carepotest eassibi congruere secod quid dicemus de perpo sitione corporum, quae adhuc magis intellectum fugit e in qua
congruentiam aliter imaginari non possumus. quam per penetrationem , ut DCantur corpora sese mutuo senctrare, ut sicra uidua oliditati quam perficies perficio. or a te mimini aljssibi aequalibus congruant,quo in hac Auctoris δε- monstratione non sit; constat enim solum de congruentia parallelorum planorum, de reliqua op scie, or terminis alis prorsus nihil inuenit intellectus, in quo conquiescat . Vsus quidem est Archimedes hac operistione Prop. zo. de Conia.dibus, ct Sphaeroidibus, sed longe aliter quam noster Auctor; Archimedes enim aliam assumit figuram, quκ froposita per omniast aequalis, o mitis, or eodem prorsus modosectam O perpstione uni semper magnitudinam aqualium, ita veri congruentia dubitari facile non posset. Verum hac ima δε-
monstratio non videtur arridere Geometris, Commetator enim
232쪽
Archimedis Fed. Commandnuo lentio illampraeterit; Rixa tus vero tuam tamquam Archimede indignam omittit, eique aliam a se excogitatam ob tuit , ut monuimus in Scholio
Prop. F. Cap. 2. LIb. huius , or eandem aliter etiam nos δε- monstravimus eodem in loco Prop.6. Pronunciamus ergo fecun-δ Caualerium hanc Prvositionem,quae tamen huius obri fundamentum quoddam esse videtur am de planis, quam de soli dis Ruris legitime non demonstrasse. Propostioni huic sequens obnectitur Scholium: Cum antecedens Propositio maximisit momenti, vim sequentibus apparebit, aliusque modus priorem part cm demonstrandi, stylo Archimedeo haud absimilis,menti succurrerit, idipsu in ne pereat in Lemmata distributum hic stibiungere placuit. Lemmata ergo, crimam intae deductam demonstrationem breuiter examinemus. Hic ergo i nuchitur Auctor iste prius contra mutuam superpositionem figurarum in genere, posterius vcro in sp cie contra adhibitam in praefata Propositione, quam etiam ex hoc capite non fuisse legitime demonstratam absolute pronuntiat. Prius igitur &ipse de superpositione in genere , posterius vero de hac speciali, discurram. Etsi ergo haec superpositio aliquibus minus arriserit, alij tamen praestantes Geometrae ipsam appcobarunt. Vnde Comman-dinus in Commentarijs in Euclidem Libro I. & ad Prop. q. sic ait. Hic demanserationis modus, qui fit per perpositio
nem figurarum. praeterquam quod aurobatur is Proclo mathematicarum sientiarum peritissimo, es etiam maximo et ui
Mathematicis. ArchImedes enim eum et urpat non luminplanis figuris, ut in Libro de centro grauitatis planorum , sed etiam in folidis , ut in Lib. de Coxotriba , or Sphaeroid ores. Hoc vero neque inficiatur ipse Riu altus, qui hic in oppositum citatur , ctenim in Scholio Propositionis et o. Lib. de Cono idibus,& Sphaeroidibus inquit. Suo . n. qui perinpsstiones illas rejciant in Geometria Quamquam alij, O viri graues admittant, Oc. QSi tamen ncquaquam eas rescitere deberet: vel enim demonstrationes, quae superpositione utuntur, putat esse certas,& infallibiles, vel non. Si primum, quemadmodum in Prolegomenis Commentariorum in Archimedcm non distinguit inta nobilitatem d
233쪽
monstrationis ostensivae, & ducentis ad absurdum, quia inquit ibi, Mathematicae disciplinae non utuntur causis rei, sed cognitionis rei quapropter post patica. verba subiungit. Uns fit ut quodcunque cognitioni fuerit magis consen taneum, Mathematicis magis conuenio: 9 A pari debcbit superpositioncm admittere tamquam certam parientem scientiam. Si vero credit secundum, erroneam ,& salsam hanc a o. Prop. pronunciare debebit, quin& eas omnes,
in quibus adhibetur circunscriptio, & inscriptio figurarum circa oblatam figuram, quae videtur esse quaedam superpositio. Idem quoque negabit Prop. q. Primi Elementorum, & consequenter eas omnes, quae ab illa pendent. Sic & noster Auctor i idem sentit, falsitatis arguet eaS Omnes, &ab cis dependentes, Lucae Valerij Propositiones
ab eo insigniter laudati in quibus & ipse superpositione
Quod si quis diceret nec Rivalium, neq; Guldinum negaturos esse dictarum Propositionem veritatem, ac certit
dinem;sed cum superpositio quid mechanicum redoleat, ut inquit ibidem Rivaltus, quadocumq; id fieri possit, melius esse ab eadem abstinere . Huic sic obi j cienti respondere possem quemadmodu Clauius Peletario sit perpositioncm damnanti respondet, inquiens . Nam nonsatis intellexisse videtur quo pacto Geometrae superpositionem illam usurpent. Nei; enim volunt rei a faciendam ess gurarνm sepe etsitionem hoc enim mechanicum quid ger2Ied cogitatione tam rum,ac mente,quodvus es rarionis,Hq. intine s. Vbi inquit illam idcirco in Theorimatibus valere, sed no in Pro blematibus,& paulo post subdit. Viderat PHetarius neq; enim rem adeo manifessam videre non poterat, hunc modum argumentandi, idest per superpositionem, e medio tollat, iniuersam se Geometriam funditus euertere O c. Quapropter mirandum est hos Auctores ob hanc rationem ab hac superpositione abhorrere,quomodo enim mechanicum quid
redolere dicemus, quod in euidetissimo hoc principio sun datur. Qi' sibi congruunt sunt aequalia λ Neq. enim quia familiaris est artificibus haec superpositio, qua congruentiam oculo, vel manu iudice agnoscunt, putandum est
234쪽
ideiri in il Ia Geometrarum superpositione contingere, in qua non alius est iudex quam intellectus, ita ut per hancilla quodam odo infici, & labefactari possit. Nunquam
enim ille assentitur duas magnitudines inuicem congrue re,nisi ex praesupposita quorumdam aeQualitate, ac mutua, εἰ obita q. supcrpositione, & subinde iploru necessaria con grtienta, iuxta aliud hoc principium, nempe. Quae sunt aequalia sibi congruunt,si apte supprponantur, ut apertissime patet in Prop. q. Primi Elem. Et quidem quid nobis apertius indicare potest squalitatem quam congruentia ξsi enim, ut inquit Aristotiles, quod est unum in lubstantia, illud est aequale in quantitate, erit satae exactissima trutina aequalitatis ipsa congruentia, cum ex duabus quantitatibus tunc fiat quodamodo una. Liceat autem mihi ad maloic dictorum confirmationem paululum circa huiusmodi doctrinam immorari . Saepe
enim meditatus sum num praefata duo Axiomata sint inu cem aliqua ratione conuerribilia, ita ut aequalitas cogrue
tiam si apte fiat superpositio & congruentia semper inferat aequalitatem. Si enim congruentia est cxactissima aequalitatis trutina,profecto id valde conueni cns esse vi-d batur. Attamen ex alia parte negotium faciebat quod plures quantitates aequales considerat Geometra, quae tamen hoc con ruentiae beneficio neutiquam potiri valent;
vi et Proclus innuit in Com. in Euclide Lib. 3. ad Prop. q. dum examinat illud Axioma . Quae sun raequalia sibi congruunt,ait enim. Hoc autem non in omnibu, verum s fedinyr, quae speciesimilia sunt. Specie autem mitia haec dico, va
recta linea νιcta lineae, circumferentia circumferι ntia circuli
eiusdem, se anguli, qui a milibus illicr iacensibus lineis comprehen sunt. Horum autem dico, quod qua aqualia data fuerint./bi inuicem congrunni. Vt crgo quid circa hoc sentiam palam faciam, dico si geometricarum legum scueritatem attendamus,rem se inc ita se haberc; at si libetiori indui. tu circa hoc vehimus philosophari, nihil praetereundum esse quod hanc conuertibilitatem at quo modo coadiuuare
possit. Quapropter si dicatur rectam periphaeriae cilculi congruere non posse, annuo &ipse stri iste loquendo, si q.
235쪽
nihil aliud superaddatur: verum accedat motus ,& illius
ope animaduertemus nos id aliqualiter obtinere posse. Nam si circuIus reuoluatur super rectam lineam , tuc agnoscet intellectus si non permanente saltem successive ab Iutam fuisse rectae ad periphaeriam congruentiam. Et hic est unus eorum modorum, quibus congruentia aliqualiter intellectui potest repraesentari,quem dicere possumus, motum simplicem. Huic succedit secundus modus,quem voco inflexionem, cum nempe concipimus alteram quantitatum aequalium Propositarum in partes,seu componentia diuidi. quae absq. separatione singillatim moueantur,& inflectantur ad con-grirentiam. Vt si recta linea quinq. palmorum inflectatur,& complectatur ambitum pentagoni aequilateri, cuius singula latera sint unius palmi. Sic veto patet quamlibet rectam cuilibet ex rectis compositae adaptari posse, illam in tot rectas diuidendo, quot erunt in hac rectae lineae. Verum si recta ex. gr. aequalis periphaeriae circuli, eidem per inst xionem sit adaptanda, tunc intelligimus illam rectam diuidendam esse in tot partes, seu in tot componentia, quae
omnem assignabilem numerum excedant; u enim illa certo quodam numero claaderent ur, cum minimae particulae illius rectae lineae congruerent periphiriae cilculi,in hac esset aliquid recti, quod esset absurdum. Tertius, & vltimus modus est,quem appello fluxionem,
scilicet cum nedum partes mouentur ad congruentiam, ut fit per inflexionem, sed etiam loco vicissim permutantur, nullo tamen spatio inter ipsa componentia interiecto si enim hoc fieret,eam fluxionem rarefactioni coniunctam dicere possemus quae partes permutandae hic pariter vel cem
to numero comprehenduntur, vel superant omnem num
Exemplum primi suppeditabit angulus cornicularis rectilineo aequalis . Ad cuius intelligentiam sit, ABC, in prima sequentium figurarum angulus rectus , in secunda obtusus,& in tertia acutus. Et super diametris aequalibus, BC, BA, semicirculi describantur, BG C, BFA. Tandem vero in tertia figura erigantur duae perpendiculares,'BE,
236쪽
ui per quam describatur quoque semicirculus, BH D. niam ergo angulus semicirculi, CBc , est aequalis angulo semicirculi,FBA,apposito communi, ABG, in prima, & s eunda figura, ct eo subtracto in tertia, componetur in illis,&in hac relinquetur, angulus rectilineus, ABC, aequalis curvilineo, seu corniculari, FBC ; quem ita rectilineo adaptabimus. In prima quidem, & ωcunda figura cum sit communis angulus mixtilineus, ABG, su fit cir superpon re angulum,FBA, ipsi,CBG, sic enim duae partes. seu duo anguli,FBA, ABG,componentes cornicularem FBG, ad congruentiam aptatae erunt, & subinde totum toti congruere dicemus. In tertia vero figura cornicularis, FBG, perre.
ωm, BE, diuiditur in angulum, FBE, & EBG, angu Ium
contactus. Sed est etiam angulus contactus, ABF , quia, AB,est, BD, perpendicularis. Ergo poterit, EBG,poni super,ABH,nempe constituta,BE,in,BA,& cadente periphς-ria,BG,super,BΗ,illique congruet. Similiter cum reliquus, FIBE, sit aequalis angulo, HΚBC, c sunt enim semicirculi anguli,FBA,ΗBD,aequales,& rectilinei, EBA,CBD, pari. ter inter se aequales,cum,EBC, ABD,sint recti, unde ablato cummuni, ABC,relinquuntur aequales ipsi,EBA ,CBD, si extendatur, BE, super, BC,periphaeria, BIF,cadet super, ΒΚΗ,vndE duo anguli,FBE,EBG, idest totus angulus codinicularis,FBG,positus erit super totum rectilineum, ABC, cui pariter congruet. Quod ut cernitur fit per fluxionem
duarum partium cornicularem componentium, quae eue se situ super rectilineum collocantur. Simile quoq. eXem
plum haberi potest in figuris rectilineis aequalibus.
237쪽
ExempIum vero secundi cerni potest ex.griin circulo, &quadrato aequalibus, ut enim sibi congruant forte infinitas numero partes fluere necesse crit, quod saltem certissimum est cum quadratum tantum per frusta rectilinea intelligemus superponi: nunquam enim compositum ex rectilineis numero finitis quod est semper retalineum congruet curvilineo,sed necesse erit fluere infinita re stilinea, ut circulus.& quadratum sibi congruant. His ergo modis aliqualiter mihi videtur in figuris ab intellectu confruentiam dictorum q. Axiomatum conuertibilitatem inspici posse, eam
tamquam exactam aequalitatis trutinam ubiq. recognosci.
Deniq. quoad superpositionem adhibitam in ipsa Prop. prima qualis sit, quomodoq.intellectui constare possit, satis
sirperius dictum est in examine Sectionis a o. & 3I. nequo enim ut inquit ipse,quod superponitur in planis sunt merae lineae, sed superficies: neq. quod superponitur in solidis sunt mera plana, sed corpora,quorum hic non officit impenetrabilitas, semus enim in materia intelligibili,in qua licet hane penetrationem concipere,sicuti eam concepit Archimedes,
ct alij, qui hac superpositione usi sunt
Proceduών ὰ Seritione 3 3. v . aiat 3 7. inclusime.
CVm in Libro Septimo meae Geometriae Propositi
nem primam superius examinatam aliter ossedissem; hoc est stylo Archimedeo,ut de illius veritate quoad figuras planas nullus Studioso relinqueretur ambigendi Iocus. hanc quoq. Auctor noster carpere voluit ἱ quapropter videat prius Lector in Exerc. a. Pag. 93. Memonstrationem Lemmatis primi, deinde examinet quid c6tra ipsu obijciat Guldinus in hac Sec. 33. Inquit enim Pag. 3 7. Sectio XXXIII. Lemma noc easdem plane patitur obiectiones, quas usa praecedens Proposetio. Mhil enim demonis
prour de superficiebus',sdia lineis tantum, se desupe cie
inter binas aquales rias intercepta, nonsimus quales e reliqri duo termini, qui una cum binis rectisparaueos per E e a ciem
238쪽
eiem uiam claudunt, semper enim maneni Hui Mos in infiniarum. Huic tamen lemmati meribitur sfiguras Has aequaliteν analogas descriptas opponamus per motum pariseia linea illius, qua dicitur bases, eo scilicet modo,quo Auctor d scribere docet parallelogramma mixtilinea in rimonstratione lemma risfecundi. Sic enim concludere potest non de lineis tantum, sed etiam desuperficiebus,quas linea describit mora; os c loco puncti, R, assumere potessariem linea curua,staduersarium a. amardam deducerer terminaes enim linea motae postse resim
quis non punctum tantum,utfit in figuris istis analogissedi, meam, se ipsa linea mota femper es in loco maioris, hoc es in perficie, sec. Vide quaeso, benigne Lector, num haec demonstratio sit de lineis tantum,& non dest perfici bus, ut Auctor putat, cum ipsum, quod hic superponitur sit superficies, similis enim est haec demonstratio es , quam affert Euclides Lib. I. Elem. ad Prop. 33. Insimul autem intelliges quam necesse sit has figuras describere per motum parallelae lineae, ut demonstratio concludat de se perficiebus , quemadmodum Auctor iste vellet, perinde ac si non sufficiat earum tradita definitio,ac suppositio quod sint figurae aequaliter analoge,
nisi actu describantur. Opponit deinde in eadem Pagina haec Lemmati secundo,quod videas in eadem Exerc. 2.Pag. 93. nempe in Sec. 34. sic inquiens. Sectio XXXIV. In demonstratione lemmatis huius pag. I linea 6 dicitur: Cuin ergo figura comprehendcns spatium, C QP D, superet ab eo comprehensam parallelogrammis,
BL, a Φ, 3 Ω, Δ M, quod non videtur verum essem erat enim trilineistantum,BCE, 2 EI, 3 IN, Δ - , hoc est userit,e rasielogrammo, Δ P med ararione probetur, aut demonstre-rurilia, vespara elogrAmma, vel trilinea aqualia esse huic parallel rammo, o P, cum dicat, hoc est parallelogrammo, Δ P, non apparet. Debet ergo demonstrari trilinea ilia Hsumpta parallelo frammo, Δ P, qualia es,vel minora.
porνo demonstratio tota i dem fre disticultatibus subiacet,
quibus V prima Pro serio. Cum enim Agura aqualiter ana toga definiantur tantum per lineas correspondentes aequales in
illis parito exsemes, nihil determinare possumus de binis
239쪽
In Gulanum. 22 Ajs lineis, in quibus praedicta lineae termisoris, quaque una cum binis parallelis figuram illam consitu M. sola enim pura
cta intellectui repνaesentantur.
Quod tigii ra comprehendens spatium, C QP D, seperet
ab co comprehensam parallelogrammis, B Z, a Φ, 3 n, o M, intelligcndum est quod superat ab eo spatio comprehensam, hoc est inscriptam, quam utiq. superat dictis parallelogrammis. Quod vero parallelogramma,BZ,a Φ,3 Ω,Δ M, aequentur parallelogrammo,ΔP, tamquam demonstratu facile, Lectoris industriae relictum est, cum penderet hoc ex Lcmmate ant. Ex eo enim patet, BZ, iquari ipsa, E &, nec
non, a &, ipsi, I bi, ac, 3 , , ipsi, N P, quia dicta parali
logramma bina iunt in eadem basi,&aequali altitudine, unde,o P, aequatur ipsis, Δ M, 3 Ω, a Φ, BZ,simul iumptis. Denique absurde hic quoque obijcit, nihil determinari posse de binis alijs lineis, quae cum parallelis figuram comstituunt, ut exsin de lineis, A DP, quae cum parallelis,AD,QP, claudunt figuram, AQPD, quia figurae aequaliter
analogae definiantur tantum per lineas correspondentes aequales: hoc enim non tollit, quin ipsae sint figurae, & vitales considerari possim, ut fit in illius lemmatis demonstratione,in qua nihil aliud de lineis ex.gr. AR, DP, opus est determinare,nisi quod sint lineae, siue rectae, siue curuat, qualiscumque earum curuitas existat. Vnde non mera
Iuncta in lineis, A , DP, sed & ipsae lineae, nulla speciei
ineae facta denerminatione quia hypothesis nulli certe alligatur) hic consideratae fuerunt. Notandum est autem indicta domonstratione bis duci rectas, ΔX , TV, ΒΚ, quod aliquis reprehendere posset. Verum sic dubitanti conside. randum propono , praefatas lineas prius supponi ductas utcumque, s ed basibus parallelogrammorum arquidistantes ; posterius vero ea lege, ut bifariam dividant parallel grammorum e regione sibi respondentium altitudines.Rurusus transit Auctor ad Lemma 3. in Sec. 3I. haec habens Pag. 3q8. Sectio XX M. Sensus huius lemmatis est feri posse, ut M.
Λι ducatur linea tangens; id quod oe nos concedimus. Possibile praeterea est inuenire verticem linea curua in figuram υ-dacta,
240쪽
2 2 2 Exercitatio Tertia.dactae, segeometrice quidem plurium taliam figurarum, de
quarum ortu, ac genes constat, non autem per eam quae in δε- monstratione citatur Propositionem Libri Primi, de qua nos in Praefatione Libri Secundi nostrorum Centroba corum. Cum ergo vertex figurae geometrice inuentus non sit, neque lineatamcnsgeometrice detur, cadit id, quod huic lemmati subnectitur Corollarium. Hinc manifeyum est quomodo ducenda sit recta linea datam curuam totam in eodem plano cumca existentem contingens,quae quidem datae rectae lineae sitae quidistans. Nihil enim manifessum est quamposibilitas. Ad haec patet responsio per iam dicta Cap. 4. ubi ostensum est possibilitatem verticis inueniendi in figuris satis esse. Est autem hoc Lemma pag. 98. eiusdem Exerc. a.&ibidem pag.99.est Lemmma 4. cui sic contradicit ibidem in
Sectio XXXV I. in demonstratione huius Lemmatis desideratur in primis ratio, o modus describendi lineam variὲ flexuosam, A N E. per motum recta, F E, qua quidem qua ratione est i usi, ct lineae, S A, femper essepost parallela, capit intellectus: quomodo autem punctum, E, HIcribat iliam, ANE,aut aliam diues-οὐ flexuosam lineam, nullis praescriptis conditionibus,intellectus non videt, maxime cum iam posita in alia curua linea, SROIF, in puncto, F, tinea, FE mota terminata. Dicitur quidem adpunctum, E, esse attendendum, ut describat tineam ENA, cum recta,AE,Auram comprehendentem , quapropositaRurAE, SP ,st aequaliter analoga iuxtὰ regulam F E. Sed quaero per quam viam incedere debeat punctam iliad. E,ut una eum, A E, quae hic proponitur recta,comprehendat figuram i , S P FR, aequaliter analogames respondeatur reducendas esse lineas, H I, P R, usque ad rectam, A E, ut imam secent in punctis , D , C, B, ex quibas inproductis abscindantur, DL, M C, B N, Vsis, HI, P R, aquatis; atque per haec puncta , L, M,N, transeundum esse puncto, E, quod mouetur, quae quidem hic pro instructio. ne necessaria danda omittuntur: Sed quis huις functo, E. Hammon rabit inter, E. O, L, inter, L, o,M, inter, M, ct N, es inti r, N, ct , Ast Si dicatur plures esse ducendas lineas rre Ibit tamen rufus eadem quaestio, semper enim mancbunt Diuitigod by Cooste