장음표시 사용
261쪽
In qua, ad Indi uisibilium utilitatem,& eneringiam amplius declarandam,Vsus eorundem in Potestatibus Cosscis, seu Algebraicis explicatur. Merea, quae subtilissimus Keplirus Geometrιι muel anda proposuit, famosa
extat duorum insignium fluvirum me-μra, qμα-eodem in Sureometria Do
horumsub nomine fuse parabolici, πbyperbolicioquia lile gignitur ea para- boti, hic mero ex hyperboti,umbabus bis inguris circa proprias bases reuolutio promulgata fuere. Huiusmodi ergo solidorum mensurae speculandae dum aliquando, i e .u
cumberem , factum eri νυι mentis ligone geometrici rami terram stodiens, ιο tbesaurum praeter omnem expectatιonem 3nciderim,maiora apud me ro pretis babitum quampry
dictorumsolidorum anxiae quaesita, . postmodum obteοιa mensura, mi equentibus apparebit tamen pro bππ-bolico ipsiui hyperbola quadraturam Iunoqueris, cum
euim praecipuetusum parabolicum animo circumuol erem,
262쪽
De usu in Potestatib. cossicis. et shac transire P. Niceronium , Perspectivae curiosis elegavit opere con*icuum, quem eum de his cerιiorem fecissem, placuit istiω dictaprogressionis,in fusi parabolici rationem Pu risiis proponere inuestigandam pVstanti Geometra DL ni de Braurand , quem prius oe ipse de facie noueram. cumque ego ad alia studia mi coactus vin amplius de bis cogitarem, en repente uteris eruditissimi P. Mersennij admoneor dictum Bearirand e mira cessisse, ab eoque eius dem Pea QMd per Niceronium iis propositorum peractam
demonstrationem insimul recipio. volui vehementer tanti ingeον mirum , quanti fuisse declarant bae ad me missa
demonstrationes,peri se . arii cum circa haec laborandν ορ- casionem praeripuisset, multo minus de bis amplius cogitaui. Denique multo transacto tempore iterum adhaec animum intendens hae occasione animadvorti doctrinam Lib. Sec. mea Geom. Ind. qua tantum circa lineas, quadrata messa ιm , adomnes potestates coscas planarum figurarum eri lavdipse. Operi ιrgo manum admouens ,sequentes Pro ps meiari, qua mihi licuit, Hudui ratione concinnare. ibus ἐν ipsius Beaurandinventa,neperirent, ac ne tuo
dignis ingenio, benigne Le ur, te fraudarem, siriliter ins
renda curam. Hac ergo omnia ιο tui commodum elabora
ta libenti animo excipe si qua clenderat, haud ita, ανι iaci, abre disposita, aequi boniis constule, ste. Hile.
263쪽
Inferis numerorum ab unitate continue proportionalium, ducto interpe duobus quibusiumq; producitur in eademserιe numerus, cuius exponeor cor flatur, simul additis exponentibus multiplι-
V Ideatur sequens Tabella,in cuius prima serie sunt numeri, P. I. 2.3.q.&c. qui dicuntur exponentes num cirorum ab unitate continue proportionalium, quos exhibet secunda series, nempe, I. a. q. 8.16. &c. Illis vero in tertia serie subscribuntur characteres, dignitatum, siue potestatum, ut vocant,Cossicarum,seu Algebraicarum,quarui. significat latus. q. quadratum. c. cubum. qq. quadrat quadratum. q c. quadratocubum, &c. Esto ergo ex. gr. quod ducamus q. in c. hoc est A. in 8. Dico fieri qc. nempe 3 a. cuius exponens s. fit simul iunctis exponcntibus a &3. ipsorum q. S c. Quoniam enim ut unitas ad alterum duisciorum numerorum, ut ad 4. ita reliquus ductus 8. est ad productum 3 a. ut patet ex elementis Arithmeticis: ideo tot proportiones aequales primae proportioni, nempC ei, quam habet I ad a. component proportionem unitaris ad 4. quot ex ijsdem componunt proportionem ipsus R. ad 3 2. nempe duF. Ostenditur autem numerus ditiarum proportionum ab unitatibus, ex quibus constant ex Ponentes numerorum dictarum proportionum, nimirum exponens I. significat inter unitatem, S a. contineri unam proportioncm , exponens a. indicat duas proportiones inter I. &' q.&sic deinceps: ergo sicuti exponens ipsius A. nempe a. superat o. exponentem vnstatis duabus unitatibus, ita exponens numeri 8. qui est 3. superabitur ab exponentepi oducti 3 a. per duas unitates. Erit ergo exponens producti ipse . qui conflatur ex a.&3. exponentibus multiplicatorum numerorum q. dc 8. Tabe
264쪽
Tabelia Potestatum Cossicarum.
HInc se in sineis res sua modo factae precipi potest . God
nem , linea posita tanqua iatere, ilia ducatur in serjam producet qua arum , ducta iv quadratum faciet culum , es viserius procedendoin potestatibus imaginariis, ductam cubum faciet quaisato adratam , sec. Sicuti quadratum quoq; ductum in cubum faciet quadratocubum. Cώ bus in quadratoquadraru faciet quadratoquadratocuta, sec.. COROLL AR IUM I
euamus omnes tineas oblataβα planae,respectu data regula: velpro eius quadrato , cubo, quadrato=uadrato, orc. eiusdemfigura omnis quadrara, vel omnes cssos, vel omnia quadratoquadrata, μα quod ductis inuicem omnitius lineis oblata figura in omnes lineas eiusdem, fient omnia illius qaadrat ad similiter omnes linea ducta in omnia quadrata facient omnes cubos: eaedemque ducta in omnes cuias facient omnia quadratoquadrata, σα Sicuti omnia quadrata ducta in omnes cubos facient omnes quadrarocubos, ut re omnes cubi ducti in omnia quadratoquadrata facient omneT quadraroquadratocubos , Ac. eiusdem oblara figura plana ressinu data
significandis victis nominibus, tantum primas titeras scribemur. Pro linea ergo, quadrato, cubo , quadratoquadra
265쪽
rarum ad O. p. alterius erunι, mi luscunque ex po- tectatibus antecedentibus ad suam potestatem con sequentem.
quam Prop. q. Lib. Secundi Geomet. Ind. que habetur quoq. in Exerc. I. of mPag. 27. ubi enim illa de so P 'lis lineis vel solidorum pla- nis proposita est,hse exten- Α Μ Editur ad o. p. Ita ut assumpta denuo illius figura, si fuerit ex gr. 't e. A M, ad e
ME, ita c. B R, ad c . R D, concludemus o. c. figurae. C A M, ad O. c. figurae, C M E, esse ut unum antecedentium ad unum consequentium, nempe utc. AM, ad C. me, vel utc. BR , ad c .RD. C O R O L L A R I V M LEX hac eliciturparallelogrammoram in eadem altitudz. ne existentium o . p. eiusdemgradus, ve o. c. velo. q. Oc regula basi. esse interse, ut basiumpotesates eis emgragus. Ut in paralleogrammis, AM, MC ,αqq. taraue egrammi, A B C
266쪽
D, a factum sub potestatibus. NE, E I, existentibas hom ogis potestatibus eiusdem gradas . Et hoc quia ut unum ad unum, ita omnia ad omma.
Parallelogrammorum in eadem , - aequalibus basuus emctentιum O. ρ. eiusdem gradus, regula basi, sunt Nahιtudines , meletu latera aequaliter basibus ιniam ra , cum ista sunt aequiangula. QVod docet Prop. Io. Lib. Sec. Geomet. Ind. ω
solis q. seu figuris similibus, hoc uniuersiliter proin nuntiat haec Prop. de o. p. Vt in praesenti schemate expositis parallelogrammis, A D , B D, in eadem basi. C D, altitudinibus, A Ο C N, vel lateribus, A C, C B, basi, C D, aeque inclinatis. Dico nedum , regula, CD, o. q. eorumdem esse vi dictas altitudines, vel latera bas , C D, aeque inclinata, sed & o. c. item O. q q. & Ο.qc. seu o. quascunque potestates eorundem parallel grammorum d sic probatur admodum quo dicta. Prop. stelisa suit. Producamur ergo, CA, CB, indefinite ad partes oppositas, ex quibus summantur quotcunque partes O Uaequales, AI,lH, nempe aequales ipsi,
C A, & B P, aequalis ipsi, B C, comple- Dire scianturque parallelogramma, A M, IK, BQ. Sunt igetur parallelogramma, C F, A M. IX, inaequalibusaltitudinibus, ac basibus, de ideo singulorum
267쪽
o. p. eiusdem gradus erunt ut basium potestates hoc ellaequales. Pari ratione ostendemus o. p. parallelogrammorum, B D, B Q, csse aequales. Altitudines autem p rallelogrammorum, CF, AM, IK, sunt aequales ipsi,
A O, & ipsorum, C E, P Q, ipsi , C N. Habemus ergo
aequemultiplices primae , & tertiae , scilicet compositum ex altitudinibus parallelogrammorum, CF, AM,IΚ,& compositum ex o. p. parallelogrammorum, C F, AM, IK, quorum illae sitnt et quemultiplices altitudinis, A O,ac o. p. parallelogrammorum, CF, AM, IK, sieup rallelogrammi, C Κ, sunt multiplices o. p. parallelogrammi, CF. Sic ostendemus compositum ex altitudinibus parallelogrammorum, BD, PE, tam multiplex esse altitudinis, C N, quam multiplex est compositum ex O. p. parallelogrammorum, BD, PE, seu parallelogrammi, P D, o. p. parallelogrammi, BD. Si autem multiplex primae , nempe agglegatum ex altitudinibus parallelogrammorum, C F, A M, I K , fuerit aequale
multiplici secundς, nempe aggregato ex altitudinibus parallelogrammorum, B D, P E, hoc est si altitudo paralici Iogrammi, C Κ . fuerit aequalismilitudini parallelogram- mi, PD, etiam multiplex tertiae erit aequale multiplici quartae, hoc est etiam o. p. parallelogrammi, C Κ, erunt aequales o. p. parallelogramini, PD, quia illae sunt ut potestates basium; si maior, maius, & si minor, minus. Ergo prima ad secundam erit ut tertia ad quartam. Hoc
est ut altitudo, A O, ad altitudinem, C N, & consequenter ut quoque, A C, ad , C B, cum liqc baii, C D, squaliter inclinantur quia tunc triangula, A O C, C N B, sunt aequiangula ) ita erunt o. p. parallelogrammi, C F, ad O. p. eiusdem gradus parallelogrammi, B D. Quae etiam verificarentur si parallelogramma, CF, B D, essentinaequalibus basibus, ut per se patet. Qu ,& Ii 1
268쪽
Exercitatio quarta. COROLLAR I V M.
nuo exponatur Schema Corialaris a. Prost ant. intelligaturque V N, θ-care utcumq. altitudinemem gr.parallelogrammorum, AM,facti. ob op xM,MD,adop. MD esse ut pol.VE, adpot. ED, - es vi factu ab op. F E , E A ad O p E A. UnGpeνmutando ,factumsub o p. x M , M ad factum sebo ρ. F E , E A , erit ut o p. M D , ad O.' D R. Sed se a sunt esse ut altitudines parallelogrammorum. MD B, seu ut latera, M E, E aeque i , K E, inclinata. Ergo ct factum sub o. p. xM D, adfactum ι oop. FE , E A, erit ut dictae altitudines, vel Iatera , M E, E B Ex sentibus tamen eiusdem gradus tam potestatibus parasiela- grammorum, K M, K B , inteme , utor, AE E , quam sol salibus i oram, DM, DB , ut , D E , intres, licet haessent diuersigradus a praeiactis.
avorumlibet ρarastelogrammorum O.' eiusdemgradus, regulis basibus, habent inter se rationem compositam ex ratione altitudinum, mel laterum aequaliter basibus inclinatorum, cum ista sunt aequiangula ex rationeparactatum basium, eiusdem gradui cum pradictis potestitibus . SIox quaecumq. parallelo.
grama, AD. FM, quorualtitudines, B V, ON, bases vero, ac regulae, C D, G M. Dico o. p. parallelo-Pramm AD,ad,o.p. paralle.
269쪽
gradus habcre rationem compositam ex ratione altitudinis , B V , ad altitudinem , O N , vel , B D, ad , OM, cum iiint aequiangula , & ex ratione potestatis, C D, adpotcstatem, G M, eiusdem gradus cum prardictis potestatibus. Haec autem rcspondet Prop. a. Lib. S cundi Geomcr. lnd. quae ad modum ipsus tali ration
probatur. Abscindat ut a, B V, versus, V, ipsa, V X, squalis ipsi, O N , & per, X , ducatur, X P, parallelata, C D , secans, B I , in , R; erit autem D R, aequalis ipsi, O M , si parallelogramina sint aequiangula, quod facile probari potest. Erit etiam parallelogrammum, PD, in eadem basi cum parallelogrammo , A D, sed in eadem altitudine cum parallelogrammo, F M. Igitur D. p. parablelogrammi, A D, ad O. p. parallelogrammi, F M, habebunt rationem compositam ex ratione o. p. parallel grammi , A D, ad O. p. eiusdem gradus parallelogramini,
seu ex ea, quam haber, B D, ad , D R, vel, O M, si parallelogramma sint aequiangula, & ex ratione o. p. parallelogrammi , P D, ad O. p. parallelogrammi, F M, idest ex ratione potestaris 3 ad potestatem , G M. Ergo o. p. parallelogrammorum, AD, F M, sunt in ratio. ne composita ex ratione altitudinum, vel laterum aequa liter basibus inclinatorum, cum sunt aequiangula, dc ex ratione potestatum basium. Qu9d,&
Paractei ramorum , quorum basium qu quηque ρο- testaui eiusdem gradus, altitudinibus ιuxta easdem bases assMoeptas, vel utersius aequaliter basibus inclinatu a reciprocantur , o. p. euydem gradus , regulia
eisdem basibus, sunt aequales. Et quorum paraltilogrammorum, regulis basibus, o. p. suns aequales, basium quoq*e parciter eiusdem gradus cum praei irs
270쪽
as Exercistis quarta altitudinibus, mel titeribus basibus aequa liter imis
REspondet haec Prop. I a. eiusdem Libri Sec. Geometilia d. sicque iuxta allius normam de quibuscunqueis potestatibus probatur. Sint parallelogramma, HX, AD, quorum basium, V X, B D , non solum quadrata ad quae sola, figurasque similes , contrahitur dicta Prop. sed quaecunque P restates eiusdem gradus, altitudinibus, R Z, C Ο, vel lateribus , R X, C D, aeque basibus inclinatis, reciprocentur. Dico o. p. parallel Ninmmotum, H X, A D, eiusdem gradus cum praedictis, esse aequales. Namo. p. ipsius, HX , ad O. p. ipsius , A D , habent rationem composi tam ex ratione, R L, ad, C Ο, vel, R X, ad , C D, cu mparallelogramma sunt aequiangula, & ex ratione potestatis , V X, ad potestatein, BD, ciusdem gradus cum praedictis, hoc est per hypothesim ex ratione, Co, ad , R Z, vel, C D, ad , R X. Duae autem hae rationes, nempe, R Z, ad , C O, &, C O, ad , R Z a vel duae, R X, a CD, & , CD, ad , R X, componunt rationem aequa inlitatis . Ergo o. p. ipsius , H X , erunt aequales o. p. ipsius, A D. Sint nunc o. p. dictorum parallelogrammorum aequales. Dico basium, V X, B D, potcstates eiu cm gradus cum praedirus, ipsis, R Z, C O, vel ipsis, R X, C D, sque basibus inclinatis, reciprocari. Etenim o. p. ipsius, H X, ad in p. ipsius, A D, cum illis dsquentur, sunt ut, BZ, ad , RZ, velut, R X ad , R X. Habet autem, R Z, ad , R Z, de foris sumpta, C O, rationem compositam ex ratione, R Z, ad , CO,& ex ratione, CO, ad, R Z. Ex his ergo componetur quoque ratio o. p. ipsius, HX, ad