장음표시 사용
281쪽
, S recta bum m inopuncto eineumquesecta sit , Τ. totius aequatur quadratis paratum , ac
Δοbu astu sub partibus. Hoc ostenditur ab EucIide Libro Secundo EIem.
Sirecta linea in uno puncto micunque secta sit , e. totiurgruatur cubis partium, ae tribus factis sub qualibαι partium, ἐν preliquae. Vel quatur cutis partism, tribus factis subrota, ly ducto partium 4nter fl-H Ee a me demonstratur Lib. Seci meae Geomet.
282쪽
subq. AB,&q. BC, aeq. factissub, CB, &c. BA, ae . fae iis sub , A B, & c. B C. Namque qq. A C, hoc stfactum sub , A C,&c. AC, quia exponentes lineae, AC, & Q A C , sunt l. & 3. qui simul iuncti faciunt q. expinnentem qq. qua ratione antelligemus aliquando CCmmu hulin. tari potestates aequatur factis sub partibus, A B, B C,&eodem c. A C. Cum vero c. AC, secetur in c. AB, c B Pej ant. C, ter factum sub , A B, & q. B C, ac ter factum sub , C
di sub c. AC, quantitate diuisa, aequabitur facto sub , A ff. huius. B,&fingulis partibus diuisae. Hoc est famam sub , A & c. A C, aequabitur facto sub , A B, & c. A B, ncmpe qq. A B, item ter facto sub , A B, & duillo ipsius , A B, in ΦB C, hoc est ter facto sub q. A B, di q. B C; insupes ter facto sub , A B, & ducto q. A B, in. B C, scilicet ter facto sub , C B, & c. B A, & semel sub , A B, & c. B C. Similiter factum sub , B C , di c. A C, aequabitur facto sub , B huius. C ,&c. DC, idestqq. B C, it m ter factost b, BC, &du cto ipsius, B c, in q. B A , hocin ter acto sub Q. Α Β,& q. B C; insulier ter facto sub , B C, ct ducto q. RC, in B A, hoc est ter facto sub , AB,&c. BC,& scines sub , BC, & e. B A. Haec vero omnia simul iuncta faciunt qq. A B, qq. B C, c. facta sub q. A B, & q. C B. q. facta sub, C B, & c. B A, ae q. facta sub , ΑΒ,&c. BC, quibus aequatur M. A C . od ,&cio ' - s C Η O L I V M. CVm ad ea, quae mihi demonstranda pro fueram non
esset necesse fracedere vltraqq. Eropterea quam relLquis potest. Urca vi soterant praetermis . VerAm tamen est quod quis voluerit per hanc viam Euesidianam procedere, di ciliorem sempere eam mendet in altioribus pol frostcr orum varietatem, μ -Itiplici Hem occurreAre m. F.-citias autem hoc obtinebit peν maltiplicationes 'AριίνMAS
283쪽
familiares, quas exhibet sequens Tabella. In ea autem peria. b. intelligimus artes data linea: nempe per a. partem, Act per b. partem , BC; quas multiplica-s in si as, Minuicem , cuti re hinc facta iterumper a. b. multiplicarifuponimus, orsic deinceps in infinitum,in qua pariter trium e cedentium Propositionum veritas anaret.
Si recta linea bifariam, ον non bifaria ecta fuerit,
284쪽
De U. Indiuisibiloum in Tolenisi . sescii. a 6s. P RO POSITIO XVII. Si recta linea bifariam , bifariam ficta fueri3,
bι inaequalium partium aequantur Σ. c. μι e
monltro. Sit recta , Λ C, diuisa bifariam in , D, & non bifariam in , B. Dico c. A B, cum c. B C, aequari a. c. AD , & 6. factis sub , Α D, & q. D B. Etenim c. A B equatvrc. AD, e. DB, &3. factissub, Λ D,&q. DB, una cum 3. sub , BD , & q. D A. Sed 3. facta sub , Λ D, vel, C D,& q-D B, aequantur 3. factissub, C B, & q. B D,& 3. α B D. Similiter 3. facta sub , B D, & q. D A, vel q. D C, aequantur 3. factis sub . B D . q. D B, idest 3. c. DB; item 3. factissub, DB, & q. BC, &3.nib, D B, &a. rectangulis, DBC , idest , 6. sub , DB, dc rectangulo, DBC, nempe 6. sub , CB,&q. B D. Vnde colligendo Partes c. A B, inueniemus ipsum aequari 9. factis sub, CB, ct q. B D, 3. sub , D B, & q. B C, 7. c. D B, & vni c. AD. Simul autem iungendo unum c. DB, cum c. BC, in principio habito,cum 3. sectis sub , D B, & q. B C, & cum 3. factis sub, CB.& q.BD,fit c. DC,vel c. D A, & remanentis. e. DB, &6. facta sub , CB,&q. BD, quae componunt 6.facta sub , C D, vcl, A D, & q. D B, & prius habebamus e. A D. Ergo c. A B, cum c. B C, aequatur, a. G
I4. huius x. huius. a. hulus. 4.huius a. huius.
285쪽
Si recta liuea bifariam, bifariam secta furisqq.
demse Bonibus intem M. It pariter recta, A C, bifariam
uentur ex his qq. A D, & qq. D B, ac reliqua examinentur. Sunt ergo 6. facta subq. AD, hoc est subq. DC, &sub q. D B, aequalia 6. factis siub q. D B, & sub eodem φD B, hoc est 6. qq. D B; item 6. faetis sub q. DB, & q. BC. Bect factis subq. DB ,& suba .rectangulis, DBC, nempera. Det is sub q. D B, & ree angulo, D B C, idest Ia.factis i. huius. sub , CB,& DB. Et . facta sub, AD, vel, CD,&e. DB, aequantur 4. factis sub , C B, & c. B D, re q. factis sub , Dx. huius. B,&c. DB, hoc est . qq. DB. Insuper facta sub , BD, 3 4 ui & c. D A, vel c. D C, aequantur . factis sub , B D, & e. DB, linc est . qq. DB,&4. Distissub, BD,&c. BC; item q. faetissub, DB,&ducto ipsius, DB, in 3. q. BC, scit cet ra. factis sub q. D B, & q. B C, & q. factis sub, B D, ducto I. q. DB, in, B C, id est i a. factis sub , CB,& sub c.BD. Collectis ergo partibus qq. ΑΒ , &seiunctis , quae sunt eiusdem generis, inueniemus ipsum resolvi in seruarum qq. A D, in I s. qq. D B. in 18. facta sub q. D B, & q. BC, in q. facta sub, D B, & c. B C, ac in a8. facta sub , C B, in
286쪽
in c. BD, quibus iungendum est unum qq. BC. Ni ne ergo secernan his unum qq. A D, seruatum, ac 2. qq. DB. Cum vero haec sint Is.lcmanchunt L3.qq. DB. Videamus ergo qlia I iter ex residuis componantur via Lm qq. A
HAs autem AEquationes transferari quoque posse adst. ν q. Rum cuiuscunque, iuxta datam regulam, in q- o. I. bifariam , non bifariam fecta /nt, τι se eas, qua in proximis q. Propstionibus constri raraefuerunt, a mitra gurae datae pote τυ pariter extendi, pater 'r Propos Iz fmperiorem.
287쪽
Si in quocunque parallelogrammo ducatur diameter. basi que flumatur pro regula: omnes huea paralliberaωmi dupla erunt om-
mam linearum euiusuis ifactorum tria gulorum
P Aret haec perdicta in Prop. I . Lib. Sec. Geom. Ind.
quae habetur in Exerc. I. Pag. 3s. Cum enim ibi oste- datur circa illius Schema quod hic denuo exhibetuo o. I. triangulorum, A C F, F C D, regula, C D, inter se adaequari,ideo, componendo, in I. utriusque trianguli, hoc est o. l. parallelogrammi, AD, duplae erunt O. l. cuiusuis triangulorum, ACF, FCD. Quod, c.
Is eodem Schemite , regula eadem: omnia quadrata paratulogramini, Amtripla erunt omnia um quadratorum cuiusuis dicto- ιrum irrangulorum, Ac
AEc ostenditur In Prp. 24. Lib. sec. Geomet. Ind. quae habetur in Exerc. I. Pag. IO.
288쪽
In eodem Schemate, reguti eadem: omnes cubipara ialelogrammι, MD, quadrupis erum omnium cuborum cuiusuis dictorum triangulo-
D, aequantur O. c. triangulorum, '
trianguli, FDC, & sub o. q. trian- C o guli, F C D, una cum 3. factis sub o. l. trianguli, FDC, ct sub o. q. trianguli, A C F . Sunt autem o. c. A D, hoc est factum sub O. l. A D, α subp. q. AD, ad factum sub ijsidem O. l. Λ D , & sub o. q. tria nouli; IJ D C , ut o. q. parallelogramnat, A D , ad O. q. trianguli, F D quia . communis est altitudo, ncmpco . I. A D, hoc est in ra-
tione tripla. o. c. ergo, A D, tripli erunt facti sub o. i. AD, & si ib o. q. FDC, trianguli: & hoc aequatur facto sub o. l. trianguli, F AC,&subo. q. trianguli, FDC, a. huius. una cum facto sida o. I. trianguli, F D C ,& liab o. q. eiusdem trianguli, I DC, hoc est unacu in o. c. trianguli, F DC. Ergo o. c. AD, tripli erunt o. c. anguli, FDC, &facti sub O. l. triangu Ii, A C F,& sub o. q. trianguli, FDC. Quaproptcr resoluendo o.c. A D, in suas partes; erunto. c. A C F. o. c. F C D, I facta sub O. l. trianguli, A , γε huius
di sub o. q. F C D, una cum 3. factis sub o. I trianguli, F 2D C, & sub o. q. trianguli, A C F. tripli o. c. F c D, simul cum facto sub o. l. trianguli, A C F, & sub.G q.trianguli, F D C. Sed& 3. facta subo. l. trianguli, A CF, &siab o. q. trianguli, F C D, sunt tripla unius istorum facto rum. Ergo & reliquum reliqui triplum erit. N cmpe o. c. Mm 4 ACF,
289쪽
ACF, o. e. FCD,&3. facta subo. l. trianguli FCD,&sub o. q. trianguli, F A C, simul, tripli erunt o. c. trianis guli, F C D. Sunt vero o. e. trianguli, A C F, cum O. trianguli, F C D , dupli o. e. trianguli, F C D, ergo residuum, scilicet 3. facta sub o. l. trianguli, F C D, & sub o. q. trianguli, Α C F, aequalia erunt o. c. trianguli, F C D. Quapropter 3. facta sub o. l. trianguli, F A C, & sub o. q. trianguli, F C D, una cum 3. factis sub o. l. trianguli, FCD,&subo. q. trianguli, FAC, &cum O. c. triangu lorum, F Α C, F D C, hoc est o. c. pa ra lielogrammi, A D, quadrupli erunt o. c. trisnguli, F CD, vel trianguli, FAC. Cum enim factum sub o. i. A C F, & o. q. F C D, aequetur facto sub G. l. F C D, & o. q. A C F, propter aequalitatem coalterne respondentium linearum , & quadratorum in ipsis triangulis, F A C. FCD, ideo 3. facta sub , O. l. ACF, & o. q. FCD, 3. factis sub o. l. F C D, & o. q. F AC, adaequantur. Vnde patet,&c Quod,&G
Similiter is quocunque parallelogrammo ductatro, ac regula basir omnia quadratoquadrata para lelogrammi quintupla sunt omnium quadratoquadratorum cum uis triangulorumper imam diametrum
SIt parallelogrammum, BD, in eoque ducta diam
ter, A C, & regula, C D. Dico o. qq. B D, esse quintupla o. qq. trianguli , Λ CD, vel, ABC. In hac autem methodum sequar Propositionis et . Lib.Sec. Geom. Inc' quae est in Exerc. I. Pag. yo. Quoniam vero illa utitur Prop. a a. eiusdem, ideo, & in hac eandem Prop. 22. adhubcbimus, sed quatenus illa quoque deo. p. verificatur,&subinde de o. qq. Hoc enim facile ostendetur, si in eadem. Prop.
290쪽
Prop. a a. quae habetur in Exerc. I. pag. 6o. ubicunq; assumuntur O. q. substituantur O. p. & vniuersaliter patefiat in illius Schemate excessum O. p. figurae cim cumscriptae triangulo, O E S, super o. p. inscriptae, aequari o. p. subintellige o. p. eiusdem gradus cum tota hac Prop. parallelogrammi D S, regula, E S.
Namq; O. p. LP, vel, C Q, cum cxcessu Ο. p. G Q, super Cor. LD-p. Gin faciunto. p. G Q, vel, IR: & haec cum excessi. Di ui o. p. F R, iti per easdem, faciunt o. p. F R, vel , H S: ac doniq; O. p. HS , cum excessu o. p. DS, super o. p. HS, faciunt o. p. D S. Caetera vero omnia pendent ex superior,bus Prop. quas facile in dicta demonseratione, O. p. applicata, studiosus animaduertet.
Hoc supposito ut ad hanc dcmonstrandam procedamus bifariam secabimus diametrum, A C, in , G , & per, C, ducemus ipsis, C D, D A, parallelas, A F, quidum ipsi, C D, &, M N ipsi, A me alii quamcunq; o R. cidem C D, aequi distantem, secantemq; MN, AC, in pumictis, P, Q . Erit ergo, OR , bifariam secta in , P, di non
bifariam in , : & cadem ratione o. i. parallelogrammi, BD, erunt bifariam sectae per lineam, lul N , di non bis riam per, A C. Quapropter o. qq. ti iangulorum, A B C, ADC, aequabuntur o. qq. BN, ct triangulorum, AMG, i 8.huius. C NC, bis una cum I a. sectis sub o. q. BN,&sub o. q. cst Cori triangulorum, A M G, G C N: unde dimidium dimidio aequabitur, hoc est o. qq. trianguli, ADC, tantum, a quabuntur o. qq. BN, & triangulorum, AMG, C C, semel tantum, una cum 6. factis sub οὐ q. BN, S sub o. q. eorundem triangulorum, A M G. G N C. Quoniam vero' parallelogramma, B D, M F, sunt similia, adeo o. qq. BD, ad O. qq. N F, habebunt rationem multiplicem rationis et. hu is laterum homologorum, CD, G F, qua est ut a. ad I. ut est multiplex unitatis, numerus inponentis qq. qui unitate auctus,ncmpe T. Si eigo fiat vi I. ad a. ita a. M m a au