장음표시 사용
291쪽
ad 4. q. ad 8. 8. ad I 6. & I6. ad 3 a. quintam proportio natim ipsorum I. & a. conuertendo, o. qq. BD, ad O. qq. MF , erunt ut 3 a. ad I. Et quia o. qq. parallelogrammo
rum, B A, M F, ad O. qq. triangulorum, A C D, A G F, habent eandem rationem, per suppolitam Pi op. a 2. Lib. Sec. Geo. Ind. applicatam o. p. ideo permutando, & O. qq.
trianguli, A C D, ad O. qq. trianguli, A G F, crunt ut 3 a. ad I , ut Ctiam ad O. qq. trianguli, A MG : unde eadcino. qq. trianguli, A C D, ad O. qq. triangulorum, A M G,
G C N, erunt ut 3 a. ad a. seu vi I 6. ad I. Verum O. qq. A CD, aequantur o. qq. BN,& o. qq.' - triangulorum, AMG, GNC, una cum 6. factis sub O. q. BN, dc subo-q- eorundem triangulorum, AMG, GNC, Vt probatum est: ergo haec ad o. qq. triangulorum, AM GCN, erunt vi I 6. ad I. Et diuidendo, P. qq. BN, una
a u. huius sic probatur. Nam o. q. BG, tripla lunt o. q. trianyuli, AMG,&o. q. EN, tripla o. q. GCN, unde o. q. BN,
tripla sunt o. q. A M G, C N C, ergoad horum sex cuplum erunt ut 3. ad 6. hoc est vi I. ad a. Et quia probatum est. - Dcium sub o. q. BN, & sub o. q. BD, ad facium sub o. q. B N, & sub o. q. BN, quod est o. qq. BN, esse vi q. ad I. Ergo ex aequali factum subo. q. B N, & sub o. q. B D, ad 6 facta sub o. q. BN,&Qb o. q. AMG, GN C, crit vi q. ad a. Collagendo igitur consequentia, factum sub o. q. BN,&subo. q. BD, ad iactum sub o. q. BN,& labo. q.
292쪽
o. qq. trianguli, A CD, quae ex dictis consequentibus componuntur, ut superius probatum est, erit vi 2 o. ad I 6. . Deniq; cum q. DC, sit quadruplum q. CN, et ianu. o. q. BD, quadrupla erunt O. q. BN. Vt vero o. q. BD, Cor. r. ado. q. BN, ita uimptis velut communi altitudineo. q. 3. huius.
B D, factum sub o. q. B D, & o. q. B D, ad factum sub Cos. i. o. q. BD, &subo. q. BN. Ergo factum sub O. q. B D,& Dd ilius. O. q. B D, hoc est o. qq. B D, erit ad factum sub o. q. BD.&O. q. BN, ut 8 o. ad 2 o. Factum vero sub o. q. BD,&sub O. q. BN, ad O. qq. trianguli, A C D, ostensum esse vi 2 O. ad I 6. Ergo O. qq. BD, ad O. qq. trianguli, A C D, vel, ABC, erunt ut 8 o. ad 16. hoc est ut 3. ad I. nempe quintupla. Quod ostendendum erat.
EX dictis in principio si perioris demonstrinionis eisca
Prop. 22. Lrb. Sec. Geo. Inae. O.'- Elicatam , asset quorumcunq; parallelogrammorum O. p. ad O. p. triangulorum . quae a diametris constituunIur, et dem tamcngradus,
esse in eadem , atrone. Et consequenter palci istas esse in emdem ratione ad O. p. eiusdem gradus quorumcunq; tyrangu-ὶorum in eadem , vel aequalibus basbus se altitudine cantas illis exsentium . regulis basbus. Nam ob duobus cuius .cunqurianguli lateribus sto est compleri parallel rammum, ut data ιν angulasint consuuta a diametro . Muaproptero. p. daterum triangstorum se habe bant interse, ut o. p. ci cu criptorum parallelogrammorum,se subinde τι o 8. qu γ mcunq; parallelogrammorum in Urim , vel aqualibus ba-pibus, e actimq; altitudine existentium.
COROLLARIUM II. I. π N per ex praecedenti Corollario intelligimus quaecunq. A o. p. laratalogrammorum Osed a funt, emiam
293쪽
quoque verisscari circa o. p. triangulorum eam illis in aquali altitudιne existentium, regulis i dem. a. Igitur in illis o. p. regulis basebus, erunt eis potest. basium, ei dem gradus. Immo or facta sub o. p. datorum, aquialtorum triangulorum, erunt inters v asta sub potes basium , ut in Cor. I. ct a. Prop. 3. dicebatur deo. p. paralleis
Similitere eadem, vel aquatibus bossus, O regulis exi- sentium triangulorum o p. eiusdem gradus erunt ut altitudiis Aes. vel vi latera aequaliter basibus inclinata , stalia Ant. Immo, ct factasub O.p. triangulorum in eadem, vel aquai bus basibus existentium, regala basi, vel ba bus, erunt ut aiatitudines ,seu ut dicta latera, orc. in Cor. Prop. q. die satur circa parallelogramma. q. aesarumlibet quoque triangulorum, regulis basibus, o. p. eiusdem gradus habebunt inter se rationem compositam ex ratione altitudinum , vel laterum aequaliter basibus inclina-rorum , ex ratione potes. basium, eiusdem gradus cumρυ-
F. Triangulorum, regHisbosius, quoσumi arum basium: potes. eiusdem fradus , altuώdinibus , vel lateribus aequali tre basibus inclinatis, νeciprocantur o. p. eiusdem gradus, erunt aequales. Et quorum O. p. erunt aquales, basium quoq. potest eiu em V us cum praediatis altitiainuus, vel laseribus aque bos as inclinatis, reci rocabuntur. 6. Similium triangulorum O. p. regulis homologis lateribus , erunt in ratione multiplici rationis laterum homologorum , ut erat unitatis multFlex, numerus extonentispotes. assumpta, unitate auctus.7. Cuiuscunque trianguli o. f. regula quocunque latere , ado p eiusdem, eiusdemquegradus, regula altero reliquorum laterum, erunt ut potest. I. regula ad potes. Secunda
Existentιbus ambabus hisce potest. eiusdem gradus inter se, at i uis diate inferioris gradu assumptae in triangulo sole
294쪽
In quocunque paraltilogrammo, mi, BD, reguti basi, , sietatur ipsi, CD, quacunque parallela, E F, s ducatur diameter , A quam ista secet in , σι erit ι, DA, ad, AF, ita, CD, mel, EF, ad, FG. ' Dicatur aurem, Ac, diagonalis prima. Rursus eis q. DA, adq. AF, ιtafiat, EF, AD, FH, sta biquefieri intelligitur in parallelia ipsi, cD, ita ι omnes homologae ipsi, H F, ter
minentur ad curuam, Abic. Pariter ite. DA, adc. AF,
ad qq. a F, ita sit, EF, ad , FL, , sic in caeteris,defcripta curua,c LM. modσ in reliquispois. si ri μυρ-
poni potest. Dicatur autem , c H in , diagonaus a. cI A, diagonalis 3. CLA, diagonaus q. es c. Simit, ter triangulum , AG CD, qvocetur I. spatium diagonalium parastelogrammi , B VI, trilineum , AH CD,
a. spatium, A I C CD, tertium , AL D, q. coergo parallelogrammum, BD, duplum esse ρrimi spatij, triplum Iecuni, quadruplum 3. quintuplum
Vod enim parallelogrammum , B D duplum sit I. spatij, A C D, patet quia per Prop. I9. O. l. B D, duplae
295쪽
familiares, quas exhibet sequens Tasella. In ea autemper, a. b. intelligimus partes data linea: nempe per a. partem, AR, se per b. partem , BC; quas multiplicamus infimas, adinvicem sicuti , hinc facta iterumper a. b. multiplicaris nonimus, o sic deinceps in infinitum n qua pariter triumer cedentium Propo ιionum veritas anaret.
Si recta linea bifariam , , non bifaria ecta fuerit,
v quadrata sataequaliumpartium aquantur a. r.
AEe ostenditur Libro Secundo Element. Proposi-LL tionem
296쪽
Si recta liuea bifariam , te non bifariam fuerit,
A raraequalium partium aequantur a. c. μιdue
monstro. Sit recta , Λ C, diuisa bifai iam in , D, & non bifariam i n, B. Dico c. A B, cum c. B C , aequari a. c. AD , & 6. factis sub ,ΑD,&q. DB. Etenim c. Α Β qqu tur c. A D, e. D B, & 3. factis sub , AD,&q. DB, una cum 3. sub , BD, & q. D A. Sed 3. facta sub , Λ D, vel, CD,& q. DB, aequantur 3. D ctis sub , CB, &q. BD, & 3. α B D. Similiter 3. facta sub , B D, & q. D A, vel q. D C , aequantur 3. factis sub , B D . q. D B, idest 3. c. DB; item 3. factis sub , DB, ct q. BC, &J.nib, DB, &a. rectangulis, DBC, idest , 6. sub , DB, &rectangulo, D B C, nempe 6. sub , C B, & q. B D. Vnde colligendo partes c. Λ B, inueniemus ipsum aequari y. factis sub, C B, & q. B D, 3. sub , D B, & q. B C, 7. c. D B, & vni c. ΛD. Simul autem iungendo unum c. DB, cum c. BC, in principio habito,cum 3. factis sub , D B,& q. B C, & cum 3. factis sub, CB.& q.BD,fit c. DC,vel c. D A, & remanent s. c. D B, & 6. facta sub , C B, & q. B D, quae componunt 6. facta sub , CD, vcl, AD ,&q. DB,& prius habebamus c. A D. Ergo c. A B, cum c. B C, aequatur, a. c, AD,cum O. factis sub , AD, & q. DB. quod, &c.
297쪽
Si recta liuea bifariam, ιν non bifariam flecta fueris que
s .huius a. huius. II.huius 2. huius. h. huius. 4 ciuius
It pariter recta, AC, bifariam
sub q. D B, aequalia 6. faciis sub q. D B, & sub eodem φD B, hoc est 6. qq. D B; item s. factis sub q. DB, & q. BC,& 6. factis sub q. D B , & sub a. rectangu lis, O B C, nempera. factis sub q. D B, & rectangulo, D B C, idest ra .factissub, C B, & c. D B. Et 4. facta sub, A D, vel, CD,& e. DB. aequantur Α. factis sub , C B, & e. B D, & . factis sub , DB,&c. DB, hoc est . qq. DB. Insuper facta sub , BD,& c. D A, vel c. D C, aequantur . factis sub , B D, & c. DB, hoc est q. qq. DB,& .fi ctissub, BD,&c. BC; item q. factis seb, DB,&ducto ipsius, DB, in 3. q. BC, scit cet I a. factis sub q. D B, & q. B C , & q. factis iub, B D, deductos q. D B, in, B C, id est i a. factis sub , CB,& sub c.BD. Collectis ergo partibus qq. ΑΒ , &seiunctis , quα sunt eiusdem genesis, imientemus ipsem resolpi in serua-rmn qq. A D, in I s. qq. D B. in I 8. facta sub q. D B, & q. BC, in q. facta sub, D B, & c. B C, ac in a8. facta sub , C B, in
298쪽
in c. BD, quibus iungendum est unum qq. BC. dit. ne ergos ccernan .ils v num qq. A D, seruatum, ac 2. qq. DB. Cum vero haec sint Is . remanchunt Id. qq. DB. Videamus ergo qualitcr ex rcsiduis componantur via Lm qq. A
q. Agum cuiuscunque, juxta datam regulam, in quao. L bifariam , se non bifariam secta snt, ηυι-eas, qua in proximis q. Propstiombus constri ras urunt, a mitis gura data potestates particν extendi, paret 'r Propos. Ia δε-
299쪽
Ain quocunque parallelogrammo ducatur diameter ἰbasi que flumatur pro reguia: omnes linea parasielogrammi dupla erunt om-
mam tinearum cui suis ifactorum tria gulorum. PAret haec perdicta in Prop. Ist. Lib. See. Geom. Ind. quae habetur in Exerc. I. Pag. 3s. Cum enim ibi oste- datur circa illius Schema quod hic denuo exhibetur o. l. triangulorum, A C F, F C D, regula, C D, inter se adaequari,ideo, componendo , o. I. utriusque trianguli, hoc est o. l. parallelogrammi, AD, duplae erunt o. i. cuiusuis triangulorum , ACF, F C D. Quod, dcc.
In eodem Schemate, ruuia eadem: omnia quadrata parasielogrammi, AD, tripla erunt omnμum quadratorum cuiusuis dicto- ιrum trιangulorum, A C
AEc ostenditur in Prp. 24. Lib. sec. Geomet. Ind. quae habetur in Exerc. I. Pag. IO.
300쪽
In eodem Schemate, regula eadem: omnes cubi paratilelogrammι , MD, quadrupis erunt omnium rcuborum cuiusuis dictorum trrangulo- , ram, Ac F, F c D. ,
ETenimo. e. parallelogrammi, Α Α F
D, aequantur O. c. triangulorum, '
trianguli, FDC, & sub o. q. trian- C o guli, FC D, una cuin 3. factis sub o. l. trianguli, FDC, ct subo. q. trianguli, A C F . Sunt autem O. c. A D, hoc est factum sub O. l. A D. de sub o. q. AD, ad factum sub ijsdem O. l. A D. & sub o. q. trianguli . F D C , ut o. q. parallelogrammi, A D , ad O. q. trianguli, F D quia communis cst altitudo, ncmpco. l. A D, hoc est in ratione tripla. o. c. ergo, A D, tripli crunt facti sub o. i. AD , & sub o. q. F D C , trianguli: & hoc aequatur facto sub O. l. trianguli, FAC, &subo. q. trianguli, FDC, una cum fatuo simo. I. trianguli, FDC,&siabo. q. eius. dem trianguli, FDC, hoc est una cum O. ci trianguli, F DC. Ergo o. c. A D, tripli erunt o. c. tr anguli, F D C, &facti sub o. l. trianguli, A C F, & sub o. q. trianguli, F DC. Quapropterri soluendo .c. A D, insitas partes; erunt O. c. ACF. o. c. FCD, 3. facta subo. l. trianguli, A , di sub o. q. FC D. una cum 3. factis sub o. l. trianguli, FD C. & sub o. q. trianguli, A C F. tripli o. c. F C D, simul cum facto sub o. t.bianguli, A C F, & sub.α q.trianguli, FD C. Sed& 3. facta subo. l. trianguli, A CF,&sub o. q. trianguli, F C D, sunt tripla unius inorum facto rum . Ergo & reliquum reliqui triplum erit. N cmpe o. c. Mm c ACF,