장음표시 사용
301쪽
ACF, o. e. FCD,&3. facta subo. l. trianguli FCD,&sub o. q. trianguli, F A C, simul , tripli erunt O. c. trianis guli, F C D. Sunt vero o. e. trianguli, A C F, cum O. c. trianguli, F C D, dupli o. e. trianguli, F C D, ergo residuum, scilicet 3. facta sub o. l. trianguli, F C D, & sub o. q. triangula, AC F, aequalia crunt o. c. trianguli, FCD. Quapropter 3. facta subo. l. trianguli, FAC,& sub O. q. trianguli, FCD, una cum 3. factis sub o. l. trianguli, FCD,&subo. q. trianguli, FAC, &cum o. c. triangulorum. F A C, F DC, hoc est o. e. parallelogrammi, A D, quadrupli erunt o. c. trisnguli, F CD, veI trianguli, FAC. Cum enim factum sub o. i. A C F, di o. q. F C D, aequetur facto sub G. l. F C D,&o. q. ACF, propter aequalitatem coalterne respondentium linearum , & quadratorum in ipsis triangulis. FAC, FCD, ideo 3. facta sub , O. l. ACD, & o. q. F C D, 3 factis sub o. l. F C D, & o. q. F Λ Radaequantur. Vnde patet,&c. Quod,&G
Similiter is quocunque parallelogrammo ducta diam tro, ac regula basi et omnia quadratoquadrata para lelogrammi quintupti sunt omnium quadrato' dratorum cum triangulorum per imam diametrum
SIt parallelogrammum, BD, in eoque ducta diameisi er, A C, & regula, C D. Dico o. qq. B D, esse quin-rupla o. qq. trianguli , Λ CD, vel, ABC. In hac autem mcthodum sequar Propositionis et . Lib. Sec. Geom. Ind. quae est in Exerc. I. Pag. yo. Quoniam vero illa utitur Prop. a a. eiusdem, ideo, & in hac eandem Prop. a a. adhibebimus, sed quatenus illa quoque deo. p. verificatur,&ιubinde de o. qq. Hoc enim facile ostendetur, si in eadem. Prop.
302쪽
pmp. a a. quae habetur in Exerc. I. pag. 6 . ubicunq; assumunturo. q. substituantur o. p. & vniuersaliter patefiat in illius Schemate excessum o. p. figurae cim
cumscriptae triangulo, o E S, super O. p. inscriptae, aequari Ο. p. subintellige o. p. eiusdem gradus cum tota hac Prop. paral-Ielogrammi D S, regula, E S.
Namq; o. p. LP, vel, C ci cum cxcessu O. p. Cor. I. o. p. G faciunto. p. G Q, vel, IR : &haec cum excessi. 3- tu o. p. F R, iti per easdem, faciunt o. p. F Η, vel , Η S: ac doniq; O. p. HS , cum excessu O. p. DS, super o. p. HS , is ciunt O. p. D S. Caetera vero omnia pendent ex superior bus Prop. quas facile in dicta demonstratione, o. p. applicata, studiosus animaduertet.
Hoc supposito ut ad hanc dcmonstrandam procedamus bifariam secabimus diametrum, A C, in , G , & per, G, ducemus ipsis, C D, D A, parallelas, A F, quidum ipsi, CD,&,M N , ipsi, AD, de aliam quamcunq; PR, uidem C D, aequi distantem, secantemq; MN, AC, in pum ctis, P, Q. Erit Ogo, OR , bifariam secta in , P, & non bifariam in , Q r & cadem ratione o. i. parallelograre mi, BD, crunt bifariam sectae per lineam, Al N , di non bis ria in per, A C. Quapropter o. qq. triangulorum, ABC, AD C. aequabunturo. qq. BN,& triangulorum, AMG, i s. uti C N C, bis una cum II. factis sub o. q. B N,& sub o. q. triangulorum, A M G, G C Nr unde dimidium dimidio aequabitur, hoc est o. qq. trianguli, ADC, tantum, aequa-hilnturo. qq. BN, & triangulorum, AMG, C C, si mel
tantum, una cum 6. factis sub o. q. BN, S sub o. q. eorundem triangulorum, A M C. G N C. Quoniam vero' parallelogramma, B D, M F, sunt similia, ideo o. qq. BD,
ad O. qq. M F, habebunt rationem multiplicem rationis et. laterum homologorum, C D, G F, quae est ut a. ad I. ut est multiplex varitatis, numerus exponentis qq. quidi unitate auctus,ncmpe y. Si ergo fiat vi I. ad a. ita a. Mm a ad
303쪽
ad 4. q. ad 8. 8. ad I 6. & I6. ad 3 a. quintam proportio natent ipsorum I. & a. conuertendo, o. qq. BD, ad O. qq. MF, erunt ut 3 a. ad I. Et quia o. qq. parallelogrammo rum, B A, M F, ad O. qq. triangulorum, A C D, A G F, habent eandem rationem, per suppolitam Piop. aa. Lib.Sec. Geo. Ind. applicatam o. p. ideo permutando, & O. qq. trianguli, A C D, ad O. qq. trianguli, A G F, crunt ut 3 a. ad I , ut Ctiam ad O. qq. trianguli, A MG : unde ea dcmo. qq. trianguli, A C D, ad o. qq. triangulorum. A M G, GC N, erunt ut 3 a. ad a. seu ut IS ad I. Vcrum O. qq. A CD, aequantur O. qq. BN,& O. qq. . triangulorum, AMG, GNC, una cum 6. factis su b o. q. BN,& subo q. eorundcm triangulorum, AMG, GNC, Vt probatum est: ergo haec ad o. qq. triangulorum, AM GCN, erunt vi I 6. ad I. Et diuidendo, o. qq. BN, Vna cum c. factis sub o. q. BN, & sub o. q. A M G, G N C, ad O. qq. AM G , GCN, crunt vi I s. ad I. Est vero factum subo. q. BN, dc stabo. q. B D, ad factum ibo. q. BN, & δ' - μδ' sub eisdem O. q. BN, hoc est ado. qq. BN, ut O.q-s Osado. q. B N, idest vi q. D C, ad q. C N, nempe vi q. ad Ir& factum sib o. q. BN,& sub o. q. BN, ad 6. facta subo. qiBNa&sub o. q. AMG, GCN, est ut o. q. BN, ad 'μμημ' cupiunt o. q. AMG, GCN, hoc hi vi I. ad a, quod o. huius sie probatur. Nam o. q. BG, tripla sint o. q. trian puli, AMG,&o. q. EN, tripla o. q. GCN, unde D. q. BN, tripla simi o. q. A M G, G N C, ergoad horum sex cuplum . . ci erunt ut 3. ad 6. hoc est vi I. ad a. Et quia probatum est
factum sub o. q. BN,&sub o. q. BD, ad facium subo. q. B N, & sub o. q. BN, quod est o. qq. BN, esse vi q. ad I. Ergo ex aequali factum sub o. q. B N, & sub o. q. B D, ad 6. facta sub o. q. BN,&sub o. q. AMG, GN C, crit vi q. ad a. Colligendo igitur consequentia, factum sub O. q. B N, & Iub o. q. B D, ad factum stib o. q. B N, & sub o. q. BN, una cum 6. factis sub o. q. BN,& sub o. q. AMG,
sum est idem factum sub o. q. B N, & o. q. B N, id est O. qq. B N, cum f. factis sub o. q. BN, & sub O. q. AMG, GCN, ad O. qq. A M G, G C N, esse via I. ad a. Ergo denuo col-
304쪽
ligendo haec consequentia, factum sub o. q. B N, & subo. q. B D, ad O. qq. B N, ad O. qq. A M G, G C N,& ad 6. facta sub o. q. B N, & sub o. q. A M G, G C N, idcst ado. qq. trianguli, A CD, quae ex dictis consequentibus componuntur, ut superius probatum est, erit ut a o. ad I 6. ιDeniq; cum q. D C, sit quadruplum q. C N, etiam . o. q. B D, quadrupla erunt O. q. B N. Vt vero o. q. BD, Cor. t. ado. q. B N, ita sumptis velut communi altitudine o. q. 3.huius. B D, factum sub o. q. B D, & o. q. B D, ad factum sub Cos. i. o. q. BD, &subo. q. BN. Ergo factum sub O. q. BD,& i id ilius. O. q. B D, hoc est o. qq. B D, erit ad lactum sub o. q. BD.&Ο. q. BN, ut 8 o. ad Io. Factum vero sub o. q. BD,&subo. q. BN, ad O. qq. trianguli, A C D, ostensum esse via O. ad I 6. Ergo o. qq. BD, ad O. qq. trianguli, A C D, vel, A B C, erunt ut 8 o. ad I 6. hoc est ut F. ad I. nempe quintupla. Quod ostendendum erat . .
EX duris in principio operioris demonstrationis cisca
Prop. 22. Lib. Sec. Geo. Inae. --nticinam ,pager quorumcunq, parallelogrammorum O. p. ad O. P. triangulo. rum . quae a Hametris constituuntur . eiusdem tamcn gradus,
esse in eadem basione. Et consequenterpatet istas esse in emdem ratione ad O. p. eiusdem gradus quorumcunq; triangu Iorum in eadem, vel aequalibus basebus, or altitudine c1 illis existentium . regulis bo/bus. Nam ob duobus cuius .cunq;trianguli lateribus sol s compleri parallelogrammum, ut data triangulas mi co/stituta a diametνo. αuVroptero. p. datorum triangulorum se habe bant interis, ut o. p. ci cumscriptorum parallelogrammorum,or subinde ut o p. qu rumcunq;parastelogrammorum in isdem, vel aqualibus bipibus, eadι mq; altitudine exissentium.
COROLLARIUM II. I. T N per ex praecedenti Corollario intelligimus quaecunq. A circa o. p. parassi logrammorum osc a Dut , emiam
305쪽
quoque veri scari circa o. p. triangulorum eam illis in agratiabitudine existentium, regulis j em. a. Igitur in illis o. p. regulis basibus , erunt ut potest. basium . eiusdem gradus. Immo se facta sub o. p. datorum, aquealtorum triangulorum, erunt inters visasta sub potes basium , ut in Cor. I. O a. Prop. 3. dicebatur de o. p. parallelogrammorum.
Similito eadem, vel aqualibus basbus,stregulis exi- sentium triangulorum o p. eiusdem gradus erunt ut altitudiis Aes , velut latera aqualiter basibus inclinata , s talia M. Immo, ct factasub o. p. triangulorum in eadem, vel aqualiabus basibus existentium, regula basi, vel basebus, erunt ut aiaritudines ,seu ut dicta latera, orc. Vt in Cor. Prop. q. die batur circa parasielogramma. q. Q orumlibet quoque triangulorum, regulis bostas, o. p. eiusdem gradus habebunt inter se rationem com tam ex ratione altitudinum, vel laterum aequaliter bas bus inclina-rorum ,stex ratione potest. basium, eiusdem gradus cum ρυ- dictis. . F. Triangulorum, regialaba bus, quorumi arum basium: potest. eiusdemgradus , altitudinibus , veὶ lateνibus aequal2rre basibus intainatis, reciprocantur o. p. eiusdem gradus,
erunt aequales. Et quorum O. p. erunt aequales, basium quos
potest eiu emgradus cum praedictis altitarinisus, vel late
νibus aque ba us anc atra, reciprocabuntur. 6. Similium triangulorum O. p. regulis homologo lateribus , erunt in ratione multiplici rationis laterum homologorum . ut erat unitatis multiplex, numerAs extonentis Eois. assumpta, unitate auctus.7. Cuiuscunque trianguli o. p. regula quocunque latere,ado p eiusdem , eiusdemquegradus, regula altero reliquorum laterum, erunt ut potest. I. regula ad potes. Secun
Exissentibus ambabus hisce potest. eiusEem gradus inters, at a n ut diate inferioris gradu assumpt.e in triangulo sole
306쪽
In quocunque paraPelogrammo, Vit, B D, reguti basi, ci , si agatur ipsi, CD, quaecunque parallela, E F, 6 ducatur diameter , A quam ista fleet in , Gs erit υι, DA, ad, AF, ita, CD, mel, EF, ad, FG. ' Dicatur autem, Ac, diagonalis prima. Rursus is q. DA, adq. AF, itasiar, EF, AD, FH, sita Aquefieri intestigitur in par Pelia ipsi, cD, ita νι omnes bomologae ipsi, H F, ter
minentur ad curuam, AH c. Pariter te. DA, adc. AF,
ad qq. AF, ita sit, EF, ad , FL, is sic in caeteris,defcripta' curua , CL M. AEuod ιν in reliquis ροιιμ μνι Αρροον potest . Dicatur autem, C His, diagonalis a. cIs, diagonalis 3. CLA, diagonalis q. c. Similia ter triangulum, AG CD, qvocemr I . spatium diagonalium parastelogrammi , B D , trilineum , AHc D, a. spatium, AIC tertium , AL D, q. σμDico ergo parallelogrammum, BD, duplum esse primi spatij, triplum Iecundi, quadruplum 3. quintuplum
Vod enim parallelogrammum , B D , duplum sit r. spatii, A C D, patet quia per Prop. I9. o. l. B D, duplae
307쪽
duplae sunt o. i. A C D, & ideo per Prop. 3. Lib. Secun. Geoin. Ind. B D, duplum est spatij, AC D. inod vero, BD, si triplum secundi spatij, Λ L CD, probatur, quia vi q. D Α, ad q. A F, siue ut q- E F, ad
q. FG, ita est, EF, ad FH, &lic in caeteris, ergo ut o. ci.bulus q. B D, ad O. q. trianguli, A C D, ita erunt o. l. B D, ad
o. q. vero, B D, tripla sunt o. q. trianguli, A C D,ergo &, B D, spat ij, A H C D , triplum erit. Eadem ratione ostendemus o. i. BD, ad OA.teriij spatij;ΑI CD, esse vio. c. B D, ad O. c. trianguli, AC D; id est 'R R ipsum, B D, spatij, A I CD, quadruplum esse. Sim liter prob ibimus o. i. B D, ad O. l. spatij, ALCD, hu β v t O.qq. B D a s o. qq. trianguli, A C D; nempc ipsum, B D, spatij, ALCD quintuplum este. Et sic it probetur b. p. B D. deinceps subsequentes . p. trianguli, A C D, cum illis eiusdem gradus, esse sextuplas,
H.husu, septuplas, octu las,&c. eodem modo ostendetur parallelogrammum B D, esse sextuplum quinti spatij, septuplum sexti, octuplum septimi, & sic in infinitum. COROLLARIUM. Er his in atriscit quoque ratio, BD , adprimum spatium
residuum , BC A fecundum, BC H A , tertium, BCI. A quartum, BC L A circ. erit enim. B D, duplum primire ui. Datij sexquialterum fecundi sexquitertium tertνfexqusquartum quarti . cte. Similiter habetur ratio inter haec residua, croaspatia. Namque primum residuum, A BCG A, aequale est primo spatio . A GC Diecundum rsduum, BC H A duplum est secundi spatij: tertium terti, triplum:
quartum q uarti quadruplum , sec. Inter diagonati s vero m
'm sum est , A C ese rectam lineam , CHA, parabolam cuιus vertex, A , per conuersum Corollari, Prop. prima Libri Harti Geomet. Ind. υ enim ex hypothesi, C D, ad , H F,ut f. D A , ad , ' A F. I a denique, E F, G F, H F, I F , L. F, σοῦ.Sunt continue proportionales , v acile ostendi potest.
308쪽
morum, or triangulorem potestates, c- ijs detegem dis occasionem attulerit, ut in praefarione virum est, inquis..tio mensurari arabolici pro qua mihi erat inuenienda ρνα portio a qq. parasseis ammi dara ad O. qq. Hrοπινιπι eriangulorum per eludem diametrum constituto m. Licu autem ad hanc inueniendam pauca ex demonstratis Prop. se cerent, non tamen catera, qu bac occasione inuenta se circa dictas potestates, nesuenda, vel opprimenda duxi; tum qui ritu digna videntur, es ad aba problematasolvemda forte non omnino euade, inHilia, tum ut ampliaretis doctrina mea Geom. Inae eis emque methodus ictustrior apis pareres . Inuenta ergo dicta proportione o. M sequentem Pros. circa monsuram fuse parabolici immed te tu is ae infra a.
Si parasselogrammum , ae parasuti fuerint in eadem
basi, π circa eundem axim ι eonuersantur autem cir ca basim . cylindrus genituι ex pariatilogrammo ad solidum genuum expara ti,quodaΚllore aecisum sui parabosicus, em mi I .a 8. . . 'EXponatur denuo figura Prop. ant. in qua curua CHA, est linea parabolica, vertice, Λ, ut dictum est; quapropter, A H C B, erit planum parabolicum, seu stan iparabola. Supponatur autem nunc, ΑΒ, axis, S comuerti parallesogrammum, B D, cum semipat abola, Α Η CD, circa semibasim, BC, ut fianr ex , BD, cylindrus, Nn &eX,
309쪽
Sex , ΑΗ CB, semisusus parabolicus. Dico cylindrum ad hunc in
semisu sum. ut erit cylindrus huius duplus ad integrum fusum
esse ut II. ad 8. Caeteris enim manentibus ut in ant. Prop. quia, E DF, ad , FH, est vi q. DA, ad q. AF, hoc est vi q. E F, ad q. F G, ergo '. q. EF, adq. FH , cris vrqq. EF, adqq. F G, & sic ostendemus esse in csteris qu ibuscunq.ipsi Cinan-
. quam regulε parallelis. Ergo o.q.BD, ad O. q. trilinei,AHis talis Co.qq.tria uli, Am, lite vero sunt in rati a t. ius he quintuplMergo,& oeq. B quintupla erunt o. q.trilinei. AHCD. Sunt veroo q. B idest factum sub Gl.BD. & O.l. B,1 huius inad factum sub o. l. B D, & o. I. A H C D, ut, B D, ad , ΑΗ CD, nempe tripla, hoc est o. q. BD, ad factum sub. αa. huius. it. BD,&sub O. I. AH CD, erunt vi I s. ad s. Sed factum sub , o. l. B D, & sub o. i. AHCD,aequatur facto siub o. I. AH CB, AH CD,&o. q. AH CD. Ergo ad haec O. q. BD, sunt ut Isis ad s. Sedo. q. BD, ostensa sunt esse quintupla o. ΦΑ Η C Di ergo Q. q. BD. adnctum subs. l. A NCR,AH CD, erunt ut II. ad a.&ad duo facta , ut Ιy. ad 4. Cum veroo. q. BD, ado. q. ΑΗ CD, sint ut II. ad 13.huius 3- colligendo, O. q B o, ad O. q. Α H C D, cum et di cor. factis subo I. AH CB, AH CD, ut Is. ad 7. Ergo O. q. Rλη tu D, ad residuum, nempe ad D. q. AH CD, erunt ut II. ad E go&quodcunque solidum similare genitum ex , BD, ad sibi similare genitum ex , AH CB, erit vi I . ad 8. perprop. 33 L b. Scci Geom. Ind. quae ponitur in Exerc. prima Pag. 69. Et subinde Cylindrus ex , BD, ad semisu stimparabolicum genitum eκ semiparabola, AH CB, ut &dosum ad duplum, hoc est cylindrus genitus eA par allologrammo parabolae integrae circumscripto, qui est pra dicti duplus, ad susum genitum ex ipsa parabola, erit ut 3I. ad 8. quod,&
310쪽
Hoc demonstrato, ut cantinueris praefata doctrina, o ferentur sic ea, as mein uentis fum Mur Mominatus Io. de Mamranis, ex quibus Lector inreuigo, έanc Inae methodo etiam vadis Des Geometras et se septam,stexculae fuisse, qui sati ratione Irocli , qualis insequentibus V res.
Primum Lemma Braugland Data recta livia bifariam bifariam disse, ἐ-
in , Τ, vortet inuenire cui si aequale aggrcggri'n i potestatum eiu illam gradus l-----l--I - quicum, sit ille partium R - S Τ V inaequalium, R T, T V. Ad hoc inquirendum considσahimus, R T, veluti summam,di, TV, v luti differentiam rectarum, RT, TV. Vt autem breuiori via id obtineamus, procedemus per Algebram literalem, partem, R S,