장음표시 사용
381쪽
rationem compositam exratione, ED, ad , DP & ex ratione ,. EC, ad CP . Hae
ver5 duae rationes componunt rationem rectanguli,
DEC, ad rediangulum DP C. Ergo grauitas, L M, adgrauitatem, GH, est ut rectanguilam, DEC, drectan gulum, DPQ Sed ut recta gulum, DEC, ad reωng sum , DPC , ita est quadra- itum, ΕΚ, ad quadratum, PF,&ita cireuius, KN , ad circulum, FI,& ira grauitas circuli, , ad grauitatem eiriculi, FI, quia sphaera supponitur uniformiter grauis. Igiatur grauitas, L M, ad grauitatem, GH, est ut grauitas circuli, KN, ad grauitatem circuli, FI, & planum, FI, adlibitum ductum est . Ergo triangulum, ABC, de sphaera, C N, erunt maεnitudines proportionaliter analogae in grauitate.& sunt circa eandem,CD,quae est diametet tria guli , & axis sphaerae, habens idcirco in seipsa utriusq; emiatra grauitatis Ergo in eodem puncto ipsius, DC, est ce trum grauitatis trianguli, ABC, & sphaerae, CKDN Sed centrum grauitatis sphaeret idem est cum centro figurat, neminpe est punctum, E, ergo &, E, erit ceturum grauitati&trianguli ABC. God si triangu lum propositiun esset quidem in basi, AB, & in eadem altitudine, sed ducta ab illius vertice ad Punctum, D non esset ipsi, AB, perpendicularis r tune assumpto triangulo eiusdem cum eo altitudinis ,& basis, ut, ABC, cuius, CD est perpendicularis ipsi, AB, prius, visa ctum est, ostenderemus centrum grauitatis istius esse in medio rectar, CD .deinde concluderemus centrum graus, talis illius esse in medio rectet venicem eiusdem cum,D, comiungentis, ex eo quod haecduo triangula essent proportio. naliter analoga ingrauitate, opter aequalitatem rectarum
ipsi, AB, parallelmim, & ab eodem, AB, aequε remor rum, & subinde Proptenearum aequaleswituates .
382쪽
atquid ante secentur, constat centrum grauitatisi gmenti trianguli, o obara eidem contereunantis , commu ne esse, quia sunt magnitudines proportionaliter analogam s. --, grauitate . Sic igitur ex. gr. centrum grauitatis portionis 18hara, FDI , erit se centrum grauitatis 'QU , ABHG, cdi ne res se habebit in reliquis huia odi Iegmentis triam sub propositi , crohaerae siue, CD, sit ipsi, AB, perpendiacularis , siue non, dammodo triangAlum, Osphara sint in ea.dem abi t udine re eam iptius, AB. Cum ergo ex Luca Vale ris, ct aliffled praecipue ex 2 orruellio compendiosissima ram Schol.L.rione, ut Vfe pacam sciet , ct ex me in squentibus constent 3 .aentra axitatis haνum sphaera portionum, ideo hac quaq;pra segmentis proporiti trianguli recίpimus.
Si prepsium quodcunque triangulum senonatur deo miter graue iuxta limitem rectam lineam, 'Persus veris ricem extra triangulum ductam basi parallatim : s cta autem basi bifariam , a puncto sectionis per meriticem recta bara m s ad Imιtem producatur: centrum trauitatis dicti triantuli diuidit eius diametrum me tualem, siculi centrum grauitatu conOidii bverbolis, circa amm altitudinem trianguli, ac hverbola δε- scripti, cuius datur transuersum ' intercepta inter
383쪽
42- primi Ind. a. huius. I. Primi Conic. p. huius.
difformiter graue iuxta limitem re
Iam, versus, A, extra triangulum duiam, &primo aequicrure , itavi, AB, AC,sint aequales. Secta autem bis riam, CB, in , D, d catur a, D, per, A,usq; ad limitem, EG, recta, DAF. Insii per circa uxim, AD, supponatur eonoides hypei bolicum,ABC, vn formiter graue,existente, AF, latere transiretio hyperbolae conoides describentis. Dico centrum grauitatis di ἰ eones- dis dicentrum grauitatis praelati trianguli secare, AD, in eadem ratione. Ducatur inter, A,&,BC,planum quodcunque basi conoidis parallelum,quod efficiat in conoide circulum, ΗΚ,&in triangulo, ABC, rectam, LiM:& sumatur in , L Κ, producta portio, LN, aequalis ipsi, BC. Grauitas ergo rectae, BC, ad grauitatem rectae, LM, erit in ratione composita ex ratione grauitatis, BC, ad grauitatem sibi aequalis, LN, hoc est ex ratione, DF, ad , FI ;& ex rati ne grauitatis, NL, ad grauitatem. LM, hoc est ex ratione,NL, seu, BC, ad , LM, quia,LN, supponitur in seipsa unifbrmiter grauis hoc est, DA , ad , AI. Duae autem rationes, DF, ad , FI,&, DA, ad , AI, componunt rati nem rectanguli, FDA, ad rectangulum, FI A, hoc est quadrati, BC, ad quadratum, ΗΚ, vel circuli, BC, ad circulum, ΗΚ, hoc est grauitatis circuli, BC, ad grauitatem circuli, ΗΚ, nam conoides supponitur unisi iter grave. Ergo grauitas rectae, BC, ad grauitatem rectae, LN, est ut grauitas circuli, BC, ad grauitatem circuli, ΗΚ, & planum per , ΗΚ, du ctum est ad libitum. Igitur triangulum. ABC, difformiter graue, & conoides hyperbolicum, ABC, uniformiter graue, sunt magnitudines proportiona liter an
logae in grauitate. Est vαλ AD, diameter trianguli, & axiscono,
384쪽
eonoidis, unde in , AD,& in eoocm illius puncto cs centrum grauitatis tam conoidis, quam trianguli. Qisd si triangulum fuerit scalcnum colligcmus propositum iuxta
modum Prop. ant. Quod,&c. Pon. ex Luca Valerio Lib. Secundo Prop. est Lib. Tenio Prop. 7. centrum gyauitatis conridis sepe Molici es panssi mi Dd, in quo duodecima pars aris ordine quarta ab ea, qua b sim attingit is diuiditur, ut pars basi propinquiorsit ad resi- quam , v exquiauera transuersitateris sperboles, qua cona, des defcνibis, ad axem conriris. COROLLARIUM I. EX demonstratis colligitώω triangulum dictum co/-- de ecentur quomodocunq; planis basticu i miti in Gos, fgmentorum trianguli, ct conridis sibi νespondentiam, a. Ahalidem esse centrum grauitatis, cum ista sint magnitudines proin ortionaliter analoga 1ngrauitate. Ccnινum autemgrauitatis
385쪽
sis iuxta limitem rect quamlibus Uentem usum,vel stangentiparmam, extra fig-- subses constitaua , ceae. O grauitaris inuenire ;ideaticebit ,eodem in relanguiam solat iuxta modum in uniformitergrambusconsuetum Aem- desecta ratisnegrauitatum di ormium eoiadem triangat amper Cor. 2. Prop. LI.subsequentis.πumpe veris inra casaeentrum grauitatis cui cunq; trianguli iuxta signarum β.
se, cum eoWam fuerint corra grauiratis inuenta , adhibito Eodem Cor. a. d a Prop 37. Adh.eo enim post rectilineas figuras rea remaeum essae, ν -- hac aliquantulo cogimur H erre, H νιam quandam iarimanda grauisagis centra in formiter grauisus es ra ara niversaborem parare possimas, quo tamen , τι quoddam erue lar huiusdoctrina uiuoso praebe su ,rix insigniore rantum figuras prosequem- . Immo ut hac altiuspromoueatur, cum Agnitis modis grata raris absoluta asso stas variaripo it sub his*tpariter in tu mod. varianas Ufδρον saer eandem grauitatem, quorum buxusq; unum ratam augimus hisMonae os se eos quoq; 3nfinito eligere, ac empendere decrevi.qai ex duabus d finitionibus subsequentibus, cum auaras in hmus Exerc. initis
numero conto ιιs, Philogeometrafatis,puto .inno cenae.
Si gradusgrauitatis a limite iraelligantur continuo proogredi ut hucusq; suppositum est3 in ratione distantiarum ab eodem limite a hoc dicetur incrementum difforme subaudi semper uniformiter difforme o grauitatis, primae*eciei. At si ijdem gradus sint in ratione quadratoriam . earundem distantiarum, vocabitur incrementum difforme secundae speciei. Si in rationecuborum, tertiae speciei. Si quadrat uadratoriun , quartae. Et sic deinceps in potest
386쪽
qua du ctarum quotcunq;rectarum, in figilla. tun unifcunniter grauium, limiti parallelarum,&quaecunq;. solida , in qua ductorum qnotcunq; planornm in seipsssi gillatim uniformiter grauium, timiti parallelarum gradus grauitat;s fuerint in ratione distantiarum a dato limite; vocabitur difformiter grauis in prima specie ditamitatis: &eius grauitas, prima grauitas difformis eiusdem appellab tur Quod si rectarum, vel planorum gradus grauitatis fuerint ut quadrata distantiarum a limite,dicerethgura dissennitergrauis in secumla specie:& eius grauitas, secunda grauita&ditarmis Si ver illi fuerint ut cubi distantiarum, dicetur diGrmiter grauis in tertia specie;&eius grauitas, terit rauitas distormis. Et sic deinceps in infinitum,
387쪽
absessis mersus ruerticem : eircumscripta factis trisi. nei segmrutis para&logramma ad eadem sigmenta ea dem rationem babebunt. Et bae ιdem continget is
eiusdem trilinei residua statis, seu semipaurabia .
Sit unum quodlibet ex dictis trilineis, ABC, in quo ductis quibuscuq; LE , in basi , CB, parallelis compleamur parallelogramma, ABCD, ALEF, AING. Dico parallelogrammum, Fia ad segmentum, AL E, esse, '. ut parallelogrammam, GI, ad segmentum, AIN. Ductis enim ia trilineis; ALE, AIN , quibuscunq; basibus, LE, IN, parallelis, nelnpe, ΚM, Ho, erit, LE, ad , BC, con . gradus nempε trilineo. ABC , congruentis; &, BC, ad , KM, ut pol. B A. ad pol. . AK, eiusdem gradus. Ergo exaequali, EL, ad ΚM, erit ''ti gradus. Sic ostendemus, . I 'M , ei λ Vt pol. IA, ad pol. AH, praedicti gradus.
Sed in omnibus huiu unodi trilineis ostenditur in Exerc. a. Prop. 23. circumscripta parallelogram na ad stia triline ouandam determinatam rationem habere. Vt in primo trilineo , eu in triangulo, parallelogrammum esse duplum tris linei, in secundo esse triplam,&c. Ergo quam rationem
habebit 'arallelogrammum. D B, ad trilineum, A B Ceandem habebunt parallelogramma, FL, CI, ad sua erilia
388쪽
nea, ita sumenta, ALE, AIN. Quia vero permutando ut torum, FL, ad totum, GI, ita est pars, ALE, ad pa tem , AIN, ideo reliquum ad reliquum, nempe, semipar bola , FAE , ad semiparabolam, GAN , erit ut totum, FL, i 9.Quinti ad totum, GH: unde permutando, & conuertendo, parablelogramma, FL, GI, ad semiparabolas, seu seiniparabolae, DC, segmenta, AFE, AGN, eandem rationε habebunt.
Si eheu criptum eukunq; ex dictis trilineis parasteώ-- grammum incipiens re tui circa basim eiusdem ιrdinetranquam axem, micunq; eisuetur, undric quesebipsis compleatur: per merticem trilinei, titusq; p rasielogrammi, quo istius bastyponιtur, planum inde- ὸ extendatur , cuindricum secans in duas partes , seu truncos. Erit truncus inferior adsuperiorem, muparaaelogrammum ad trilineum. Sit parallelogrammu, ABCD, uni ex di. Getis trilineis, quod sit,
ABC , circumscriptum. Eleuetur autem, DB, ut- Heunq; circa axem, BC,
di sit idem,AC, LB,compleaturq;cylindricus sub ipsis, GlLCAB, quem secet planum indefinite e tensum per, A , I L. Dico trucum inferiorem, AILCB, ad superiorem, GALI, esse ut, DB, ad trilineum , ABC . Erit itaque, CB, parallelogrammum, &, AI, concursus eiusdem Z a cum
389쪽
linea . Sumatur in ea. quodcunq; punctum, M, a quo ducantur paralle
B. Planum ergo , per , ΗM, MO,transiens a qui-
distabit ipsi, GIL , & tra-siens per , OM, MF, ipsi,
LB ; esto quod in truncis produxerint figuras, HMO, MOEF . Erit igitur, O FIM FAE , cylim dricus,& subinde figura, HMO, similis, & aequalis ipsi, AFE, ac similiter posita
Figura vero, MOEF, erit parallelogrammum ipsi, LB, aequiangulum, cum eidem aequidistet, transeunti per lateis ra cylindrici, GBC, unde transibit quoq; per eius Iatera, aequidi stabitque, OE, ipsi, MF, & MO, est parallela, FE, suntque, MF,l B, FE, BC, parallelae. Quoniam ergo parallelogrammum, LB, ad , O F, habet rationem compositam ex ratione, I B, ad , MF, hoc est, IA, ad , AM, seu, GI , ad HM; & ex ratione, BC, ad , FE, hoc est, IL , ad , MO . Duae rationes vero, GI, ad , ΗΜ, &, IL, ad, MO, componunt rationem parallelogrammi, GIL, ad , HMO, seu trilinei, GIL, ad, HMO, cum adaequentur ipsis, ABC, AFE. Ergo, LB, ad, O F, est ut, GIL, ad , ΗMoi& perinmutando, LB, ad , GIL, erit ut, OF, ad , ΗMO,& hoe ubicunq; M , enim ab libitum silmptum est. Ergo omnia plana trunci, AILCB, regula, LB, ad omnia plana trunci, AGIL, regula, DB, sent ut unum ad unum, scilicet ut, BL, ad , GIL, seu vi, DB, ad , ABC, & altitudines trun- eorum respectu suarum basium sunt aequales secus enim non valeret haec ratio demonstrandi quapropter truncus,
AILCB, ad truncum, CALI , est ut, DB, ad , ABC.
390쪽
Stoice triline Misset eius semiparabola in bas, BC, aiam tro, AB, eodem modo ostensumtusset truncum infriarem cylindrici in eadem ut in basi constituti, ad perincm esse ut, DB , addicta em arabolam.
fueris qui unq; e lindricus piano sectus per merticem ιnferioris basis , γ' per basim, jeu tangentem εο oppposito mertice superiorem extense: parasteti dicta basi, vel tangenis, qua transtir per alterutrius basium cenistrum grauitatis , secabit ei dem basis altitudinem in ratione reciproca partium, sta truncorum eiusdem cyli,drici. Syx quicunq; cylindriis.cus, ABIDFE, ilia oppositis basibus, FED, ABC, plano sectus per, F, verticem basis, FED,&per basim, BC, extenso, quod efficiat figuram, BFC, in eodem cylindri
percetrum grauitatis ex. gr. N, superioris basis, secans eiusdem altitudinem, quaesit, AB, in, P. . Dico vi, AP, ad , PB, ita reciproce esse truncum inserim
rem, BFCDE, ad superiorem, AFCB. Circumscribatur, FED, parallel Erammum, FGDE, in cuius ba M