장음표시 사용
391쪽
in eadem altitudine, fiat paralleleppipedum, BG ,
cylindrico circumscriptu. 'uod plano, FB extemso secet irr in duo prisma
Rursus inter plana, AE, H D , traijciatur quodcunq; planum ipsis aequi- distans , quod faciat in pri Imate superiori triam gulum , Κ IQ, & in trunco superiori e, lindrici triangulum, MLΚ ; & quia aequi distat transeuntis is cylindrica, erit. LM, parallela eidem lateri, & subinde ipsi. linquae est parallela ipsi, AP, lateri cylindriel. Quoniam vero triangulum, Q IΚ, simile est triangulo, MLΚ, erit ad illud sicut quadratum, IK, ad quadratum, KL, & hoc ubicunque, suntq; antecedentia inter se aequalia . Ergo ut omnia plana superioris prisinatis ad omnia plana superioris trunci, ita erunt omnia quadrata parallelogrammi, BH,
ad O. q. figurae, ABC, regula AB. Sedo. q. BH, ad o. q. ABC, habent rationem compositam ex ratione , ΗΒ, ad , ABC, hoe est solidi, BG, ad cylindricum, BFD, & ex ratione dimidiae, AB, quae est distantia centri grauitatis parallelogrammi, BH, a re sta, BC, ad, PB, distantiam centri, N, ab eadem, BC, ut elicitur ex demonstratione Rocinchae pro regula Guldini, allata in Exere. Tertia, Cap. I Pag. a 3o.qua idem Roccha adinvenit occasione me surandi fusi parabolici. Ergo omnia plana prismatis,ado. plana trunci superioris hoc est prisma ad truncum se periorem habent rationem compositam ex ratione solidi, BG, ad c lindricum, BFD, & ex ratione dimidiae, AB, ad , BP. Quia vero solidum, BG, duplum est prismatis, sicuti, Amdupla suae medietatis; ideo solidum, BG, ad truncum λ- periorem erit in ratione composita ex ratione,BG, ad cylin
dricum,& ex ratione, AB, ad , BP. Sed ratio, BG, ad
392쪽
truncum seperiorem est quoq; composita ex ratione, BG, Da. ix. ad cylindricum,& cylindrici ad truncum. Ergo si austra. tur communis ratio solidi, BG, ad cylindricum, remandibit ratio cylindrici ad truncum superiorem eadem rationi, AB, ad , BP. Quare diuidendo truncus inserior ad sum. riorem erit vi, AP, ad , PB. Quod est propositum. COR O L L A R IU M. HIης patu se contra in eadem figuνa ducatur priveta
eiusdem basi, vel tangenii , Haidens altitudinem in rasione truncorum reciproca, in ea esse centrum grauitatii Ianuνa. Et quia in figuras ciνca diametrum centrumgr- g. Dianuitatis est in diametro , propterea in isiis dictum centrumscar
SCHOLIUM. CVm prepfuissem clari ma Tonicessio inueniendam ω- tionem truncorum insois cylindrico in parabola constita to, nedum istam adinvenit sed quicunque esset cylindricuo, dummodo elui bass esset figura circa diametrum: ostendens truncos esse in ratione reciprocasartiti diam tri a centro grauitatis separatarum, quodc=mibi superiorem contexenia,qualiscunq; sit, occasionempraebuit. Et quia dein monstralia elegantib=ma est, A adducta breuior, ideo hic eam se nectere libuit, qua talis
393쪽
3 6 Metauris quinta , ALITER EX TORRI CELLIO.
habens circa di metros , BD, FN,
figuras, ABC, OFG, quarum centra μgraunatis, E,P:lecetur autem plano, FAC, per, F, I& tangentem in , D, figuram, ABC, seu eius basim, AC, extenso. Dico partem cylindrici inferiorem ad su-
Ieriorem esse ut, E, ad, ED, vel, FP, ad , PN. Ducantur rectae, BF, EP, DN, DF,&amedijs punistis ipsarum, BF, DN, nempe, H Κ, rectar, I D,
KF, necnon, IK, secans, EP , in , L . Erunt itaque, BF, EP, DN, inter se parallelae, quia iungunt aequales, & p rallelas. Ob eandem rationem erunt parallelae, BD, IK, vel, IK, FN, ut &, DI, KF. Quoniam vero, DI, bifariam scicat, BF, ideo bifariam quoq; secabit omnes in triangulo, DBF, ipsi, BF, aequidistantes, quae sunt diametri paralI Iogramniorum in solido, ABCF, plano, AG, parallelorum. c. apropter transibit, ID, per eorum omnium centra grauitatis, & erit in eadem, ID, centrum grauitatis solidi, ABCF; hoc vero, ubicunque sit, supponatur esse, M. Eodem modo ostendemus in, FK, esse centrum grauitatis solidi, ACGFΟ. & est, L, medium punctum rectar, EP, centrum grauitatis cylindrici, ABCGFO. Si ergo ab ,M,per, L, producatur, MLΗ, usq; ad , FK, cui incidat in , H, erit, H, centrum grauitatis solidi, ACGFO. Quia ergo triam
gula , MIL, LUPI, siunt similia propter parallelas, DI, KF, ideo
394쪽
ideo ut, ML, ad, LΗ, ita est, IL, ad LΚ: sed vi, ML, ad , ε. Prop. LH, ita est solidum, ACGFo, ad solidum, ABCF, ergovi, IL, ad, LΚ, & subinde, ut, BE, ad, ED, vel, FP, ad , PN, ita est solidum in serius, A CGFo, ad superius, ABCF.
Quod ostendendum proponebatur. Licet autem praecedens demonstratio sit uniuersalior, facile tamen puto ad eandem uniuersalitatem hanc reduci posse. Porro notat, si in recta iungente puncta , F, E, sint quoq; centra grauitatis omnium planorum in solido, ABCF, ipsi, ABC, aequi distantium, in mutuo concursu rectarum , FE, ID, verum illius centrum reperiri. 'c o R O L L MR I U M. SI Olindrires, AFCGFOi ponatur di omitergrauis is
quacunq;specie, iuxta omitem pianum, AG, vel tangens in, FR, aut lilis parasielam, se sint centra Irauitatis, ABC , OFG ; erunt , BE, ED, vel, FP, PN, in ratio ne reciproca grauitatum truncopum e currit enim hic earin praecise demonstratio. Eluod , υ, transeat quoq;peν centra Irauitatispianorum insolido, ARCE, i , ARCF, aequid amtium,eius centrum Prauitatis erit itidem in concusu rectris DI, EF.
Poterat prior pars huius Corostar probari per osten ins ρινiori nostra demonstratione, intesibendo alium cylindricum uniformiter grauem, ac proportionaliter analogum in grauntate usi ABCGFO, cuius bases oppositafuissent circa dia.. metros, FN, BD. Nam ex hoe propositum pro diffrmiseν naui colligi potuisset. Uerum cum hoc compendiosius habeatur ex δε- moiasiatione Torrisese nihil ultra praedictis ai
395쪽
L efiindricus infirmiter, mel utcunqν difirmitergrauis, in basi figura circa diametrum,seceturptino transeunte per alterutrum ex merιιcibus superioris basis, per aequiris em tangenti in opposito mertice imferioris , ad eandem partem merticis extra figuram constitutam , qua limes supponatur: centrum grauis iis basis obnoxi diuidet eompositam ex Hametros eiusq; inimite producte residuo usq; ad limitem, ita ratione reciproca grauisa --ν morum eis diri culindrici. SIt cylindricus uniis
formiter,uel utcuq, difformiter grauis i hasi figura, EDG,ci ea diametru, DF , cuiustatu parallelogrammu, B A F D , exponimus, transiens per axem grauitatis, MN, & diametros, BA, DF , oppositarum basium. Hic scicetur plano transeunte
elam tangenti,OP,que sit limes, factis truncis,AFDI , ABI. Dico,pro ducta, FD, usq; ad ,αR, limitem in , C, centrum grauitatis, N, secare, CF, in ratione reciproca grauitatum truncorum, AFDI, ABI. Hoc posset probari vel per a nobis ostensa, vel per modum
396쪽
prosecutaq; ut supra demonstratione : sed &hac ration colligi potest. Ducatur planum per, I, basi, ED G, parallelum . Cum ergo ex demonstratis sit truncus, ALI , ad , ABI, in uniformiter graui, nempe grauitas, ALI , ad grauitatem, ABI, in uniformiter, & difformiter graui, ut, DN, ad , N F, componendo, erit grauitas cylindrici , BL , ad gia. uitatem trundi, ABI, ut , DF, ad FN: at grauitas cylindrici , FB, adgrauitatem cylindrici, BL, est ut, FA, ad , AL, etiam in difformiter grauibus, quia his cylindrici proportionaliter analogi in grauitate,& uniformiter graues ita pariter se habcnr siue vr, CF, ad , IL, vel, FD. Ergo ex aequali, & diuidendo, grauitas trunci, AFDI, adgrauia talem trunci, ADI, erit ut, CN, ad NF. Est ergo, CN, ad , N F, in ratione reciproca grauitatum truncorum dissicylindrici. Quod,&e.
Si in quocunque paral logrammo , AD, sis quodvis ex IVe dictis trilineis, AED, cum eius residuo spatio, Iru se parabati , ADc , in figura duplicentur, αγι mor trilineum, AFD,Wparabati, BAD, circa diam tros, AE, Ac, sintqs H,
tu. Dico parastelogrammum, cE, ad trilineum,
397쪽
D, qualem poscit Prop. 16. huius, sebum plano per, A, &latus oppositum ipsi, FD, transeunte; erit parallelogram-mum, CDF, ad trilineum , AF D, ut truneus eiusdem inserior ad superiorem, per Ostensa in eadem Prop. I 6. Atim ferior truncus ad superiorem est, ut, AH, ad, HE, per Cor. Prop. I7. Ergo parallelogrammum, CDF, ad trilineum, AF D, vel, CE , ad trilineum, AED, est, ut. AH, ad, HE. Eodem modo propositum de parabola ostendemus. COROLLARIUM I. HIn equitur in trilineoprimo, ΑΗ, ad. ΗΕ, esse vae a. ad I. in secundo ut 3 ad I. in tertio ut ad ira Adeinceps, recantecedentes er unitate aucto,stretenta momnibus unitate pro consequente. In Prima vero υ -- so. in triangula, Biso perin, in aT, GC, νι a. az I infecunada ut 3. ad a. in tertia, uti ad 3. c dranceps, ct c. auctis femper singulis terminis unitate:hoc est in viri figuris quenmadmodums habet parasielogrammum, CE. adtrionea, AED, o adfemiparabolas, ACD. diuae rario habetur in Exercidiuarta ex Prop. 2 3. HAG, Cor.
COROLLARIUM II. C sequitur in per ex dictis, in omnibus hisce figuris,
earumq; segmentis, per anticatas versus vertuemias abscisis ; centragrauitatis earum, fgmentorumq; diametros, similiter secare. Talis enimfectiosis iuxta rationem circum scriptorum ipsis parallelogrammorum adi a fgmenta, qu in omnibus eadem est , mi patuit in Prop. Iy. T orriecilius yrrus inuenerat dictorum trilineorum, se paνabolarum centyagrauitatis, qua cum mihi commMniι asset absq; tamen demonstratione, Dumaniterq; in usum permis et, i e superiore excogita ui, quam nescio an concordet cum ab eodem aliata.
398쪽
In eodem Sobemate antecedenti θ em suppositis, si, ADG
duplicetur , mi fiat circa , CD, communem basim tamquam circa diametrum figura ex duabus semiparabo-us, A DC, composita: er mi, AE, cum, EH , ad , HE, itasti, Dic, a K c. Dico, Κ, esse centrumarauitatis dicta figura.
in, L, quod erit centrum grauitatis parallel grammi in basi, FD, trilineo, AF D, circumscripti; eruntq; pariter , Η, Ε, centra aequilibrij, H , trilinei, AED,&, L, parallelogrammi,CE Fiat ut, A CD, ad , AED, ita, HL, ad , LI, eritq; I, cenistrum aequilibrij semiparabolae, AD C. Quoniam vero ut, CE , ad , AED, ita est, AH, ad, HE, seu, EL,LΗ, . . ad , HE, vel dupla, L H, cum, HE, ad , UE I erit diuidem do, ut, A CD , ad , AED, vel vi, HL, ad , LI, scii dupla, ε HL, ad duplam, L I, ita dupla , HL, ad , HE, Vnde, HE, Aenuep. erir dupla, LI. Igitur, LE, superabit, HI, dimidio,HE, Arch. seu ipsa, i I. scd, LE, vel, AL , superat, At, eadem, IL, ergo, AI, IH , sitiat aequales. Et quia, AE, ad , ΕΗ, est ut dimidia, AL, ad dimidiam, Ll, per conuersionem rati nis erit, E A, ad , AH, vr, AL, vel , EL, ad , AI. Et quia ur, ΑΗ, ad, HE, ita cst, CE , ad , AED, hoc est, HI, ad , IL, conuertendo, FH , ad , HA, erit ut , LI , ad ,lΗ , hoc est ad . t Α, ouia , HI, IA, ostensae sunt aequales. Igitur
399쪽
LI , ad, ΙΑ, eolligendo antecedentia, erit ur, AEA . ad , ΗΛ, ita, EI, ad , I A. Sed ut, ΛΕΗ, ad , ΗΛ, ita est, DK, ad , KC. Ergo, AE, CD, similiter sectae siunt in , I, K. autem, I, centrum aequilibrij semiparabolae, ACD. Ergo, Κ, quod cit in diametro duplicatae figurae, crit eiusdem centrum grau itatis.
basibus , ABC, EFG, constitutus,m singula μι rallelogrammum , mel mna quacunq; ex sepe d ais insenitis parabolis, seu trilineis, caereis Zamesaevis, οὐ FH, ιν in basimus , Ac P existentibus ι ρtino permerticem inius dictarum Npositarum basium , o ρον basim aberius transeuote, mi per , B, EG, secrasur: sit autem, L, centrum grauitatis basis, EFG , subinde centrum
400쪽
qui, quod quinque, E BG , ABC, EAcG, EB A,
GBC , comprehenditur. DV cantur, BL, &, ΗN, quae bifariam secet ipsam, BF,
in, N, ijs concurrentibus in,I, iungaturq; IK.Quoniaergo in duas rectas, F F, BF, ab earum terminis, Id , B, r flectuntur duae rectae, HN, BL, erit per ostensa a Ptolcmaeo Lib. I. Alma gesti Cap. I a. proportio ipsius, HL, ad , LF, composita ex proportione, HI, ad, IN, &, N B, ad , BF. At si inter, HL,LF, de foris sumamus duplam, HL, eadem ratio ipsius , HL, ad , LF, erit composita ex rationibus,
HL. ad duplam, HL,& duplae, HL, ad , L F. Ergo duae rationes, HI, ad , IN, &, NB, ad , BF, aequantur duabus rationibus, nempe ipsius, HL, ad dupIam, HL, & duplae, HL, ad , L F. Sed ratio ipsus, HL, ad duplam, HL,eadem
est rationi ipsius, Nn, ad , ΒΓ, cum utraq; sit subdupla. Ergo ratio duplae , HL, ad , LF, eadem est rationi, HI, ad, IN. Quia v ero ut, FL , ad duplam, LΗ, ita est ex constructione, FΚ, ad, NH, erit conuertendo ut dupla , HL, ad , L F, hoc est per ostensa, ut, HI, ad , IN, ita , ΗΚ, ad , KF. Erit ergo, IK, parallela, FB. Quoniam vero, I, est centrum grauitatis trunci, EFG B, quia, HN, transit per centra gralaitatis omnium parallelogrammorum, quae fiunt a
secantibus planis ipsi, EC, parallelis ; &, BL, transit per
centra grauitatis Omnium parabolarum, vel trilineorum in trunco, EFG B, conceptorum, ac ipsi basi, EFG, aequi distantium: ideo erit, Κ, eiusdem trunci centrum aeqtvlibrij. Rursus quia ut truncus inscrior, EABCG, ad superi rem, EFGB, ita est, FL, ad , I H,& vi, FL, ad duplam, - , ita ex constructione est. FK, ad , ΚΗ: ideo, ut, FL, ad, in, seli ut truncus inferior ad sit periorem, ita crit, FK, ad dimidiam, NH. Et componendo ut, FH, ad , HL, scilex constructione, ut, FM , ad , ME, ita erit, FK, cum dimidia , ΚΗ, ad dimidiam, Κ Hr & iterum componendo, ut, FK, cum duobus dimidijs, ΚΗ ,seti cum, ΚΗ, hoc est ut tota, FH, ad dimidiam. ΚΗ, ita erit eadem, FH, ad , HM. Ergo, Η M, erit dimidia, ΚΗ. Cum vero ostensum sit,
re, ad dimidiam, ΚΗ, esse ut, FL , ad , LIq: erit, FΚ, ad,