장음표시 사용
401쪽
NH, It tota, FL, ad totam, LH. Vnde reliqua, KL, ad reliquam , LM, erit ut tota, FL, ad totam, LΗ, scilicet ut truncus inferior ad superiorem. Cum ergo, L, sit cen trum aequilibrij totius cylindrici,&, Κ, trunci superioris, erit, M, centrum aequilibrij trunci inferioris. Licet autem figura exhibeat parabolam, idem tamen currit in parallelogrammo,& quocunque trilineo, quia, BL, ΗN, sunt semper axes grauitatis in huiusmodi truncis, talibus cylindricorum suppositis basibus
cuilibet figura plana circa diametrum, ae in prima dif
formitatis opecie deJrmitu δη-- -xta Immem re Liam lineam ipsam in vertice tangentem , vel eidem
tangenti parallitim, extra Aguram ibicunque consse tutam , ea proportionister analogum in grauitate segmentum inserius 'lindrici in basiproposita figura rai flentis , abitussine quacunq; muformiter grauis squodsii ducto plano indefinito per punctum, in quo diameter, producta si opus sit, incidit limiti, s per rectam tangetem superiorem cγlindrici basim in extrem, rate diametri a limite remotiorem. SIt figura plana quicunq; circa diametrum, CE , cuius tantum dimidiam,CDE, exhibemus,in prima difformitatis sipecie difformiter grauis iuxta limitem rectam lineam, quae figuram tangat a n, C, seu eidem tangenti aequi distet, ut, AB, extra figuram, cui incidat producta, EC, in , ct . Insuper in basi, CDE, intelligatur constitui cylindricum , H G F E D C, uniformiter grauem, cuius, FE, sit latus. Erit ergo, ΗFEC, parallelogrammum, quia, C E, est recta linea. Deniq; per, A, & reAam, VT,tangentem figuram,
HGF, similem,*qualem, di similiter positam ipsi, CDE,
402쪽
aequidistantem limiti, AB, & ab eo rcmotiorem, extend tui indefinite planum, quod in plano parallelogramini, HE. faciat rectam, AOF, & in solido gignat figuram, QOF, per quam cy lindricus, , ED, secabitur in duo frusta, unum inserius, QOFEDC, alterum si perius, HGFCQ, quae trunci appellati sunt. Dico ergo figuram, C DE, esse proportionaliter analogam in grauitate inscriori trunco, QOFED C. Ducantur enim intra cylindricum, HED, quotacunq; plana aequidistantia transeunti per, VT, FE,N subinde& limiti, AB,& inter se parallela, ac cssicientia in trunco, QOFEDC , figuras, IS PM , ΚΒNL, quae erunt paralleI gramma aequi angula,quia, PM, SI,aequidistant ipsi, UT, &ideo sunt inter se parallelae. Similiter, SP, IM, sunt eidem,
FE, parallelae, & ideo etiam inter se crunt parallelae; quapropter , SM , erit parallelograminum. Eodcm modo conis stabit , RI .esse parallelogrammum, di praedicto aequian. gulum. His praemissis, quoniam grauitas rectae, M P, ad grauitatem rectar, LN, habet rationem compositam ex ratione frauitatis, MP, ad grauitatem rectae eidcm, MP, aequalis sumptae in, LN, quae sit,LX, idest ex ratione, MA, ad , AL, & ex ratione grauitatis, LX, ad grauitatem, LN,
403쪽
idest ex ratione, LX, seu, MP, ad , LN, quia,LN,stpponitur in seipsit uniformiter grauis. Duae autem rationes, MA , ad , AL , siue ob similitudinem triangulorum, IAM, KAL , ipsius, IM, ad , KL, &, MP, ad , LN, componunt rationem parallelogrammi, SM,ad sibi parallelograminum aequiangulum, R L,& subinde grauitatis, SM, ad grauitat cm, R L, nam truncus, FEDC, supponitur uniforamiter grauis. Ergo grauitas, MP, ad grauitatem , LN, est ut grauitas, SM, ad grauitatem, R L,& sic in caeteris. Et proinde figura,CDE,difformiter grauis,& trucus,QOFEDC,vnis grauis sunt magnitudines proportionaliter anal gar in grauitate. Ca m praetermisimus quando limes transit per vertutem , C . cum ex praealtato facile intelligi possit, tunc enim planum secans ducitur per, C, &,VT, ac figura, CDE, quae tunc supponitur difformiter grauis iuxta dictum Ismitem , ostendetur eodem modo ipsi facto trunco, CD EF, esse priportionaliter analoga in grauitate. Quod vero probatum est de exposita semifigura, CDE, idem eodem modo ostendetur de reliqua semifigura, quae
subintelligitur esse ad aliam partem axis , CE, nempε eam esse
404쪽
esse proportionaliter analogam ingrauitate semicylindrici trunco, qui erit portio integri cylindrici super basim integra figuram constituti. Ex quo patebit integram figuram circa diametrum, CE ,esse proportionaliter analogam in grauitate trunco eiusdem inferiori uniformiter graui, resecto eo. dein plano per, AF, VT, transeunte. COROLLARIUM. Colligitur ex demonstrinis centrum grauitatis pian figura
propoμα,osui trunci, aequaliter abesse a vertice, C, Dua limite, A. Vndesi trunci habeatur centrum grauitatis, inno-tcset quoque centrumgrauitatispropositae piansigura, illud enim erit quoque in diametris figurae. E contrasi detur centrufrauitatis planae figura, notum euadet centrum grauitatis fuix μuci; erit enim quoque in recta, AZ, csi duceretur,2 bissecate
rectam, FE, quia in ea reperauntur cemris grauitatis paralle in
logrammorum , quorum dimidia fune, S M, RL, c r reliquorum huiusmodi quorumcumque, eadem enim, AZ, bissecaret eorum diametros, U L, IM, cum aequid ent usi, FE. Ergo notum erit centrum grauitatis diari trunci. Porro his praemissis nunc iterum accedemus ad investieanda per hanc rationem inuentasuperius centra plavari. Durarum,
cr postmodum alia. quae ope sunt iis insignioribus planis, ct
bis figuris plura breuitatis causa, resecantes, ac in aliud commo ius tempus Heerentes.
Siparallelogrammum, triangulum , praedictaque trilinea exinponantur, quae sint ιο prima Decie dissormiter grauiar, iuxta limitem rectam lineam eorum basibus para gelam
405쪽
ticum, quorum tamen medietates tantum exli: bemus, E DC,
circa diametrum, E D, eaque in prima specie difformiter graui hixta limitem rectam, AB,eorum basibus, CD, parallelam per verticem E, ductam. Dico centrum grauitatis eorundem secare diametrum, E D, ut propositum est. Sint enim in ipsis e stituit Ty lindrici quicunque, F C D , uni. sormiter graues, quorum oppositae bases, FGH, transeatq; planuper, E, &, GH, secans cy lindricuin duos truncos , E GH CD, inferiorem , &, EFGH, superiorem. Igitur per Cor. ant.aequaliter diactabunt a limite, A B, seu vertice, E, centrum grauitatis duplae figurae, EDC, & dupli dicti trunci in serioris, quod sic obtinebitur. Quoniam ex Cor. pr. Prop. ry. nota fiant centra grauitatis figurarum, EDC,duplicatarum, ta quam uniformiter graum: si quidem in parallelogrammo centrum grauitatis secat dia- mctrum,ED, per aequalia, in triangulo pars ad vertic est reliquae dupla, in trilineo quadratico tripla, &c. ideo si in parallelogrammo bissecetur, F G, in , I, in triangulo vero fiat, FI, ad, I G, ut a. ad I. in trilineo, ut 3. ad I. erunt Puncta, I, centra aequilibrij duplicatorium cylindricorum .F E D. At per Prop. ant.si fiat ut,FG,ad,GI, ita, FK,ad,ΚG,Crat, Κ,
centrum aequilibrij dupli truci, EGHCD, di subinde figu-
406쪽
rx,FGH, vel, EDC, duplicatae . Est vero illius centru gra- εuitatis in diametro, ED. Ergo centrum grauitatis parallelo. granimi dupli, E C, ita lecat eius diametrum ut pars ad verticem sit ad reliquam sicut a. ad I. in triangulo ut 3. ad I .in trilineo quadrarico vi q. ad a. ia sic in cubico vi I. ad I.&c. Quod ostendendum proponebatur.
diametrum, ut pars ad mer-ricem sit adreliauam, in parallelogrammo sicuti I. au a. in tr1angulo, φυι 2. ad a. in trilineo quadratico, ita ad 2.ιn cubico,vi q. ad 2.-μ deinceps autecedente semper
aucto initate, o retento b, nario pro consequonte . SInt expositae eidem figurae, sed basibus,DC, i imiti, AB, applicatae, iuxta quam, AB, sint
in prima specie difformiter graues Dico centrum grauitatis corumdem secare diametrum, E D, It propositum est. Sint. n. rursus in ijsdem constituti cylindrici, FC, uniformiter graues, qui secentur planis per bases, D C, & per, F, ductis, in truncum inseriorem , FD CE, & superiorem FGH CD. Igitur per Cor. Prop.2 2 aequaliter distabunt a limitibus, DC, centrum grauitatis
407쪽
38o Exercitatio quinta. - Cor. r. duplae figurae, EDC, & dupli dicti trunci inferioris,quod se
δ' hin obtincbitur . Iam constat centrum grauitatis earudem figurarum tanquam uniformiter grauium,& subinde constat punctum, I, veluti in Prop.ant .centrum aequilibri j dupli cylindrici,FC, scilicet in parallelogrammo est, FI,ad, IG,vt s. ad I .in triangulo ut a. ad I. in trilineo quadratico ut 3. ad I.&c. At per Prop. a I. superiorem si fiat ut, FI,ad duplam, I G, ita, FL, ad , LG, erit, L, centrum aequilibrij dupli trunci, FDCE, inserioris, & subinde figurae, FGH, vel, EDC, duplicatae . Est vero etiam in diametro, DE. Ergo centrum grauitatis parallelogrammi dupli, CE,ita secat eius diametrum ut pars ad verticem, E, sit ad reliqua vi I. ad a. in triangulo Vt a. ad a in trilineo quadratico ut 3. ad a.in cubico vi q. ad a.&c. Quod erat ostendendum. EX hinc, orant. Proplatent quoque centra aquilγbrii trum corum indicris cylindricis constitutoru , qua funt eadem puncya, V, L: nempe, x trunci maioris dupli, FHCDG, O, L, trunci minoris dupli, FECD .
PROPOSITIO XXV. Is Uzemfiguris in prima specie dissormiter grauisus
iuxta limitem rectam thra merticem basi parastelam scentrum grauitatis diuidit in parastelogrammo sextaris partem diametri, ordine tertiam ὰ basi, ita it pars ses basim sim ad reliquam, mi dupla limitaris chi hceat appellare reliquam diametriproductae ses ad hmιte ad Hametrum. In triangulosecas duodecιmam partem diametri,ordine quartam a b ira mi pars ad basim madreliquam ,sicuta sequialtera limitarιs ad dametru . umbavo quadratuο viuidu vigesimam parum ordise
408쪽
De usu Ind. in inis digor. grauibus. 3 8 Iquintam, ita mi pars ad ba sit ad reliquam,sicutisexqvitertia limitaris ad diametrum. Et sie deinceps in re.
liquis trilineis inseruato processe. Sint dem semi-
figurae, EDC, in prima specie dinformiter graues iuxta limitem recta, A B, ultra vertice, E, basi, DC, parallelam. Dico caru-dem duplicatarum centrum grau itatis
dia inciri partes, Ut dictum est. Sint in ijsdem costituti cylindrici uniformiater graues, FCD,& producta diam tro, DE, usque ad limitem, AB, in , Q, fiat, QE, quam vo
datur quoque indefinite planuper, AB,&opposiet basis, FGH, basim , C, H, secans cylindricum,FC, in duos truncos, nempe se periorem,FGHM, &inseriorem, GHMECD, traductoq; plano, MN P, per, M, oppositis basibus qui distante, fiant cylindrici FGH PM PMNDCE. Notentur quoque in diametro, FG, tria pumcta, i, K, L, ut in Prop. duabus ant. effectum est. Erit ergo, I,centrum grauitatis figurae, cuius dimidia, FGH, tanquam uniformiter grauis , dc insuper centrii aequilibrij cylindrici, cuius
409쪽
cuius medictas, FC. Sic&, Κ', erit centrum aequilibri j dupli trunci, GMPN, &, L. , dupli trunci, GHM P . In luper se extendatur, GF, in , R, ita vi, FR, sit aequalis limitari, Ein, erit, RI, d, lG, ut trucus,GHMECD, ad truncum, FGH M. Si ergo fiat ut, RI, ad, lG, ita, LI,ad, IO,erit, L I,ad, Io, ut dictus truncus inferior ad superiorem. Sed, L, est centrum aequilibri, dupli trunci, GHEM, &, I, dupli cylindrici, FCD, eroo, ,erit centrum aequilibrij dupli trunci,GHMECD,&subinde centrum grauitatis dii pis figurae, FGH,dissorin ter grauis. Quod autem, J,cadat inter puncta, I, Κ, patet quia, I, est centrum aequilibrij dupli cylindrici , MN PCED, &, K, dupli trunci, M GH PN, unde centrum aequilibris totius dupli trunci, GHMECD, nempe, O, cadet intcr, I , Κ. Rursus quia truncus, M GH PN, ad truncum, GHMF, est ut, FI, ad , I G,& paliter, ut, Ll,
Fb HG, cyluadiici C,&trunci, MGAPN. Ideo erit ut, FI,ad, I G, ita, LI, ad , IK, unde erit, L I, eadem pars ipsius, FI,ac, lK, ipsius, I G, & haec omnia in omnibus hisce figuris
vera fiunt; nunc ergo eas singillatim examinemus incipietes a parallelogrammo, FGH. In eo igitur est, I G, medietas ipsius, FG, KG, tertia pars,ergo, IK, earum differentia erit sexta pars eiusdem, FG,& ordine tertia a basi, GH. Quoniaergo factum est ut, RI,ad, I G, ita,LI,ad, Io,erit permutando,
RI, ad, IL, ut, GI, ad, IO, & antecedentium sub tripla, hoc est erit οῦ, R F, cum , FI, ad, LI, ita , lG, ad, IO. Sed, IK, esse I G,&, Ll, , FI,eadem pars nempe ac, KI, ipsius, i G, per hic ostensa. Ergo erit RF,cum, Ll,ad, LI, ut,Kt,ad, IO,&diuidendo, erit , R F, ad, LI, ut, KO,ad, O I. Sed ut , RF,ad,LI, ita eorum sexcupla, nempe ita , scii dupla, Ri', ad sex pjam ipsius, LI, scilicet ad diametrum, FG, est enim, LI, differentia inter medietatem, Fl, ipsius, FG,&,FL, quae est eiusdem, FG, & subinde est, LI, sexta pars ipsius, FG. Probauimus ergo in parallelogramo centrum grauitatis, O, ita secare, lΚ,sexta parte ipsius, FG,& ordine tertia a basi , l
410쪽
te ipsius,FG, cumst differetia inter, r-
IG, ἰ ΚG, . ipsius, FG,) ordine quartam a basi, GH, ita
ut sit,KO,ad,Oi,sicuti sexquialtera,RF,ad ipiam,FG. Sic in trilineo quadratico est, IK, differentia inter, IC,&,KG, ' , ipsius,FGis & ordine quinta a bas, Osic liturq;Κt,ad,lo,esse ut RP,cum FI, hoc est cum, LI, ad iplam, LI,& diuidendo probatur,KO,ad, CI, esse ut j, RF , ad , LI, seu quintuplicatis terminis, ut RF,ad, FI. Et quia, GF,est sexquitertia , FI, ideo ut, RF,ad,FI, vel,KO,ad,OI ita erit scxquitertia i psius,RF,ad,FG. In Trilineo pariter cubico erit, IK, pars trigesima,nempe disseientia inter , IC, , Κ C, p ipsius, FG, ac ordia