장음표시 사용
411쪽
ad , O I, sic ostendetur esse, R F, ad , FI, & ita sexquiquarta ipsius, R F, ad, F G, quia, FG, est sex quiquarta ipsius, FI. In reliquis erit ordinate, I Κ, ipsus, F G, pars quadragesima secunda, ordine septima a basi; quinquagesima sexta, ordine octava, septuagesima secunda, ordine nona,addendo semper in ordine unitatem, & in partibus praecedentem excessum per binarium augendo. Similiter in subsequentibus subsumemus ipsius, R F, sexquiquintam,sexquisextam, seκ- quiseptimam,& sic deinceps iuxta reliquas proportionis sibper particularis species ordinatim subsequentes. SCHOLIUM.
ΙN triangulo, EDC,feis, FGH, reperitur quoque hoc modo
proportio; nem , O, itasecat, FG, a quatuor simia Hae -- Fnametris, FG, ad duas li- mirares , R F, cum diametro , FG; quemadmo in experientimanissum erit.
PROPOSITIO XXVI. Iu i rim Murii ,sed in prima specie di formiter grauibus
iuxta lι mitem rectam basi para elum, ιν ultra ipsam ductum; centrum grauitatis diui it tu para elogrammo si xtam partem diametri post eiusdem a basi numeratas hoc est ordine qoartam, ita mi pars mersos morticu sit ad ri uam, sicuti dupla limitaris ad diametrum . In triangulo it Hecat Hametri pon a basi numeratas , mi pars merjus verticem it ad reliquam, mi iuri ltripla limitaris ad diametrum. In trilineo quadraticolla secat ' diametri post . - a basi numeratas, ut pars verjus χιrluc H ad reli tuam, Teluti quadrupla limi
412쪽
taris ad diametrum . Et sic in roliquia trilineis sinisi seruatoprocessi. .
rioribus figuris eadem constructa supponemus, at basis,CD, sit obuersa
rallelo, transeatq; planum secas per , AB, & verticem, RQuoad parallelogramum ergo domostratio non eritalia a superiori. In triangulo vero sic propositum ostendemus . Erit itaque,RI,ad,Ip,ut truncus inferior ad superiorem, quod si fiat ut hic ad illum,ita,M, ad, IO, osse detur, O, ut in
trum aequilibrij tadupli trunci, FECPND, quam duplae figurae, Gm, illudq; eadere inter, L L,
I uncta. Porro cum, VI, in eadem probata sit esse in paralelogrammo ipsius,GF,in triangulo in trilineo q. in cubico , in quadratoq; &c. sitq; v t, GI, ad, IF, rea, SI, ad, IL,quia ills sunt ut truci,FMPN,FGNPΗ,&GI,ae ualis ipf,IRin parallelogrammo, in tria gulo vero si ,Gl,ή 'psus, IF. in trilineo q. , in cubico ...in q. δ&c. eiusdem,lF,patet mparallelogrammo, IL, & GI, a bas, GH, num crataS. Sic in 'riangulo erit L is pq stGI, A ipsius, GF, numeratas
413쪽
cuius unque ρaraselor ammi, mel trisu , in quacunque specie dissormuergrauis, iuxta limitem rectam' p
rasiam per merticem ιranseuntem, centrumgrauitatis exhibere. EXponatur denuo Schema Propositionis x I. huius, in quo limes sit, AB, aequidistans basibus, CD, paratilalelogrami,&,ΗF, trianguli, caeteris, ut ibidem constructis . Quod eigo, KI, sit dupla, IM, dum, A C, Pinponitur in prima specie difformiter graue , probabitur praecise ut ibidem. At si concipiatur, A C , tanquamis diffose
414쪽
difformiter graue in secta da specie , tunc sic discutiemus . Grauitas, CD, ad n grauitatem, N Ο, erit ut ΜΚ, ad q. KL, hoe est . si circa diametrum, KM, n basi, DC, supponatur Atrilinesi quadraticu uniformiter graue ut in eodem Nad, KM,applicatae in pun- ctis,M,L,&subinde utip.
sarum applicatarum grauitates . Ergo, AC, erit proportionaliter analogum ingruuitate praefato trilineo quadratico . Sed eius centrum , grauitatis vr, I, sicit, XI, triplam, ipsius, IM. Ergo, i, erit , 'huiu,. quoque centru grauitatis parallelogrammi,AC, dis imiter grauis in secunda specie,seciens, X I,triplam, I M. Sic osten. demus in tertia specie,quarta,quinta,&c. Fieri XI, quaeruptam, quintuplam,RAruplam,&c. ipsius, M. Pari ratione si supponamus triangulum, EFH, in prima , specie diffor. graue, ostendemus more solito grauitatem, FH,ad,grauitatem,QP,habere rationem compositam ex raiatione,FE, ad, EQ,& ex ratione, H F, ad, P i, nempe grau. FH,ad grau. QP,erue vi q. FE,ad q. EQ,hoc est ut applicat et in trilineo quadratico per puncta, F, indi ut earum graui tales, si ipsum intelligamus esse unifor. grave. Ergo atque
aberunt a vertice,E, eorum cetra grauitatis,quia erunt proin
portionaliter analoga in grauitate. Est autem centrum gravitatis trianguli,EFΗ, pariter in diametro, EG, ergo erit ita, R,ubi fit,ER,tripla, RG. Quod si suppossierimus triangulum, EFΗ, disi. graue in secunda specie, ostedemus ipsum esse proportionaliter anais Iogum in grauitate trilineo cubico, & subinde,ER, csse qua druplam, RG. Sic probabimus in tertia specie esse quintu-Pum,in quarta sextuplam,&e.
415쪽
COROLLARIUM. Hupotest niuem ius eos, de Olindricis circa axim. UM, Hfr. grauibusine λ in quacunques ecie, sim
te, EB quod in iacta Prop in prima specie tantum inferebaσαν. Immostin basi, AC,fuerint quoque cylindrici dissor graues in
quacunq uespecie, iuxta limitem, EB,sa planum g rum ι-- gens. ac transiensper, EB,pas et hinc quoque colligi eorum centra grauitatis,funt enim inaeadem aestantia a omite tam his iii Ulmis com ,quam parauelogrammi, AC, centra frauitatu , is in eorum diametris . Simili modo pro conicis per viam trimguli, FH,in quacunque ferae ia grauibus eadem centra cinligemus: ut etiam haberi poterant in paxabolicis cylindric Hsjorvira ιbus,cum, νιμ insequentibu uerint parabolarum inqu/sua cenixa grauitatis ; sicuti se in omnibus cylindricis in bsibus figuris planis , quorum simi nota centragraritatis,
SCHOLIUM. Ex hisfacile Lector intestura cuiuscunque trilinei in quocunque specie rigor. Iraris iuxta limitem per vertIcem ιranseuntem centra grauitatis haberi posse. Aua i mcaerutanda relinquimus scat etιam eorum centra, cum fuerant uncumque diff.grauia juxta limitem per basim transeuntcm, vcι eidem aequid anter ductum fedextra figuram,ut ea, θηηθμctant ad trapeasia, Gr alia quamplurimascitu digna: angustia enim temporis laboras esseresemper aegritudine vexatus o Non haec in aliud tempus disserre conie anda, ornanc Hygitantum innuere . . propter in quiPusdam adhuc Ruris tam planis quam solidis solum centragraritatis meditarimus cum fuerint des or. frauia iuxta timitem per versicem triseuntem, ac basi parallesum. Nunc ergo a parallelograminis, cr triara gulis transbimus ad centra grauitatis 'rimanda in ta solis or.grauibus, licet tantum in primaspecie dissormiratis.
416쪽
In pardoti lineari, quadratiω , rabis, ονα in prima specie tantum dissor. Iraui iuxta limitem rectam basi
, Schema Propos II. huius,in quo supponemus cylindricum, EG CB A. unis graucm, sed parab'Iam,ABC,vet,EFG,in prima specie dissor. grauem, limite per verticem,B,vel,
F, transcunte . Iam conissant cetra grauitatis parabolarii linearis,quadraticae, cubicar, &c. ita secare diametrum ut parS verosus verticem si ad reliqua in lineari ut a. ad I .in q.Vt 3.ad a. in C,vi q. ad 3.&e. progressioncmque esse ut in his numeris.
. I a 3 4 s. Insuper manifestum est quoq; centrum grauitatis trimci inserioris, BECc A, uni f. grauis,& parabolae, ABC,diffori grauis aequaliter: bcsse a veitice, B. Sed illius trunci habetur centrum grauitatis,uci aequilibri j,M , si fiat, ut, FI ,ad, HI ,ita, F M ad , NH. Eigo habebitur quoque centrum gr. par: ibolae, EFG, vel, ALC . Vnde cum in parabola linearis ,FH,ad, HL, ut 3. ad I. erit, FM,ad, MFl, ut 3. ad I.&in quadratica, ut 3. ad a. in cubica, ut7. ad 3.&c. Ita ut prOg reiso sta ut in his numeris.
417쪽
COROLLARIUM SI easdem parabolas opponeremus diss graues in prima
s CHOLIUM. Congrueret ut earundem parabolarum necnon eis si iti omni specie dissormiter grauium uxta limitem tangenristem in vertice,vel illi paMaltilam reperirentur centra grauitatis, H ct portionum eorundem. Ηας obtineri possiunt sin ipsis, vet eorum portionibus, senonerentur constituti cylindrici, quorum diagonaliter refectorum habeantur centra grauitatis inferiorum truncoram,ri in prima specie dinor.docet nos Prop. 2 a. huius, cum eius Corollario. Sed quia illa nunc rimari non vacar deo studiosis hae relinquemur inusiganda, a planisque ad solida gradum facientes, primo Coni centrum grauitatis inquiramus.
418쪽
grauis, iuxta limitem punum per Verticem transiens, basiqueparastelum, nempe ordinatim in specie I. a. 3. ωc. centrumgrauitatis itasecabis siseus axim,vιpars ad merticem his reliqua tripla in unis graui, quadra
Si conus,DEF,in basi circulo, DF,
axi, CE, primo unis grauis,eius que centrum grauitatis, I. Dico, CI, esse triplam ipsius, I E. Intelligamus Zoque trilineum quadraticum vnis. DF, graue, illudq; cum cono secari quocumque plano circulo, DF,aequi. distate, ac faciente in trilineo rectam, LM, & in cono circulum, GK, aequi. distantia ipsi, D F. Grauitas ergo cireuli, DF, ad grauitatem circuli, GK, erit ut circulus,DF, ad circulum,GΚ, hoc est ut quadratum,DF,ad quadratum, GK, vel ut quadratum, EC, ad quadratum, CH, nempe ut recta,DF, ad rectam LM,& subinde ut grauitas rectar, DF, ad grauitatem rectae, in. Ergo trilineum, DCF,& conus, DCF, erunt proportio naliter analoga in grauitate , eorumque centra grauitati , aequaliter aberunt a vertice, C, & sunt in, CE. In trilineo a huius. autem, DCF, illius centrum grauitatis ita secat, CE,ut pars CDr- η-
ad verticem,c, sit reliquae tripla. Erzo di in cono, DCF.
419쪽
Supponamus nunc conum, DC F, diff. grauem in prima mecie iuxta limitem,A aequi distatem ei fulo, DF. .
si IIupponatur illius centru grauitatis, esse,CI, quadrupla, IE. Sit enim modo, CDF, trilineum cubicum vnis. graue
teq; in trilineo rectam,LM,δc in cono circulum, GK. Si er go circa, E, centrum in plano circuli, DF, assumatur circulus, NO,aequalis circulo,G illeq; medius intelligatur inter circulos, DF, G Κ,erit proportio grauitatis circuli, DF. ad grauitatem circuli,GK, cor posita ex proportio ne seri circuli, DP, ad gr. circuli, NO,scilicet ex proportione circuli, DF,ad circulum, NO, vel,GΚ, hoc est quadrati, DF,ad quadratum,GK, vel quadrati, EC, ad quadratum, CH; & ex
Proportione gr.circuli, NO,ad gr. circuls,GΚ,hoc est ex proportione, EC, ad,CH. Duae rationes vero quadrati,
EC, ad q.CH,&,EC,ad, CH, faciunt rationem cubi, EC, ad cubum, CH. Ergo gr. circuli, D F, ad gr. circuli, GK,erit ut cubus,EC, ad cubum, CH, nempe ut recta, DR ad rectam, L M,& ut grauitas rectae, DF, ad gr. rectae, L M. Sunt ergo trilineum cubicum, DC F, unis graue, & conus, DCF,in prima specie diff. graues, proportionaliter analosa in grauitate. Ergo,Cherit quadrupla, IE,veluti se habet in trilineo cubico. Eadem ratione ulterius proeedentes ostendemus, CΙ,esse quintuplam,IE,in cono, DCF, diis. graui in secunda specie, quia fit propori analogus . in grauitate trilineo qq. in quo sic diuiditur, CE,ab eius centro grauitatis. Similiter proba.
bimus , CI, esse sextuplam, IE,in eo no, DCF, diff. graui in tertia specie, quia fit propor. analogus in grauitate trilineo qc. &sic deinceps in reliquis rationem dictae progressionis eodem inodo demonstrabimus.. Quod,&c.
420쪽
De usu Ind. in mnis dissori grauibus .
es condides quodcunq; parabolicum supponatur primo inia formiter, deinde distormitero e iuxti limum pianum
per merticem transieni, basis par um, nempe ordi natim in scis I. 2.3. q. crc. centrum grauitatis ira secabit istius axim, ut pars ad verticem sit reliquae dupla in mniformiter graui, tripla in primo cissormi, qua drupla infecundo, quintupti in tertio ,σc. o'sic dei rapi simili seruato processu . SIt eonoides quodcunq,par,
bolicum, DCF, in basi circulo, DF, & circa axis , CE, se; primo uni Brmiter graue, eiusq; centrum pr. I. Dico, CI, este duplam, IE. Fiat triangulum, DCF,pariter uniformiter grJue, quod cum conoide secetur plano quocumq; ipsi, DF, aequi ductante, ac faciente in conoide circulum, PQ , sed in triangulo rectam , GK, quae aequid istent ipsi, DF. Erit ergo grauitas citaculi . DF, ad pr. circuli, PQ, ut circulus, D
ergo hoc triangulum, & conoides proportionaliter in grauitate. Erit igitur, CI, dupla, IE, ut contriangulo, DCF. Sit nunc conoides difformiter graue in prima specie, iuXta limitem, AB, per verticcm,c , ei Olim ipsi, DF, parali lum . Dico, si, I, sit eius centrii m gr. e sic, CI, triplam, IE.