장음표시 사용
441쪽
AZ uerte tameα etsi supposuerimus figuram datam esse
circa diametrum facilioris intelligant gratia , attamen propa stum quoque ver cari circa quas que figuras piauas , assumpta vice diametri M. V. earum altitudine, o hoc ex νι Prop. I 7.superioris,oCorollari, aliari pro H grauibus . Adverte etiam in hae grameatum compararione nossemper nonere in recta να Lia limiti, ct ab eodem remat mma, ut ιn, CR,eundem gradum grauitatis,a quo versus timitem proceitPauitas tam νniformis , quam qu/cunque dissormis. Sic or in folidis in plano limiti paratulo. ct ab eodem remotist mo eundemgradum auitati emper supponemus ,pro earim si ratorvam vis a Ad . ncunquegraui.
Eadem analogia sensa tu Trop. ant. de planis figuris, Δ
fudit quoque merificatur . SIt primo cylindricus,DF,circa aXem,
CG,in basi figura quacunque, HF, unifgrauis,& deinde diis.m prima,secunda specie, &c. limite plano, AB, ipsi,HF, parallelo. Intelligatur quoque, DF,esae parallelograuamsi,circa diametrum, CG, in basi retia, HI', unis graue, ac deinde diis in prima, secunda specie, &c. limite, AB, ut recta linea. Sumatur deinde in , CG,quod iis punctum, taper quod agatur planum g qui distans ipsi,HF,ac facies in cylindrico, DF,figuram,oli, similem, aequalem,&similiter positam ipsi, H F.&in parallelogrammo, DF, rectam, OR, existentibus, H F, O R, retiis homologis figurarum,HF,OR. Vt si illae sint circu
442쪽
ti,&,ΗF,OR ,sint earum diametri. Cum ergo grauitas unis. HL figurar,vel figurae, CR,ad quamcunque grauitatem disi formem suppostam in eadem figura, CB, ita sit gr. uniformis rectar, HF, vel, OR, ad eandem praedictae gr. di i memssippositam in recta, OR. Erunt grauitates unis Cmnit Nata, planorum cylindrici,DF, adgrauitates difformescors dem εχ. . in data specie,ut grauitates omnium rediarum, DF,vnif.ad 'gr. difformes carvdcm in supposita specie: & consequenter grauitas unis cylindrici, DP ad eiusdcm dissi rincm , edit ut gr. unis parallelogramini, DF, ad ciu silcm gr. difflarn em in laeta specie. Insuper cxdcmonstratis patct cylindricum,
siue supponatur insimul unis grauis, siue insimul din gra j. liuiu,. uia in data specie, & conssequenter habere ccmmunia cenis tia grati itatis. Sit,P,centrum gr.pro ipsis unis grauibus, &, a
pro ij silcm tanquam diff.grauibus in prima specie. Quia
ergo gr. unis parallelogrammi,DF, ad eiusdem gr. primam distormem c si per praeced. Prop. vl,CC, ad,c P, ctiam gr. Vnisormis cylindrici, DF, ad cius cm primam gr. dis orna m erit ut,GC,ad,CP . Sic Osicia dcinus primam d florinem ad secundam in codcm cylindrico csse, ut,Cc ,ad, in&gr. vnisor. ad sic cundam sicutiq. GC,ad rebangulum sub,CP, CQ. Et eodcin modo in reliquis specicbus procedc mi s. Quod si solidum non sucrit cylindricus, scd ex alter parte dc sciens, ut, Iic F, circa axiae, CG, tunc in cadi m illius basi H F,& circa eundem axem, c G, constituemus cy- lindricum,&pat allelogrammiam, DF. Et per quodcumque punctum, G,vt,L,traiecto plano ipsi,ΗΓ, aequi distante,ac
tur grauitates figurae EF,&reetae H F, viris ad grau. di mmcs figurae, NI, & rectar, MX,in quacumq; specie ostende- mus esse propor. analoga in gr. & subinde communia ha- 'bebunt
443쪽
bebunt centra gr. vi, P, centrum gr. pro iisdem tanqua unis grauibus, &, 4pro ipsismet laquam in prima specie disse miter grauibus. Et quoniam ostensum est gr. viris. HK vel, OR, figurae ad gr. difformem figurae, NI , esse ut gr. vnifr vel , OR,ad gndifl. retiae, MK, in eadem specie, &hoc ubique. Ideo grata. uni Dcylindrici, DF, adgr,diis ne solidi, H CF, erit ut gr. vnisparallelograto. huius. nai, DF, ad eandem grauit. difformem figurae,HMCKF . Cum ergo gr.vnis solidi,HCF,conuert edo,sit ad gr. vni f. cylindrici, DF, ut gr. vnisparallelogrami, DF, adgrau.vnis. figurae,HMCKF,&gr. unifcylindrici, DF, ad gr. difformem sblidi, H CF, ut gr. vni f. parallelogramini, DF, ad eandem gr.difforment, HMCKF. Erit ex aequali gr. uniformis, selidi, H CF,adgr. ditarinem eiusdem, ut gr. Vnis figurae, ΗMCΚF , ad gr. difformem eiusdem in eadem specie. Cum ergo ex praec. Prop. gr. vnisor. HMCKF, ad eiusdem primam gr.difformia sit, ut, GC, ad, CP; etiam gr. viaissolidi, H CF,ad eiusdem gr. iii Ninem erit ut, GC, ad, CP. Eodem modo ostendemus gr.pr,mam ad secundam eiusdem solidi esse, ut,GC, ad,CQ, & gr. unis eiusdem ad secundam difformem, vi q. GC,ad factum siti, CP,C β sic in reliquis speciebus quemadmodum in figuris planis. Exemplum attulimus quando limes, AB,tangit figuram, eodem tamen modo fiet demonstratio etiam si non tantat. Similiter si solidum non habeat axim,assumentes illius altitudinem,uel quamcunq; rectam limite, AB,& basis plano , H F, interceptam, eaq; diuisa per parallela limiti plana traim seuntia per centra gr. solidi tanquam uni f. grauis, deinde diff. in I. a. 3.specie,&c.& usurpantes illius portiones cadentes inter limitem, & dicta parallela plana per centra gr. producta, tanquam centrales, propositum nihilominus ostendemus. Quod,&c. LPs. i
444쪽
COROLLARIUM I. CVm ergo hae analogia tam in planis, quam in folidis v
ri eiur,inuentaqsint centragr.nonnullarum ramplainnarum,quam folidarumsurarueatet pcr has duas periores Propos earundem grauitatum in diuersis speciebus proportionem obtinere Fosse tum adgrau. uniformem earundems visim im,tum etiEinter se comparato Sicuti vicissim spriks iueta
fui seni haru grauitatum in eadem figura proportiones , eis equoq; respondentia centragrauitatis colligi potuissent. COROLLARIVM II, PAtet quoq; s camparentur diuesarum planarufigurarum
interse, velfolidarum intersequ cunq, grauitates, cum in unaquassi fuerint nota centragri tanquam unis deinde diis graui in I. I. 3 specie, OQinnotuerit quoq; proportio graui arse formium comparatarum figuraνώm; quod manifesta euadet ratio cuiuscunq grauitatis νntus adquamcunq;grauitate alte rius comparatariρ figurarum. Euasgenerales regulas nunc ali quibus ex figuris quaru vra rnuc nim s ceπtra grauitatis, in exemplum applicabimus.
In parastelogrammo quocunq; diuersarum eiusdem grauitatum proportiones assignare. IN quolibet parallelogrammo primo vii isdeinde dissori
graui in omni specie ordinatim, ac limite quouis laterum, centriim gr. ita druidit diametrum, ut pars ad veri cem sit ad reliquam in unifor. graui, ut s. ad I. in primo di. formivis. ad i.&c. sicuti ostendunt hi numeri
445쪽
Ergo tota diameter ad primam centra Iem erit ut a .ad I .ad secundam ut 3 ad a. ad tertiam ut 4. Rd 3. &c. veluti exhi-hent hi numeri. a 34 6 &e. I a 3 s Centrales Sic ergo grauitas uniformis parallelogrammi ad primam difformem erit ut a. ad I. prima difformis ad secundam ut 3. ad a. & sic deinceps, ut ostendet haec secunda series nu
Quod si velimus rationem grauitatis unis. parallelogrami ad fingulas difformes ordinatim,inueniemus hac seriem.
namque unis grauitas ad primam difformem est ut a. ad I. Eadem ad secundam difformem, vi q. diametri, ncmpe 9. ad factum subprima,& secunda centrali, hoc est sub quod est . nempe Est autem ut 9.ad 3.ita 3. ad I. Pariter eadem grauitas unis ad tertiam distormem erit, ut cubus diametri,qui, ut apparet in superius allata secunda numer
rum serie, est q. nempe M. ad factum sub r, nempe ad vel adu scilicet ut . ad i.& sic deinceps fiat tertia se
Aliter quoque habebuntur rationes grau. vniis. dicti parallelogrammi ad difformes , nempe ex comparatione eius dem ad triangulum, & trilinea ordinatim subsequentia circa eandem diametrum parallelogrammi . Grauitas enim. prima difformis eiusdem aequalis erit grauitati uniformi trianguli, quod facile probabitur. Est autem grau. vnisparallelogrammi dupla grau. unis dicti trianguli. Ergo gr. unis parallelogrammi ad primam grau. difformem eiusdem erit ut a. ad I. Sic cum eadem grau. unis parallelogrammisit tripla grau. uni f. trilinei quadratici,eadem erit ad secundam grau. diff. ut 3. ad I. Et sic in reliquis, quemadmodum indicat superior tertia numerorum series.co ROL.
446쪽
is quoque pro Ulindricis inca eandem dia-etrum cum Dorasielogrammo , vel in eadem tanquam in si existentibus. eam habeant communia centra grauitatis, e ubinde commmnes centrales. SCHOLIUM PRAEterea autem alias figuras planas, quarum inuenimus M.tragrau. cu quilibet iuxta praesenses regulas generales, factia earundem diuersarum grauitatum proportiones elicere poterit, tantumque gratia exempli insigniora solida, de quibaserimus, in medium asseremus, ne e Conu Conoid patrat heum hyperbolicum,ac Spharam,su Sphaeroides.
Iim tu cono practare mnis. Fmtcumq; rii sor. graui, limite plano Esum in mertice tangente.
ΙAm constat ex Prop. 29. superiori centrum, gr. ita secare axim,ut pars versus verticem sit ad reliquam in uni sor. graui ut 3.ad i.in primo difformi vi q.ad I.&c. quemadmo- x . huius. dum indicat haec semes numerorum.
Ergo axis ad prima centrale erit vi q.ad 3.ad secunda.ve .adq.& sic deinceps,ut patet in hac alia numeroru serieqs 678 &c. 34s67 Centrales Sie ergo coni grau. vnisad primam difformem erit viq. ad 3. prima ad secundam, ut s. ad 4. &c. Eadem quoq; coni grau. unis ad primam dosso emo. stendetur este ut q. ad 3. ad secundam, ut I. ad 3. ad te
447쪽
Qui numeri habentur vel faciendo quadratum, cubu,&e. axis,&ducendo. in dec. Vel, quod est facilius ducendo necundae seriei numeros superiores in se ipsos, & pariter, inferiores, vi q. in I. facit ro.& 3. in q. facit Ia. ita ut grau. uni f. coni ad primam difformem reperiatur vi 2 o. ad I a. hoc estvi s. ad 3. similiter ducendo in seq. I. 6. sunt Iao. &3. . . faciunt 6o. Vnde grau. unis coni ad secundam d. ffari reperitur ut Ia o. ad 6o. Etenim graii. vni f. coni ad secunda affarmem habet quoq; ratione compositam ex rationibus q. ad 3. I. ad q. & 6.ad I. nempe axis coni ad suas centrales, ut constat ex Cor. Prop. 36. superioris. Per quod patet ratio extrahendi reliquos numeros dictae tertiae seriei.
Idem absoluere is conoide parabotico inis. mel micunque digfgrausi limiteplano imum in mertice tangente. EX Prqp. 3 o. superiori habetur in axe conoidis parabolici diuisi per centrum grauitatis, partem versu S verticem esse ad reliquam in unis graui,ac primo,secundo disse uti,&c. ut exhibent hi numeri.
Vnde axis ad centrales, &subinde conoidis dictae grauitates ordinatim erunt,ut indicant hi numeri. 3 4 3 6 7 &c. a 3 36 Centrales. Et conoidis grauitas uni f. ad singulas difformes erit ordinatim pro ut apparet in his numeris, dedu etis ex numeris secudae seriei,multiplica dota superiores inter se, quam in se riores. 36 si γ&e.
448쪽
EX Prop. 33. constant centra grauitatis conoidis hype holici,& subinde haberi potest ratio axis ad primam centralcm, secundam , tertiam,&c. &consequenter Srau, latis unis conoidis ad primam dissormem, primae ad secumdam, &c. nec non eiusdem uni f. ad primam, secundam,ter tiam difformem, &c. iuxta datas regulas. Exempli gratia, viso Schemate dictae Prop. 3 I. grauitas unis conoidis, DCF, ad primam difformem erit ut, EC, ad , CI; hoc est ut, EC, I a. ad , CV, 8. una cum, VI, ad quam, XI, est ut sexquialtera, SC , ad , CE . Qua ratione in caeteris quoq; speciebus grau itatis procedemus.
Issim determinare in sphaera, et sphaeroide, mnis vel utcunque dissori grau3, limite plano i um in Nertice
tangente. Ex Prop. 3 a. superiori habetur in axe Sphaerae, vel Sphae. Didis, diuisae per centrum grauitatis, partem versus Ita, tem ad reliquam esse ut exhibent hi numeri.
Vnde axis ad centrales,& subinde earum grauitas unis ad primam difformem, prima ad secundam, &c. erit ut ostendunt hi numeri.
449쪽
Et earum grau itas uniformis ad singulas difformes veIut in hac serie apparet . quorum numeri ex secunda serie deducti sunt, ut in Prop. ant. si etiam est. 4 Io ao 36
sCHOLIUM. Haec eadem fustipatet veris cari circa figuram ex duribusparabolis compassam, qua habetur in Prest. 3 aiu-Periori, quemadmodum hoc considerant acile innotescet.
scyltu rus , eouus, eonaides parabolicum , es' stbera fueriot circa eundem axim, triar; priora solida in eo mani basi, aequali circulo maxιmastbera, bmes merosit plauum psa in communi mertice tangens,inter eorum grauitate; iust cripta aequalitates reperientur. Supponimus autem in omnibus pIanum a limite remo tissimum , nempe basi eylindri, coni, & conoidis, tangentem ex opposito Iimitis ipsam sphaeram, habere eundem gradum grauitatis. Dico ergo cylindrum in prima specie difformiter grauem esse aequalis ponderis cum conoide parabolico unifor. graui. Nam grauitas unis cylindri ad gr. primam difformem eiusdem cylindri est ut a. ad I. per ostensa in Prop. 38. circa parallelogramma, & collecta pro cylindricis in eius C rollario. Sed eadem gr. unis cylindri ad gr. vnis. conoidis est ut cylindrus ad conoides, nempe via. ad I. Ergo pri maginu. ditati cylindri aequalis est grauitati uniformi cieticonoidis.
450쪽
Cylindrus in secunda specie dissor. grauis est aequalis
ponderis cum cono vnis graui. Grauitas enim unis cylindri ad eius secundam grau. dis formem est ut 3. ad I. Sed eadem grau. unis cylindri tripla est grauitatis unificoni.Ergo dictae grauitates sunt aequales. S phaera in prima specie dissor. grauis est aequalis pomderis cum Cono vnis graui. Nam sphaerae gr. unis ad eius gr. primam difformem est vi q. ad a. At cum sphaera dupla sit coni, eius grau. unis adgrau. unis coni est vi q. ad a. Ergo, Sc.
Sphaera in prima specie dissori grauis est aequalis ponderis cum conoide parabolico in prima specie dissorsraui.
Nam sphaerae prima gr. diffor. ad eius grati. uniformem est ut a. auq. Grauitas uni f. sphaerae ad gr. unis conoidis, ut q. ad 3. Et gr. unis conoidis ad primam difformem est ut 3. ad a .Ergo ex squali grauitas prima difformis sphaerae ad primam diffor. conoidis est ut a. ad a. nempe eidcm aequalis. Conoides parabolicum in prima specie ditar. graue est aequalis ponderis cum conm Vni f. graui. Etenim prima graii. diffor. conoidis ad eius i cm grau. Vni f. est ut a. ad 3. Grauitas uni f. con Oidis ad gia u.Vni f. coni est ut 3. ad a. Ergo ex aequali, &c.
Conoides parabolicum in secunda specie dimor. graue est aequalis ponderis cum cono in prima specie dimor. graui. Namq; secunda gr. dissi conoidis ad eius gr. unis est ut a. ad 4. hoc est ut 3. ad 6. Grau. Vnis conoidis ad unis. coni est ut 6. ad 4. & grata. unis coni ad eius primam difformem vi q. ad 3. Ergo ex aequali, &c. Ex superioribus quoq;constat cylindrum in secunda specie, Sphaeram in prima specie,conoides parabolicum in prima specie diss grauia, aequaliter inter se ponderare, quia atque ponderant cum cono vnis graui. Has paucas illustriores excerpsimus aequationes inter ductas grauitates, tanquam huius doctrinae insignia excmpla. Pluras alias poterit sagax Lector ex Propositionibus anteincedentibus depromere, cuius industriae hoc relinquimus, ut tandem ad huius materiae finem properemus.