장음표시 사용
471쪽
Operum et Olumiuibus aliquis ordo rerum non an reat. Ingenio equidem tuo in praemissarum Exerciιationum studi=s malae exercitato iucunda rerum, qua iupraesenti Exercitatione sunt marietas astatura solatium ea, praeter tilitatem, qua ρrodere iis, qui nouas inst tuere sculationes desiderant plurimarum sιentia conclusionum , quamuis inordinatim proponantur . Audetiam fortasse multus , mel sine dubio iucundius in boe opere flentus, ibi tuo genis , libero arbitrio poteris iniex instaseriptorum Theorematum reseruilambus , cin priamum evolueris incumbere , quamuis reliquorum demo strationes non mideris , cum unumquodque independenter a praecedentibus demonstretur. Exercιtatio ergo, quam
prae manibus babeo diuersorum Rudiorum ect, qua mibi de tempore in tempus in huiusimodi Theorematum resolutionibus amici Geometra proposuerunt, de quibus quidem, cum ιn meorum studiorum ocθs perpetrata sint , ocia ρ
riter ingeniν tui , quod adeo benigne Indiuisibilibus meis buc lue defatigasti ,haudare non malco . De
472쪽
et iones Conicas, & in omnibus uniformi.
DVm mea Geometria Ind. L-- Sextum con xerem incidi is modum describendae parabbias iis facilem , quem in eo Libro Scholio 2. Prop. s. studi sis postmodum communicaui . Diu dolui non posse par ter hyperbolam , in ellipsim tam faciis ratione describi. At deniq; animaduerti idem in idii quoq;persiciposse, quod
mihι non parum attulit evoluptatis. Hunc ergo modum
hic puIam Iaciendum ad pubiscam utibiatem duxi , quod praemissa sequenti Lemmatica Proposit ove nunc prae fabo.
Sit coni sectio, cuius mertex , A, , in ea sumatur pumctum quodlibet, I, per quod duae rectae ducantur , in parabola quidem , IA, D,m, parastela diametro , AC, at in reliquis , IA, IO , ad extremitates diametri transeerse, MO: seu D rUrsus in Udem quolibet puncto, E, per Esem exιendantur , CED, quidem parastela tangenti, AG , in mertice , A, π, GEF, paralisti Hemetro,Ac, occurentibus sui bis rectis lineis sndesinite productis in punctis, G, c, D, F, Dico igitur, GE,au, GF, esse, ut, cE, ad , cD.
473쪽
P Roducantur per , I, in omnibus, IB, parallela, AC,& in hyperbola , ac ellipsi, IIJ, parallela ipsi, AC inod ergo quadratum, CE , sit ad rectangulum sub , CD 'BI, ut, CA , ad , AB, in parabola manifestum est, cum, CD, BI, opposita latera parallelogrammi, CI, sint aequa lia,sitq;,.. primi 'CE Rd quadratum, BI, nempe ad rectangu- cou. tum sub , CD, Bl, ut CA , ad , AB; in reliquis vero sic probabitur. De foris sumpto quadrato, BI, intermedio inter uadratum, CE, & rectangulum, sub,CD, BI, habcbit quain ratum, CE, ad rcctangulum sub, CD, BI, rationem con, positam ex ratione quadrati, CE , ad quadratum, BI, & ex ratione quadrati, BI, ad rectangulum sub , BI, CD. Sed '. quadratum, CE , ad quadratum , BI, est ut rectangulum,co, T OCA, ad recta naulum, OBA;& quadratum, BI ad rectangulum sub , BI, CD quia habent communem altitudi-1iὸI 'vi, BI, ad , ED, nempe vi, BO, ad , OC, hoc est, sumpta communi altitudine, AC, ut rectangulum sub , BO, AC, ad rectangulum sub , OC, CA . Igitur quadratum, CE , ad rectangulum sub , BI, CD, rationem habet
474쪽
eompositam ex ratione rectanguli sub, OR, AC, ad rectangulum, OCA, & rectanguli, OCA, ad rectangulum, OBA . Duae rationes vero rectanguli sub, OB, AC, ad rctian-gillum, OCA, & rectanguli, OCA, ad, OBA, componunt rationem rectanguli sub , OB, AC, ad rectangulum, OBA. Ergo qua diatum, CE , ad r ectangulum, sub , BI, c D, erit ut rectanguluin sub , CB, AC, adrectangulum, OBΛ, idcst propter communem altitudincm, OBJ ut, CA, ad , AB. In omnibus ergo sectionibus conicis quod etiam in circuli circumserentia verificabitur erit quadratum, CE, ad rectangulum sub , BI, CD , ut , CA, ad , AB. Sed in ijsdem est, CA, ad , AB, ut, EG, ad , k, propter aequali
latcm oppositorum laterum parallelogrammorum, ΑΕ;Al ,&, EG, ad , HI, de foris sumpta media, GF, habet ratio. nem compositam ex ratione, EG, ad , GF, & GF, ad , HI, Igitur quadratum, CE , ad rectangulum, sub, BI , CD, habet rationem compositam ex ratione, EG, ad GF, &, GF , ad , HI. Sed idem quadratum, CE , ad rectangulum sub , BI, CD, habet rationem compositam ex ratione , CE, ad, BI,&CE, ad , CDir ergo duae rationes, CE, ad, BI,&, CE , ad, c D, simul lum prae aequantur duabus ration bus, EG, a d, GF, GF, ad , IHI, simul sumptis.At ratio,CE,ad, BI, hoc est, AG, ad , AH, aequatur rationi, GF, ad, HI. ergo ratio reliqua reliquae aequabitur. Erit ergo, GE, ad , GF, ut, CE , ad , CD. Quod ottendendum erat.
COROLLARIUM HIης manifestum est si ' Himus ex gme nem Hscribeνe
circa diametrum, AC, vertice, A, O in hyperbola, ac
euies latere ira uer , AO, tangat autem, AG , Iionem iri A, ciatque cum, Ac, quemcumque angulam, ν' persumpto quocunquefuncto. E,fer quoduecmo transire di, beat,quod, completo paralti logrammo, AE tectisque, CE, EG. ex. gr. in punctis, B, F, it aut fit, EC, ad , CD, sicuIi, ad , GF, ac ductis inparabola, HD parallida, AC, O, AF, rnrHιquIs vero, OD, A F, i que, si opus sit, indefinite productis; I , functum occursus earundem eru in Irosoluasia1one.
475쪽
5 iam Sectiones conicas describere . SIt vertex, A, diameter, AC, latus transuersum, Αοἰpunctum in sectione,E, tangensq; ipsem in, A,nempe, AG, qtiae cum, AC, efiiciat quemcumqtie angulum , sitque ipsa sectio, AE, describenda. Complcbimus ergo paralitalogrammum, ACEG, cuius latera ab, A. remotiola, nempe, CE, EG, in quotcunque partes aequales cutrobique tamen eiusdcm numeri vi ex. gr. inquatuor diuidcmus, puncta diuisionum notantes numeris I. 2.3.&c. a, C,G, Ver sus, E. Deinde in omnibus sectionibus ducemus ab, Α, ad puncta notata in , GE, occultas rectas lineas. Rursus in parabola extendemus per puncta notata in, CE,indefinitas
occultas parallelas ipsi, AC, sed in reliquis ab,O,ad eadem puncta
476쪽
De Propositionibus miseennesi. qq9
puncta in , CE, notata extendemus,ac producemus, si opus sit,occultas rectas lineas, ita ut occurrant prioribus ductisab, A, ad puncta in, GE. Puncta ergo occursuum primarum, secundarum,&c. vi, S, B, D, erunt in proposita sectione per Prop. ant. per quae & , E, curvam leniter extendentes,
habebimus optatam sectionem per puncta continuata descriptam,ut apparet in apposita Πgura. Sc HOLIVM LAD parabolam ergo describenda ussicit dari, AC, CRad quemcumq; -ζulusatuto vertice, ut is, A,in rei, quis vero praeter haec determinano est latus su Hameter Iram
fuero AO.Similiter quoa ellipsim obseruandum cst isdem ae ris nos posse describere quartam sartem eiusdem meu eadem
quarta minorem, aut maiorem, modo iam dicto: cum verosem empsim describere volemus, opus erit operationem est cere tam
in starallelogrammo, OE, quam in, AE, quae omnia assarent in praxim veriori Schemate. Porro integras frictiones h ac a
te Glineari posse versuum est commemorari. SCHOLIUM II. ET MIum est, CE, EG, in aequas partes, eiusdemque nu.
meri esse diuidendas, id tamen non es absolute nec Ariam , sed Jusscit eas proportionalite ecari , ut satet ex Cor. Prop. ant. Hoc autem facile obtinebimus, s ducentes rectam, CG, Mempli gr. ut patet insigura hyperbolae Propositionis priama , eidem, CG, parallelas cruor cunque extendemus, ut, G, PM, DF, RN, V siue pistores v unq; opus esse agnoueriamus, ut accuratiusfecDo defribi possit: dictae enim paralliti proportionaliter secabunt lateria, CE, EG. Has quirim paral- 1. elas facile ducere artificibus notissimum es, verum facillime seri poterunt, si quemadmodum apparet in figura Prop. primae, es in parallelogrammo, AEleorsim ξρsito,cuius proauctum esiarai, AG, indefinite in, X, assum erimus circino quascunque Lil aquas
477쪽
aquas parter ram is, G, quam is, GX, iungemes notata pumcta, strama, nempὶ ,fecunda, tertia, sec. rectis lineis, qua
erunt ipsi, G C, paralleia , ct hoc in omni sectione fieri pat
AT , latus rectum describenda parabolae, fu, AT , latus rectum, σ, OA , transuersum describenda huerboia, via ellipsis,in angulo, GAC, tangentis,sA,in vertice , A, cum dirimetro, Ac,non alio,νι antea, dato puncto infectione, prius aliquod punctum in ipsa sectione quaereremus, quod fieret. Indiametro AC, sumpto quocunque puncto,C ct ab eo ductat ingenis, AG, indesinitata parallela, CE, rectangulo b,CA,AT, 34. sec. in parabola aqualesumeremus quadratum, CE. At in reliquis, i M' iuncta, AT, eaque producta indefinite versus, T,ut habereta
478쪽
punctum, Z, rectangulo ob, AC, CZ ,sumeretur aquale quadratum CE ct completoparastelogrammo, AE, i a sectio, AE, ut supra describeretur. Manifestum est enim quod punctum, E. et insectione, cum quadratum. C E , t aequale rectangulo ',CA,se,AT, latere recto in parabolat, in hyperbola vero, o elli aquatur quadratum, CE, rectangulo b, AC, CZ, exce- I. Conicidens in hyperbola latus rectum, AT , ct in ellis ab eo deficiens rectangulo ili et , quod sub latere recto , AI , ct transuerso,
A O, continetur, iis conformiter,quα in Elementis conicis tranisduntur a
Cum operiorem praxim ex me quoque intesiexissent Toν-Hcellius, ct Roccha, eiusdem usi quoque diuersam a superiori,
elegantemque rationem attulerunt.
C plures, easique admirandas parabola proprietates
habeat, quarum nonnulus in nostro Speculo Nporis explicauimus, nunc quandam insignem tradomus, qua consistit in cogendis, ac conssipandia lineis quas intra δει cauitatem excipit ipsa parabolasea cono es parabolicum axiaquidistantes, mi mox duabus praemissis sequentibus lemmaticis Pronsitionibus ostendetur.
Si quaecunque recta linea , AE, in duobus punctis, CD,ita flectaserit , it sit, AE, AD, Ei, quemadmodum quadratum, AC, adquadratum, cD: trer rectae, AE, CE, DE,proportionales erunt.
479쪽
dia proportionalis in. Ater, AE,ED, talis erit vel 'maior, vel minor ipsa,CE,
sit primo maior, ur, B E. Cum ergo sit tota, AE, ad totam. BE, sicuti ablata, BE, ad ablatam, ED,erit reliqua, AB, ad reliquam, BD, ut tota,AE, ad totam, BE . Quoniam velo, AE, BE, DE, supponutur proportionales, erit, AE, ad, ED. ut quadratum, AE, ad quadratum, EB. Et quia vi, AE, ad , EB,ita ostensum est esse,AB, ad, BD, ideo quadratum, AE, ad quadratum, EB, erit ut quadratum, AB, ad quadratum, xa .c. Ele. BD. Sed ut quadratum, AE,ad quadratum, EB,ita dictum est esse, AE,ad, ED . Ergo ut, AE,ad,ED, ita erit quadratu, AB, ad quadratum,BD. Sed vi, AE,ad, ED, ita supponitur esse quadratum, AC, ad quadratum, C D. Igitur quadratum, AC, ad quadratum, CD , erit ut quadratum, AB, ad δε-s. Elc. quadratum , BD. Sed prima est maior tertia, nempe quadratum, AC, quadrato, AB, ergo & secunda quarta maior erit,hoc est qtradratum, CD, maius quadrato,BD, sed & e dem minus est, quod est absitardum. Non ergo maior, CE, erit media proportionalis inter, A E , E D . Eodem modo ostendemus n2c minorem, CE , talem esse posse. Ergo, CE, crit talis media, ipsaeque, AE, CE, DE, proportionales erunt. Quod,&c.
Sit quaecunqueparaboti, IF Μ, cuius mertex, F, diameter, FL, ιν quasumpto quocuoquepuncto, V, periUum hinc inde sique adsectιonem producatur recta , NI H, nonparallela tangenti ἔπ,F, apunctis, H,Vordinatιm ad , FL, applicontur Dico tres, FP, FH, IO , proportionalis esse.
480쪽
NO,vr,PF, ad, FO. Sed ut quadratum , H P, ad quadratum, NO, ita est quadratum, PV,ad quadratum, VO; sunt enim triangula, H PV, CVN, similia propicr parallelas,HP,NO,& ideo, H P, . NO,PV,VO, proportionales, ac subinde carum quadrata proportionalia. Ergo, PF, ad, FO, crit ut quadratum, P V, ad quadratum, VO,&consequenter tres, F P, F V, F O, proportionales erunt. Qv od,&c.
Si in parabolam, DAL, cuius mertex, A, axis, AI, b sis , DL , Iocus , N, inter , IA, carini per , N, applicatam , cNM, incidant parallati eidem axi, MI, etu, ED, HL, OC , PAM, FB, GT , binae aequeHRantes ab , MI, secante s DL , in puncDI, S, T, R, hae autem, ac retiquae huiusmodι refectantur a linea, DAL, mel a caua siversicie, QDAL, cono idis,DAL, incident omnes in jocum , Ν, t probaui in meo Speculo 'rio cap. 9. zico nunc quod, s eaedem protensae ultra locum , N, Iecundo ab eadem liva, mel seuperficie , DAL, risu iantur , caedem paradetiincidentes in portiones, DC , ML, aequidistanter axi, AI, in confisatiores egredientur ex, DAL, quam