장음표시 사용
511쪽
di buusmodi lentibus seum inuenire.
VTemur& hie eodem progressu Propositionis I s. pauiscis mutatis. Sit ergo Iens , CF , axis , ΗN,ce
512쪽
triam eauitatis, C FD, ipsiam, G, quae respiciat radios parallelos axi , ΗN, ex parte, H , venientes, &, I F, tripla, FG. Convexitas, CAD, habeat centrum, L, inter, I G, in prima figura, ultra, I , in a. & inter GF, in 3. unde in I.
di a. cauitas erit ex minori circulo quam convexitas, in 3. vero ex maiori. Constat aute ex Cor.ant. quod si cauitas dicovexitas essent ex aequalibus circulis,nullus essct socus,
sed radij axi paralleli retrangeretur secundo per parallelaseide axi. At si convexitatis centru esset in , I, secus quoq; esset in , I, a quo ijdem diu ergerent. In alijs ergo casibus est socus inquirendus, sequitur enim aliquis cum axi parallelorum concursus ex Prop. ant.
Esto unus dictorum radiorum, MB, quod a puncto incidentiae, B, per , BE, directam in , I, refrangetur, sed incudens in convexum, CAD, iterum refractus incedet perdia rectam in aliquod punctum axis, H N, ut per , ER, directamin, P, recedens a perpendiculari, LEO, super convexum, CAD, per , E, transeunte, faciensq; angulum , REQ , vel,
PEQ, in 3.figura οῦ ipsius, QEO, unde&, PEI, erit οῦ, IEL, di in a. figura, PEQ, Q. Ita. Quoniam ergo angulus, ELF, ad , IEL, est ut , EI, vel, FI, ad , IL, erunt in I.&3. figura utrique simul, LIE, IEL, qui aequantur exteriori, EL F, ad , IEL, ut, FI, ad , IL, dc diuidendo; LIE, ad , IEL, erit ut, FL , ad , LI. Sed in a. figura erunt componendo, ELF, IEL, hoe est exterior, EI F, ad , IEL, ut, EL, vel , FL,ia,LI. Est autem, IEP, vel, QEP, in 3. . ς, LEI. ergo, FIE, ad , IEP, in a. & a. fig.& in 3. FIE, ad , QEP erit ut, FL, ad δ, LI, vel ut dupla, FL, ad , LI. Est vero, ME, ad , IEP, in I. & a. fig.& in 3. FIE, ad , PEQ, ut, EP, vel, FP, ad , PI. Ergo in omnibus est ut dupla , FL, ad , LI, ita, FP, ad , PI. Et permutando, est ut dupla, FL, ad,FP, ita, Ll, ad , PI. Nunc in commodum Lectoris repetemus sere eadem, quae habentur in Prop. I s. ad perficiendam singillatim demonstrationem in I. 2. & 3. figura. In prima ergo istarum 'furarum cum sit dupla, FL, ad, FP, ut, LI, ad , I P, componendo erit dupla, FL, cum, FP, ad , FP, ut, L P, adiri. Cum vero sit ut dupla, FL, cum,
513쪽
13 1. Uς. FP, tota nempe ut tripla, FL, cum, LP, tota ad totam FP, ita ablata, , ad ablatam, PI, erit reliqua, hoe est tripla, FL, ad reliquam, FI, ut tota ad totam, nempe vedupla, FL, cum, FP, ad , FP. Et diuidendo, erit excessus triplae, FL, super, FI, quia enim, FL, superar, FG, etiam triplum superat triplum ad , FI, ut dupla, FL, ad , FP. Sed ut excessus, triplae, α, super, FI, ad , FI, ita sunt eorum subtriis
514쪽
subtripla, nempe ita excessus, FL, super, FG, quae est ipsius, FI,) c si ad , FG. Ergo vi dijerentia inter, FL, FG,
seu quamproxime inter, AL, FG. sfmidiametros conuexi,& caui, ad , FG , semidiametrum caui paralIelos aspicientis, ita est dupla, FL, seii sere dupla, AL, nemidiametri r
liquat ad, FP, distantiam soci a lente, iuxta dictam regulam
In a. figura eum sit dupla, FL, ad , FP, ut, LI, ad si Pa ει. . Ele.& ut unum ad unum ita omnia ad omnia, erit dupla , FL, cum, L I, ad , FI, vel dupla, FI, seu tripla, IG, cum tria pla, Ll, ad , FI, ut dupla, FL, ad , FP. Sed ut tripla, IG. cum tripla, LI, ad , FI, ita sint eorum subtripla, nempe ita, GI, cum, IL, seu ita, GL , est ad, GF. Ergo, GL, fere disserentia inter , A L, G F , semidiametros conuexi, & caui,est ad, GF, semidiametrum caui parallelos aspicientis, ut dupla, FL, seu proxime dupla, AL, semidiam trireliquae est ad , FP, distantiam socia Iente, consormiter dictae regulae generali. Deniq; in 3. figura cum sit dupla, L F, ad , FP, ut, LI, ad , I P, erit permutando, & conuertendo, IL, ad duplam, LF,vr, I P. ad PF: dc diuidendo erit excessus ipsius, IL, super duplam, L F, cum enim, L F, sit minor, FG , erit dupla, LF, minor dupla, FG, hoc est minor ipsa, GI,&mul- νto minor quam, LI, ad duplam , L F, ut, I F, ad , FP. Addita ergo communi, LF, erit excessus, I F, super triplam, L F, ad duplam, L F, ut, IF, ad, FP. Et permutando, erit excessus, IF, super triplam, L F, ad , IF , ut dupla, L F, ad , FP. Sed ut excessus, I F, super triplam, L F, ad, I F, ira sunt eorum subtripla, scilicet ita excessus, GF, super, FL, ad , GF. Ergo ut differentia inter, GF, FL, seu quamproxume inter, GF, LA, semidiatros caui, & conuexi, ad , GF, semidiametrum caui parallelos aspicientis, ita erit dupla, FL, vel sere dupla, AL, semidiametri reliquae ad , FP, vel, AP, distantiam socia lente, iuxta dictam regulam generalem . Datis igitur his semidiametris, poterit focus inueniri. Quod, &c.
515쪽
COROLLARIUM.Hrne babetur eandem fere distantiam socia lente prou nire quamcamque lentium huiusmoλ faciem ad radios parasiclos axi conuertamus. υ eni emper in eadem lente disserentia semidiametrorum caui, se conuexi, ad midiam
516쪽
De Propositionibus Miscestaneis . 689
ιν-faciei parallelos aspicientis, veluti duplum reliqua semia diametνi , ad distantiam fori . di Fod complete ostendemur quemadmodum in Cor. 2. Prop. Ia . hoc idem probatum es delentibus trinque conueris. SCHOLIUM. Constat ex hucusque demonstratis allatam regulam generalem in lentibus utrinque conuexis, vel νmnque cauis, ct in conueris tantum ex unafarte, ac ex altera cauis, de
quibus proprie allata est, verificari. Etsi enim quando cauit. ris, vel convexitatιs centram abes a lente /riplo miriametri conuea uatis, id non expresse probatum fuerit, se d tantum d monstratum focum esse in eodemmet centνο , id tamex facile essendere. Nam sin prima fg. Prop. I y.θνεnamus, I, emrrum caui, CFD, quod ab t ab , A , triplo semidiametri , GA, conuexi. CAD, em vi, IG, disseνoriasmidiameιrorum, GA, IA uel Ire GA, IF ad, GA, cuius,IG,est dupla ta duplum reliqua semidiametri , I F, ad , I F, distantiam foci, nam focus fere es an, I. Eodem modo ostendemus iuctam regulam veri cari. Fin 3. D. Prop. I 'Ist,G, centrum caui, BFD, i νμ, connexi , BAD, centrum, I, τυ πι, IF ost tripla, . Remaneιθ-lum casus quando cauitas , ct conueritas, fient ex aquabbus cινcutis, tunc enim nullus datur focus, vel maris dicere, insi. nite distat se lente. Veram ct huic casui per quandam analo gram adaptatur eadem regula generalis, es enim ut disterentia femιdiametrorum qua quia circuli cauitatis, ct convexitatu sunt aequales nulla em hoc est nihil, ad altera semidiametrum, ita duplum reliqua semidiametri, ad disiantiam foci a lente, idcirco infinitam . In omnibus ergo casibas circa fas lentes contingentibus Eo regula generalis verificatur. At δε quis Me Eet eam quoque extendere ad lentes ex una parte planas, se ex altera conuexas, vel casas, id ei licebit s-mιuter per quandam analogiam; supponens enim planum se convexum, vel cauum cuius centrum ab eo infinite disteticiuaggregatum vel differentiam femidiametrorum esse quid infi-mι um, ergo convexum, vel cauum conuertatur ad radios axiparallelos, erit dictum ametatum, vel digerentia infinita, ad
517쪽
semidiamurum convexi vel caui,ut duplum reliqui semidia metri, hoc is duo infinita, ad distantiam sci, daarum idciνrae emiatiametris convexitatis. Uet sermutando, erat νnum insinitum ad bis anfinitum, ut se Hameser conuexuatis, ad diametrum eiusdem. hoc est adsocι distant1am . Vere en saos hHUmori lentis distat a lentes re pre diametrum conueritatis. R. uod si planum ergat ad parallelos , erit dictum iusserentia infimia, adsmidiametram facies parallelos aspicientis, infinitam . ut duplam reliqua semidia metu, nempe convexi vel caui addistantiam fora, qua erit'mnter dula dicta femiHametra convexitatis . Gemralissima igitur est hac regula ommbustuc huiusmodi lentibus.qua penes planitiem convexitatem,stcauatarc pharicas. ν Masso riuntur varietates, congrue re potest. Moniam νινὸ utomis diameter ad midiametrum ita est dameter ad diametrum, irio eadem regula meliusfic constitutiois.
Eadem regula generalis ad inueniendos socos in omnibus
Conuexis, vel cauis in contrarias partes vergentibus, ut aggregatum; scd ijs ad eandem partem constitutis, ut dissercntia diametrorum utriusque faciei, ad alterutramex ijsdem diametris,ita reliqua diameter, ad distantiam soci
Porro manifestum est incuti rasi axi paralleli in disis Iemribus concurrunties convergunt,adsuo νι os,veI ab lys diare gunt ta e atras ab is em punctis quisunt foci, intelligamur radios disergere, vel ad eos convergere, quod tranfata lente re frangentur peν rectas axi e-undem len/rum flaratulas. Similito consat ad eo ciendos ex parauelis conarergentes,
518쪽
utendum esse lente vel ex Vna parte plana, cr ex altera couexa, vel utrinque convexa, aut ex una parte convexa, ct ex altera caua. cauitate tamem quest ex maiori circulo, quam conuexitas, hoc ess, iuxta Veplerum, Menisco, quae cum ita construi possit ut eiusfocus longilymὸ aestet a lente. quamuis caritas, convexitas non set ex circulis valde magnis,idebaequFosiras laconuexitatι circuli valia magni, plano associatae in eadem lente . Huiusmori quoque lentibus poterimus efficere radios nu. i so. er divergentibus parallelos a i i. Euodsi velimas parallelos axisicere divergentes a puncto ultra lentem versus parasteus in
ara constituto νtemur vel lente plana ex una parte, se ex altera caua. vel virιnque caua. siue ex una pote conuexaues ex altera caua, is a tamen ut convexitas sit ex maiori circulo quam
caritas, quaecum ita construi possit uterusscus longissim/d set a lente, quamuis conue ιtas ct caritas non sint ex circulis valde magnis ideo aequFouet sola caritali circuli valde magni, plano associata in eadem lente . Huismodi quoque lentibus poterimus efficere radios ex convergenti sparallelas axi. Eoniam vero Meplerus in Dioptr. num I 3 I. volens pro Merseo focum inuemre , proposuit hanc regulam generalem. nempὶ quod quantum attenuatur lens, tantum etingatur comcursus .fuscus is lente, hancque fotum per inductionem , ct a paucis casibus , probauit,
ideo nune videndum rsat num per nostram iragulam. hoc idem aliqua meliori ratione or uniuersalius demonstrari possit. Euod exequi cena. bimur en prius seqμmu - - . Propositione.
519쪽
Si duo Hreuli, ABC, PBe, describantur, quorum ripia. raste mutuo seceοι in punctis, BQsintque diametri, ARDE, i, iungatur, BC,seeans easdem in , G, quibus erit perpendicularis, ut facile ostendi potest. Dico, EG, a GF, esse πιι, AG, ad, GD. FR it enim quadratum,
GC, aequale tam roctangulo, AGF, quam rectangulo , L. GE; quapropter rectangula,ACF,DGE, erunt aequalia, habe-huntque latera reciproca. Ergo erit,EG, ad , GF, ut, AG,ad,GD. Quod,&c. S c N O L I V M.
IN pr fatis lentibus cusupponatur parus crassitiet,et hinc inde ab axi,AF, non excedererrad. I S. erit proportio, AS, ad, GD,qua proxime eadem proportioni, AF,ad, FD, vel et a Usius, AF,diametri ad, ED, tametru. Vnde sequitur sarcus conueκitatu , vel caritalia lentii. ab eadem chorda, via , BC , in lentibus , BEC, BFC. obtendantur, earum usversos, EG, GF, hoc est ipsarum crasities, esse quamproxime
tu reciproca ratione diametrorum earundem convexitatum, vel cauitatarm.
520쪽
δι artus convexitatis, et eauitatis lentium radaurum ab eadem Aordasubιendantur: erunt imarum crastissin reciproca ratione distantiarum earundem focorum ab
iUrim lintibus. Sit primo lens, ABED,
siue aequali,siue inaequali convexitate, chorda, BCD, arcubus, BAD, BED, communis,& axis, ACE.supponaturque alia les,BA DCB. Dico ut crastities,EA est ad crassitiem, AC,ita esse distantiam foci lentis, AC, liceat lentes, per earum crassities nominare)ad distantiam soci lentis, ΑΕ, ab ipsis lentibus. Erit enim vi, EC,ad,CA, qui sunt sinus versi arcuum, BED, BAD,) ita quamproxime diameter conuexitatis, BAD, ad diametrum convexitatis, BED, per allata in proximo Scholio. Sed dictς diametri sunt distantiae socorum ipsarum lentium. Ergo ut crassities, EC, ad crassitiem, CA,ita distantia soci lentis, AC, ad distantiam soci lentis, CE. Qihod eodem modo de quibuscunque alijs lentibus, quibus sit communis chorda, seti planum,BD,ostendemus. Igitur componendo,ur, EA,ad, AC, ita erit aggregatum disctarum distantiarum, hoc est diametrorum convexitatum, B AC, B A D, ad diametrum convexitatis, BED. Sed ut a dictum aggr atum est ad diametrum conuereitatis, BED. huius. ita diameter convexitatis,BAD, est ad distatiam soci lentis,AE, per regulam generale postremo allatam . Ergo ut cras sities, EA ad crassitiem, AC,ita diameter c5vexitatis, BAD,
hoc est distatia soci letis, AC,est ad distatia soci letis, AE. Esto