장음표시 사용
521쪽
Eito nunc lens, cuius crassites, Λ G, ad quam comparetur lens, AE. Ostendemus ergo ut supra lentem, GA, ad , AC, esse ut distantiam soci lentis, AC, ad distantiam foci lentis, AG. Quoniam ergo lens, EA. ad lentem,AC, est ut distantia soci ipsius, AC, ad distantiam soci lentis. AE ; & lens, AC, ad lentem, ΛΕ, conuertendo, est ut distantia foci lentis, AC, ad distantiam foci lentis, A C. Exaequali in perturbata analogia,lens, EA , ad lentem, AC, erit ut distatia soci Ientis, AG,addistantiam foci lentis,AE. Sit nunc lens, AF, ad quam comparetur eadem lens, AE. Et quoniam, AC, ad , CF, est ut diameter cauitatis,
Ex Schol. BFD, quamproxime, ad diametrum convexitatis, BAD; nt, erit per conuersionem rationis, C A , ad , AF, ut diameter caui, BFD, ad excessum ipsius super diametrum conuexi, BAD, hoc est ut diameter caui ad differentiam diametro rum dicti caui,& conueκi. Et conuertendo, erit ut, FA, ad , AC, ita differentia diametrorum caui, & conuexi, ad diametrum caui. Sed haec difforentia, per allatam postr moregulam generalem, est ad diametrum caui, ut diameter conuexi, BAD, ad distantiam soci lentis , AF. Ergo ut, FA, ad , AC, ita erit diameter conuexi, BAD, hoc est distantia foci lentis, AC, ad distantiam soci lentis, AF. Et conuertendo, CA, ad , AF, erit ut distantia soci lentis, Α F, ad distantiam soci lentis, AC . Sed, EA, ad , AC, ostensa fuit esse ut distantia soci lentis, AC, ad distantiam soci lentis, AE. Ergo exaequasi in perturbata analogia, ut, EA, ad , AF, ita est distantia foci lentis, AF, ad dista
Quod si compararetur, AE, ad , EF, eodem modo, quocirca lentes, EA, AG, processimus per viam lentis, AC, per viam lentis, CE , propositum de ipsis, A E, EF, ostenderemus . Similiter si esset Iens, FH, ad quam comparar mus, A E, per comparationem, AE, ad, EF, & postmodum,
EF, ad , FH, quae similis est comparationi, EA, ad AF,
propositum demonstraretur. Nec dissimiliter fieret si compararetur, AE, ad , FG. In huiusmodi lentibus igitur,quo. modocta nq, ipsas comparemus, semper crassities reciprocerespondent distantijs iocorum. Quod,&zcOROL
522쪽
c OROLLARIUM. Paret igitur verum esse quod dixit Replerus in Dios'. nu. 3I. nem ὸ quantum atteπuatur lens , tantum eongari concursum inea focum ab ima lente. In persi duae quacunq; crassilies huiusmodi lentium ponantur esse aquales, τι, AF, FH , etiam distantia focoram eamundem erunt aquales. Erit enim ex. gr. vi, AF , ad , EA, ita distanti ori lentis, EA. ad aestantiam foci lentis, AF; δ' vi. H F, ad , EA , ita distantia foci lentis, AE, ad distantiam foci lentis, FH. Cum ergo, AF, FH ponantur aequales habebant ad eandem, AE, eandem rationem. Igitur eadem distantia foci lentis, AE, ad dias antiasscorum lentiam, AF, FH, habebit eandem rationem, subinde sua erunt quales.s C Η O L I V M. O ciet autem forte aliquis,cum in hac doctrinaferes ter crassities lentis negligatur,non posse a lentium erassite ad distantias focorum recte discurri. Adquodrespondeo
neglei lentium crassitiem tantum relatiuὸ ad femrHametros conuexItatum,qcauitatum, se ad distantias focosem, quae , adita, vel detracta imarum crassitie, parum variaripossunt. At non negligimus un-rium crassitiem dum H, inte e compa rantur, hinc enim sequitur, propter eiusdem varietatem no rabiliter ipso ocorudistantias variari.
523쪽
quatuor data Puneta in angulis quadrilateri. cuius duo saltem opposita latera
tionem persubsequenter proposionea 3is proces t.
Dato trapetis quocunque, BCED,cuius duo opposita latera, BC, D E, sini parallela,m iuncta, BE; Ese DE,ιn, EO, aquidinantem ducere ex. gr. LM, flcantem. Esen, hira mi quadratum, L M,Aupereι quadratum, MI, quadrato datae recta lineae , αγι ipsius , A, quae A minor quam, DE, maior Upositarum basium trapeab. V Et ergo, D E, dupla est ipsius, BC, ut in I. figura, vel
plus quam dupla,vr in a.aut minus quam dupla vi in 3. fig. in omnibus autem extendantur, DE,BC,in, G, F, itavr,EG, sit aequalis, ED, &, FC,ipsi, CB, & iungatur, FG. c um ergo in a. fig. DE, sit dupla,BC,idco,EC,erit squalis, BF, unde cum sit quoque eidem parallela, crit et iam, BE, palalleIa ipsi, FG. In a. fig. erit, EG, maior, BF, & est illi parallela, igitur, ERGF, productae versius,BF,concurrent, ut in
524쪽
vtin, N. In 3. fig. denique erit , EG , minor, BF, & illi parallela, quare produ ctae, BE, FG, versus, EG, concurrirent . ut in , N. Fiat ut Quadratum, D E, ad quadratum, A, ita in a. fig. EB, ad, B I, sed in a.& 3. ita rectangulum, NE B, ad rectangulum, NI B, quod obtinebimus, si prius fiat vi q. DE, ad q. A, ita rectangulum, N EB, adq. O, cui postmodum aequale rectangulum applicetur ipsi, N B, in a. fig. excedens , & in 3. deficiens quadrato. BI: erit enim tunc vi q. D E, ad q. Α, ita rectangulum , NE B. I s i hi. ad rectangulum, N I B. Rursus per , I, ducatur ipsi, D G, parallela, L H, secus, C E, in , M, &, BD, FG, in, L. H. Quoniam ergo q. DE, ad q. A, in I. fig. est ut, EB, ad , BI,
idest ut, DE, ad, LI, idest virectangulum, DEG, vel qua- r. c. Ele. ritatum, D E, ad rectangulum, LI H; ideo rectangulum, LIH, aequabitur quadrato, A. In reliquis vero figuris quoniam vi q. D E, ad Q. A, ita est redianguli un, N E B, ad rectangulum, NI B, illud vero ad hoc habet rationcm comis positam ex ratione, EN, ad, NI, siue, EG, ad , t H, & ex xi 6. Eu . ratione, EB, ad , Bl, hoc est, DE, ad , LI. Duae rationes autem, DR ad , LI,&, EG, ad , ΙΗ, componunt rationem Rrr rectanis
525쪽
rectanguli, DEG, vel q. DE, ad rectangulum, LIH; ideo
vi q. DE, adq. A, ita q. DE, erit ad rectangulum, LI H. Igitur reciangulum, LI H, aequabitur quadrato, A. Est auistem in omnibus hisce figuris rectangulum , LI H, exces 3 sςς ξὶς, sus quadrati, L M, superq. MI. Igitur factum est quod
Aut duae quaecunq; recte linea, AK, AN, angulum que cunq; ΚAM , facientes; tu altera mero Eserum, io, MK ,semptis ibicunq; duobus punctis, EG, sis aquauis puncto ipsius, ΑΚ , Ut ab , F , ad quodcunq; punctum recta, AN, mi ad , L , ducta, FL. His sev sitis oportet ipsi, GE, applicare rectangulum exce- deus Aura quadrata, quod ad quadratum rectae lineae aequiri Iantis ipsi, FL, interceptae suter, AK, AN, ductaeq, a puncto in , AE , per excessum applic tionis facto, babeat datam rationem, ut quae G ipsius, S , ad , T .
SScatur, E G, bifariam, ut in ipso, F, & ducatur, ab , E, ipsi, FL, parallela, ΕΗ, ita vi q. FE, ad q. EH, sit ut, S, ad , T ; iunitaque, F H, producatur indefinite, ipsique,A N, occurrat, ut, in, I, & ipsi, AB , ductae ab, A, aequid, stanter ipsi, FL, in, B. Similiter per, I, sit ducta eidcm, FL,
parallela, ID, incidens ipsi, AK, in , D. Denique in trapta aio, A DI B, in quo ducta est, AI, agatur, MC, parallela, A secans, AI, in, O, S, AD, BI, in , C, M, ita ut quadrarum , M C, superet q. C O, quadrato, E H, hoc enim fieri Perant. potest, cum, Eld, sit minor, AB. Quoniam ergo ex similia tudine triangulorum,sEH, FCM,q. FC, adq.CM, est ut ablatum q. F E, ad ablatum q. EH, seu ad ablatum excessum
526쪽
enim excessus est ex constructione aequalis dicto q.
quum ad reliquu, hoc est rectangulum, GCE,adq. Co, erit ut totu
Aliter, π Iaci , sed per locum
ac transuora, E G, in angulo, B A E , describatur in . definite semihypAbola, E V, quae fccet, AI, in, O,& ab, Ο, ducatur, oc, parallela, FL, occurrens ipf, ΑΚ, in, C. Igitur rectangulum, CCE, ad q. C O Lerit ut , ,ad, Erihoc est ut, , T, ncinae a Mime data. Rar a
527쪽
Datis quatuor punctis is angulis cuiuscunq; quadrilateri , cuius saltem duo omsita latera sint extra imum concurrentia: per eadem Taraselam describere.
528쪽
SIt data quatuor puncta in angulis quadrilateri cuiuscunq; DR UT, cuius duo saltuin opposita latera, RD ,
T, indefinite producta extra concurrant, ut In, Ο. Opo
tet pcr, D, R, V, T, paraboIam describere. Accipiatur in altera ipsarum, OU, OR, ut in , OV, quodcunq; punctum, C, fiatq; ut rectangulum, VOT, ad rectangulum, ROD, itaq.CO,ad q. OA ,& iuncta, AC, eadem secetur bifariamin, B, ducaturq; OB. Similiter bifariam diuisis, RI , ut in , G, I, ab his punctis versus, O, ducantur ipsi, OB, parallatae, GM, IX, & producta indefinite. RO, versus, IX,
occurrat illi in X. Ulterius cum in , XR, faciente cum,
XI , ansulum, R XI, quicunq; sit, dentur duo puncta, R, D, & sit ducta utcunq; OI, ipsis, XR, XI, interiecta ; inu
niatur per Propositio ant. punctum, H, a quo ducta, ver
erit autem punictum, H, inter, o, X, puncta, nam cum rectangulum, VOT, cum q. ΤI, sit aequale q. DI, ideo rectangulum, VOT, est minus q. OI, unde rectangulum, ROD, ad q. OI, minorem habet rationem, quam ad rectam
gulum, VOT, idest quam q. AO,ad q. OC , id est quam re.
ctangulum, RHD, ad q. ΗQ . At si, H, esset inter, OD, rectangulum,RH D, esset minus rectangulo, ROD, & q.HQ, maius q. OI, unde rectangulum, RH D, minorem haberct rationem ad q. ΗQ, quam rectangulum, R O D, ad q. OI, quod esset absurdum; cadit ergo,H, inter, o, X. Insuper dum catura , Q, parallela ipsi, CA, quae indefinite producta occurrat ipsi, GM, in, P,ac per, P, ipsa, PF, parallela, RX, incidensque in productam, Q H, ut in. F. Rursus ducatur, FR, aequidistans, OB, occurrensque, PQ, is, ',in quo,Pin bifariam secabitur, cum etiam, OB, secet bifariam, AC, sintq; triangula, FPQ, OAC, similia ob latera parallela,& cum, F ', ipsi, OB, aequidistet. Deniq; bifariam secta, F., in , L, circa diametrum, L βε, & basim, PQ, dcidescribatur parabola, PLQ, quam indefinite productam dico transituram per dicta puncta, D, R, V , T. Quoniam enim , R L, at quatur, L F, estq; P φ, ordinatim, ad , L , applicata, ideo, FP, tanget parabolam
529쪽
con si . descriptam in , P. Eodem modo ostendemus, FQ, esse tan-r. Coni- gentem ἱ ducuntur vero per hos contactus , GM, IX, paral-ςψxv diametro, L ', & eisdem tangentibus aequiuistant, RSehol. 11. O, VO. Ergo, PG, d, erunt diai uetri parabolarum, quas, onis, abscindunt versus puncta, P, ipsae, OR, OV, indinose te producta.
530쪽
De Propositionibus Miste eis. sos
Dico autem quod haec abscisso fit in dictis quatuor pu
ctis, R, D, T , V, quod enim, OR , ut &, OV , secet in
duobus pundiis indi sinite producta descriptam parabolam indefinite productam parci per ι8. Primi Conicorum si enim ex. gr. OR , non sicat parabolam in , D, R, secabit
tamen eam in duobus punct. saeque remotis a puncto, G, nam ostensum est, PG, csse diametrum resectae per eandem, CR , parabolae. Erlint ergo dicta puncta vel intra, R , D, vel extra. Sint primum intra, ut , ΚS, per quae supponatur transire descripta parabola. Quia ergo sunt aequer
mota a, G, & stibin dea, D, R, ipsae, R Κ, SD, erunt aequa. les, & cum, Κ, S, supponantur in descripta parabola, erit rectangulum, Κ HS , ad q. H Q, viq. PF, adq. FQ. Quia vero rcciangulum, RHD, ad q. H., est vi q. AO,adq. OC, id est vi q. PF, adq. FQ, propter similia triangula, PFQ, AOC: ideo rectangulum, RH D. ad , q. ΗQ, erit ut rectangulum, Κ HS,adq. H Q. Vnde rectangula , RH D, FHS, et unt aequalia ,& ideo, RH, ad , ΙΗΚ, erit ut, SH, ad , Fi D, & diuidendo, ΗΚ , ad , ΚΗ, crit ut, SD, ad , DE,& pcimutando, ΗΚ, ad , SD, erit vi, ΚΗ, ad , H D; maior est autem , ΚΗ , ipse , ΗD , ergo & , R Κ,
maior erit ipsa, SD, cui ostensa est aequalis . Hoc autem est absurdum: Lora crgo descripta parabola transibit per puncta intra, R, D; sed & eodcm modo probabimus non transire per puncta extra, R, D, ergo per ipsa, R, D. incedet. Deniq; eand cm dico transire per , T, V, si enim non vel transibit per puncta intra , T, V, vel extra, transeat primum per , Z, E, intra posita: ostendemus autem ut supra, TZ, EV, esse aequales, de postmodum inaequales hac rati nc. Cum enim, E Z, supponantur in descripta parabola,
est rectanguluia i , VOT, ad rectangulum, ROD. Ergo rectangi ilum, QT, ad rectangulum, ROD, erit ut rectangulum. Fini, ad idcin rectangulum , ROD. Igitur rectan gula , VOT , E Z, erunt aequalia , & ilico ut supra comcludemus, VE, ad, ZT, esse ut, EO, ad , OT,& stibi .ade