Geometria indiuisibilibus continuorum noua quadam ratione promota. Authore P. Bonauentura Caualerio ..

발행: 1653년

분량: 563페이지

출처: archive.org

분류: 수학

101쪽

so GEOMETRI A

sit solidum rotundum, A BC Q, Scouus .calenus, APE M

utraque autem iecentur plano per axem, quod producat figuram, APC , in lolido, & triangulum, A PQ, in cono, deinde secentur altero plano, cuius, & plani recti ad axem quo productus sit circulus, P M QI. communis lectio sit, E M, perpendicularis ipsi , Ρ Q, communi sectioni ciuidem, & plani per axem ducti. Dico tiguram, .s. Desu. BEDM , in solido rotundo esse circa axem, & in cono circa axem, vel diametrum, & axem, vel diametrum esse, B D, communem lectionem productarum figurarum. Si ergo iecundo producta figura 33.huius. per axem pariter ducta esset, mani testum est in iolido rotundo fore Oinui . figuram talem circa axem, & in cono fore triangulum , in quo aXis, AC, si secaret aequid istantes basi talis trianguli ad angulos rectos, cum illas bifariam diuidat, esset talis triangulus figura circa axem, si vero ad angulos non rectos, esset figura circa diametrum, nempe circa, A C. Sed non trant eat hςc secunda figura per axem, sint autem puncta, B, D. extrema communis lectionis primae, & secundε figurat, idest ipsius, B D, ergo Ain solido rotunis

dum triangulus, APQ, per axetnductus transit γ

gulus, APQ, est Crectus basi, P E . Desu. QM, ipla, L M, communis sectio secundi plani secantis, &, Ρ Q,

.ndee. Ei plani rectE axim secantis, cum si perpendicularis, P Q, communi scictioni planorum, PEQM, APQ , ad inuicem erectCruna, erit etiam perpendicularis plano per axem, & ideo erit perpendicularis ad omnes peream in tali plano tranteuntes, ideo, BD, recte secabit ipsam, E M, & quae ducuntur per extrema, B D, aequid illantes ipsi, E M, tangent ipsa solida, Vnde, B, D, erunt oppositi vertices figurarum,i.Defin. BEDII, respectu ipsius , EM, sumptarum , qua re, B D, secabit Co ol. i. Onanes illi Mquid litantes in figura, BEDM, ductas, & quia sumpto . . Huiu, . ln figura, BEDM, puncto, qui non sit vertex respectu ipsius, EM, Coroll.1. & ab eo ducta eidem, E M , parallela intra figuram cadit, sit is pun- -Huiu .ctus, O, a quo ipsi, E M , sit ducta parallela ipsa ιο R, igitur, OB, tiam perductam a vertice, A, per pedicularem ipsi

idest cum trian.

ter.

102쪽

terminans in ambientem superficiein bifariam diuidetur ab ipsa, I 1 ν Ex antee. ut in , N i Sic ostendemus, BD , di uidere caeteras omnes ipti , EM,

aequid istantes in superficiem ambientem hinc inde terminata, ,&quia , B D, lecat , EM, ad angulos rectos, caeteras omneS ianc di dias bifariam, & ad angulos rectos secabit , igitur tunc figura, B E DM, erit circa axem, B D, siue in lolido rotundo, siue in cono : Λ, autem triangulus , Α Ρ Q, non tranteat perductam ipsi plai. a persi ii dicularein , tunc eodem modo, quo supra ostendemus, B D , secare

omnes qquidistantes ipsi, E M, bifariam, & quia triangulus , APQ, non traniit per perpendicularem basi, neque erit erectus ipsi basi , PE M, ergo angulus, E D B, non erit rectus , nam si esset rectus, cum sit etiam rectus, E D Ρ, planum c:rculi, Ρ E QM, ellet erectu in triangulo, A P Q, & ille huic, quod est contra suppositum, igitur, ε. UndeciB D, lecabit, E M, & conlequenter caeteras iam d: chas illi aequidi. εἰς .stantes bifariam, S ad angulos non rectos,igitur figura, E B M, tunc erit circa diametrum, & erit diameter ipla, B D, siue axis, in supradiecto casu tum in cono,tum etiam in solido rotundo,quod erat osten

dendum

COROLLARIUM.

HIne eolligitur in eono , si triangulus per axem ductus sit erectus basi, fieri dictam figuram circa axem; si vero non set erectus , sediticlinatus eidem, fierι figuram circa diametrum; in solido rotundo autem fieri semper figuram circa axem.

THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXVIII.

SI conus secetur plano per axem secetur deinde altero plano secante basia coni secundum rectam lineam, qis ad basim trianguli per axem sit perpe udicularis, cuius & litanis guli per axem comunis sectio sit parallela uni laterum trianguli per axem ; quadrata ordinatim applicatarum ad axim, vel diametrum figurs in cono secundo plano piod P ct ς, aequid istantium eiusdem, & basis communi sectioni erunt intcr se, ut abicissae per easdem ordinatim applicatas vcisus verticem

sumptae ab eisdem axibus, vel diametris iam dictis. L sit

103쪽

81 GEOMETRIAE

Sit e nus, cuius vertex, A, basis circulus , C EF D, secetur autem asciuius. prius plano per axem, quod in eo producat triangulum, A C F, 1e-ν I cetur deinde altero plano bain secante secundum rostam, E D, per- Ex alec. pendicularem ipsi, C F , cuius in cono concepta sit sigura, B E D, erit ergo haec figura circa axem, vel diametrum, B V, quq sit parallela ipsi, A F, cuius vertex respectu ipsius, E D , erit, B; ducatura puncto, XI, qui non sit punctus , B, sed utcumque sumptus in linea, EB D, extra bain, E D , ipsi, E U, recta ςqui distans, MO, prO- ducta usq; ad ambientem superficiem , cui occurrat in , O, igitur hςcerit una ex ordinatim applicatis ad axim, vel diametrum, B V, squiis

distans ipsi, E D , quq bitariam diuidetur ab ipsa, B V, in puncto, N, ducatur per, N , ipsi , C F, parallela , H R, cst vero etiam, M O, ipsi, Π.vnil Ε D, parallela, urgo planum transiens per , H R , MO, aequi dii tae,ni. El. bit basi, C E F D, & quaruor puncta, H , M , R, O, erunt in circuli

. . periphaeria, cuius diameter, H R , quein λ μ' μδ' seeat, M O, perpendiculariter, nam an i .seeun. gQ ιβ , Η Ν M, aequatur angulo, C U E, qui rectus est, ergo quadratum , M N, aer

quatur rectangulo, FI N R, & quadratum , E V, rectangulo , C V F , est autem rectangulum , C UF, at rectan3ulum, IIN R, quia eorum altitudines, V F, N R,

sunt aequales, cum sint parallelogratiami,

N F , opposita latera ut basis, C V, ad,

H N , ex prima Sexti Elein. vel ex quinta libro tequentis independenter ab hac de

mon itrata, & quia, H N, est parallela ipsi, C U , trianguli, B H N, B C V, sunt aequianguli, ideo, ut, CV, ad , H N, ita , V B, ad , B N, ergo rectangulta ua, C U F, ad rectangulum, H N R , idest quadratum, E V, ad quadratum , M

. erit ut, UB, ad , B N , est autem quadratum , E D, quadruplum , S: n. quadrati, E U, nam est aequale quadratis, E V, U D,& rectangulis q*m sub , E U D , bis, idest duobus quadratis , E V , quae cum praedictis conficiunt quatuor quadrata, E V, S eadem ratione quadratum , MO, est quadruplum quadrati, M N. ergo quadratum , E D, ad quadratum , MO, erit vi, V B , ad , B N , quae sunt abicissae ab ipla axi, vel diametro, B U, verius verticem , B, per ipsas, E D, M O , ordinatim ad iplam, B V, applicatas, quod ostendere opus erat hec autem vocatur ab MOlonio Parabola..

104쪽

LIBER I. 83THEOREM A XXXVI. PROPOS. XXXIX. IIsdem positis , praeterquam quod, B V, sit parallela ipsi, AF, sed posito, quod concurrat cum eodem latere, F A, versus verticem producto, ut in , Z. Dico quadratum, E D, ad quadratum , M O, esse va rectangulum, L V B, ad rectanguintum, ZNB.

Quia enim quadratum, E V, est aequale rectangulo, C V F, &quadratum , M N, rectangulo . Η N R, ideo quadramna, E V, ad quadratum, M N, erit ut rectangulum, C U F , H N R , rcctangulum vero, C U F, ad, H N R , habet rationem compositam eX ea, quam habet, C V, ad , Η N , ut infra inde. Pendenter ab hac Propos t. probatur) . . U B,

ad, B N, quia trianguli, C U B, H N B, sunt a quianguli, & ex ea, quam habet, U F, ad, N R, id est, V Z, ad, Z N , quia trianguli, UF Z , N R Z , sunt aequi anguli, duς vero ra tiones, U B, ad , B N , &, V Z, ad, Z Ν,

Componunt rationem redianguli, Z UB, ad rectangulum, Z N B, ergo rectangulum, CV F, ad rectangulum, H N R, .i.quadratum, E U, ad quadratum, M N, Vel quadratum . E D, ad quadratum, M crit ut rectangulum, Z V B, ad rectangulum, ZN B, quod ostem dere opus erat; hῖec autem ab Apollonio vocatur Hyperbola.

Ex sexta lib. a.seq. vel ex asa Sexti El. Ex sexta lib. 1.seq. vel exas. Sexti El.

THEOREM A XXXVII. PROPOS. XL. TAndem eisdem positis, preterquam dicto concursu, po

sito, inquam, B V, concurrere cum VtIoq; latere trianis

guli per axem, &productum, etiam cum basi trianguli per axem conuenire, Ut in , a. Dico quadratum, R D, ad quadratum, Mo, esse ut rectangulum, VS B, ad rectangulum, v N B.

Sit ergo talis hic appositum schema, in quo planum figurae. BV D, cuius axis , vel diameter secat utraque la .era, A C , A F, Scyroducia incidit in basim, C F, productam in , Σ, Τ extentum indem

105쪽

nite secat basis productum planum in recta, Σ, Ζ, perpendiculari triangulo per axem, A C P,& sint adhuc per puncta , N, S , ipsi, CF, ductae parallelae , TL, HR, igitur quadratum , d S, erit qquale rectangulo, T S L, & quadratum , MN, aequale rectangulo, A. H N R, at rectangulum, I S L, ad,ΗNR, habet rationcm compositam ex ea, quam habet, TS,ad, ΗN, .i. SB , ad , BN, quia trianguli, B T b, B ID N, sunt aequianguli, & ex ea, quam habet , S L, ad , N R, . i. S V, ad , V N, quia pariter trianguli, S V L, N U R, lunt aequianguli , duq autem rationes, S B, ad, B N, &, S V, ad , U N, componunt rationem rectanguli, B S V, ad rectangulum, B N V, ergo rectangulum, T S L. ad, H N R, .i. quadratum , N S , ad quadratum , MN, vel quadratum , D, ad quadratum , Mo, erit ut rectangulum , U S B , ad rectangulum , VN B, quod ostendere opu, erat, haec autem ab Apollonio vocatur

Ellipsis.

HAee circa sectiones conteas apposui, tum ut quod menti meae fi--

currIt in lucem proferrem, tum ut elucescat, quam facile pasto nes , quae ab Apollonio in Elementis conicrs circa earundem diam e tros, vel axes quoscumque demonstrantur, circa eos , qtιr axes , vel diametro princi ales , siue ex generatione vocantur modo supradicto ostendantur. His tamen contenti ex Apollonio recipiemus pro dictarum sectioηum

axibus, vel diametris quibuscumq; quod ipse coligit ad finem Prop. II. prιmι conreorum, scilicet. In Parabola unam quamque rectarum linearum, quς diametro ex generatione ducuntur aequi di stantes, diametrum esse: In hyperbolavero, & ellipsi, de oppositis lectionibus unam quamque earum, qu per centru in ducuntur ,&in parabola quidem applicatas ad unam quamq; diametrum , ς qui distantes contingentibus , posse rectangula

ipsit adiacentia r In hyperbola, & oppositis posse rectangula adiacentia ipsi, quε excedunt eadem figura: th ellipsi autem, quς eadem defitiuat e Po tremo quςcumque circa sectiones adhibitis principalibus diametris demonstrata lunt, & alijs diametris assumptis eadem con

tingere . Tres Disiligod by Cooste

106쪽

LIBERI. 8s

Tres autem proxima Propositiones etiam in meo vetulo moris descripta fuerunt, cum oe ibi jsdem indigerem, b as verὸ hic repetere volui , ut qui meum illud Speculum non viderunt , etiam is dem potiri possint: Aliqua tamen ex ι rascriptis nunc ex Archimede, eiusdem commentatoribus sumemus, ut Iam ostensa, ne has demonstrationes, qua apud praefatos Auctores viderI possunt, frustra repetamus.

THEOREM A XXXVIII. PROPOS. XLI. SI sphsra, vel sphqroldes, conoides parabolicum, vel hyia

perbolicum planis secentur ad axem rectis, communes sectiones erunt circuli diametros in eadem figura ducta per axem quae est illa, qu sper reuolutionem creat dictum soli dum sitas habentes.

Patet haec Propositio, nam supradicta sunt solida rotunda, na- Desin.ε. scuntur . n. ex reuolutione figurarum circa axem. 34.huius.

THEOREM A XXXIX. PROPOS. XLII.

SI conoides parabolicum plano secetur non quidem per axem, neque aequi distanter axi, neque ad rectos angulos cum axe, communis sectio erit cli ipsis, diameter vel o ipsius maiorem linea concepta in conoide ab intersectione facta planorum, eius scilicet , quod secat figuram , ct eius, quod ducitur recto per axem ad planum secans, minor vero diameter aequalis erit distantiae linearum ductarum aequi distanter axi ab extremis diametri maioris. Haec ostenditur ab Archimede lib. de Conoidibus, & Splinoidi

bus p. II.

THEOREM A XL. PROPOS. XLIII. SI conoides hyperbolicum plano secetur coincidente In

omnia coni latera conoides compraehcndentis non recto ad axem ; sectio erit ellipsis, diameter vero maior ipsus erit concepta in concide a sectione facta planorum, alterius qui

dem Dissilia 6 by Corale

107쪽

dem secantis figuram ,& alterius acti per axem retio ad planum secans. Archim. ibid. Propos i q.

THEOREM A XLI. PROPOS. XLIV.

SI sphaeroides plano secetur non re et o ad axem, sectio erit ellipsis, diameter vero ipsius maior erit concepta in sphς- roide sectio duorum planorum, cius scilicet, quod secatram, & eius, quod ducitur per axem recto ad planum secans. Alch. ibid. Propos II.

Minor vero diameter sic habetur. Sit Sphaeroides, vel conoides hyperbolicum, B DΜi , axis, B M. centrum, A, ellipsis vero per axem transiens in sphaeroide, B D MF, in conoide vero hyperbola, NCU. Seeetur autem sphqroides, vel conoides plano non recto ad axem, sed erecto si. gurae, B D M F, ex quo fiat in ipsis sectio, D F, haec erit ellipsis, cuius maior diameter, DF. In

ueniatur nunc ver

lex ellipsis, seu hy- 'perbolae, B D M F, respectu ipsius, D F, qui sit. C, & iungatur, C B, ac per , B , agatur. B G, tangens in, B, ipsam ellipsim, scit hvperbolam, tandem a puncto, D, parallela ipsi, B G, & a puncto , F, parallela ipsi , CB, produc antur, D E, F E , quae inuicein concurrent ut in , E. Dic igitur, quod erit, E D, minor diameter enisdem eIlipsis, D E. Hoc autem demonstrat ibid. David Rivalius in Commentariis in

108쪽

87 LIBER I. THEOREM A XLII. PROPOS. XLV.

SI sphaeroides, vel conoides parabolicum , seu hyperbolicum se centur quomodocumq; planis parallelis ad axem rectis, siue inclinatis, communes sectiones similes erunt, Sediametri eiusdem rationis erunt omnes in eadem figura per axem transeunte, recte easdem secante.

Haec colliguntur in Coroli 1. Prop.r3. lib. Arch. de Conoidibus,& Sphaeroidibus, & ibidem etiam a Federico Commandino in tuis in Arcta. Cominent. demonstrantur. Hec vero circa ipsas sectionum figuras veris: cari pariter manifestum est, hoc autem dico, utor enim ij idem lectionum nominibus tamquam diguras iub ipsis comprehens assignificantibus ..

THEOREM A XLIII. PROPOS. XLVI.

EXpostis praedictis coni sectionibus, circulo nempe, Trit ipsi, Parabola, & Hyperbola, si, quς ad earundem a Xes

ordinatim applicantur, diametri esse intelligantur circulorum ab ipsis descriptorum, qui sint crecti planis ipsarum figurarum , periphaerie descriptorum circulorum in sectione , qtiqest circulus, erunt omnes in superficie sphete, in Ellipsi vero insuperficia sphaeroidis, in Parab. in superficie connidis parabolici,& in Hyperbola in superficie conoidis Hyperbolici.

Sint praedicte sectiones figurescilicet , iplae, A B C D , earum axes, A C, una ex ordinatim adaxim applicatis, B D, quae intelligatur esse diameter ab ea descripti circuli, BNDE. D co circumferentiam, B N D E, esse indicta superficie . Intelligantur dictς figurae reuolui circa suos axes,ut ex circulo fiat sph ra, ex ellipsi sphaeroides, ex parabola conoides parabolicum,& ex hyperbola hyperbolicum, secentur autem planis ad axem rectis, eundem axem secantibus in eodem puncto, in quo descriptus L cir-

109쪽

fg GEOMETRIAE

circulus eum secat, producetur ergo ab hoc secante plano in ipsis so-3 .huius. lidis circulus centrum in axe habens, cuius diameter erit, BD, hac, bi. i. bevnus igitur duos circulos in eodem plano,circa eandem diametrum, huius. ergo illi erunt congruentes, periphaeria autem circuli dicto secante

plano in dicto solido producti est in superficie ambiente dictum lolidum, ergo, & periphqria circuli, B N D E, descripti, ut dictum est, erit in tali luperficie , scilicet insuperficie sphaerae in figura circuli, sphaeroidis in figura ellipsis , conoidis parabolici in figura parabolae,&hyperbolici in figura hyperbol , idem ottendemus de alijs quibuscumque sic descriptis circulis ab ordinatim applicatis ad dictos axes tanquam a diametris, qui sint erecti ei idem sectionibus, igitur quod proponebatur demonstratum fuit.

THEOREM A XLIV. PROPOS. XLVII. 'INFRA SCRIPTIS positis, eadem adhuc sequi ostenis

demus. Iisdem enim expositis figuris, praetor circulum , supponamus i in lain, A C , non esse axem, sed diametrum, & ad ipsam ordinatim applicari utcumque, B D, intelligatur autem, B D, diameter cuiusdam ellipsis ab eadem descriptae , quae sit crecta plano propositae figurae, si autem , in figura ellipsis, descriptae ellipsis secunda diameter per pendicularis ipsi , B D, & aequalis ductae a puncto, B, parallele tan genti ellipsim, ABC D, in ex tremitate eiusdem axis quae tangat in , S, interiectae in- diutus. ter, B D, & eam, quς ducitura puncto , D , parallela iungenti puncta, S, A. In figura vero hyperbolae sit secunda diameter perpendicularis, BD, & aequalis ei, quae ducitur a uncto, D, parallela tangentiyperbolam in extremitate axis ut in , S, interiectae inter , B D, & eam , quε ducitura punct2, 3, parallela iungenti puricta, Δ, Α, & tandem in parabola sit serunda diameter perpendi. .i.huius. cularis quoque ipsi , B D, & aequalis distantiae parallelarum ciuidem agi, quῖ dacuatur ab extremitatibus ipsiuis, B, U. Intelligantur dem-

. v de

110쪽

de constituta conoides, & sphaeroides, in quibus planis per eorum axes ductis , productae sint fgurae iam dictae, secentur deinde planis ad axem obliquis, sed erectis ad dictas fguras, & sint eadem plana descriptarum ellipsium dicta solida secantia, erunt ergo ex his iccantibus planis conceptae in ipsis figurae pariter elliptes, quarum diame- trierunt , BD, quidem prima, secunda a uicin in sphaeroide aequalis ductae a puncto , B , parallelae tangenti ellipsim in , S, interiectae inster ipsam, BD,&ductam a puncto, D, parallelam iungenti puneta, S, A , in c teris autem solidis eadem suo modo verincabuntur M.huius ergo in sphaeroide ipia, B D, est prima diameter dictae ellipsis, quae a dicto secante plano producitur,& est etiam prima diameter ellipsis, quς deIcribitur modo supradicto,sunt autem fecundς diametri utriusque ellipsis squales, immo communes, quia ad rectos angulos secant ipsam, B D, ergo habemus in eodem plano duas elliptes circa easdem diametros coniugatas, ergo necessario erunt congruentes, sed linea ellipsis, quq est communis lectio dicti plani, & superficiei sph - Elicieturroidis est in superficie sphaeroidis, ergo , & linea ellipsis ut i upra deis exCQ ς' scriptae erit in sit perficie dicti sphaeroidis. Eodem modo idem de cae. i teris ellipsibus similiter descriptis demonstrabimus tum in sphaeroide, tum etiam in conoidibus paraboli cis, & hyperbolicis, quet ostendere

Opus erat.

COROLLARIUM.

HInc patet proposito aliquo ex supradictis solidis, eoq; secto planis

utcumque parallelis ad axem rectis ,sive obliquis figuras, quae exfectione planorum in ipsis solidis producuntur, easdem esse illis, quae describuntur lineis rectis , tamquam homologis diametris, o primis, ijs, inqnam, quae sunt communes sectiones dictarum aequidistantium figurarum , O figurae , quae produceretur ducto plano per axem recte eas secante , qua discribeut s cssent, quae ordiuaratu applicantur ad axes, vel di metros dictarum figuratum Aecundis autem diametris defraptarum figurarum existentibus , iis , quae supradictae sunt, prou: postulat varietas solidorum, ιuxta Prop.*z. qῖ. qq. baius .

ADuci te tamen licet supra vocentur diametri, quae dictas figuras de scribunt, debere tamen intelli i semper, si axes descriptarun. si

urarum , cum . v. nomen diametri iit commune diametro, O aat , oti uando vice axis di imor nomine diametri, ut in circulo apparet, rvius

V ermen omnes diame ri Iunt axes : Insuper sciendam est etiam, qua circa

SEARCH

MENU NAVIGATION