장음표시 사용
91쪽
lios circulos esse similes iuxta meam denuitionem smilium plana. rum figurarum, & eorum, & ductarum Oppositarum tangentium iniscidentes cile ipsas diametros, A C , O Q, qudo etiam de iemicirculis verificantur. Diametri ergo, AC, O Q, dividantur similiter ad eandem partem in punctis, E, M , a quibus vique ad circumferentiam ducantur ipsae, E B, MN, parallelae dictis tangentibus, quae cum ad angulos reistos diametros dividant, etiam ipt i, B E . N M, erunt illis perpendiculares, igitur quadratum, B E , erit qquale rectangulo, A E C, sicuti quadratum , N M, aequale rectanis gulo, OMQ, rectanguluin autem , ΑΕ C, ad quadratum, E C, est ut, A E, ad , E C, idest ut , OM, ad , AI Q, idest ut rectangulum, O MQ, ad quadratum, MQ, idest ut quadratum, N M, ad quadratum , M Q , ergo quadratum, B E, ad quadratum, E C , est ut quadratum, NM, ad quadratum, M Q, quae autem. hic supponuntur, Vel petantur ex Eucl. lib. Elem. vel exicquenti meo lib. in quo, quae hic assumuntur independenter ab hoc Lemmate demonstratur
ergo , B E, ad , E C, crit ut , IN V, ad, Μ Q, permutando, B E, ad , N II, e rit ut, E C , ad , M Q. , vel vi, A C, ad , O Q, igitur, quae aequidἰ- stant ipsis tangentibus, F A, II O, & similiter ad candem partem utcuinque diuidunt ipsas, A C, O Q, & iacent intcr ipsas, & circulistus lemicirculorum , A B C, O N Q, ad eandem partesia , eode in Ordine suinptae, sunt ut iplae, A C, O vi, quae dictis tangentibus inc, dunt ad eundem angulum ex eadem parte, quς ideo iunt earum incidentes , ergo semicirculi, A B C, O N Q, sunt ligurae planae similes iuxta meam definitioncm, quarum te oppostarum tangentium, lugab extremitate diametrorum ducuntur, incidentes Ituat ipsi diametri ; sic etiam patebit semicirculos, ADC , OZQ, nccnon circuislos, AC, O Q, esse similes, iuxta eandem definitionem; quod os cmdendum erat.
THEOREM A XXVIII. PROPOS. XXXI. Positis infra scriptis definitionibus sit nilium cylindrota
ru conorum , sequitur definitio generalis, quam
de similibus solidis ipse attuli.
92쪽
SImiles coni, & cylindri sunt, quorum & axes, & basium diameatri eandem interie proportionem habent. Euclid. lib. D. Elam;
defit. 26. Verum,quia supradicta definito non est nisi cylindrorum , dc conorum re chorum, deo altam,que affertur aCommandino tum de rectis, tum etiam de scatenis illi subiungo, quam tussiciet ostendere cum mea lupi adicta concoro dare, nam h cCommand mi eam,quam Euclides attulit, inuoluit.
SI miles coni, & cylindri, siue recti, siue scaleni sunt, quando per
axes ductis planis ad rectos angulos basibus, communes t ecti nes eorum, & basium cum axibus aequales angulos continentes,ean dem inter se, quam axes, proportionem habent: Commandinus linco definitionis supra citatae.
Sint coni, B E C, G M N, & cylindri, A C, F N, similes iuxta n sis id
proximam desinitionem. Dico eoidem esse similes iuxta meam suis pradictam. Ut autem in simul pro conis, S cylindris fiat demon. stratio, supponantur coni, & cylindri iam dicti esse in ei1dein basibus, & circa eosdem axes; ducantur ergo in ipsis plana per axes, qui sint, E O , M R , quoniam ergo latera cylindrorum sunt suis axibus parallela, ideo dicta plana transibunt per latera cFlindrorum s siue gi.d.s.1: cylindricorum, A C, F N , & per latera conorum, siue conicorum, & .Cor EBC, M GN, quia per eorum vertices intra ipsos ducuntur, sint autem dicta plana ea, quς sint ad rectos angulos basibus, quorum &basium communes lectiones, quae sint, BC, GN, cum axibus a quales angulos continentes eandem inter se, quam axes proportimnem habeant, vi fert definitio, fient igitur in cylindricis parallelogramma, ut, A C, F N, & in conicis triangula, ut, B E C, G M N, ExCor. 3 α quia anguli, BO E, G R M, tunt squales, ideo etiam ipsi, BOD, Ne io. G diri, sunt aequales, &est, BC, ad , C D, ut, GN, ad , NH, μ, με ideo parallelogramma, A C, F N, & triangula, B E C, G M N, e runt similia iuxta definitionem Euclidis, & ideo etiam iuxta meam,& quia ipsae , A D, B C, F H, G N, tangunt fgura , A C, F N. 37.huius. Suiis
93쪽
quibus incidunt . ad eundem angulum ex eadem parte, Eo, MR, &quq diuidunt ipsas, EOIMR, similiter ad eandem partem exi stentes parallelae ipsis, BC,GN , sunt ut ipsae, EO, M R, ad eandem partem eodem ordine inter ipsas, & circuitum dictarum figurarum compraehensae, quia quae sunt ex una parte sunt aequales ipsis, B in GR,&quae ex alia ipsis, O C, R N , in triangulis autem sunt, ut . - ipsae , BO, GR, Vel, OC,RN, .i.ut, O E, R M, & ideo, earum μ' incidentes ,& oppositarum tangentium dictarii in erunt i pila: , E O, MR, quς tangentes sunt regulae homologarum sit milium ligurarum, AC, FN, vel , EBC, M GN. Vlterius, quia, B XC, G YN, simi lemicirculi,erunt figurς planς similes iuxta meam dc finitionem, Ex Lem. quarum & tangentium, quae pest extrema, B C, G N, ducuntur eant. runt incidentes ipsi diametri, B C, G N, ut probatum suit, veluti idem patet de semicirculis , B C, G ZN , & de quibuscumq; alijs, quae diuident ipsas, E O, M R , similiter ad eandem partem, & coni Nndeis sequenter diuidunt etiam altitudines eorudem reipectu basiuin sumiscimi Ll, ptas similiter ad eandem patrem, & de ijs, quae per extrema, E, M, ducuntur, habemus igitur cylindros, AC, F N, siue conos, B E GG M N , quorum ducta sunt plana opposiit a tangentia dictorum s lidorum homologis figuris parallela, quae sunt plana, BR C X; AD; GYNZ, FH, quibus inciderunt duo plana ad equales angulos, ex eadem parte, illa nempe, in quibus iunt ipsa parallelogramina. ΑC, FN, vel triangula , B E C, quia sunt recta ad basea . i. ad dicta
tangentia, ipsae autem figurae .l. parallelogramma, vel triangula in uenta sunt esse similia, quarum homologarum regulae opposite tangentes, A D, B C; FH, GN, quarum iunt incidentes, EO, M P, earum autem lineae homologae, lumptae regulis dicitis tangentibus, repertae sunt esse incidentes figurarum planarum similium, quae diuidunt altitudines dictorum solidorum iam dictas strui liter ad ea nisdem partem. & oppositarum tangentium, quae omnes ijs, quae ducuntur per extrema, B C, G N, tangentes circulos, B EC X , G TN Z, sunt qui distantes, ut facile considcranti patebit, ergo cylin- Defin. I ι .dri, A C. FN, vel coni, B EC. G MN, sunt similes iuxta meam definitionein generalem similium solidorum, quud Otandere opus erat.
ΤΗ EO REM A XXIX. PROPOS. XXXII.
DEfinitio mea similium conicorum , & cylindricoruni concordat cum definitione generali similium solido
94쪽
sint eylindriel quicunque, Α Η, Κ Υι seu conici in iisdem bas bus,
& altitudinibus cui una vice utriusq; demcnstrati Cnem ab loliari t. s N LI , VXY, similes iuxta definit. 7. huiuε. Dico eoni cm ct amesse similes iuxta desinit. D. Quoniam ergo Vtraque praedicta u. lida Deso. ν. sunt similia , erunt bales, L H , λ Y, simile , ducantur earum oppo. sitq tangentes , quq sint homologarum reguli, Ulp, L D, B G, A L Coroll. i. Vt, quarum, & praedictarum simi. lium figurarum incidentes sint ipsae, a BD G, f l, quae etiam pro regulis alia rum homologarum sumi poterunt, sint ergo due quaecunque homologς
tera cylindricorum , vel conicorum iam dictorum extendantur plana, ab ijs producentur in cylindricis similia parallelogramma, & in conicis si milia triangula, quq etiam erunt ad bases aeque ad eandem partem inclinata. Extendantur ergo per oppositas
na tangentia tam cylindricos, quam
conicos iam dictos,& hqc simul cum planis basium indefinit E producantur ad partes incidentium, D G , f l,& tandem per , D G, f l, cum sint parallelae, extendantur plana ipsis,AH, ΚΥ, parallela lecantia iam pro ducta plana in rectis , D G, GE, EB, BD, DE, si, l&,&Z,Zs,s Defin. 33. S , erunt ergo parallelcpipeda, AG, I l undete. El.
ergo erit parallelogrammum, B G, Elem. simile ipsi, AH, &,Zl, simile, ΚY, quae cum sint inter se similia, etiam , B G . Zi, erunt similia, sic Otiam ostendemus triangula, E D G,& f l, esse similia, sub intellige iuxta
definitionem Euclidis, ergo erunt eistiam similia iuxta desin. Io. Ducantur duo plana oppositis tangenti x .huius. bus intermedia, ac parallela, altitudines dictorum lolidorum rei pectu
basium, L H, X V, lumptas, similiter ad eandem partem diuidentia,
95쪽
quae in cylindricis producant figuras, IM, R T, in conicis ver5, o M, s T, secent vero plana tangentia in rectis, IC, M F, O d; rT p, S o, istae ergo erunt ad inuicem parallelae, & tangent fissuras, IM, R T, O M, S T, eadem vero plana iecent plana, B G. Zl , in
chiol ἡ rς ii , CF, N p. Quod ergo figurae,' IM, R T, vel, O M, S T, sint simi r 1. Et ij. te. basibus, & ijsdem similiter positet hiatus . iam ostensum fuit, ex quo fit, ut &ipsarum, & quarumcunq; sic in prῆ' fatis solidis producibilium similium
figurarum homologae duabus qui busdam regulis, ut ex .gr. ipsis, U G, Yl , semper aequid istent. Reliquum est autem , ut probemus, C F, ps Vel, d F , o p , esse praedictarum in cidentes. Cum ergo due, I C, C F, et O. Vnd. duabus, L D. D G, qui distent an-HςN- guli, I C F, L D G, aequales erunt, sic etiam probabimus esse aequales,
luna ex eadem parte, ergo, C F, Np, erunt incidentes similium figura- , . huius. rum, i M, RT, & oppositarum tangentium , I C, M Fi R R, T p, eadem ratione demonstrabunus, d F, . o p, cile incidentes similium figurarum, O M, S T, & oppostarum tangentium , O d , NI F; So, I p, est autem, d F, ad , o p, ut, d E, ad, o &, scilicet, ut, D E, ad, f&, nam, . DE, f&, sunt similiter ad eandem 37. vnd. partem diuisae in punctis, d o, cte-iacm. nun altitudines dictorum solidorum per plana, I F, R p, similiter ad eandem partem diuiduntur ergo, d F, o p , aequi distantes oppositis tangentibus, B E, D G, Z &, si , s uni homologae figurarum similium , E D G, & fl, quarum & oppositarum tangentium incidentes erunt ipsae, ED. N f. . Eodem modo ostendemus, C E, d p, esse
96쪽
homologas similium figurarum, B G, Zi, quarum & oppostarum tangentium, B E, D G, Z & ,Π , incidentes sunt ipsae, B D, ZLhaec autem etiam in c teris traiectis planis , Ut dicitum est contingere ostendemus, ergo, B G, Zi, E D G ,& fl, erunt figuri incidentes smilium cylindricorum , seu conicorum iam dictorum, te oppositorum tangentium planorum, A E , L G, Κ &, XL, ergo in his soli. dis adsunt omnes conditiones defin. II. ut recolenti caldem patefiet, igitur erunt iuxta eandem pariter similia. Aduerte autem, quod surposui planum, N G, tangere tam cylindricum , quam conicum, ut etiam, Ut, ne figura nimis confunderetur, & ut fierent latera, LG, & l, communia parallelogrammis, B G, Zi, & triangulis, DE G, s & l, valebit tamen eadem demonstratio etiamsi plana ducta per, H G,Y l, tangentia cylindricos, diuersa sint a planis per easdem, H G, Yt, transeuntibus, ac tangentibus iplos conicos, fient enim semper similia triangula, E D G. & f l, etiamsi non adiaceant late. ribus , E G, & l, ut consideranti facile patebit, haec autem nobis o
THEOREM A XXX. PROPOS. XXXIII. S I solidum rotundum secetur plano per axem, producta ia,
eo figura erit, quae per reuolutionem ipsum genuit.
Sit solidum rotundum, cuius axis, Α Μ, basis ci rculus, H D E p, hoc autem plano per axem, Abi, ducto secetur, quod in eo Prod cat figuram , A C D F G. Dico hanc
esse eam, quae per reuolutionem linsu in solidum genuit. Intelligatur reuolui circa, A M , figura, que dictu insolidum genuit, donec reperiatur po
sita in plano figurae, A C D F G, it
tur vel harum figurarum perimetri congruunt, vel non , si sic cx illis facta erit una figura, ea nempe, quae per reuolutionem generat dictum solidum, si vero non congruant, aliquis punctus alterius ambituum dictaruita figurarum non reperietur in
reliquae ambitu, sit is punctus, B, qui reperiatur in ambitu figurae, quae per reuolutionem dictum solidum descripsit, quae sit ipla, A B D F G, & non m ambitu figurq, A C DF G, cuius ambitus est communis lectio plani ducti per axem ,& si. E x per-
97쪽
perficiei dictum solidum ambientis,quia gitur, B,non est in communi sectione iam dicta, & est in plano figurae, AC D F G, igitur erit intra, vel extra superficiem ambientem dictum solidum, est autem in ambitu figurae, quae tali ambitu dictam sup rficiem deicribit, ergo erit in ipla superficie ambiente , & non erit, quod est absurdum, non igitur aliquis punctus ambitus ligurae, quae dictam solidum per reuo tutionem generat est extra ambitum figurae, A C D F G, igitur isti
ambitus, & consequenter iplae 2gurae sibi inuicem congruunt, & fit Una Agura. ea . cet, quae per reuolutionem dictum solidum rotundum generat, quod erat detinoustrandum .
THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXIV.
SI solidum rotudum secetur plano ad axem recto, fiet concepta in ipso fisura circulus, cuius centrum erit in axe.
Sit solidum rotundum, cuius axis, A C, & figura, quae ipsum per reuolut onem genuit ip a, A B C D , secetur autem plano ad axem recto, ex quo in i pio producatur figura , MBND. Dico hanc esse circulum , cuius centrum erit in axe, ut, E, sit autem communis sectio plani recti ad axem, & figurae, A B C U , recta , BD, quia e in n.6. go figura, A B C D , est circa axem , i pia autem, B D, quae rectexim secat, una est ex ordinati in ad ipsam axim applicatis, ideo ab ea bifariam diuiditur in puncto, E, ducatur nu ne aliud planum per axem, quod in dicto solido pro- xantee. ducat figuram, A M C N, quae secet figuram , MRN D, in recta , MN, erit ergo . haec figura eadem ei, QuC per reuolutio nem dictu n genuit solidum, & ideo erit figura circa axem, ad quam ordinatim ap optizatur, H N , cum ipIa recte axem , AC, dra dat, ergo, H N, bifariam diuiditur in , E, eodem pacto quascumq: alias communes sectiones figurarum per axem , AC, tran: euntium ,& figurς, BNDM, ostendemus bifaria n d uidi in , E. Ulterius, quia figurae, A B C D, AMCN, suu eae lam ill i, que per reuolutionem generat solidum, ABC D, & , B D, H N , transeunt per idem punctum axis , A C, recte eundem lecantes, ideo si ipsa, R M C N , reuolueretur, donec esset
in plano figurg, A g C D, i lii congrueret, &, M N, ipsi, B D , vn- , de , . 1 N, B L , iunt aequales, ct ideo earum dimidii, N E, E B: ML E, E
98쪽
E, E D, erunt aequales, eodem pacto ostendemus quascumque ductas a puncto, E, ad lineam ambientem . M B N D, elle aequales cuilibet iplarum, B E, E N, E D, E M, ergo figura , ΜBND, erit circulus, cuius centrum, E, in axe reperitur, quod erat Ostendendum.
Colligimus aqtem 'fas , B D , Μ V, rommunes sectiones figur
rum per axem d ιctarum , ct circulorum, qui ster feetionem dicti folidι per plana ad axem recta in eo produc utur, csse eorum diametros, cum per cepit rum transeant
Si quicunq; conus secetur plano basi aequi distante conce
pta in cono figura erit circulus centrum in axe habens. Si conus sit rectus patet hoc ex antecedenti Propos. caeterum si sit scalenus, qualis sit conus, A C F D, qui secetur plano basi, C F D, aequi dis lante, quod in eo producat siguram , B R F. Dico ipsam esse
circulum, centrum in axe habentem. Sccetur ergo plano per axem,
quod in eo producat triangulum , A C D, cuius & circuli, C F D, communis lectio sit, C D , qu3 erit diameter dicti circuli; eius autem& figurae, B R E, communis lectio, B E; lunt ig.tur trianguli , A BI, A C N, similes, quia, B I, qui dis at ipsi, CN, ergo LC N , ad , N A, erit vi, Bl, ad , t A, eodem modo ostendemus, A N , ad , N D, esse ut, B l, ad , IE, ergo , ex aequo , C di , ad , ND , erit vi, BI, ad , I E, sed, C N , est qualis,N D , ergo & , I E . Ducatur nunc aliud planum per axem, quod producat triangulum , A N F, quodq; iecet fguram , B B E, . in , IR, fient ergo trianguli, A l R , A N F, ae quianguli, orgo, E di , N A , N C, erunt lineae in cadem proportione cum ipsis, R I, IA , I B, ergo, exqquo, FN , ad , N C, er i ut, RI, ad, IB, led, F N , est aequalis ipsi, N C , ergo, RI, erit aequalis ipsi, 1 B, eodem modo ostendebmus quaicunque ductas a puncto, I, ad lineam ambientem , B R E, esse aequales ipsi , BI, ergo figura, B R E, Crit circulus, cuius centrum , i , quod ostendere oportebat. Coa
99쪽
HIne patet ipsam , BE, communem sectionem trianguli per axem ducti, ct circuli , BI E , esse eiusdem diametrum, cum per eius
TNE OREM A XXXIII. PROPOS. XXXVI.
SI solidum rotundum, vel contra scatenus secentur plano . per axem, deinde sccetur solidum rotundum nisi basim habeat, quq circulus erit plano ad axem recto circulum pro ducente, in cuius plano,& illius, qui est coni basis perpem dicularis ductast basi figum per axim cluidi; dein desumpto, puncto in ambitu figurae per axem, per illum a qui distans di- perpendiculari ducta fuerit tecta linea, haec tanget dicta selida, at si sumptus punctus sit extra talem ambitum, sed insuperficie ambiente dicta solida, quae per ipsum ducitur ei. dem aequi distans intra dicta solida cadet producta usque ad superficiem ambientem a figura ducta per axem bifariam idetur.
Sit solidum rotundum . A B T F. vel conus scatenus. A P R , in basi circulo, Ρ X Rnon habeat basim, secetur plano recto ad axem,quod in eo producat circulum. ΡXRZ,secentur autem amisbo planis pcr a em. quae producant: in s lido rotundo figuram,
AP T F , & in conotriangulum , A Ρ R, deinde in plano circuli, P Z RX, ducatur ipsi, P R. communi sectioni dicti circuli,&quorum axis, AT,
si solidum rotundum fgurae per axem, perpendicularis, Z X, S sumpto puncto in ambitu fguiri pera em. Vt, 2, per ipsum dueatur recta luaea parallela ipsi, Z X.
100쪽
X Dico hane tangere dicta solida, si enim non lavit secoe, Veluti, D a N, in puncto, N, igitur punctus . n. erit extra planum figin rae per axem , nam ipsa , Da N, est parallela ipsi, Z X, quae est ad rectos angulos figurae per axem transeunti, & ideo etiam , DΣ est illi ad rectos angulos, occurrit autem illi in puncto , a , ergo non occurret illi in alio puncto, ergo, N, est extra planum figurae per γXem, ducatur per, N, planum aequidistans plano, ΡXRZ, circuli, quod producat circulum , B N F C, & sit, B F, communis sectio tysius circuli, & figurae per axem, quae crit ipsius circuli diameter, &, N, non erit aliquis punctorum, BF, ergo si ab , N , duxerimus ipsi, Z X, parallelam, ut, N C, cum etiam , BF, sit parallela ipsi , Ρ B, continebunt angulos aequales, sed, Z X, secat perpendiculariter, PR, ergo, N C, iccabit perpendiculariter, B F , ducta non ab extro mitate diametri, ergo intra circulum, B C F N, erit, & bifariam secabitur ab ipsa, B F, ergo non transibit per circuitum figurae per MXem ductae, & per ipsum transit, D ΣN, ergo , NC,N2D, iunt duae rectae lineae cidem, Z X, parallel , ergo etiam inter se erunt parallelae, quod est absurdum , cum trant eant per idem punctum, ergo ducta per punctum ambitus figurae per axem parallela ipsi, Z X, tanget dicta solida: Sit nobis nunc punctus, N, pro puncto Utcunq.; in luperficie ambiente sumpto extra circuitum ligurm per axem , a quo ducta ipsi, Z X, parallela,occurrat producta superficiei amblanti in puncto , C , ostendemus ergo eodem modo supra adhibito pomquam duxerimus per , N, planum circulo, ΡX R Z, aequi distans, quod in solido producat circulum, B N F C, ipsam, N C , intra ei culum, B N F C, cadere, & bifariam diuidi a recta, B F, siue a figu: a Per axem ducta nam est, N C, perpendicularis ipsi, B F, quod O-stendere opus erat.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVII: .
SI solidum rotundum, vel conus scalenus, secentur plano per axem , & deinde alio plano se centur, cuius, & unius planorum recte axem secantium communis lectio sit re et a li ne a perpendicularis communi sectioni eiusdem ,& plani per aciem s figura a secundo secante plano in solido producta erit circa axem , in cono scaleno autem erit circa axem, vel diametrum axis, vel diameter erit communas sectio per dicta secantia plana productarum figurarum.