장음표시 사용
81쪽
in, X , ducatur in plano, N O P, recta, in , a puncto , Q, perpem dicularis ipsi, o P, & iungatur , HR, triangulumque, H R Q , se- . .. . Cet duo triangula , U S T, Κ S T, in rectis, Y X, Z X. Quia ergo siEI triangula, VS T, N ΟΡ, sunt parallela, erunt etiam ipsς, ZX , RQ, parallelae, sed &, S T, O P, sunt parallelq, ergo anguli, Z X S,aoNM. R QU, erunt aequales, rectus ergo est etiam ipse, Z X S sed etiam, Elam. S X H, rectus est , ergo, S X, est duabus, ZΣ, X H, perpendicularis, & subinde plano per i plas transeunti, & consequenter, S X Y, est . Vadςς. rectus, unde, H X Z , erit inclinatio planorum. H S T, Κ S T, S, H ψε δ' XY, inclinatio planorum, H ST, S V an haec autem e si aequalis inclinationi planorum, Id O P, N O P, ex hypotes, idest angulo, H R : idest angulo , HXZ, ergo angulus, HXY, qui est totum, estiquas sangulo, HXZ, ei videin parti, quod stabi uiau, ergo abl urdum etiam est dicere triangulum , V S T, non ad quid istare ipsi, NOP, aequid istat ergo,& i d.vnd. sae , V S, V T, sunt enlcm. tiam parallelae ipsis , NO, N Ρ, & triangula,
H T, ipsi, N Η Ρ, ne non , VS T , ipsi, NOP , sunt similia , ergo pyramides, H U S T. H N O Ρ, sunt similes , est autem pyramis , IJ V S T, sinitis , immo S squalis , ipsi, AC D B, ergo pyramides , AC DB, HNOP, inter se similes erunt, & anguli , ACB, HVT, A CD, HVS, inter se aequales, ergo, A C , H V, rectet lineet stantes in sublimi, & cum
ipsis , CD, CB, US, UT, angulos aequales continentes a quibusa , .vnd. etiam Con enti anguli, DC B ,s UT, iunt ς' uales erunt ad plana Iem. ' triangulorum, C U B, N O P, aequaliter inclinata , & lunt iplae pyramides , AC DB, HNOP, similes, ut propositum fuit demon
Si vero rectae lineae angulos aequales cum ipsis, D A, A B, O H, H Ρ , continentes essent ipsae, AI', H Λ , quarum, Λ H, esset pararuleia plano, V S T, probaremus etiam, ΓΑ , esse parallelam plano, C D B, alioquin si cum i pso producta concurreret, etiam, A H , ex supra ostensis, producta concurreret cum plano trianguliJ S T. Vel
Praetutellectis duabus iam datis, A C, H N , & lupposita superiori
82쪽
eόnstructione, ostenderemus, ut iupra, tria latera, rA, A H; A D. Η O; A B, Η Ρ; esse ad inuicem tu perposita, viide si , Λ Η, aequidia stat plano, N O Ρ, etiam necesIe este concluderetur, Λ Η, leu, TA, in ea constitutam, aequid litare plano, N ΟΡ, vel ipsi, VST, seu, IA, ipsi , CDB, quod erat ostendendum.
Ex hoc Lemmate colligitur similium folidorum, iuxta Euclidis dea sin tionem , latera homologa quaecunque, vel duabus in ambitu quibuscumque figuris similibus assumptis ) iacere in plano similium di. Iarum figurarum, aut illis aeqvidi lare, vel aequaliter eisdem inclinari; Ut in figura Lemmatis q. ex. gr. CD, GL , ossumptis similibus figuris, HC D , O GL , iacent in earum plano , B A, I F, autem vel ambo illi aequidviant, vel eisdem sunt aequaliter inclιnata, nam iunctis , .aC , AH, F G , F ο , nisi bac sint latera dictorum folidorum , fiunt anguli, BAN,IFO , BAC, I FG, αquales , O triangula , ACH, FGO , similia, nam pyramides, .a B C H, F IG O, sunt ιηtιrse similes, ipsa vero irrangula , C H , F GO , aeque ad candem partem inclinantur 1 s , IIC D, Q G L , eum etiam , AC HD , F G LO , pyramides sint similes ex eodem Lemmate q. unde vel, A B, F I, aequidsant basibus , C H D , GOL , vel sunt eisdem aequaliter inclinata , idem de caterιs bomologis quIbuscumque lateribus , quibuslibet similibus figurιs iu ambitu assumpi is eo a. ratis , pariter intestigendum erit.
SI in similibus solidis iuxta Euclidem ducantur plana duabus quibulcumque similibus figuris iii eoium ambitu assumptis parallela , quae ut corum bases accipiantur; dividant autem ducta plana coisrum altitudines ,ret pectu dictarum basium captas, similiter ad eandem partem, qu*cumque latera homologa ab eisdem sccabuntur, sim militer ad caiadcin paricin diuidentur. Sint in s milibus lolidis iuxta Euclidis dcfinition.9. Undec. Elem. assumpis in ambitu duae similes ligure tanquam bales, eX. gr. triangula si nulla, ADB, MKN, sint vero de ambitu etiam dei cripta
E; quibus etiam adiungantur latera homologa, I F, QS , ad vertisces , F, P, reIpectu diciarum basi uin captos, pertingentia, reliquis di in illis figuris eorum ambitum complentibus . ne nimia fieret Schematis confusio , sint autem a verticibus , F, P, demissae altitudines
rei pectu basium, o D B, M Κ N, iplet, F C, Ρ O, planis basium inpunt
83쪽
punctis , P, Ο, Occurrente, , ducti, ducem duxanu planis quomodo vcumque basibus parallelis, &iecantibus altitudines, F C, Ρ O, similiter ad eandem partem in punctis, 1 Γ, eadem l ecent latera homo. loga ex. gr. I H, QS, in punctis, Π Dico in clidem ferari simio liter ad eandem partem. Producamur ergo, H I, S , hinc inde,
ita ut nisi hoc ipsis contingat abique eo, quod producantur ad plana basium , D AB, Κ M θώ, &eiidem aequi distantia plana per vertices , F, Ρ, ducta, turn, n cucur, ut in punctis, L, T, G, R, a punctis vero, G, R , demitrantur ad plana dictarum basiuin perpendiculares , G E, R X , illis incidentes in, E, X, & iungantur , L, E X. Similiter a verticibus, E , Ρ, ad puncta basium, B, N, ducantur, FΡN , & iungantur, J C, di O. Quoniam ergo latera homolo ga, H I, S ia, continent cum homologis lateribus similium triangulorum , AI D. M Q Κ, ad eandem partem basibus , D AB, Κ MN, inclinatorum quia, IA D B, in 1 N Κ, essent similes pyrami-Ex Lem. des angulos quales, & producta incidunt in plana dictarum basium D in , L, T, erunt eis dein .equaliter inclinata, ergo anguli, G L E, RI X, erunt εquales, &, GEL, RXT,
geremus, E A, F D, P M, P K, fierent similes pyramides, Ex Lem, F DAB, PK MN, unde pateret, F B, P N, esse ad plana basiumἰ' D A B , K M N , sitinuiter inclinata, & subinde angulos, F B C, PN O , esse quales, & cum sint recti, E C B, P N O, triangula , F BC, Ρ N O , esse aequi angula , S ut , F C , ad , P O, ita cile, F B , ad, Ρ N, etiam inanifesturn ellet, sed vi I l, PO, ita est, G L, ad, RT, & vi, F B, ad , P N , ita , P , N K , & ita quodcunque latus in lolido , FHB, ad ' a in solido, PS N, , .Quin . idest ita, I H, ad , O ' , ita, H l, ad , SQ,
84쪽
similiter ad eaudem partem lectε in punctis, Π, Ζ, nam sinuliter secanturae, F C, P O, in punctis, Λ, Γ, ergo etiam reliqua, I Π, ad, OZ, erit ut tota, G H, ad totam, R L, adest ut, F C , ad , Ρ U. Eodem modo ostendemus, Π H, ad, Z S, esse ut, F C, ad , P Ο, e go , t Π , ad , ui, erit ut, Π il, ad , Z S , & permutando, I Π, ad, Π H, er: t ut, Q L, ad , E S, tunc ergo latera homologa, I H, QI, smil. ter ad eandem partem lecta a praefatis planis, quod eodem modo de qui huicia inq; homologis la eribus, quae contingat dictis planis secari, pariter ostendemus. hoc Vero demonstrare propositum sui
' . . e Ex hoc autem Lemmate insuper habetur nedum latera boviologa sia milium folidorum , sd etiam, si illa producantur usq; ad opposita frangentia plana, corum residua, να ι a tota, esse ut eorum ditias altitudines
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXIX: SI in duobus similibus solidis iuxta defin. s. undec. EIem
accipiantur, ac in eorumdem ambitu, duae quaecumq, similes figuis plani tanquam bases, quibus parallela ducan tur quaecunaq; plana eadem secantia, necnon eorum altitu
dines, respectu dictarum basium assumptas, similiter ad eandem partem diuidentia. Productae ijsdem insolidis figura similes erunt iuxta definitioncm io . huius, & omnium homologae duabus quibusdam regulis aequid istabunt.
Sint similia solida iuxta defin.9. undec. Elem. ipsa, A E F S O G o, Tl & p f 8 s , in eorum autum ambitu capiantur similes quaecumque figuri; planς , OG FS,f8&p, quibus parallela ducantur duo quecumque plana eadem lecantia, necnon & altitudines rei pectu dicta. rum basium assumptas similiter ad eandem partem diuidentia, ac in ipsis solidis figuras , L It M P, Υ UZd , producentia. Dico has dine similes figuras planas iuxta defin. Io. huius, Omniumque sic produ arum in dictis 1olidis homologas duabus quibusdam regulis, vi ex. c. ipsis, OS, sp, aequi distare. Igitur figurarum ambientium dicta Aida duae aliae similes quaecumq; capiantur cum basibus concurren-ces , Ut ex. gr. O O S, s fp , similia triangula, ducantur autem prsia tis basibus opposita tangentia plana, A C, T II, secantia producta
85쪽
plana figurarum, o G S, s p f, in rectis, B C, QR quibus occurrant , O O, f s, productae ut in punctis, B , Q, & iungantur, S B , PQ, esio autem, quod plana figurarum , L H M Ρ, Y V Z d, diuit rint plana figurarum, o o S, s f p, producta in rectis, Κ N, u g, qu si ab ipsis, B S, Q p O, df, secentur in , I, X, Κ u , & iungantur, L Κ, PI, Υ u, d X. Quoniam ergo plana figurarum, H M Y L , V Z d Γ, pr dictas altitudines similiter ad eandem partem diuidentia, lecant latera hom loga , a O. T s, similiter ad eandem partem in punctis, L, Y, ut etiam, AG , T 8, io, HV , erunt figuri, A L H, T TV, ad eandem partem lecan tium, H L, V Y, constitutae inter te fimiles, & earum latora homologa ipsq, H L,V V; eodem modo ostendemus si miles esse ipsas, E A L P, id Yd, & earum latera homolo. ga ipsas, L P, Yd, sunt autem fisurae, A E P L, A L H, inuicem ad eandem partem de que inclinatae , ac ipsae, Tl dY, T Υ V, cum sint in planissimilium figurarum, A ESO, TIps, AGOo, T 8fs, quῆ
sunt inuicem ad eandem par tem aeque inclinatς, ergo an
gis lateribus conten t i erunt si quales, & circa eosdem latera erunt proportionalia. Eodem modo ostedemus caeteros an
gulos, L P M,Td Z, inter se, necnon , Ρ Μ Η, d Z V, ac, MI L, Z UY, aequales esse, di circa aequales angulos latera existere proportionalia, ergo figurae , LUM P, UZd, similes erunt iuxta Euclidem, er go etiam similes erunt iuxta definit. Io. huius . Reliquum est,rt demonstremus earum homologas duabus assuinptis
86쪽
piis regulis, o S, sp, omnes equi distare: Et quidem si plana secent figuras, o O S, s f p, hoc manifestum est, ctenim productς linee ipsis basibus, O S, s P, crunt parallelae, & latera homo toga similium figurarum ex traiectis planis in solidis productaru in . Si vero plana parallela 1 ecent duas figuras ipsis, o O S, s f p, continuatas, uti faciunt plana figurarum, H M P L, U Z d Y, quae etiam secant plana figurarum, o O S , s fp , producta in rectis , Κ N, u g, ostendemusiptas , Κ N, u g, esse regulas homologarum similium figurarum, LHM P, UZdΥ, iunctis, P Κ, d u. Quia enim, V o, f s, sunt ipsorum similium solidorum latera homologa, producta, ac terminata ad basium plana, & oppositorum tangentium, in punctis, O, B; L Grinae Q, ideo, B O, ses, sunt similiter ad eandem partem sectae in , Ο, S,
&nedum , Oo,ss, sed etiam, o B, SQ, sunt ut eorum altitudines
sumptae respectu dictarum basium, ted sic etiam sunt iplae, o S, s p, latera homologa, ergo, B o, ad , O S, est Vt, .s, ad , S p, & angu los aequales, B o S, Q s p, complactuntur latera proportionalia, er s. sexu go triangula, B O S, Vs p, sunt similia, cum vero sint in planis trianis gulorum , o O S,s f p, iunt etiam similibus figuris , L Ρ S o, Yd p s,sque ad eaudem partem inclinata, quibus communia sunt homol Ex Lemrga latera, OS,s P, ergo anguli , KOL, u SY, inter se, necnon , Ρ S r.
I, d p X , aequales erunt; cum vero, B S , Q p, sint ut dictae altitudi Corollar nes, & sic etiam , IS, X p, necnon, P S, d P, exenim, B S, Q p, in, cis, I, X , E S , t p, similiter secantur, & ad eandem partem, in pun- huius. et is, P, d , erit, I S, ad , S P, Vt, X p, ad , p d , & circumstant an- 6.sex. gulos aquales , t S P, X p d, ergo triangula , t S P, X p d, sunt similia. Eodem modo ostendemus similia esse triangula, Lo Κ, Ysu. Vlterius, quia est, Κ O, ad , OS, Vt,us, ad , Sp,&, OS, ad , SI, ut , s P, ad , p X, S anguli, Κ O S, u s p, necnon , O SI, s p X, sunt aequa les, ideo trapezia, KOSI, us p , erunt similia, sed etiam Ggurae, LPS o, Y d ps, sunt similes, est autem, KL , ad , Lo, ut, u Y, ad , Y s, &, o L, ad , L Ρ, ut, s Y, ad , Y d, ergo, Κ L, ad , LB, erit ut, u Υ, ad , Y d, eodem modo autem os cndemus, L P, PI, IK, K L, binas esse in eadem proportione cum ipsis, Yd, d X, X u Y. Mani festum est autem ii iungeremus, AO,T f, A S,TR quod ferent similes pyramides triangulatae jpiae, AOos, I f sp, simili.
hus n.triangulis comprehendecentur, ut meditanti compertum fiet, Ex Lem
ideo plana, A O O, T s f, idest triangula simitia, L Κ o, Y u s, sunt aequi ad eandem partem ipsis similibus figuris, L P S o, Y d p s, inclinata, cum quibus coincidunt in lateribuS homologis, L O, YS, Ex Lem. ergo anguli, KL Ρ,uY d, erunt aequales, quibus circumstant latera a. Proportionalia, ut probatum cst , ergo triangula, Κ L Ρ, u Y d , similia erunt, & erit , Κ P, ad , P L, ut, ud, ad , dΥ, est vero, P L,
87쪽
ad, PI, Vt .dY, ad , d X, cogo ex aequali, Κ Ρ, ad , PI, erit ut, ud, ad , d X, est autem , ΡΙ, a l, Ι Κ, ut , d X, ad , Xu, ergo trian gula quoque, P Κ I, d u X, pariter similia erunt, unde anguli, L ΡΙ, Υd X; ΡΙΚ, dxu,&, IKL, XuY, aequales erunt. Ducantur nunc in planis figurarum , LHM P, ΥU Ed, a punctis, L, I, parallelae , Κ N , u g, i piae, LY . Cum igitur anguli, L E. I, Υ u X, sint qquales, etiamsCorol.ar Κ L 3, u Y ψ, aequales erunt, huiua, sed &, Κ L Ρ, u Y d , sunt in quales, ergo residui quoque, IL P, 4 Yd, erunt Qquales, Vn de cum ipsae, L 3 , Y , con
partem angulos aequales, e runt regule homologarum similium figurarum, LIIM P, Y U Z d, unde etiam ipsae, ΚN, u g, vel ipsae, O S, f p, e
runt regulae homologarum earundem, sunt. n. O S, K N, parallelae, Ut etiam , u g, f p, 'unde omnes homologae sinitium figurarum , LUM P,ΥU Z d, ipsis regulis, O S , f p, aequidis labunt, quod & de cε-
teris eodem modo ostendetur, dum sectio siet in siguris,
rigurae planae continuarentur citra cota tum planorum basibus oppositorum, cum hiSin lateribus homologis, A E, Ti, conuenientes, quibus erus ei. t inclinat , parum dissimili methodo, producentes, O B, s Q, usq; ad tangentia plana, & occursuum puncta cum ipsis, S . p. iungentes, necnon extrema laterum homologorum, qualia suerunt, L Ρ, Υ d, cum extremis rectarum in triangulis qualia fuerunt, B Ob, α p, productarum, pariter iungentes, ut fecimus cum ipsis, ΚΙ, uae a
88쪽
u X, ostenderemus figuras his ductis comprehensas, quales fuerunt, L PIΚ , Y d X u, eile similes, ex quo propos tum quoque nostrum haberemus. Similiter si anguli lolidi, Q. f, pluribus, quam tribus
angulis planis contineantur, currit tamen demonstratio, cum triangula, G O o, 8 ff, licet non lint in ambitu solidorum finitamen s- άς 'milia, & ςque ad eandem nartem inclinata figuris, cum quibus concurrunt , ctenim ex. gr. pyramides, S G O O, p 8 is, si eorum latcra iungerentur , ii miles edunt, quapropter ipsius demonstrationis vis non eneruatur. Simillier si, o O S, s sp, non essent triangula , sed aliae quaecumque figura: similes , pro, o S , s p, acceptis latcribus ipsis, O o, fs, adiuncta, o s, conterminantibus, & planis ad haec latera pariter terminantibus, eodem modo demonstratio abi Oluer turr haec omnia autem singillatim prosequi nimis longum, ac schematibus rem aperire, res tricis plena esset, quapropter Lectoris in. duilriae hoc relinquo , si enim ea recte perceperit, que superius explicata sunt, circa huius ver:tatem minime haesitabit, infinita autem similium solidorum planis contentorum varietas efficit, ut aegre ipsius deinon strationis uniuersalitatem oculis lubijcere possim , quod Lector aequi, bonique faciat, haec vero ostendenda proponebantur.
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXX e
Posita definit. s. undec. Elem. similium solidarum figurarum, sequitur , & mea definitio generalis similium so
lidorum. Assumptis denuo antec. P. Opos. figutis, sint adhue similia solida iuxta Euclidem ipt a, A G S, T 8 p. Dico eadem esie etiam similia
iuxta desinit. II. hulus, quam de similibus lolidis generaliter attuli. Sint autem ducta eadem opposita tangentia plana , ut ibi, ita ut duq similes figurς , GFSO,f8&p, sint plana contactuum ex una par te, ex alia vero sint plana tangentia, A C, T R, captis autem alijs duabus similibus figuris cum basibus concurrentibus, ipsis nempe, OS o, fp s , illarum plana extendantur, ita ut secent opposita tangentia plana, in rectis nempe, B C , O D; in , f Fuet; extensis autem ulterius planis, G Ο Ο, 8 f s, que nunc sint in ambitibus lolidoruin ipsa secent opposita tangentia plana in rectis, A B, T ia; G O,8 f, &plana figurarum, O S O, sp s, producta in rectis, B U, f, lecentur vero hec solida duobus planis oppositis tangent: bus parallelis v cuinque, & si ni illa eadem , que in Iolidi, produxerunt figuras, L HM P, Y V Z d, istae ergo sinites erunt, & earum homologae, si pro Ia re
89쪽
regulis assumamus iterum ipsas, OS , sp, eisdem quoque aequidista-R d L ergo in eisdem figuris habebimus etiam homologas alias equis ''hμμ' distanterregulis quibuscumque cum ipsis, O S, sp, angulos aequa les ad eandem partem continen xibus, cum ergo iplae, GO, 8 f, angulos aequales cum ipsis , OS ,fP, ad eandem partem contineant, Ideo omnium homologae Pariter duabus, G O, 8s, tanquam nouis regulis equi distabunt, istis antem , quae tan uni ex una parte figuras, GS Ο, 8 & p f, ducantur ex alia parie oppositae tangen tes, FD,&R, ita ut incidant duς, GO, F Da plano, BD. in punctis , O, D , S duae, gs,& R, plano, QR , in pumctis , f, R, sint autem iunctae, CD, fR. Similiter figurarum,
oppositae tangentes p satis regulis, GO, 8s , parallelae, planis, B D, R , Occurren tes in punctis, Κ, N; ug, iun- santur autem, Κ N, u g, dc Ita caeterarum sic producibilium figurarum intelligantur ductae oppositae tangentes linsis , G O , 8 f, parallelae, &productae usque ad plana, SD, Q punctaq; occvriuum iuncta rectis lineis, per qua
seant lineae, B O, C U, Q LRR. Cum ergo , G O, 8 csint homo togarum regulae, ac oppositς tangentes figurarum
incidant autem illis ad cura dem angulum ex eadem parte, o D, f R, & st, G Ο, ad , f 8, ut, , visus. D, ad , fm, ideo, o D , f R , erunt incidentes similium figurarum, CGFS,f8&p,& opposita ruin tangentium , G O, F D, 8 f, &B. Similiter in fguris, Is M P L ,U Z d L ostendemus esse ipsarum
90쪽
1neidentes . ac oppositarum tangentium, Η Κ, M N, V u, Z g, ip
sas, Κ N, u g, ii .n. iungeremus,MΚ, Eu, probaretur, M H, ad, H Κ, esse ut, Z V, ad , V u, iunt .n. similes figurae , ΗMΡL, VZ d Y, necnon, L P Κ, Υ d u. circumstant autem latera proportionalia angulos aequales, M H Κ, Z U u, & ideo ostenderemus triangula , M ΗΚ, Z Uu . est e sirinilia, unde pateret angulos, ΗΚ M, V u Z, esse aequales, sed etiam , Η Κ N , V u g, sunt qquales, ergo ε.Sex. El. pateret angulos, M Κ N, Z u g, esse aequales, sunt autem etiam a quales, M N Κ, Ζ g u, ergo triangula, M Κ N, Z u g, essent aequiangula, Vnde, M N, ad , Zg, eilet vi, Κ N, ad , u g, incidunt autem, Κ N , u g, oppositis tangentibus, H Κ, Μ N, V u, Z g, ad
eundem angulum ex eadem parte, ergo iplarum tangentium, ac D M.huius. gurarum lunt incidentes, Κ N, u g, cum vero, Κ N, ad , u g, sit ut,
M X, ad , Z u, idest ut, M Η, ad, Z V, vel ut quodvis solidorum latus homologum ad quodvis latus homologum, idest ut , G O,ad, g f, idest ut, o D, ad , f R; O D, autem ad , f R, sit vi, B o, ad, Q Lideo, Κ N, ad , u g, erit vi, B Ο, ad , in, & diuidunt similiter ad
eandem partem ipsas, Bo,us, in punctis, Ku, quae incidunt lysis, BC, O D, L R R, ad eundem angulum ex eadem parte, lunt .n. anguli, B O D ,πιR , aequales, quod& de caeteris incident.bus
probabitur, ergo figurq, B O D C, Vf R R, quq capiunt Omnes di n sis. Ehas incidentes, iunt similes,& arum homoloῆς ipi incidentes, qua- huius rum omnium regulae sunt, o D, s R, & sunt ipsρ figurς, 3 D , Dr,
aeqvh ad eandem partem ipsis basibus inclinate, cum sint in planis fi- Lem. t. gurarum, o OS ,s f p , ergo dicta solida sunt etiam similia vix tad nn .ir. huius. Quod si plana , G Oo, 3fs, non essent in ambitu similium dictorum solidorum, facile tamen ostenderemus portiones solidorum ultra eadem plana exilientes esse similes, ac i piarum Oppositorum tangentium planorum iam dictorum incidentes reperiri in planis figurarum, B D, us, cum eisdem integrantes figuras Incidentes integrorum initium lolidorum, ac didiorum oppositoinrum tangentium, quod speculanti facile innotescet, hoc autem erat ostendendum.
CIrculi omnes, necnon semicirculi sunt similes iuxta meam dc Gnitionem similium phinarum figurarum, & eorum, & tange tium oppositarum, quae ab extremitatibus diametrorum ducuntur, incidentes lunt ipsi diametri.