장음표시 사용
111쪽
Dp-rboli u bic babeutur , circ r sectιοues oppositas, quarum eommunessu ut di I e pasones , quoq; intelligi posse . E.rdem vero nedum in dia sin tetris solidis, sed etian tu epruu partionibus , siue in portiouibus f Gibuqm coni abscisis per tineas ad earum axim, vel diametrum ordιnaistim ductas, pariter verisi. art manifestum est.
PR. opositis duabus quibuscumq; similibus figuris, duae quaeuis re-
istae lineae earum homolog poterunt esse incidentes, vel in ipsis productis reperientur init ein earum incidentes , & oppolitarum tangentium , quibus ipsae incidunt ad eundem angulum ex eadem parte, erunt autem dict e homologae semper inuentaru in incidentium partes proportionales.
Sint duae quaecunq; similes figurae planae, I Q s Ρ, 4 8 7 R , in eisque duae quaelibet homologq, i s, Dico has esse vel incidentes, vel in eis Uein productis reperiri polle incidentes praedictarum figurarum, &oppositarun tangentium , quibus occurrant ipsae homolingae , productae, ad eundem angulum ex eadem parte, quales sint, DL, d Οἱ p u, g Y. Ducantur autem ulterius oppositς tangentes, quo sunt regulae homologarum,
Corol-32, g, Κ Z, quarum, & dicta-NP β' rum figurarum incidentes 23.huus. sint, AC, FK, parallelae Coroll. ipsis, D L, p u, hoc .n. fieri p. potest; erunt autem etiam ω ipsae, do,gΥ , regulae homologaru in , cum faciant angulos aequales cum regum lis , d A, g F, ut suppono,& inueniri poterunt earum,& dictatum figurarum inciis dentes parallelae eisdem, A
tales incidentes: Vel ergo homologe datae , t s, T, terminantur ad oppositas tangentes, DL, d Oppii,
g Υ . vel non, & tunc pro tueamur ,& ipss incidant in punctis, E, f; tu, Sc , & ulterius productae usque ad , A C, F Κ, secent ipsas in putastis, B, G. Ulterius vel, H o, A Z, tangunt se totis, vel aliqua
112쪽
tantum sta palete, vel .in uno puncto tantum, pr dictas spuras, tan- gant in punctis tantum , P, R , Sab ipsis ducans ur paralles; rc ulis, d O, g , , ipsae, PN, R T, occurrentes inci lcntilus, Lo,uY, in L punctis, N, T, dico, LN , u Y, similiter ad eandem partem lecari in, N, T, si . n. hoc non sit, diuidatur, L O, in , M, similiter ad candem partem, ac diuiditur, v Y, in , T, S pcr, M , cxtendatur, M I,
parallela, d O, incidentes ambitui fgura: in , I, & rursus iccctur, uY, in , V, similiter ad eandem partem, ut sccatur, LO, in , , , qu aergo, N, est intra puncta, M , O, etiam, V, erit intcr I M. Cia, T, Y; ducatur tandem, V S, paraljela, g Y, incidens ambitui frurs in, S . Quia igitur , MI, non incidit in punctum contactus rectae, JA O, cuin figura, erit, MI, maior, N Ρ, eadem ratione ostendcinus, S V, 1ore maiorem ipsa, R T , est enim, RI , minima earum, qua ab incidente , u Y, ad ambitum fgurae duci post unt a qui distanter ipsi , gY. Cum vero, IM, R T, similiter d: ui dant ,& ad eandem part in
ipsas incidentes , LO, uY, erit, I M, ad , R I , ut, LO, ad , u Υ, idest ut, P N, ad , S V, ergo, permutando, IM, ad , P N , erit VKR T, ad , S V, est autem, L M, maior, Ρ N , ergo etiam , R T, erit maior, S V, sed etiam minor, quod est absurdum, ergo falsum est ipsas, P N, R T, non secare similiter ad eandem partem ipsas, L O, u Y, iic igitur easdem diuidunt, eritque, P N, ad , R T, hoc est, HL, ad , v, ut, LO,ad, u Y, idem ostendemus etiam si contactus ellet in parte linearum, H o, X Z, seu in totis eisdem lineis, ut consideranti facile innotescet. Eadem autem methodo probabimus etiam,
D L, p u , elie ut ipsas, L O, u Y, ergo residuae, D H, p X, hoc est, A C, P Κ, erunt ut, L O, u Y, idest ut, E 4, R &, sed, A C, F Κ, similiter iunt divis' ab homologis, s l,7 ψ, productis, in punctis, B, G, ergo, A B, ad , F G, idest, D E, ad , p R, erit vi, A C, ad , FK, idest ut, E , ad , R & . Extendantur, N P, TR, que diuidunt,
LO, u Y, similiter ad eandem partem, secentque i plos , E , R &, in punctis, 2, 3 , incidat autem, N O , in , Q, punctum contactus lineae, A d, cum fgura, ostendemus, ut factum est circa ipias, N P, T R, etiam , T 8, incidere in punctum contactus rectς. p g, cum GDefin. i. huius. Desin. io huius
gura , quod sit ipsum, 8, quoniam ergo probatum est, D E, ad , pR , esse ut, E , ad , RS, erit etiam, Q 2, ad , 83, Vt , Eq , ad, Similiter probabimus, ad , 3 R , esse ut, Eq, ad , R &,& diuidunt ipsas, E , R & , similiter ad eandem partem, a quibus vicissim secantur ad eundem angulum ex eadem parte, cum, E q, RS , sint parallelae ipsis, L O, u Y, ergo, E , R &, erunt incidentes simili uin figurarum, Pi as, R 8 , & Oppositarum tangentiumr 1 .huius. DII, d o,p X, g Z, quod etiam veris caretur de ipsis homologis, is, 6 7, ii fuissent ad Oppositas tangentes terminatet in punctis, E, ψ, N. LI a S. M O-
113쪽
O. Modo etiam si ad illa puncta non terminentur dico tamen, l. ad , E , esse ut, I, ad , R &, etenim, i s , ad , ψ 7, est ut, AC, ad , FK, idest ut, LO,ad, u Υ, vel vi, E , ad , R&, ut probatum est, ergo permutando, i s , ad , E q, erit Ut , q 7, ad , sic, quod o stendere oportebat. ET quoniam probatam est , t s , ad ,Α 7 ,ess vi, E q, ac , he O , seu
vi, Lo, ad , ΗΓ, ut autem, LO, ad , u T, ita di bomologae , si P, ad , 8 et , ideo duae homotogae , t s,q7, sunt inter se, ut duae homologae, QT, 8R, O cum opp sita tangentes , DL, do, pu, g T, ductae sint γtcumque, licet ad eundem avgrelum ex eadem parte cum ipsis, E - , O, ideo dare homologae , is, in , erunt ut quaecumq; aliae duae bomologae quibusvis regulis ais wptae, vel Pt e. rum lucidentes, immo ct ipsae inciden tes , erunt inter se , ν quaeras aliae duae incidentes, ostensum .n. est, AC, ad, F Κ, esse ut, L O, ad, u T .
THEOREM A XLV. PROPOS. XLVIII.
SI sint duae similes figurae planae, quarum sint ductae oppo
sitae tangentes, quae sunt homo togarum earundem regu Iae, per quas extendantur duo plana utcumque inuicem parallela eque ad eandem partem ijsdem inclinata, deinde sum ptis duabus quibuslibet homologis illae describere in ligantur figuras planas similes, ductis primo planis a qui di stantes, ita ut sint similiter descriptae, & describentes carum lineae, vel latera homologa, idem aut em contingat caeteris homologis, etiam si omnes figurae descriptae seorsim in unaquaque propositarum figurarum non essent similes ; Solida, quq ab ijsdem tanguntur oppositis planis, in quibus ex trale Etione planorum praefatis oppositis tangentibus aequi distan- tium eaedem figurae produci possunt, erunt similia , & figurae descriptae corundem homologae figurae, & earum regule ipsa Cpposita tangentia plana, quorum & dictorum solidorum si Gurae incidentes crunt primo propositae figurae .
114쪽
Haec Proposito manifesta est, inuoluit . n. requisita omnia definitionis sinitium 1 olidorum; nam hic habemus duo solida, ea nempe, quae secantur planis dictarum figurarum, quorum duo extrema liue Primo ducta aequi distantia plana talia iunt, ut illis incidant duo plana cin quibus nempe reperiuntur propositae figurae similes, quarum homologarum regulς sunt communes sectiones earum, & dictorum Oppositorum planorum tangentium ad eundem angulum ex eadem parte, sunt autem figurae plans descriptae lineis, vel lateribus hominlogis propositarum fgurarum inter se similes, illae .s. quae secant incidentes propositarum fgurarum,& subinde altitudines dictorum sae- Iidorum similiter ad candem partem, & aequi distant dictis tangentibus planis, respectu quorum altitudines dictas assumptas intelligos& quia supponimus omnium descriptarum similium figurarum latcra homologa dei cribentia esse lineas, vel latera homologa similium figurarum , quae omnia iunt inter se aequidistantia, deo omnes earum lineae homologae duabus quibuidam regulis a quid illabunt ,&ipsa 'atera dei cribentia erunt etiam lineae incidentes, vel in eisdem productis saltem reperiri poterunt incidentes descriptarum similium fgurarum,&oppostarum tangentium duabus quibusdam semper quid stantium, scilicet eis, que cum dictis incidentibus angulos continent equales erunt autem dicta latera homologa incidentes, si dictae tangentes transeant per extrema laterum describentium, si autem non, poterunt tamen in ipsis lateribus productis assumi earundem incidentes, quae erunt, ut ipsa latera homologa & cum ii laepropositae figurae sint similes, subinde etiam erunt similes illae, quae capient omncs dictas incidentes, si sorid accidat ipsa latera homol ga describentia non esse incidentes, ut dictum est, igitur adiunt hic omnes conditiones definitionis mea: similium solidorum, ergo soli, da , in quibus dicta: similes delcripta: fgura: ex traiectione dictorum filanorum producuntur, erunt similia, S regulae figurarum homo ogarum erunt dicta plana tangentia, do eorum, ac dictorum solidorum ligurae inc: deates, proposita: pruno figurae, vel aliae in ei idem planis inuentae, illae scilicet, in quibus facent omnium similium d scriptarum figurarum lineae incidon es, quod ostendere opus erat.
HIne apparet si descriptae figurae omnes sint ister se similes, Hicta
solid.i pariter esse similia. Vndesti tutelligamus similes conis
Ictionum portiones , siue easdem integras , circa axes, Nel diametros erab ordinatim applicatis ad axim, vel diametrum, earundem describi similis si suras planas ei dom fectionu m portionibus erectas, tanquam a
115쪽
ime , vel lateribus h omologis descriptar ι n figurarκm; folida, in qu bus descriptae figurae ex traiems ρ anis producentur q ae in sequenti I
bro dicuntur,sotida ad inuicem similariagenita ex dictis scitionum por C. D s. s. tionibus erunt similia, O figurarum homologarum eorundem regulae opposita tangentia plana distis iam descriptis figuris aequidistantia, quorum didiorum solidarum figurae incidentes erunt dictae femo um por tiones, vel tu earum planis iacebunt. Vnde colligimus omnes sphaeras ege similes, nam si sieentur planis per axem, conceptae figurae fiunt si/ Lema i. tes, iides circuli, quod si secentur adbuc planis ad borum circulortim pla- huius pr. na erectis, produtiae figurae fiunt pariter circuli descripti tanquam dia-33 lin Du metris eisdem rectis lineis , in quibus coincidunt circulis per axem du a 'p' -Τ' ctis, quae di imetris ni etiam lucidentes eorundem descriptorum circu-Ldri, a i. ist ηm , σ oppositψrum tangentium per eorum extrema ductarum, qua huius. tangenses omnes in icr se aequi lictant, ut facile patet, O sunt hiae incidentes, siue diametri a scriptorum circulorum . quae axem diuidunt similiter ad eandem partem, ut ipsi axes, igitur ob aera omnes sunt sim, Lema 3 i. les, ct ductis duobus planis oppositis tangentibus utcumq per axem,livi R qui iungit puncta contactuum da tis planis, hinc effecti circuli erunt figurae incidentes dictorum tangentium . O sphaerarum, O didia plana
tangentia erunt regulae Pomologarum figurarum earundem, unde tau dem patet quosvis circulos in sphaeris per centrum transeuntes posse es figuras incidentes e undem sphaerarum, O planorum oppositorum tan sentium sphaeras in extremis pun Iis diametrorum quorumvis dictorum circulorum per centrum transeuntium.
Posita definitione particulari similium sphaeroidum, sequitur&generalis similium solidorum.
sint similes sphaeroides riiuxta definitionem partic larem de ipsis allatam, A B I
esse similes iuxta desinitio lnem generalem similium i ii
nis per axes , A C , F Η, Hl roducantur in eisdem el- Cipies, AB C D, F EH G, quae cruat eaedem illi , ex quarum reuolutione circa axes: A C, F Π,
116쪽
oriuntur dictae sphaeroides, & proinde crunt smiles tum iuxta definit. Apolloni , tum iuxta dcfmr. IO. huius. Et quoniam si secentur planis ad axem rediis in dictis sphaeroidibus gignuntur circuli , vi ex. r. B N D O, E X G V, qui secent axes, A C, F H, similiter ad ean- 3 .huius. em partem in punctis, 14, i, quorum diametri lunt communes se- ctiones cum figuris per axem transeuntibus, ut ipsi , B D , B G, ideo istae erunt incidentes ipsorum circulorum, BNDO, EX GV,& Iema 3I-- oppostarum tangent: um in punctis, is , D; E, G quod etiam de hμ; μὴ caeteris intelligemus. Ergo si per ax:um , AC, FH, extrema ducta sint duo opposita tangentia plana, quae erunt circulis , BNDO, EX GV, parallela, habebimus plana ellipsium , ABCD, FE HG,
illis incidentia ad eundem angulum ex eadem parte; nam ad illa sunt erecta, in quibus reperientur si miles figurae, ellipies nempe iam dictae, & homolog rum earundem regulae erunt communes sectiones earundem productorum planorum cum Oppositis tangentibus planis, quae homologς erunt incidentes homologarum figurarum squarum regulae sunt dicta tangentia plana & Oppositarum tangenti uni per earundem extrema ductarum, quae semper duabus quibusdam regulis aequidis labunt. . Ergo dictae sphaeroides similes erunt iuxta defiu. Io. huius, & earum, ac dictorum Oppositorum tangentium planorum fgurae incidentes erunt eaedem ellipses , ABCD, FE HG, per axes transeuntes , quod &c.
THEOREM A XLVII. PROPOS. L: Posita definitione similium portionum sphaerarum , vel
sphaeroidum, aut cono idum, sue earundem portionum,
v quitur etiam definitio generalis similium solidorum Sint solida, F M IJ, B A C, similes
portiones sphqrarum , .vel sphaeroidum, . vel similes conoides, seu connidum pO tiones iuxta particularem definitionem de illis allatam . Dico eadem esse similia iuxta definitionem generalem similium solidorum . Bases ergo erunt vel
circuli, vel similes ellipses, nempe, FG H N, BDC E , ductis autem planis per axes ad rectos angulos basibus fiant in ipsis figurae, F M H, B AC, quae e runt. similes lectionum coni portione ita earum bases, F
117쪽
erunt axes basium corundem solidorum, ipsarum nempe figurarum, FGHN, BD CE , sunt . n. solida rotunda, & plana , FMH, BAC, per ψxes transeuntia sunt basibus erecta. Sint autem solidorum iam dictoruat axes, necnon axes, leu diametri figurarum , F ΜΗ, B A C, ipsae , OM, XA. Quia ergo figurae , FM IJ, BAC, iunis miles portionum coni sectiones, quarum bales, siue ad earum axes, vel diametros , MO, A X , ordinatim applicatis lunt, F H , B C ,γrunt homologarum earundem regulae, ac tangentes ipsas figuras ex Vna parte , ex alia vero, quo per vertices, M, A , eisdem ducentur ae qui distantes, earundem vero oppositarum tangentium, ac ipsarum
figurarum inc dentes, M O, A X, eritque,FH , ad , B C, ut , M ad , A X. Si ergo bales , FGHN, BD CE , mat circuli erunt figurε similes, quarum & oppositarum tangentium per extrema , FH, du charum incidentes fient dia inciri, F Η, B C. Sirero sint similes ellipses, quoniam , F Η, R C, sunt axes, facile peobabimus, sicut pro circulo fa .ctum est ad Lemma PPopol. y . huius, auxilio propos. o. huius, i plas, F H, BC, esse incidentes similium figurarum,
F G H N, BD CE,&oppositarum tangentium , quἴ per puncta , F, H; B, C, ducuntur squς ipsis, E H, B C, exi
stent perpendiculares, cum sint axes ea. rundem figurarum. Et eodem modos dicta sblida secentur alijs planis prae fatis basibus parallelis ita tamen ut illa dividant similiter ad eandem partem ipsas , MO, A X, & iubinde etiam altitudines ipsorum solidorum te spectu dictarum basium assumptas ostendemus & productas in io' lidis figuras esse similes, & earum , ac oppositarum tangentium s quid illantium tanquam regulis duabus oppositis tangentibus ba' sum , F H, B C , per extrema, F , H; B, C, iam ductarum inci' dentes esse communes ipsarum sectiones cum figuris, F M H, B A C, quae omnes erunt lineae homologae similium figurarum, F M H, sA C, quarum regulς , F H, B C. Ergo, ductis per , M , A, duUb.3planis basibus parallelis, quae t pia ibi id a contingent, incidunt hilςς oppositis tangentibus planis ad cundem angulum ex eadem partς plana figurarum , F Μ Η, B A C , sectis autem lolidis planis parallo' sis, ut dictum eit, fiunt in ipsis similes figurae planae, & earum inci dentes cap untur omnes in similibus figuris, F M H, B A C, quarum sunt homologae , earumque regulae ipsae, F H, B C,& lineae homo' logae figurarum homolosarum duabus quibu daal regulis, utpotς
118쪽
oppositis tangentibus basium , FGHN, BD CE. ain dictis, Omnes aequidistant , ergo solida, E M H. B A C, sunt smilla iuxta detin. I I. huius, & earum, ac Oppolitorum tangentium planorum iam dictorum, figurae incidentes lurit iplae, P ΜΗ, BAC, quod eraὼ ostendendum.
HInc etiam non difficile intelligi potest, propositis duabus eonisA-tibiis Iscctionibus , F Μ Η , B AC, quarum axes , vel diametri sint, NO, A X , ac posito ipsas , F H, B C. tauquam axes describere cidiculos , seu similes ellipses erectas olanis figurarum , F N H, B A C, ct caeteras omnes ordinatim applicatas ad ipsas , RIO , A X , vel circulos, vel semper similes ellipses describere , ut dictum est, solida in curvssu perficie capiuntur omnes per pbaria circulorum, vel similium ellipsium, esse similes portiones obaerarum, vel semiles sphaeroides, vel conoides , earumve portiones , similes inquam ne dum inxta desin. II. burus, hoc .m habetur exq8. huius , sed etiam iuxta disin. 9. habentur . n. hicomues istius couditiones, ut examinanti facile apparebit, quod est conuersum eius , quod in praefenti Theor. propositum fuit. Hoc autem conversum etiam in reliquisTheorematibus, in quibus desinitIones particu lares similium planarum, vel solidarum figurarum cum generalIbus sendimus concordare, poterat demonstrari,sed cum insequentibus libris mel nullam, vel saltem non necessimam occasionem vaderem me huius labiturum esse , ct cum etiam fac me boc IudIosus, qui reti e prrores pro posiviones tutellexit, descere post, propterea ne longior fierem , cou. Iulio boc praeterm si quodnamm verum ess Mimme dubito , ct propterea hoc etiam pro vero supposito infrascriptum coroll. subiungere volui.
V Lterius ergo cum bucusque satis manifestum sit, definitiones paroticulares similium planarum , vel solidarum figurarum, cum de futtionabus generalIbus lo. nempe, II. burtis concordare, ideo in se cluentibus utriusq; definitionis, tam particularis scilicet quam generati a prout libuerit, opotin nos viι pose ex hoc coligemuF. .
119쪽
98NE Miretur autem Lector si in hoc quasdam propositiones assiumpserim tamquam ν ras , qua in sequentι Libro demonstrantur, quales praecipue esse potuerunt Propos. F. 6. 7. ct 8. lib. sequentis, bas.n accepi tam ruam in Elementis tam demonstratra, licet potuissent etiam desumi exHq. Lib. 2. cum i a non penderent ex hic demonstrandIs, ne fieret petitio princ ipis, visuis locis admonui in praesenti Lιbro; placuit tamen easdem Prop f. noua mea methodo iudiuisibilium etiam demon. strare, ut ex ea, tamquam ex herculeo cornu, quanta sit manans drmonstratronum affluetutia pas n digito dem. Urarem.
120쪽
LIBER SECUNDUS.In quo de Triangulo praecipue, eae Parallelogrammo, ac Solidis ab eisdem genitis plura d
monstrantur , necnon alia quaedam Propsitiones lemmatica prosequentibus Libris ostenduntur .
I per oppostas tangentes euiuscunq, datae planae figurae ducantur duo plana inuicem parallela, recta, siue inclinata ad planum datae figurae, hinc inde indefinite producta , quorum alterum moueatur versus reliquum eidem semper a quid L stans donec illi congruerit: singulae rectar lineae, quae in toto motu fiunt comis munes sectiones plani moti, & datae figurae, simul collectar vocentur: Omnes lineae talis figurae, sumptae regula una earundem; & hoc cum plana sunt recta ad datam figuram:Cum vero ad illam sunt inclinata vocentur. Omnes lineς eiusdem obliqui transitus datae figurae, regula pariter earundem una, Iibeat tamen, cum expediet, etiam praedictas vocare, recti transtus, sicuti has , obliquitansitus, eius nempe , qui fit in tali squidistatium planorum ad datam figuram inclinatione. N 2 . C