장음표시 사용
131쪽
iro .hium linearum figur G ΟQ, haes ege pro Raeta, complectetur eas,
quae dei p. a manent in figurri iam dispositis, ergo omnes lineae figurae , G O Q, sic productae complectentur omneε lineas figurarum sic dil positarum, ergo erunt ad illas simul iumptas, ut totum ad partem, nam illae ip his reperientur &aliquid amplius. ergo erunt illis maviores, omnes linegautem figurarum sic dispositarum umi non minores omnibus lineis figurae, E AG, ex qua desumptae sunt, ergo ouis nes linei figuret G UQ, sic productae iunt, ur effectae fuerint malo res omnibus lineis figure, E A G; eodem pacto ostendemus nos posse vice versa istas illis eiu cere maiores, ergo omnes lineae figurarum E A G, Goa, sumptae cum regulis utcumque suppositis, cuiuiuis snt altitudinis silmptet iuxta easdem regulas , iunt magnitudines inter se fationem habentes, qdod si subter rectivo, H Q, ad huc essent portiones chliώlsiderat a um a nobis figu
dem modo ostenderemus omnes lineas earundem sumptas , cum iis, dem regulis elle magnitudines rationem inter se habentes, unde inteu rarum figurarum omnes lineς es lent magnitudines inter te rationem abentes, quod in fig. planis nitendere opus erat. In sigutis autem 1 olidis consim liter procedemus; nam si in superiori figura intellexerimus, E A G , GOQ, esse figuras solidas , &pro rectis lineis aequi distantibus intellexerimus plana aequi distantia, ut pro rectis, E G, G Q. , plana , E G, G Q, quibus plana, L M, NS, sint aequi distanter ducta , sumptis pro regulis planis, E G , G O, ijsque in directum sibi constitutis ita ut iaceant regulae in eodem plano, ostendemus nos posse ita producere omnia plana solidae figurae, G Ο Q, Ut eadem complectantur omnia plana figurae, E A G. t si sint eiusdem altitudinis dictae figurae in integrae exiitentis , vel si non sint diuisae in figuras tolidas, ex. gr. E B D G , B Λ D, sic dispositas, ut bases, siue regulς iaceant in eodem plano. & ita , ut Omnia plapa dictarum figurarum solidarum, vel sint intra opposita plana dictas figuras tangenLia, vel nihil eorum extra , unde omnia plana figurae solidae, G O Q, sic producta sient totum , dc portiones ab eisdein captae in figura lolida, R A G, integra, vel diuila, ut dictum cst .i. omnia plana figurae, E A G, fient pars omnium planorum figurae , G O Q, sic productorum, nam haec in illis tota reperientur,& aliquid amplius, unde omnia plana figurae, G O Q, sic producta erunt, ut effecta sint maiora omnibus planis figurae, E A G; eodem
132쪽
mddo ostendemus nos posse sic producere omnia plana .figurae, E ΑG, ut fiant maiora Odinibus planis fgurae, G Ο Q, ita productis, & . sic deinceps; ergo omnia plana s olidarum figurarum, EAG, GO Q, sunt magnitudines inter laxationem habentes, quod ostendere 'δ' 'μ
D osset forte quis circa hane demonstrationem dubitare, non recte per X cipiens quomodo indfinitis numero linea , vel plana, quales esse
existimari possunt , qua d me vocantur , Omnes lιnea, vel omnia planatalium, vel talium Murarum posui ad inuicem comparari: Propteν quod innuenduia mιιι υιctur, dum considero omnes lineas, vel omnia plana alicuius figura, me non numerum ipsarum comparare, quem igno- mus , scd tantum maguitudinem, qua adaquatur Aditio: ab eisdem lianeis Ocaupato, estm Illi congruat , o quonιam illudspatium Iterminis comprehenditur, ideo ct earum magnitudo est terminis eisdem comprehensa, quapropter illi potes fierι additio, vel subtractio, licet Eumerum earuηdem ignoremus quodisssicere dico, ut illasint ad inuicem comparabilia , alioquin neque ipsa spatia figurarum essent ad inuicem compa-νabiliai Vel enim eoutinuum nihil ali ud est preter ipsa ιη diuisibilia vel aliquid aliud, si nihil es p ter indivisibilia, profecto si eorum eou ries nequit compararι, nequc spatium, siue continuum, erri comparabile , eum illud nihil aliud esse ponatur, quam Usa indivisibilia: Si verὰ continuum est aliquid aliud praeter ipsa indivisibiliasteri aequis est hoc aliquid aliud interiacere ipsa rndiuisibilia, habemus ergo continuum disseparabile in qAadam, quae continuum componunt, numero adhuc in d finita , inter qualibet enim duo indivisibilia aequum est interraeere at quid illius, quod dictum es esse aliquid aliud in ipso continuo praeter ia-4tuisibilia, qua enim ratione tolleretur a medio duarum, a mediis quoque caeterarum tolleretur; boc cum ita sit comparare nequibimus ipso. cdntinua, siue spatia adinvicem, cum ea, quae colliguntur , simul eoia letia comparantur, scilιcet, qua continuum componunt,sint numero tu . desinita, absurdum, autem est dicere colatiuua termin Is comprehcirsa non - esse ad inuicem comparabilIa , ceto absurdum est disere congeriem omnium linearnis siue planorum , duarum quarumlibet figurarum non esse ad inuicem eo arabilem, non obstante, quod quae colluantur , ct ij 'itam congnis in componunt sint numero ridesioua, veluti hoc non obstat ε in continuo, sitie ergo continuum ex iud Isib tibus componatuν , siue i ηοu, indivisibilimm congerIessunt adiumcem comparabilcs, s propo
133쪽
rion inutile autem mihi videtur f an aduertere pro bulis eosis matione , hoc pro νero supposito, quam plurιma, qua ab Euclide, Amehimede , ct aliis ostensa sunt, 4 me pariter fuge demonstrata, mea':
eonclusiones ad unguem cum ritorum conclusion 1bus concordare, quod
euidens signum esse potest, me in principiis vera assumpsisse, licet sciam poe ex falsis principiis sopbsice vera aliquaado ἀιduci p is, quod tamen in tot,ct tot concluston bus, methodo geometνιca demonstratis mibiaceiasse absurdum putarem: Hoc tamen addo , non tanquam praefata v ritatis legitimum fundamentum, sed ut non neglVendum, immis summe expendendum/ltius argumentum, quod sequerit a percurrenti continuo magis, ac mgis elucescet.
ita, regula quavis assumpta. Sint duq aequales plans figurae, ADC, AEB, in figura, A D C,
sit regula, A C, utcunque, & in figura, A E B, regula utcunque sit, AB. Dico omnes lineas figurae. A DC, regula , AC, squales esse omnibus lineis figurg, A E B, regula, A B; intelligatur laguram, ΑΕ B, ita superponi figurae, A D C, ut regulae sint ad inuicem super posit , velut est, A B, in , AC, vel saltem equid; itcnt . vel ergo tota figura congruit toti, ves pars parti, Congruat pars parti, ergo congruentium harum partium omnes lineae erunt pariter congruentes. scilicet omnes linee, A DB, partis figurς, A E B, erunt congruentes Om. mibus lineis, A D B, partis figurae, A D C, fu, perponantur adhuc residuae harum figurarum partes, hac lege tamen, ut omnes earundem liisneae regulis, A B, A C . siue regulς communi, A B, vel, A C, semper si tuentur aequi distantes,& hoc semper fiat, donec omnes reliduq partes ad inuicem superpinstae fuerint, quia emo integrae figurae lunt aequales erunt dictae par tes superpositae inuicem congruentes, ergo & earum omnes lineae erunt pariter congruentes, magnitudines autem congruentes sunt ad inuicem aequales, ergo Omnes lineae partium figurae, A E B, simul sumptaru n.f. omnes lineae figurae, A EB, suinptae regula , ΑΒ, erunt qquales omnibus lineis partium figurε. A D C, quibus prγdi parte, congruerunt, simul .sumptarum . . Omnibus lineis figu
134쪽
rae, A D C. sumptis, regula, Λ C, quod in liguris planis sistenden.
Ita superpositis aequalibus figuris solidis , ita ut duae in ipssassumptae utcunq; regulae fuit ad mulcem luperpositae, vel aqu:dis antes, α refiduorum facta temper superpoli L ne ita , ut innia e Crum pla. na regulis iam ruperposius squindistent, tandem , quia figurς tum aequales . dictie partes erum ad inuicem congruentes c ιuestienister integre quoq; nguiae erunt cUngruentes, crgo earum C mnia stana iumpta cum dictis regulis erunc ad inuicem congruentia, ergo αaequalia, quod in laguris lGl ida, oste1 dere quoque Opus erat.
HIne patet in eadem figura plana , onmes lineas sumptas eum qu
dam regula aquari omnrbus liners sumptrs cum aua quavis regno Ia ; σ iri sit tiris solidis omnia plana mus sumpta cum quadam regula aquar omnIbus planis erusdem, regula quavis assumpta ; unde ex.gr. fecto planis cylindro aequirussanter axι, qua fretione rn 6fo creantur parallaogramma , O Iecto eodem plants aqvidi stanter basi ductis , qua s Coroll.s.ctione creantur tu eodem crrculι , paret ex hoc, omnia parallelogramma dictι cylindr/, reeula eorundem uno, esse aiaal a omnibus circa lis Gu- μ'
FIgurae planae habent inter se eandem rationem , quaes
eorum omnus lineae iuxta quamuis regulam assumpta a Et figurae solidae, quam eorum omnia plana iuxta quamuis regulam aitumpta. Sint figurae planae Vtcunque, A, D. Dico,
A, figui aut ad liguram, D, este ut omnes lin figulae, A, uxta qua uiui, regulam a Isumptae ad omnes lineas figura , Ι , iuxta quamus6 gulam assumptas . inteligantur ergo Pinnes lineae figurae, A. D, allumptae iuxta quasdam regulas, deinde capiantur quotcunquengurae,is C, singulae aequales figurae, A, S figurae, D, quutcunque ςquales fgurq, Vt, Ε ; nunc, si continuum componitur ex ndiuisibilibus, patet abique aba demonstrationen. guram, Λ, ad fguram , D, esie Vt omnes linca. I re, H, ad Cm
135쪽
i,es lineas figurq, D, tunc enim comparare continuum ad continuum
non esset niti ipsa indiuili bilia comparare; sed ello , quod hoc sit falsum, vel quod,etiamsi verum sit, tamen legitima ratione ad hoc probandum nondum peruenerimus; nihilominus adhuc dico ipla indiuisibilia. l. omnes lineas figurς, λ , ad omnes lineas figurae, D, ea se Ut figuram. A. ad figuram , D. Quoniam ergo assumpsimus figuras , B, C, singulas aequales figurae, A, &, E, aequalem figurae , D,
Per ante- Omnes linen singularum figurarum , A, B, C, erunt aequales omni
cςd. bus lineis figurae, A , lumptis iuxta dictam regulam s quacunque regula dictae omnes lineae sint a IIumptae & ideo quotuplex erit com positum ex figuris, A B C, figurae, A , tot uplex erit compositum ex omnibus lineis figurarum , A B C , omnium linearum figurae, A , &ideo habebimus aequE multiplicia priniae, & terti α Vtcunq; sumpta; siniflter ostendemus compositum ex figuris, E, D, aeque multiplex esse figurae, D, ac compositum ex omnibus lineis figurarum, E, D, multiplex est omnium se linearum figurae, D, quae sunt aeque multiplicia secundae, & quartς utcuaque sumpta, quia' ergo si multiplex primε . s. compositum ex figa ris, A B C, luperauerit multip ex secund*, ici
licet compolitum ex figit is, D E, etiam multiplex tertiae . s. compositum ex omnibus lineis figurarum, A B C, luperabit multiplex quartα Elieitur .f.compositum ex omnibus lineis figurarum, D E, & si mult plex pri-ςX aatςc. mae fuerit aequale multiplici secundae, etiam multiplex tertis erit
quale multiplici quarte, scilicet si compositum ex figuris, A BC,
fuerit aequale composito ex figuris, D E, etiam eorundem compo-Dffin. s. si torum Omnes lineae erunt aequales , & sit minus, minus, ideo prima Qui . El. ad secundam erit, ut tertia ad quartam , scilicet fgura, A, ad figuram , D, erit ut omnes lineae figurae, A, ad omnes lineas figurae, D,
Corolui, sumptas iuxta datas regulas .s. iuxta quascunq; regulas, quod in fg bvi*β planis erat ostendendum . Uerum si intellexerimus, A, D , esse figuras solidas, assumentes, C, B, singulas aequales ipsi, λ,&, E, ipsi, D, ostendemus compositum ex figuris, A B C, tam multiplex esse figurς, A , ac compo situm ex omnibus planis figurarum, A, B, C, multiplex est omnium planorum figurς , A, & sic compositum ex figuris, D, E, tam multiplex esse figurae, D, ac compositum ex omnibus planis figurarum,
D E, multiplex est omnium planorum figurae , D, & tandem per
antecedentem Propositionem ostendemus, ii multiplex primae sup ' rauerit multiplex lecunde , etiam multiplex tertiae luperaturum multiplex quartae, & si minus, minus, vel fi aequale ,& qquale iure, ergo
136쪽
go prima ad secundam erit, ut terva ad quartam, scilicet figura io. iida , A . ad fguram solidam, D, erit vi Cmnia plana, A, ad omnia plana , D , cum quibui uis regulis assumpta, quod& in figuris io. lidis ostendere opus erat.
LIquet ex hoc, quod, v t inueniamus, quam rationem habeant inter se daa figura planae , vel solidae , s sicut nobis reperare, quam, in figuris planis, inter feratronem habeant earundim Omnes linea ,σ, rufiguris Iolidis, earundem omnia plana ruata quam Is regulam ossumpta, quod noua huius me a Geometria veluti maxImum tacto fundamentum s.
THEO REMA IV. PROPOS. IV. SI duae figurae planae , vel solidae, in eadem altitudine sue.
rint constitutae, ductis autem in planis rectis lineis ,&in figuris solidis ductis planis utcumque inter se parallelis, quorum respectu praedicta sumpta sit altitudo, repertum fuci rit ductarum linearum portiones figuris planis interceptas, seu ductorum planorum portiones figuris solidis interceptas, esse magnitudines proportionales, homologis in eadem tigura semper existentibus, dictae figurae erunt inter se, ut unum Quod libet eorum antecedentium, ad suum consequens in alia figura eidem correspondens. Sint primo duae figurς planae in eadem altitudine constitutae, C ΑM , C M E , in quibus euae utcunque rectae lineae in uiceni parallelae ductae inteli gantur, A E, B D, respectu quarum communis altitudo allum pia intcthgatu sint autem portiones figuris interceptae
137쪽
A M, B R , ad eam, 'quae illi indirectum iacet in figura, C M E, erit vi, BR, ad , R D, vel vi, A H, ad , H B, ut igi ur, A M. ad , ME, unum .f. antecedentium ad unum coniequentiu in , ita erunt omisnia antecedentia, nempe omnes lineς figurq, CAM, regula, A Mad omnia consequentia, icilicet ad omnes lineas figurae, O M E, regula , ME; indefinitus .n. num merus Omnium antecedentium, de consequentium, qui pro viril-que hic idem est, quicunque sit &hoc nam figurae sunt in eadem altitudine, Sc cuilibet ante cedenti in figura, C A M, assumpto respondet suum consequens illi in directum in.alia figura constitutum non Obstat quin omnes lineqr. bui . . figur , CAM, sint comparabiles omnibus lineis figurq, C M E, eum ad illas rationem habeant, ut probat umesi ,&ideo omnes lineae G. gurae, C A M , regula, A M. ad omnes lineas figurq, C Μ E, regu. Ia , M E, erunt vi, A M , ad , Μ E, Verum, Ut omnes lineae figura a. hstius . . C A M, ad omnes lineas figuri, C M Ε, ita fg. C A M, est ad fg aram , C Μ Ξ , ergo figura, C A M, ad figuram, C M E, erit ut, B M, C M E , intercepta inuicem parallela , & ita constituta, ut plana lΑ H, M R, iactantia eodem plano, veluti se habeant etiam plana. B R, R D, respectu quorum praefata altitudo assuinpta quoq, inteis: ligatur, eadem methodo procedentes ostendemus Omnia plana tig rae, C Α M, ad omnia plana figurae, CM E , idest figuram lolidam 3. huius. C Α M, adfiguram solidam , C ME, esse ut planum, B R, ad planum, R o, vel ut planum, A M, ad planum , M E , quod & in ita,
Colligitur ex hoe in figuris planis, vel solidis , si magnitudines comis
parata sint linea νecta , vel plana ,sint autem illa, qua dicuntur omnes linea , vel ommaplana dictarum figurarum, de illis quoq; verim cari, ut unum antecedentium ad unum eonsequentium, ita esse omnia antecedentia ad omnia consequentia ;σ iu supradietis figuris plauis omnes lineas unius ad omnes lineas alterius, vel in folidis omvra plana unius ad omnia plara alterius, esse H unam antecedeηtium ad unum. con-
tectarum , AM, BR, ME, R D, plana intelligamus figuris, C A
138쪽
Eonsequentium, iuxta qua, tanquam regulas, dicta omnes linea, vel omnia plana intelliguntur assumpta.
THEOREM A V. PROPOS. V. PArallelogramma in eadem altitudine existentia Inter se
sunt, ut bases; & que in eadem basi, ut altitudines, vel, ut latera aequaliter basibus inclinata.
Sint parallelogramma quaecunque, A M, M C, in eaJem alti tindine constituta, iumpta altitudine iuxta bases, Dico Parallelogrammum, Α Μ, ad parallelogrammum, M C, cile ut, GM, ad , M H . Ducatur qu cunq; intra parallelogramma, AM, MC, parallela ipsis, G M, M Η, e ius portiones parallelogrammis,A Μ, M C, interceptε sint, D E, EI. Quoniam ergo, D M , est minum, sicut & , ES Aqualis ipsi , G, M H , erit igitur, G. I, ut , DE, ad , EI,&,DE, EI, ductae sunt utcunq; parallela: ipsis, G M, M H, ergo parallelogramma, A M, M C ,erunt ex genere figurarum Theorematis anteced. ergo, A M , ad , MC, erit ut, D E, ad , EI, Vel vi, G M, ad , M Η, quae sunt eorum dem bales ia Haec autem verificabuntur etiam si altitudines aequales fuerint, ut facit E patet. Sint nunc parallelogramma, Q p, L P, in eadem basi, N P, con, Bituta. Dico eadem esse, ut altitudines sumptae iuxta basim, NP, demittantur ergo, OR, T S, altitudines in , N P, productam, in punctis, R S, illi occurrentes nisi forte , T Ρ ,O P , essent ipsae est,tudines , vel intra parallelogramma inciderent basi, N P, & a punctis , Q, L, illis parallelae, inc, L U, in punctis , V, X, basi , N Ρ,.
incidentes, iunt igitur parallelogramma, QS, L R, in ε qualibus altitudinibus . Q ILLO, sumptis iuxta bases, T S , O R, ergo paral s,-lelogramma, QS, L R, erunt inter ie ,.ut bases, T S, O R, est auo palle hu tem parallelogrammum, QS , aequale parallelogrammis, QP, &, ius Propia L R, ipsi, L Ρ,ergo parallelogramma, a P, L P, .erunt inter se, ut, ΤS , PR, quae pro ipsis sunt altitudines sumptae iuxta hasiin , N P. Si autem latus , ΟΡ, extenderetur superlatus , PT, idest latera, O P, Ρ T , essent qqualiter inclinata communi bas, N P, tunc sumptis
pro basibus ipsis, T P, O P, haberemus parallelogramma, O P, LP, in
Parallelograri, erit, Uidi, E I, ipsi
139쪽
Ex prinis Ρ, in eadem altitudine sumpta iuxta bases, I P , O P,&es en , sutus . t ipsae bases, T Ρ, Ο Ρ, idest ut latera, T P , O P, aequaliter basi,v 0m --P inclinata, haec autem pariter verificabuntur etiamsi balis, di Γ, non sit communis, sint tamen duae bases aequales, quae ostendere orpus erat .
PArallelogramma habent rationem compositam ex ra tione basium,& altitudinum iuxta easdem bases sumptarum, siue laterum aequaliter basibus inclinatorum, cum scilicet illa sunt aequi angula.
Sint parallelogramma utcunque , AD, F M. Dico eadem habe. re inter te rationem compositam ex rationibus basium, quae sint, CP ξφ' II M , & altitudinum , quς sint, B U, O N , iumptae iuxta baies, C D, G M , illisque productis, si opus sit, in punctis, V, N , Occurrentes , siue ex ratione laterum, B U, O M , si sint aequiangula: Abiscindatur a , B V, versus, V, ipsa, X V, aequalis ipsi , O N , & per, X, ducatur, X P, parallela, C D, lecans, B D , in , R , ut fiat parallelogrammum, P D, in eadem altitudine cum parallelogrammo , F M,&in eade basi cum parallelogrammo, A D. Parallelogrammum e
go, A D, ad parallelogrammum, F M, sumpto medio de foris parallelogrammo, P D , habet ratio. ii,. i. '' nein compositam ex ratione parallelogramini, A D , ad parallelograminum, P D, idest ex ratione, quam habet, B V, ad , V X , vel, O N , siue, B D, ad , D R , quoniam, A D, P D, lunt aequiangu-pxsecvn. la, idest ex ratione, B D , ad , o M, & hoc quotiescunque, P D, FPλ . Rx- M, sint pariter aequ angula, & insuper est composita ex ea, quam habet parallelogrammum, P D, ad parallelograminum, F M, idest Ex prima ex ea, suam habet, C D, ad , G M, ergo parallelograminum, A mparte an- ad parallelogrammum , F M, habet rationem compositam ex ea, xς d. quam habet, BU, ad , ON , quae lunt altitudines, Vel etiam ex ea,
140쪽
LIBER II. THEOREM A VII. PROPOS. VII.
PAralle gramma, quorum bases altitudinibus, vel lato.
ribus aequaliter basibus inclinatis, reciprocantur, sunt α qualia, & quae sunt aequalia, bales habent altitudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inclinatis, reciprocas. Sint parallelograinina, H X, A D, quorum bases, V X, B D, re-
Ciprocentur eorum altitudinibus , C O, R Z, vel lateribus, C D, RX , quotiescunq; sint aequaliter basibus inclinata. Dico timc parallelogramma esIe aequalia; etenim parallelogrammum, H X, ad parallelograminum, A D , habet rationem compositam ex ea, quam
habet, V X, ad , B D, R Z, ad , C O, siue, R X, ad , C D, cum
illa sunt aequiangula, est autem, ut,
V X, ad , B D, ita, C O, ad , R Z,
vel, C D, ad , R X, cum illa sunt aequi angula . ergo parallelogram-mum, H X, ad parallelogrammum, A D, habet rationem compositam ex ea, quam habet, C O, ad , R Z,6c , R Z, ad , C O, siue ex ea, quam habet , C D , ad , R X R X, ad , CD, quae est eadem ei, quam De habet, C D, ad , C D, ut illa est eadem et , quam habet, C O, ad, lib. . CO, suntque proportiones aequalitatis, ergo parallelogrammum, H X, erit aequale parallelogrammo, A D. Sint nunc parallelogrammum, H X, aequale parallelogrammo, AD. Dico, ut, V X, ad , B D, ita esse, C O, ad , R Z, vel, C D ad .R X, cum sunt aequiangula . Quoniam ergR parallelograminum, HX, e a aequale parallelogrammo, A D, erit ad illud, ut, Co,ad, C O, vel ut, C D , ad , C D, idest de soris sumpto, R Z, vel prosecunda ratione, R X, in ratione composita ex ea, quam habct, C l 'O, ad. R Z, de ex ea, quam habet, R E , ad , C O, vel ex ea, quam 'φ 'habet, C D, ad , R X,&,RX, ad , C D, Verum, HX, ad , A D, εχ iniee habet etiam rationem compositam ex ea, quam habet, V X, ad , BD,& , RZ, ad , Co, vel , R X, ad , CD, cum lunt aequi angula, ergo duae rationes, CO, ad , R Z,oc, R Z, ad , CO, vel , C D, ad , R X , &, R X , ad , C D, componunt eandem rationem, quam istς duae .l. V X, ad , B D, dc IRZ, ad , Co, vel, R X, ad , CD, eit autem communis ratio, quam habet, R Z , ad , CO, vel, R X, ad C D, ergo reliqua ratio . i. quam habet, V X, ad , B D, erit eadem