장음표시 사용
71쪽
Sint duae utcumque sagurae recti ineae, notad H, M TR PNi. similes'iuxta defit. ionem Euclidis, ideli singulos habentes angulos
aequales, A, M. B, TέD, R; P., E. H.N,& circa aequales angulos latera proportionalia. Dico eaidein esse similes iuxta meam deis finitionemr Ducatitur duα v cumque Oppositae earum sangentes, quae cum duobus ex laterious homologis earumdem angulos aequam Ies ab eadem parte contineant, sint autem ex una parte langentes
ipsae, A H, At tu, quaecum ipsis , H E, NP, lateribus homologis augulos continent *quales, A HG,M N O, & sint ex alia parte tam gentes iplae , D F, R Q, quα cum ipsis, id E, N P, productis con currant in punctis, F, ducantur deinde a Punct s angulorum , qui sunt, B, E ; T P, dictis tangentibus parallelae , BG, CE, TU, S. P.&iungantur, RH, BE, TN, TE.. Quia
ergo anguli, MN A H F, iunt aequales, etiam anguli, R , H F D, erunt εqualeb,& qu a anguli, N P R , H E D, lunt quoque aequales, etiam anguli, R I Q, D E F, erunt aequales, & reliqui reliquis, unde trianguli, RP Q, D E F, erunt aeq nanguli, & ideo , χ', ad , P R, erit ut, P E . ad , E D, esi autem, RP, ad, P N, ut, D E, ad, E H, ergo, ex qquali, Q P , ad , P N, erit ut, F E, ad , E H, igitur, N χ, ΗΡ, sunt similiter ad eandem partem diuitie in punctis , E , P, quia vero angulus , N P S, aequatur angu Io, N Q R . . H F D .L H E C, &, N PR, ipli, H E D, ideo reliquus , S P R , aequabitur reliquo, C E D , eli autem angulus, T RP, ςqualis angulo, B D E , ergo trianguli, P S R , E C V, erunt ae quianguli, & ideo, C E, ad , E D , erit ut, S P, ad , P R, &, E D, ad , E E, erit ut, R P, ad , P Q; eigo ex aequali, di permutando, CE , ad , S P, erit ut, EF, ad , Ρ i. i. vi, H F, ad , N Similiter quia anguli, s D E, i R P, iunt aequales, & circa eos latera lunt proportionalia , ideo trianguli, B D E, T R P, erunt aequi anguli, unde anguli, D B E, R T P, & , B E D, T Ρ R, erunt qquales, iunt autem *quales ipsi, C E D, , P R, ergo reliqui, B E C,1 P S, erunt aequales, & ideo trianguli. B C E, T S P, erunt squi anguli, & quia angulus, si E F, e t squalis ipsi , T P Q , reliquus , Λ E H , erit qquviis reliquo, T P N , est autem, B G E, equalis ipsi, TO P, ergo trianinguli , B G E, T O Ρ, erunt qquianguli, ergo , B G, ad , TU, erit ut, Ε E. ad , T 8, dest ut, C E , ad ,,P . ideii ut, H F. ad , di Q, per mutando ,&conuertendo, H F , ad , G.B, erit ut, N Q, ad , ODquia vero aaguli, H A d, di M T, iunt squales, & circa coideu lia
72쪽
cvm anguli , ALG, MNO, sint aquales, reliqui, b 11 L , a mo, erum AEquales, lunt etiam inqualeb anguli, H G B, b V l, ergo trianguli , H BG, di d O, sunt quianguli, ergo, BG , ad , , t , erit ut , I O, ad , Odi , erat autem , F let , ad , G B, vi , , ad, UI, ergo ex εquali, F hi, ad , Ii G , erit ut, di , ad , di is, iunt gitur . iae , hi F, di Q , similitα diu dae, Sad eandem partem in pumctis, G, O, S. iplae diuidemes, BG, l O, i unt ut Φια, hi h, i
Ducantur nunc inter dicta, op sitas tangentes eudem parallelae duae utcumque, V Κ, X Y, inter circuitum figurarum iam propos, tarum, S reetas, H F, N incomprehenis, timii ter ad eanuelia Partem diu dentes ipias s liF,ῖ, d, itu unctis , Κ, Y , secantetque irsas, BE, I P, in punctis, 3, 4 ,elt et go, F Κ, ad , Q , P mutan
tando ad , I O, erit vi ,3 Mad AYAst vero ut, lata , ad , TO, ita, H P. ad , N inergo, 3 Κ, ad , Υ, erit vi, hi P, ad , di ia, similiter, quia ipiae. V K , X Y, diuidunt silmqtiter aci candem partem iptas, B C, T b, in punctis, V, λ , ac diuiduntur ipis, G E , U P, in punctis , Κ, Y, ideo eodem modo ostii devius ipsa, , V 3, X , esse ut ipias, C E, o P, idest ut ipias, H F, I, ineram au inu , 3 Κ a X, ut iplae, I F,N Q, ergo totae, V Κ, , , , crinu vc ipiae, hi F,N λ, habemus igitur figuras, A D E, M R P , iii quibu, ducti iunt
oppositα tangentes , AH, DF, MN, R in quibus inciderunt irsae, H P, Nwad eundem angulum ex eadem partu, inuentum est autem ea , quae inter dictas, hi F, tu circuitum ngurarum ei sdem lasgentibus utcumq; ducuntur qquidis antes, S te ut dictas, H F, di iniuniliter ad eandem partem, eodem ordine iumptas, est
ut ipias, H F, di in ergo ligurae, Λ D E, M R P, quae erant simi
les iuxta detinitionem Euclidis, erunt etiam similes iuxta denniti nem meam , & erunt dictae tangente, regulae homologarum earum-
dem, S iplarum, ac dictarum umilium Murarum incium estpie, at huius E, di in quod erat ostendendum,
73쪽
QVia vero oppositae tangentes . AH, DF, duc a sunt
utcumque, angulos tamen aquales ad eaadem partem cum homo logis lateribus coni uentes, ideo quascumq; duxerimus oppositam tangentes in Quinis rectilineis similibus iuxta Euclidem , dummodo faciant angulos aq aalos ad eandem paν rem eum laterrbas homologis, Gasdem s regulas bomolosarum similium figurarum poterit probara .
THEOREM A XXV. PROPOS. XXVIII. Posita infra scripta definitione similium portionum sectio
num coni, illi adiuncti , quod infra dicetur , sequitur pro ἰpsis etiam mea definitio generalis similium planarum S gurarum. Hoc autem dico pro spatijs sub ipsis sectionibus, ct recti s lineis contentis,non autem pro ipsis tanquam lineis, licet crediderim Apolloniu ipsarum similium sectionum tanquam linearum, non autem figurarum, qus fiunt ab ipsis, similitudinem attendille , ego vero ipsam recipio tanquam ipse ruin figurarum similitudini congruam,dum illi adiungitur, quod in ipsa Propos explicatur.
SImiles portiones sectionum coni sunt, in quarum singulis ductis
lineis basi parallelis numero aequalibus, s unt iplae parallelae, iubases ad abscistas diametrorum partes sumptas a verticibus, in l)idem rationibus, tum abicillis ipsae ad abicissas: Apollonius libus. Coni- eorum , ut refert Eutocius
Sint similes portiones lectionum coni, DA P, Q RΚ, in basibus, D F, QI, quarum diametri sint ipla, A E, R G , ecentur autem smiliter ipsae diametri in punctis, N , O ; V, X ; & sit, D E , ad , RA , ut, in , ad , G R ,&, C H , ad , O A, ut , T L, ad , X R, &, ΡΛI, ad , N A, ut , S P, ad , V R has igitur Apollonius in lupradicta
definitione inites vocat, mihi autem hoc Dpus est illi adiungere .f. quod anguli basibus, & diametris , ad eandem partem contenti sint aequales, ut angulus, A E D , ipsi, R S Q, s in ..b non poBaxur
74쪽
possemus habere,quot iunt variationes inclinationum diametrorum ad bales, quam tamen vaciationem per definitionem supradictam excludere neces larium elle existimavi. Supposito igitur, quod tali definitioni hoc adiungatur, dico eam cum mea concordare, si pro ipsis lectionibus tanquam hguriS in- . 1 telligatur. Ductis enim per Vertices, A, R , bassibus, D F, Q Κ, parallelis , illae tangent dictas portiones, Scinter easdein ductas habebimus ipsas Α E, R G, illis ad eundem an gulum incidentes ex eadem parte, qu bus similiter ad eandem partem
diuisis, ut in punctis , N . O; v, X; S per eadem ductis i Isis tangentis ibus parallelis, B M , C H , S L, inuenimus eas, quς inter ipsas, A E, RG & c rcuitum figurarum, A D F, Rag., ad eandem partem coni uentur, di diuidunt iplas si militer ad eandem partem, eodein ordine iumptas, esse in proportione iplarum, A E, R G , nam quia, D F, ad , E A, est ut, G fi , ad , G R, permutando, D F, ad , Κ, erit ut, E A , ad , G R , & quia ipsae, A E, R G , fune diametri, ad quas Ordinatim applicantur dicta. parallci , ideo ab elidein bifariam diuidentur, ergo , &, D E , ad , G ,& , EF , ad , GK , erit ut , ΕΑ , ad G R, eodem modo ostendemus tum , C U, ad , T X , tum, o H, ad , X L ,eile ut, O A, ad , X R .i. vi , E A , ad , G R , S sic, BN , ad ,s V,&, N M , ad , V P, et se vi , N A, ad , UR . i. vi , E A, ad , G R , sunt igitur figurg, A D F, R QK, simile, uinta meam definitionem , earum vero , S tangentium oppositaruit ri quarum duae Pςaa. Q.
AFfert commandinus aliam di finitionem similium hyperbolarum,
scilicet similes Usibinaarum coniuncta uiamιtra ιncer se et quem rum si ura latera eandem pr .portionem habent, quam David Rinaltus in Com. in Arch. lιb. de conoidib. edi Sphaeroidibus ad Disin. 38. ostendit concordare cum fi prudιcta Apollon , quam νIdear, qui voluerite Hac igitur eodem modo, quo illa lapollon ' , cum mea pari re concordabit sumpta ta en ορ νbota tanquam figura in unde hac quoque hypo tesi si opus fuerit, pariter utemur ad palpones inde dependeutes timon-srandas.
75쪽
SI sint duae smiles solidae figurae iuxta definit.9. Undee. Elem. Min earum altera duae assumantur in ambitu quaecumque figurae coincidentes, illa: erunt ad mulcem aeque ad eandem partem inclis natae, ac aliae duae, quae in reliqua lolida figura eildein similes esse supponuntur.
Sint sim les solidae figurae, A N, Κ R, in earum autem altera, AN, sumantur duae quaecumq; figurae inuicem coincidentes, Λ V, H , quibus in reliqua similes snt, ΚΛ , qui dem , A V,&. A&, ipsi, H Ur
tem ess e incitis natas, ac lunt
i pig, Κ Λ , A &. Uel ergo , AG, KY, sunt lubiectis planis per pediculares, &tunc, AV, Κ Λ, erunt ipsis, HV, & A, erecta, vel no, & tunc demittantur 1 Inctis , A, Κ, ubiectis planis
76쪽
E, Z T. Quoniam ergo, ABG, est angulus rectuS, erit quadra- - . .
tum, AG, aequale quadratis, G P , P Α, quadratum vero, Ρ Α , Ε .L ' aequatur duobus quadratis, P E , E A, propter angulum rectum, AE P, ergo quadratum , AG , hoc est duo quadrata, G E, E A, qua- Dς 0 3-huntur tribus quadratis, G P, P E, E A, & ablato communi qua- irato , E A, quadratum, G E, aequabitur quadratis , G Ρ, ΡΕ, er- ''go, Ε Ρ, erit perpendicularis ipsi , P V, cui etiam est perpendicula. 43. Prinum3. A P, ergo, A P E, erit inclinatio planorum, A U, U H. E δὲ φ - det in modo ost iid 'mus, Κ XT, esse inci nationem planorum, Κ Λ, Dcfin. LA & ,& angu os, E FG , I Z Υ, esse rectos. Qtioniam vero angu- Πης lus, AG U , a:quatur ipsi, Κ ΥΛ, sunt .n. figurae , A V, Κ Λ , simia ' 'le s ex hypote ii) etiaἰn A G p, aequabitur, Κ Γ X, & , A P G Κ XY, recti iunt, ergo triangula , A PG, K XY, simila erunt. Eodem modo probabimus etiam tr .angula, A G F , Κ Y Z ,elle simi lia, er- Τeo, PG , ad , G q, erit ut . X Y, ad , ΥΚ , & , G Α , ad , GF, ut , YX, ad , Υ d, ergo ex aequat , pG , ad , G F, erit ut, ΣΥ, ad , Y L,
Ee sunt latera proportiona la circa aequale, angulos, PG ν , Α Υ Ζ, iunt .n. aequales iis, qui lunt ad verticem , nempe, H G V, & Y Α,
qui ad quantur, cum lini suntliu in figurarum, H G V, & Y Λ , em . . . go triangula, PG F, X Υ Ζ, erunt similia , & anguli, G Ρ P, Y λ Z, d.' flvi &, G F P, Y Z X, inter te aequales, ergo ipsi, F P E, Z X T ι ΡF E, Z X T, inter te quoque erunt aequales , cum sint residui rectois rum, G P E, G P E, Υ A l , Υ Ζ Γ; ergo triangula , P E Ρ, X T Z, pariter similia erunt. Em t ergo, Α Ρ, ad , P G, ut , Κ X , ad , X V; . . sexti P G , ad , P F , ut . A f, ad , A Z; & , Ρ f. ad , P E, ut, X Z, ad , X Eiem. T, eigo ex ςquali, A P, ad , P E, enc vi, Κ X, ad , X T, & lunt anguli , A E Ρ , K. I X , rccti, et go triangula , A P E , Κ λ T, similia erunt, & anguli, A P Ε, Κ X T, ςqual s, qui lunt inclinationes pla- hJς η'noruua, A U. Κ Λ . ad plana, V 11, Λ & . ad eandem partem, quod
IN eadem antecede. . las ii ura n iupponam ub piopositas esse duas . similes quaicuinque rectilinea, Dguras, A U, Κ Λ , inter te, nec- Iux.deso. non, H V, & Λ , conuenientes in homologis lateribu, virnq; coin s xii El.
munibus . G V , Y A , sint autem homologae inter te, A G, Κ Y; HG . & Υ; & ipsae figurie aeque ad eandem partem mulcem inclinatae. D eo angulos, A G H. Κ Υ &, qquales esse, & circa eoidem latera pri portionalia , quod etiam de angulis , DUA, RA δ, pariter ve- rura tale OilendemuS.
77쪽
. Hoc autem eX Propol. 1 6. huius facilε comprehendemus, suntini itidem ut ibi constructis) duo opposita plana parallela tangentia figuras , A V, Κ Λ , i pia , BD, HV; LQ,&Λ, quibus incidunt planna figurarum similium, A U , Κ Λ,ςque ad eandem partem inelin ata ,.qitie sint nobis tanquam prima, ij idem autem incidunt etiam se .cunda plana prima diuidentia, nempe plana, A G H, Κ Y T, anguli' autem, H G V, & Y Λ , sunt aequales , qui nempe continentur communibus sectionibus primorum, & fecundorum planorum cum planis , H V, & Λ , quae sunt duo parallelorum planorum, similiter amguli , AG V, Κ Υ Λ , contenti communibus sectionibus primorum, vi secundorum planorum, & communibus iectionib. primorum planorum , & ipiorum, H U, & Λ , sunt aequales, sunt .n. similium figurarum , A U, Κ Λ , ergo etiam anguli, A G H , Κ Υ &, aequales erunt, ut in Propos 16. iam ostensum est . Cum autem fgurq , ARΚ A , sint funiles, & , Α G , Κ Y, latera homo toga , erit, A G, ad, G V, ut , Κ Υ, ad , Y Λ , ostendemus autem eadem ration si , VG, ad, GH, ei te ut, Λ ad , Υ &, ergσexequali, AG, ad , G H, erit Vr, ΚΥ, ad , Y&. Eodem modo probabimus angulos , UV Nqquales esse siue plana, 4H, DN; Κ&,QR, sint paralicia, siue non, hoc.n.nihil refert & circa cos latera esse proportionalia, quLd
SI in s milibus rectilineis figuris, iuxta Euclidem, ducantur rectae
lineae quqeumque, earundem latera homologa similiter ad candem partem diuidentes, ipse diuident casdem in similcs figuras, siniales autem erunt, quq ad eandem partem diuidentium linearum con situentur, & ipsae iccantes earundem erunt homologa lacera . Sint similes rectilinea figurae iuxta Euclidem,
A CED, G MN H, quibus incidant rectae, BF, IO, secantes latera homologa , A C , G M; necnon . D E , H N, similiter ad eandem patintem, ut, AC, G M, in punctis , B, i, &, D E, H N , in punctis, F, O. Dico figuras ab ei ldcinconstitutas ad eandem partem, nempe, B A DF,IGHO; B CEF,IMNO, inter se siniles esse. Ducantur a punctis, B, I, ad angulos oppositos rectae lineae , BD, BE,IH, IN, vis figurae sint quadrilaterae, vel multilaterae, in triangula disceparentur. Quoniam ergo, AC,
GH, si liter diuidunturin, B, I, erit, BA, ad , I G, Vt, AC , ad,
78쪽
GM, idest, ut, AD, ad , GH, ergo permutando , B A, ad , A D. 6. sexti erit ut, I G, ad , G Η, & anguli, B A D, I G H, sunt aequales, er. Hςm, go , B A D, Ι G Η, erunt triangula similia , ergo anguli, A D B, GHI, aequales erunt, i unt autem qquales etiam, A D F, G H O, ergo reliqui, B D F , Ι ΗΟ, erunt aequales, est vero, B D, ad , D A, ut, I H, ad , Η G, S, A D, ad , D F, ut, G H, ad , H O, eigo exaequali, B D , ad , D F, est ut, I H, ad , Η Ο, ergo triangula , B DF, I H O, pariter similia erunt, & anguli, D F B, Η Ol, inter te, necnon, DB F, HI O, inter se quales, ergo anguli, A B F, G I O, R D F, G Η Ο, erunt etiam qquales ,& figurς , ABFD, GIOH, aequi angulς, & cum, B A, ad , D F, F B, bime sint in eadem rati ne cum , I G, GH, HO, OΙ, patet, quod etiam circa qquales angulos sunt latera proportionalia , ergo ipsae figurae, B A DF, IGH O, similes erunt. Eodem autem modo ostendemus similes csse , Η C E F, IM N O, patet autem ipsas, B F, Io, esse earum latera hodimotoga, quod erat demonstrandum.
SI in similibus solidis planis contentis iuxta des. p. undec. Elem quatuor quεlibet puncta iumantur in unoquoq; eorundem non tamen in eodem plano constituta ad quς anguli solidi aequales terminantur, illaq; iungatur rectis lineis , fient similes pyramides trianis Des a. i gulatae compreheniae lub triangulis, ijidem rectis lineis iungentibus .
Sint similia solida, AHC D, F Ο A'
G L, iuxta def. s. undec. Elem. & in ijs accepta quatuor qu*cumq; pun 'cta, nempe , A , Η, C, D, in uno,&, F, O , G, L, in alio solido, quae non sint in eodem plano, sed ad angulos qquales constituta, iungantu que rectis lineis, AH, A C , C D, C
L,LO, siue hqc iungentia sint ipsoru in similium solidorum latera. Di-' CO pyramides , ABCD, EO GL, similes esse. Uel ergo plana has pyramides continentia lunt in ambitu solidorum, vi ex .gr. C H D, G O L, & tunc erunt similia, ex ipsa d finitione, vel non lunt in ambitu, tunc autem probandum est nihilominus esse similia, ut non sint in ambitu i pia triangula, A C H, F
79쪽
G O, sint verb in ambitu triangula, A B C, F 1 G; A B H, FIO, ΗΒ C, O lG , ergo tria liqc tribus iam dictis similia erunt, ergo & buses, A C H, F G O, similes erunt , nam cum sit, A C , ad , C B, ut, F G, ad, G I; B C, ad , C H, ut, I G, ad , G O, erit ex g quali, AC, ad , C H, ut, F G, ad , G O, eadem ratione ostendemus, C H, ad, H A, esse ut, G V, ad , O F, ex quo habebitur ex Vquali, C A , ad, Α Η, esse ut, G F, ad , F O, ergo triangula, A H, i, G O, similia erutit. Eodem modo probabimus triangula, A H D, F L O, A C D, F G L, esse similia, ex quo concludemus i plas pyramides si miles elicia
Quod si tria triangula ad , B, Ι, terminantia omnia non lint in ambitu , ostendemus tamen illa est e similia , erunt .n. vel bales pyramidum , quarum tria triangula verticalia erunt in ambitu, vel 1altem aliarum pyramidum, quarum triangula similia cile probabuntur, quia erunt bases pyramidum tria triangula verticalia in ambitu habentium , ad haec . n. tandem deuenire necelle erit: igitur Ostentum est , quod proponebatur .. . .
QVia vero in pyramidibus triangulatis , BAIIC, I FGO, existe tibus similibus illarum triangulis verticalibus, bases , ECH, FG O , necesserio similes esse ostensae sitiit, ideis ex hoc colligimus si
in doabus pyramidibus triangulatis tria verticalia triangula tribus ver
ricalibus triangulis similia sint, etiam bases similes esse.
SI duo similia triangula fuerint subiectis planis aeque ad candem
partem inclinata, ita ut communes cum illis sectiones sint earum latera homologa, quae tanquam bales assumantur; ab eorum autem verticibus rectae lineae in lublimi fuerint constitutae, angulos aequales cum eorum lateribus homologis continentes , illae erunt luis biectis planis aequaliter inclinatae, vel elidem ambo parallelae; si autem fuerint inclinatae, & vique ad subiecta plana producantur, iunganturq; pucta Occursuum cum extremis basium diciorum triangulorum, pariter hinc constitutae pyramides similes erunt.
Sint similia triangula , ABD, H PO, iubiectis planis eque inclinata , in basibus , BD, ΡΟ, a quorum verticibus, A, H, rectae lineae , A C, H N , in sublimi conititutae contineant cum homologis eorum lateribus angulos aequales, sint nempe anguli, C A B, bl Hy, nec non, C A D, U H O, inter te aequales. Dico iplas, A C, HN, iubiectis planis esIeequaliter inclinatas, vel elidem ambo paral
80쪽
ietas, ae sis tu inclinatς, incidantque ipsis in punctis, C, N, iunganturque , CB, CD, NP, NU, pyramides, A C D B, D N OP. stiniles ella . Sumatur ergo in , Α V, etiam quantumui, pi Olenia ubicumG punctum , E, & accipiatur in , IIV, producta, si opus sit, HL, qualis, AF,& indesiuite extensis lineis, R C, A B IN , H .. ΛΡ, ducantur in planis, F AC, FAG, L HI, , L H P, a Lacti. ,h, lib., ' Ad
lia;eodem modo offen- Elem. 26. Primi
E, LI, E A, III, unde cum sint quales, E A, IIJ, AG, UM,& anguli, EAG,lH. I, pariter equales , etiam bales, EG, IM, aequales erunt, de pyramides , AEFG, HIL M, similes, de qquales ad inuicem extilent . aut pendatur nunc pFramis, A E F G, & pona Dbfin. io tur punctum, F, in , L, demittaturque, F G, super, L M , cui con- vndee.El. gruet , ted de triangulo, E FG, cadente luper, I LAI, punctum, F, erit in , I, ac latus, A F, in , H L, alio quin duq eidem plano , IL M, Τ.Pri. El. perpendiculares essent eductae ab eodem puncto, L, quod est ablu dum clunt aulcm, A F, H L, perpendiculares planis, EI G, I L M, hoc est loto plano , I L M, cum superponuntur, ex eo, quod duabus, VR IL, IM, sint perpendiculares in puncto, L, ergo, F A , cadet lu-per , L H, de punctum, A, in , Η , Vnde eti m= B A νς dex in, I H, ..uad. El. S, AG, in , FIM, punctum, B, Vero esto, quod stin, T, D, in, S, de , C, in , V, erit et am , D B, congruens ipsi, S T, C D, U S,& , CB, ipsi, V T,&quia angulus, AB D, .equatur ipsi, H PO, ABD , autem est etiam aequalis, H I S, ergo, hi T S, H P O, suntinui ales, ει, S T, parallela , O P. Dico etiam triangulum, V S L .. primi aequid istare ipsi, N O Ρ, si .n. hoc non si, quia, s T, est parallela Elam. . ipsit , OP, poterit per,s I , duci planum ipsi, N O P, parallelum, ducatur, dc producat in pyramide triangulum, KS I, acta autem a