장음표시 사용
141쪽
ei, quam habet, C Ο, ad, R Z, vel, C D, ad , R X, eum sunt aequiangula, ergo aequalia parallelogramma bales habent abii tudinibus, vel lateribus aequaliter basibus inclinatis reciprocas, quod Ostendere
THEOREM A v III. PROPOS. VIII. SImilia parallelogramma sunt in dupla ratione laterum
Sint similia parallelogramma , AC, EG. Dico eadem esse in du-SG d is , dilarat one laterum homologorum: Quoniam enim lunt similia illam' ἶφ' aequiangula, sint anguli , BCD, FGH, aequales, di latera b
mologa , B C, E G ; C D, G H, si ergo pro
. . . basibus sum pierimus i pias, B C , F G , erit.' AC, ad , EG, in ratione Composita ex ea, quam habet, B C, ad , E G. & ex ea, quam habet, D C, ad , Η G, quae est eadem ei, quam habet, BC, ad , FG, vel, FG, ad tertiam proportionalem duaru , pristi; nempe , B C, & secundae, F G, crgo , A c , ad , EG, er i ut, B C, adterotiam proportionalem duarum primi , nempe, B c , & iecundς, F G. D. ςα, o. erit in dupla ratione eius quam habet ad , E G, vel . CD, s . Elam. ad , G H , quGd Ostendere opus erat.
HIne patet ,-ἀ;: parallelogrammis 1n superioritas Propo oribus ostensa sunt, eadem de eorundem omnibus uncis eum quabus 3.bnig uis regi lis assumptιε parιter verasicara ram alia sunt , ut ipsa parali
PArallelogramnorum in eadem a Ititudine existentium omnia quadrata, regula basi, iuxta quam altitudo sucu mi pta est, sunt inter is, ut quadrata b asiuin . in o μω sint
142쪽
Sint igitur parallelogranuna. Α M, M C, in eadem, altitudine. Dico omnia quadrata parallelogrammi, A M, ad Oninia quadrata parallelogramini, M C, regula, G H, este ut quadratum , G M, ad quadratum, M H. Sit intra parallelogramma , AM, M C , ducta utcunque, D i, parallela ipsi, G H, cuius portio , DE, maneat in, AM,6c, El,m, B H, quoniam ergo, DE, est aequalis ipsi, G M , ligurq autem planae similes dei criptae a lateribus, vel lineis hinnologis aequalibus iunt aequale, , dc ideo quadratum , DE, erit aequale quadrato, G, 6c quadratum , E l, quadrato, M H, G mergo, ut quadratum , G Μ, ad quadratum, M tri, ita eiu quadra. um, V E, ad quadra. MN, EI, dc quia , D I, utcunq; ducta est parallela ipsi , G H, ideo, ut unum ad unum, ita Omnia ad omnia .deit ut quadratum, G M, ad quadratum, M H , ita ei uiu omnia quadrata parallelogrammi, A M, ad omnia quadrata parallelogranani, M C, regula, G H , quod erat ostendendum.
HInc patet , si vice quadratorum fιmamus alias quaseatique figurissimiles , quυd eodem pacto ostendemus omnes figuras si les parallelogramini, A M, ad omnes sinialei figuras parvitelogrammι, Μ C, vi ex. gr. Omnes circulos parallelog ammι,-M, ad Omnes circulos parallelogrammi, Μ C , esse ut similes figuras ab εpsis di sibus, G Μ, Μ Η, d s raptas, nam si u planae simies quaecunq; ut dictum est. descripta a lateribus, vi l liners homotogιs aequal/bus sunt aquales ; omnιbus pari. ter assumptis fisuris similabus , regula eadem , G H.
THEOREM A X. PROPOS. X. PArallelogrammorum in eadem basi existentium omnia
quadrata, regula ipsa basi, sunt ut atritu cines, vel vi latera, que aequaliter basi sunt inclinata, ii illa sint squiangula.
Smi parallelogramma, A D, BD, in eadem b. si , C D, existe tia, quorum sint alti .udines iuxta basi in . CD, tum ρια , AO, N. Dico omnia quadrata parallelogramini, A D, au Omnia quadrata parallelogrammi, B D, regula, C D , este vi, A G, ad , C di , vel etiam vi, AC, ad , C B, si parallelogramma, B D, D A,suerim aequiangula, producantur autem, C B, C B, inde ite ad parte, --α P
143쪽
positas , ex quibus sumantur quotcunque partes aequales, AI, III, nempe aequales ipsi, C A, & , B Ρ , aequalis ipsi, B C, & compleantur parallelogramma, A M, IK , B Q; sunt igitur parallelogramma, C F, A M, I Κ, in aequalibus altitudinibus, ac basibus, & ideo sinu. h, gulorum Omnia quadrata regulis eisdem basibus , erunt aequalia, Gr' pari ratione omnia quadrata parallelogrammorum, B Q, C Q,
runt equalia, regula, C D, altitudines autem parallelogrammorum.
C F, A M, t Κ, sunt aequales ipsi. A O, & altitudines parallelogrammorum, C E , B Q. sunt aequales, nempe ipsi , CN, habemus ergo
aequEmultiplices prime, & tertiae . s. compositum ex altitudinibus parallelogra in morum, C F, A M , IK, quod tam multiplex est altitu .dinis, A O, quam compositum ex omnibus quadratis , C F, A M , t Κ, multiplex est Omnium
quadratorum parallelogrammi, C F, & sic com- Vis politum ex altitudinibus parallelogrammorum, Q
CE, Ba, tam multiplex est altitudinis, C N, Zid. ac compositum ex omnibus quadratis parallelo grammorum, B Q, C E, multiplex est omnium quadratorum , C E; idest quam multiplicia lunt omnia quadrata parallelogrammi, H D, Omnium quadratorum parallelogrammi, Α D, tam altitudo parallelogrammi , Η D, multiplex est altitudinis parallelogramini, AD, siue tam ipta, C Η, multiplex est ipsius, C A, dum sunt aequiangula, & quam Omnia qua drata parallelogrammi, ΡD, multiplicia sunt omnium quadratorum Parallelogrammi, B D, tam altitudo parallelogrammi, Ρ D, multiplex est altitudinis, C N, vel tam , Ρ C, multiplex est ipsius, C B: Si autem multiplex primae suerit aequale multiplici secundae, etiam multiplex tertiae erit aequale multiplici quartae, si maius maius, & si minus minus, nam si altitudo parallelogrammi , H D, fuerit aequa. lis altitudini parallelogrammi, D P, omnia quadrata, H D , erunt aequalia omnibus quadratis, D Ρ, nam parallelogramma, H D, DEx antee.s , sunt in eadem basi, C D, si illa maior ,& haec maiora, & si mi
R. ouinii nor minora, ergo prima ad secundam erit, Vt tertia ad quartam, Eleuti nempe Vt altitudo parallelogrammi . A D, ad altitudinem parallelogrammi, DB ,.s. AO,ad, CN, vel, AC, ad , CB, dum sunt aequiangula, ita erunt omnia quadrata, A D, ad omnia quadrata, D B, sunt ergo, ut altitudines ipsorum parallelogrammorum , velut latera ςqualiter basi inclinata,cum nempe parallelogramma sunt aequiangula : haec autem etiam veri sicarentur si paralles Ograinina essent in aequalibus basibus, quod ostendere Opuo erat. Os
144쪽
123 EAdem ratione , si vice quadratorum sumamus alias figuras similes,
ostendemus omnes figuras similes parallelogrammorum in eadem, Abasi existentium esse, ut altitudines, vel ut latera basi aqualiter incli. h.ius. nata, dum illasunt aquiangula.
QVorumlibet parallelogrammorum omnia quadrata reis gulis duobus quibusvis in eisdem assumptis lateribus,
habent inter se rationem compositam ex ratione quadratorum dictorum laterum,& altitudinum, vel laterum,
que cum prsdictis equaliter inclinaturisi illa sint etqui angula.
Sint parallelogramma utcunq; A D, F M, in quibus regulae extent latera utcunque, C D , G Μ, altitudines autem iuxta dictas regulas lumptae, B U, O N. Dico omnia quadrata, A D, ad Omnia quadrata, F M, habere rationem CDmpositam ex ea, quam habet quadra tum, CD, ad quadratum , G Μ , di ex ea, quam habet, BV, altitudo ad altitudinem , ON, vcl etiam, B D, ad , Ο Μ, si illa sint aequiangula, lateraq; BD, UM , aequaliter sint inclinata cum lateribus, C D, G M; abscindatura, B V. Vertus, V , ipsa, XV, aequalis, ON , S per, X, ducatur, XP, parallela ipsi, C D, secans, B D, in , R , erit autem, D R , aequalis ipsi, O M, si sint aequiangula, quod facile probari potest, erit etiam parallelogrammum , Ρ D , in eadem basi cum parallelogrammo, A D, sed in eadem altitudine cum parallelogrammo, F M, omnia ergo quadrata parallelogramini, A D, ad omnia quadrata, F M, habent rationem compostam ex ea, quam habent omnia quadrata, A D, ad omnia quadrata, D P, .i. ex ea, quam habet, B V, ad , V X, siue, Ex antee. ON, vel ex ea, quam habet , B D, ad , D R , siue, O M, si sint aequiangula parallelogramma, A D, D ri & componitur ex ea, quam habent omnia quadrata, P D, ad Omnia quadrata, F M, . . ex ea, y.huius. quam habet quadratum, C D, ad quadratum , G M, ergo Omnia quadrata, Λ D, ad omnia quadrata, F Μ, habent rationem comis α δ pom
145쪽
positam ex ea , quam habet, B V, ad , o di, vel, B D, ad , Ο Μ, eum tint aequiangula, & ex ea, quem habet quadratum, C D, ad quadratum, G M, quod ostendendum erat.
HInc patet, si vice quadratorum sumamus alias figuras planas simioles, quod eodem pacto ostendemus omnes figuras similes, AD, Fru, habere inter se ratiouem compoβtam ex ratiane quadratorum, C RG Μ, ct astitudiuum , B V, ori laterum , BD, ΟΜ, aqualιter basibus inclinatorum, cum parallesegramma suus aqu/angula .
PArallelogrammorum, quorum basium quadrata aItitu dinibus iuxta easdem bases sumptis reciprocantur, vel lateribus aequaliter dictis basibus inclinatis; omnia quadrata, regulis eisdem basibus, sunt aequalia: Et quorum parallelogrammorum, regulis basibus, omnia quadrata sunt aris qualia, basium quadrata altitudiuibus , vel lateribus aequaliter dictis basibus inclinatis, recipi ocantur sint parallelogramma, II X, A U, quorum basium. V X, B D,
quadrata altitudinibus iuxta ipsas bales lumptis, vel laceribus, R A, CD, si haec basibus, UX, B D, aequaliter sint inelu ata, recip centur. Dico Omnia quadrata parallelogrammorum , II X, A D, elle H RRit antea inter se aequalia . Nam omnia qua-εξα- drata, HX, ad omnia quadrata, AD, habent rationem compositam ex
ea, quam habet quadratum, V X, ad quadratum, B D, .i. ex ea, quam V NE B Do habet, C O , ad , R Z, vel, C D, ad, R X, cum sunt aequiangula, & ex ea, quam habet, R Z, ad , C Ο, ves, R X , ad , C D, quae duae rationes componunt rationem, C Ο, ad , C O, vel, C D, ad , C D, quae est ratio aequalitatis, & ideo omnia quadrata, HX, erunt aequalia omnibus quadratis, A D. Sint nunc omnia quadrata , Η X, aequalia omnibus quadratis , Α D, regulis eisdem, V X, B D . Dico quadratum, V X, ad quadra tum , BD, esse ut, CD, ad , R Z,ves, C D, ad , RX, cum sunt ae
146쪽
quiangula, etenim , C O,ad, C O, babet rationem compositam ex ri hea, quam habet, C O, ad , R Z, & R Z, ad , C O, & sic, C D, ad. ἱs.,' ' C D, ex ea, quam habet, CD, ad. R X, &, R X. ad , CD, quia vero omnia quadrata, H X, iunt aequat ia omnibus quadratis, A D, ideo sunt ad illa, ut, C Ο, ad , C O , vel ut, C D, ad , C D, .i. in ratione composita ex ratiose i Coa ad , RZ,&,RZ, ad , Co, vel, C D, ad , R X, & . R X, ad , C D, sunt autem omnia quadrata, HX, ad omnia quadrata, A D, in ratione composita ex ea, quam ha Ex antee bet quadratum, V X, ad quadratum , BD ,&,RZ Lad, C O, siue, R X , ad , C D, cum sunt aequiangula, ideo duae rationes, CO, ad, R Z, & , R Z, ad , C O, siue aliae duq rationes , C D, ad , R X , λR X, ad , C D, componunt eandem rationem, quam istς duq u Latio quadrati, UX,aa quadratum, BD,&,RZ, ad Co, vel, RX, ad, C D, est autem communis ratio, RZ, ad , Co, vel, R ad , C D, ergo reliqua ratio, quam habet quadratum, V X, ad quadratum , d D, erit eadem relique, quam nempe habet, C Ο, ad, BZ, vel . CD, ad , RX, cum iunt aequiangula, quod erat Ostem
I Dem eodem modo de omnibis figuris similibus quibusvis paraIDI
grammoru/u , H X , A D, regulis issedem, V X, BD , Hlodi posse exsuperiori methodo colligιtur ἀ
Smilium parallelogrammorum omnia quadrata, regus, homologis lateribus, sunt in tripla ratione laterum ho-
mologorum ἀSint similia parallelogramma, A C, E G, quorum latera homin Iux dissa laga, B C, F G ,sint sumpta pro regula. Dico omnia quadrata, A sex. BuC. ad omnia quadr- E G, esse in tripla r tione eius, quam habet, B C, ad, F G. Quoniam enim parallelogramma, AC, EG, sunt similia, ideo lunt aequiangula, & circa aequales angulos latera habent proporti nati a B C, C D; FG, G H, lunt latera ad inuicem aequaliter inclinata, quorum,
B C, E G , sunt regulε, ideo omata quadrata, AC, regula, B C, ad
147쪽
omnia quadrata, E G, regula, F G, sunt in ratione composita ox i,hu:us. ratione quadrati, B C, ad quadratum, F G, & ex ratione, D C, ad, HG, siue, B C, ad , F G , in ratione composita ex tribus ration Defio. bus, B C, ad , F G, idest habent eandem rationem, quam, B C , ad Qvi' Li' quartam propo:tionalem duarum, quarum prima, B C, secunda est, Defin. t a. F G, sunt in tripla ratione eius , quam habet, B C, ad , F G, quod Quin. El. Costendendum.
HIne patet, quod eodem modo idem ostendemus de omnibus quibus uis aliis figuris similibus parallelogrammorum c , E G . vise quadratorum sumptIs , regulas esdem, exsuperioribus Corollariis id deis
SI duo parallelogramma fuerint in eadem altitudine eon stituta, omnes figurae similes unius ad omnes figulas si. ,οῦ ci . ' miles alterius , etiamsi sint dissimiles primo dictis regulis basibus, iuxta quas altitudo sumitur, erunt, ut figura descripta
a basi parallelogrammi primo dicti ad figuram descriptam a basi parallelogrammi secundo dicti.
sint parallelogramma in eadem altitudine constituta, A E, E C. A. Lx. Dico omnes figuras similes parallelogramini, A E , ad omnes figu- huius. ras similes parallelogrammi, E C, eciam si sint disti miles praediitis, esse ut figura deIcripta a, D E, ad figuram descriptam ab , E F, quae sunt bales, iuxta quas sumitur dictorum parallelogrammorum altitudo .s. ex. g. Omnia qua drata, A E, ad omnes circulos, E C, esse ut quadratum, D E, ad circulum descriptum ab, . EF. Ducta enim ipsa, H N, utcunque parat tela, DF, reperiemus, ut ligura, DE, adfiguram, E F, ita esse figu ram , H M , ad figuram , Μ N , quia quae describuntur lateribus, s s. lib. t. H M, D E, equalibus sunt qquales, ves uti descriptet a lateribus, M N, E F, pariter func aequales, & ideo, ut unum Coroll. . ad unum, sic omnia ad omnia .s ut figura dei cripta a, D E, ad figu-h , μ' rara desaiptam ab , EF, sic erunt omnes figurae similes parallel
148쪽
grammi, A E, similes, inquam, figurae dcscriptae a, D E, ad omnes figuras similes parallelogrammi, E C. similes, inquam, figurae det striptae ab , E F, quod Ostendere opus erat.
HIηe in figura Propos i I. eouigemus omnes figuras similes paratilelogrammi . D , ad omnes figuras similes parallelogrammi, FN, etiam tamen dissimiles praedictis, babere rationem compositam ex ratione figurarum, qua d basibus , CD, G Μ, describuntur , ct altitudionum, vel laterum aequaliter basibus inclinatorum i quia omnes figura μmiles , D, ad omnes figuras similes , F Μ, ismi es praedict/s, b beut rationem eompositam ex ea, quam habent omnes figura similes Defio. H. D, ad O mnes figuras similes, F Μ . ides compositam ex ratione figura δε- scripta ὀ , CD, adsibi similem figuram descriptam a , G Μ , Ore ra- Corot titione, B V. ad , O V , νel, B D, ad , O M , cum funt parallelogramma huiu* sequiangula, es composita ex ratione omnium figurarum simitrum, FN, ad omnes figuras similes ipsius, F AI, dissimiles tamen proxιme di. Liis , quae est eadem ei, quam babet figura , Gri, similes figura , C D ad Ex super. figuram , Gm, ultimo descriptam, duae vero rationes figura C D, ad fi- Prop. guram, G M, sibi similem, o huius ad figuram , G M , siri dismιlem Defin. ta. componunt rationem figura , C D, ad figuram , Gm, sibi disι ιlem, oe lib. i. adeo habebimus omnes figuras similes . A D, ad omnes figuras similes *sius , F Μ, dissimiles tamen praedictis habere rationem eompositam ex ea, quam habet figura ipsius, c D , ad figuram , Gm , sibi dissimilem, ex ea , quam habet, B V , ad , O , vel, B D , ad , O m , eum parallel gra mma Iunt aquiangula. consimili meth odo in figura Propos r χἀ eoia ιssemus omnes parallelogrammi, H x , figuras similes, omnibus figuris sinulibus parallelogrammι , AD , etiamsi praedictis fiat dissimiles, isse tamen aquales , Et si sint aequales, figuras defcriptas ab , V X, B D , ιicet dismiles , altitudinιbus , C O , I Z, vel lateribus , C D, Rae , bambus aqualiter anciιnatis, reciproce respondere.
THEOREM A XV. PROPOS. XV. OMNES figurae planae simia es sunt inter se in dupIa
ratione linearum , siue laterum homologorum, e
149쪽
118 GEOMETRI AA. DEMONSTRATIONIS SECTIO I
Sint due quaecunque figurae planae similes, A B D, Φ Σ Λ . Dico
easdem eise in dupla ratione linearum, verilateruiu nouaologinita L J 'ruin , earunden . Ducas ur i Pitarum opposite tangentes, A Κ, F Μ, figurae , AB D,&,ΦΠ Δ Ω, figulae , Φ Σ Λ . quae homologis carum lineis aequi distent, deinde sint intra a. ia, Oppositas tangentes Cortili.,. duch c, K Η, Π Ω , caliter, ut illae sint incidentes dictarum initium s. lib. i. figuraru n ,& cangentiu ni hoc facto, diuidaacur ipiae incidentcs, ΚΜ , Π Ω, ii militer, & ad eandem partem utcunq; in punctis, L, Γ, Per quae puncta sint ductae ipsae . R1. ,Σ Γ, quarum portiones figuris intero eptς sint, B E, I D , in ngu-Ta, A B D, &, Σ Σ, y A , n figura, Φ Σ n, su matur autem ex , B L, recta aeq aalis utrisque sina al , B E, I D, terminans in , Κ M, q ax ir, Q L,& pariter ipsius, Σ Α,3 Λ. sit
sumpta aequalis, i P. t 'r.nmans
de caecetis, qu e lpiis tan ζen ibus aequidistant, & manent in ea figurarum ambitu n, qu bus tempEia eadem recti culme fuman ir recte inauales vi ipsis, Κ Η, Π n tetani-
natae, erunt igitur omitium muea. taru n linearum reliqu: termini in
alia qui iam linea, qu e inc piet in puncto, Κ, & selinet in , H, pro fietura, A B D, & quae incipiet in Π, & desinet in , n . pro figura, .hai s. Φ Σ Λ , sint isti line ἔ, Κ Q H . Π n , patet igitur figuram , KQ Μ,
esse aequalem ipsi , A s D, & Π ΓΩ , ipsi, Φ Σ Λ. nam omnes earum lineae lumptae regulis, F M, Δ n , .unt aequa s, quod ex ipla con stria stione patet; dicantur autem istae constructiones, translation somniu .n linearum a 'urarum, A A D . Φ Σ Λ , in figuras, K Q M, NT Ω , ipsi , Κ ΝΙ, Π n , a s iacente , iis et regulis dictis tangentibuS. Patet ulter us ngutis . Κ ὶ ,1, Π I a , esse si indes, nam homologῆC' 'lu' fi urana n , A B D, ο Σ Λ. . quia illς tu it si niles uiri ' Vt incidentes, 'μ ' Κ Η, Π n . eaedrai autem in figuris , Κ M , Π l Ω . modo dicto, translatae iunt simul in unam rectam coniunctis, quae d. vitae erant,
150쪽
T n,ia diuidunt incidentes, Κ M, Π n, similiter ad eandem paristem , & iacent inter ipias incidentes, & circuitum fgurarum ad eanisdem partem eodem ordine sumptae, sunt ut ipsae incidentes, ergo figurs, Κ Q M , Π T n, iunt similes, & earundem homologarum re- Defin.is gulae eaedem tangentes, & earum incidentes iplae , ΚM, ΠΩ. libo.
PRoducantur nunc ipsε, Κ M, Π Ω, indefinite versus puncto, Μ, Ω , & ab ipsis pi Oductis iumantur partes aequales, M P, ipsi, Κ, M n& , ipf, Π Ω, S persundia, P,&, ducamur dictis tange tibus paralle q, Z P, &, quoniam ergo, R M , Π Ω, sunt incidentcs sues ilium tigurarum , R ia M , Π T Ω, ideo habebimus etiam ho- Corollare
mologas earundem regulis ipsis incidentibus, Κ M , II si, ductis eria 'i' '' go ex Oppotito tangentibus easdem figuras , Κ QM, Π 1 Ω, parat telis ipsis , Κ Ρ, Π &, quae sint, X Z, β , poterimus tranSterre omnes lineas tigura um, KQM, Π do, in bguras psis, Z Ρ, adisiacentes, translatione facta rcgLab, Κ l ,ΠS , Lant ergo diciqxran tu, . seri, sationes, xuuc iclutient fguiae, M Z P , quae erunt quam A. huius les ipsis, KQ , , Π Ω, & lubitide ipsis, A BD, Φ Σ Λ , probab in Propos. nius autem etiam caulem ei e simile, Voluti in f gur s, Κ Q M, Π 3 buiu 2 si, taetum est) S , L P, & ,ebe dictarum figuratum incidentes, S homologarum regina, ii ias, Λ, Ρ , Ω S , patet autem ex cons ruinctione intcgras ese m figuriS, M Z l II K S , tuni quae a quid istant ipsis, Z Ρ, R S, tum ipsis , MP,ΩR, nam ex prima translatione integrab habuimus, qui in 'guris , h. 414, Π ἹΩ- ipsis, B M , ΔΩ, erant aequid stantes, S iubinde etiam integras, quae in L guris, M Z&, ipsis, Z P, R. &, aequid istant, cx lecunda translatic ne V ro integraS laabum us eas, qui ipsis, A P, Q S , aequidistant hςc
Per couihuctionem, quae omnia teruare opus est.
NVoc in figuris, M Z Ρ, Ω RS, a maiori homologarum, M P.
Ω &, ηιλ iit, M P, alc ndatur, O P , a qualis ipsi , Ω &, dcvt, M P, ad , Ρ O, ita sit quaelibet in fgura, M Z Ρ, parallela ipsi,M P, ad eius portionem ,& portionum termini sint ex una parte in recta, Z P, ex alia vero in i mea, Z O, erit ergo, ut una ad unam .i. vi, M P, ad , P O, ita Omnia ad Omnia, .s. ita omnes lineae figurae,