장음표시 사용
151쪽
M Z F, ad omnes lineas figurae, o Z P, regula, M P, & ideo ut, MΡ, ad , P O, vel ad , Ω-ita figura, Μ E P. ad figuram, OZ P, quod etiam serua
VLterius ab ipsis , o P, Ω &, abscindantur partes aequales, o R, Ω Υ, &per puncta, R, Υ, ducantur ipsis, Z P, &,ae. quidistantes, S R, V Υ, & per, S, ubi, R S, secat lineam, Z in docatur , Η C, aequi distans ipsi, MP,& per , C, ubi, H C, iecat lineam , ZM, ducatur, C N, purallela ipsi, Z Ρ, secans, M P, in , N; est igitur vi, M Ρ, ad , P O,
ita, C H, ad , H S, per constructionem . i. ita, N P, ad , P R, &Permutando, Vt, M P, ad , PN, ita, o P, ad , PR diuidendo, Vt, MN, ad , NΡ, ita, OR ad, RP, .i. ita,n Tad, Υ&, igituri insae, CN, V Υ, aequid istant regulis homologarum, quς sunt, Z P, R &, & diuidunt ad eandem partem similiter ipsas incidentes, MP, n&, si1 .n. Z P. R&, statueris regulas homologarum ψη, MP, Ω &, sunt incidentes, si vero
has statueris regulas,illae erunt imcidentes , ambii' .n. terminant in oppositas tangentes, quae sunt re
gulae homologarum earundem ergo, C N, ad , V Y, erit vi, M P, ad , Ω &, .i. vi, Z P, ad , R &, ω sunt , CN,SR, aequales, &, SR , U Y, utcunque ducta: ipsis, Z P, R &, aequidistantes, ergo ut, ΖΡ, ad , iv & , ita, SR, ad , V Υ , ergo ut, Z Ρ, ad , & , ita erit fgura, O Z Ρ, ad figuram, R Ix S, quod pariter serua. .
QVoniam vexo figura, M Z Ρ, ad figuram, a R &, habet rati
nem compcditam ex ratione figurae, M Z Ρ, ad figuram, o Z P, .i. ex ratione, M Ρ, ad. ix &, & ex ratione figurae, O ZP, ad figuram in &i .i.e1 ratione ipsius, E P, ad &, .i. ex Ta-
152쪽
tione ipsius . M P, ad , obo, ideo figura , M Z P, ad figurem, n hhabebit rationem coinpositatu ex duabus ra tinnitus ipsius , M P, c. 'ζ', ad , Ω &, .i. duplam eius , quam habet , MP , ad , noc, siue, ΚM, ad , Π D, quae illis sunt aequales, sed S figurae, A B D, ο Σ A, sunt aequales figuris, M Z P, si lx di, ergo figura, A B D , ad figuram, ΦΣ Δ , duplam rationem habebit eius, thiam habet, E. M , ad , Π Ω, quia vero , X. M ,&, Π Ω , sunt inciden es similium tigurarum, AB n. Def. . D, Φ Σ Δ , ideo, ut, Κ M, ad , Π Ω , ita erit, B EI D, simul ad. Σ Σ, lib. 3 A, simul, vel ita, B Ead, Σ Σ. siue, ID, ad , 3 Λ , ergo figura, A B D, ad fguram, Φ Σ Λ , duplam lationcm habebit eius, quam C*yptae habet, B E, ad ,Σx. vel, ID, ad , 3 A, erunt istae similes figurae 'in dupla ratione linearum, vel laterum homologorum, B E, Σ a, vel, ID, 3 A, vel aliarum quaru incumque homologarum praefatis regulis aequidistantium, quod osle .idere OpuS erat.
Er quia dicta figura plana similes ostensaesent esse in dupla ratione
linearum, vel laterum homologorum , quAE AEquidissant regulis vi-eunque sumptis , patet easdem esse ιn dupla rarione quartimuis homolois garum,o duas quasdam homologas sumptas cum quibusdam regulis,essernter se , ut alias quaslibet duas homologas , cum altis quibus is regulis assumptas , quod etiam in Corollario Lemmatis q8. Lιb. I. aliaude dedu- Mum est.
V Viuersὸ insuper manifestum est, si tres recta Iinea deinceps pro .
portionales fuerint, vi prima ad tertiam, ita esse figuram ρlanam descriptam a pruina ad eam, quae a secunda describιtur; ct huius conuerinfum, dummodo describentes sint similiam descriptarum figurarum lineae, siue latera homologa.
SI quatuor rectis lineae proportionales fuerint, prima amtem, & secunda similes figuras planas descripserint ,&tertia, & quarta alias figuras planas similes, licet etiam pra dictis dissimiles essent, ita ut describentes sint earum lineae, yel latera homologa, figura primae ad figuram secundae erit,
153쪽
ut figura tertiae ad figuram quartae. Et si fuerint quatuor λgurae planae proportionales, ita ut quae sunt termini eiusdem proportionis sint figurae similes, descriptae ab eorundem lineis, vel lateribus homologis; lineae, vel latera homologa describentia erunt proportionalia
Sint quatuor rectae lineae proportionales, A B, C D, F G, H M, prima vero, & secunda describant fim planas similes, A X B, C U II, S, FG, H Il ,s mi es figuras planas , FO G, HAM, licet pr dictis
diis niles essent, & sipi deicribentes figurarum descriptarum lineae, VesIatera homologa. Dico, A X B, a C V D. esse ut, F O G, ad, H N M. Sit, R, tertia proporti γnalis ipsarum, A B, C D, &, I , tertia pr
portionalis ipsarum, P G, H M ; est igitur, A X B, ad. C V D, ut , A B,
Coeotia. ad , R , in ratione dupla eius, quam habet, A B, ad , C D , 5. eius, antee, quam habet, F G, ad , H M ,. i. vi, F G, ad , I, quς es , ut, F O G, ad , H N M, ergo ut, A X B, ad , C UD, ita erit, FO G, ad , HN M. Sit nunc figura, A X B , ad , CU D, sibi similem, ut, F , ad , Η N M, sibi similem , licet illae essent praedictis dissimiles , & eas de-' scribentes sint earum lineae, vel latera homologa. Dico, A B, ad, C D. esse ut, F G, ad , H M, sit adhuc, R , tertia proportionalis ip-Coroll. i. sarum , A B, C D ,&, I, tertia proportionalis i piarum , F G, H LI, antee. est ergo , ut figura, A X B, ad , C U D , ita, A B., ad , R, ut veros, gura, FO G, ad , H NM, ita, FG, ad , I, eis verb, ut , A X B, ad , CUD, ita, FO G, ad , ΗΝ M, ergo ut, A B, ad , R, sic, F G, ad, 1. est autem , AB, ad , R, dupla rationis ipsius, AB, ad , C D, &,' E G, ad , Ι, dupla rationis ipsius, F G, ad , Η Μ , ergo ut, A B, ad , CD , ita FG, ad , H M, quae Ostendere opus erat.
Ρmpositionis proxime subsequentis nimia fortasse prolixitas fastidium potius Lectori, quam delectationem pariet, veruntamen, qui hoc veretur, ac tantum olus , aut tolerantia habere nequit, ut illius satis longam texturam percurrere valeat, ipsam supponat, ac praetereat,
ijs exin praecipuὶ 4 mr dirigisur, quιbus nec otium deest, nec ingenium,
154쪽
M voluntas , pulebras demonstrationes etsi disciles, ac longas infracto quodam animi urgore superandι, potius quam ab ipsis superari velint. Poterat quidem in plures Propo lamnes commodius dirabur , sed curata, ilia omnes tu hunc simplicissimam essent conspiratura, eas omnes fui
hae una Proposit. colligam, quam tamen In bere Iones ceu In tot mem-hra distinguere placuit, ne Lectoris mens nimium defatigaretur. Torpoquanti hae Pνορ sitio sit momenti, sicut oe praecedens Propos. IS. alte ea prac pue earum umuersalitate , neminem, quι easdem intellexerit, fore puto, qui itidem non agnoscat; quid enim fuit, quo ad figuras planas , Euclidem lib. 6. Elementorum in Tropos. I9. Hemonstrasse similia triangula, O rn Tropos. ao. similia Polygona esse in dupla ratione lais rei um homologorum, necnon lib. II. Tropos a. Cιrculos esse, ut diam trorum quadrata, hoc est in dupla ratιone diametrorum ζ Srmririer in eo, quod spectat ad fotida, quid fuit ipsum nobis In lib. I a. Propos.8. ostendisse semiles oramides ess in tripla ratione laterum bomologorum, cirin Prop. ia .similes eonos , ct cylindros esse in tripla ratione diametroisrum . qua funt in b 'sibus , ct in Propos I 8. Sphaeras itIdem e se in tria pla proportione diametrorum d quid tandem fuit alios quoq; demonstrasse, quadam alia similia solida , ut portIones Sphaerarum, necnon Sph rordearum , ct Conoidearum figurarum, esse in tripla ratione linearum, vel laterum homologorum e Tra butus comparatione, quod in his duabus tantum Troposit Ionibus edocemur ; omnes . n. similes figuras planas ista Prop. I s. ct omnes solidas in subsequent Propos. I7. compreheodimus, quod mehercle eonsideratione dignum v detur.
OMnia similia solida sunt in tripla ratione linearum, vel
laterum homologorum, que sunt in eorundem hom
SInt duo utcunq; similia solida, V & , A P. Dico haec e M in ir,
pla ratione linearum, siue laterum homologorum, quae sunt iacorundem homologis figuris. Quia ergo ducta solida sunt similia, poterunt duci duo plana opposita tangentia in unoquoque proposito rum solidorum quae in solido, A P, repriclententur per ipias, A Η, Coron.r .P U,& in iolido, U&, per ipias, V Σ, & a , homologis eorundem lib. r. figuris aequi distantia, inter quae etiam ducibilia erunt alia duo plana Defin. it. aequaliter ad ipsa,& ad eandem parteminclinata, in quibus iacebunt lib. i. fg
155쪽
. figurae, quae erunt dictorum similium solidorum, S tangentium op .po Iitorum, figurae incidentes, sint igitur talia duo plana, quorum, - &oppositorum planorum tangentium in solido, A P, communes 1en ait ctiones , Η L, OO, G,&solidi, U&,Σ,a 8 , in his autem pla- tib i. '' nis sint eorum incidentes figurae, Η Γ, Σ Σ, istae igitur erunt figurae similes,& tangentur a dictis communibus sectionibus, quae erunt l, nearum homologarum earundem etiam regulae, sint earum inciden,
es utcunque inter easdem ductae, L G, 3 g , & extendantur inter di cta opposita tangentia utcunque plana eisdem aequi distantia, altitu dines propositorum solidorum respectu dictorum tangentium sum, ptas sitniliter ad eandem partem diuidentia, fit igitur unius ductorum planorum concepta in solido, A P , figura, B C, eiusdem autem, &figurae, H 88, communis sectio , O X, quod etiam secet incidentem figurae, HV, quae est, L G. in . E ; pariter alterius plani concepta in solido, Voc, figura sit, II-idem vero playum secet figuram, Σ a,
156쪽
in recta, ο Λ, & incidentem eiusdem figurae, nempe ipsam, 3 8, in puncto, , igitur figurae, B C, Π Ω, erunt duae figurarum homolo- Defin. it larum solidorum, ΑΡ, V &,&,6X, Φ Λ , earum incidentes-binu. . . G, 3 8, erunt similiter diuisae in punctis, E, 4 , nam etiam altitudines propositorum similium solidorum lunt similiter diuila: ad eamdem partem subintellige si igitur a punctis , Ο, Φ, duxerimus tam ' 'gentes figuras, BC, Π Ω, erunt istie regulis homologarum earumdem figurarum parallelae, vel pro regulis aliarum etiam assumi poterunt, & quq a punctis, X, Λ, ducentur pr dictis parallelq Occurrent ei idem figuris, & illas ex opposito pr dictarunis tingent, ita ut hambeamus si & istae ductae intelligantur, quae sint , XC, ΛΩ, OppC- sitas tangentes figum, B C, quae erunt, B O, C X, & figurae, Π n,
quae erunt, Π Φ , Ω Λ , necnon pro regulis homologarum earundem
haberi poterunt; vel igitur figurae, B C, Π Ω, adiacent suis incidentibus , O X, Φ Λ , tot ad eandem partem, & interius integrς existentes, vel non, si sic lactum erit, quod volumus, si non transscrantur Omnes lineae figurarum, B C, Π Ω, regulis ei idem tangentibus, in Vide A. fguras ipsis , OX, Φ Λ , adiacentes, pro vi sn Prop. 37. effectum est, hu'. hinc autem resultantes figurq sint, O Z X, o rΛ , qus per talem conia P 'pςη ' structionem ad eandem partem incidentium , S interius integrς ne
bis proueniunt similiter si intelligamus ducta alia duo plana predictis squidistantia, quς solida proposita ita lecent, ut fiant in ipsis non unica in singulis figura, sed plures, ex. gr. in solido, A P, fgurq, R, I, & in , V &, figurae, in , N, eadem autem secent figuras incidentes in rectis, S Y, B Δ , & rectas, L G, 3 8 , in punctis , Κ, E, duae-
modo haec plana pariter lecent altitudines dictas propositorum sol dorum similiter ad eandem partem,erunt figuri, R,I, biri simile , g. Dest,.similiter posite, ac figurg, R,N,.s. I, similis ipsi, Ν, &, R, ipsi, linearum homologarum earundem regulae ipsis, C X, Ω Α , aequi di-itabunt, i pi autem rectς, S, Y; is, Δ, erunt earundem incidentes, Vt, S, β, iplarum, R, ibi, &, Y, Δ , ipsarum, I, N, si igitur figurri, R, I, ς, N , non adiacent suis incidentibus., transferantur singularum omnes lineς, regula semper, pro liguris, R I, ipla, CX,&pro vide ad fguris, M, N, ipsa, Ω Α , in figuras adiacentes lineis. bomologis figu- fig. A. rarum, χ, ut sint nobis inuentae figurae, S, Y, β Δ, quae I 'P i adiaceant homologis lineis figurarum incidentium, I 1, 28 , Σ χ: Si ' 'igitur eandem methodum seruemus in caeteris figuris, quae ex lectio ne planorum tangentibus aequi dii antium in dictis lolidis producuntur , transferentes nempe omnes earum lineas homologas, regulis semper ipsis, C X, n A , in figuras adiacentes lineis homologis Qu- rarum incidentium , H, , Σ χ,quq reperientur tot ad eandem par tem , & interius integre, tandem nobis erum comparata duo inlida,
157쪽
quae praedictis si milibus solidis aequabuntur ea nempS , quorum Pinnes praedictae adiacentes figurae erunt omnia plana , nam hae omnes adiacentes erunt aequales omnibus homologis figuris dictorum simis. huius. lium iotidotum, quarum omnes lineς in ipsas figuras adiacentes m
do dicto translatς stat, sint hςc solida, H Z, 88; Σ r 2, igitur, A P, Dςβο, Π erit aequale ipsi, H d 8' . &, V &, ipsi , Σ a. Sed & haec solida, Hφ' ' Z 88, Σ P i, erunt inter se sividia, nam riguret plan; in eisdem caPxDae uidriantes dictis tangentibus planis,& altitudines respectu dicto
rum tantentium suinptas stini liter, id ad eande n partem di uidentes, sunt inter se si miles, & in ipsis linearum homoligaru in retulae omnes uni cuidam aequi dist1nt, i lii nempe, qua regula translationes fa ctae sunt, it earundem figurarum i milium, inc d mles sunt i neς homolotae duarum planarum similium figurarum, nemph, HV, Σ a, aequaliter ad figuras adiacentes, & ad eandem partem inclinatarum, quarum regulae iunt communes sectiones Opposicorum tangentium
158쪽
planorum , neenon planorum earundem figurarum incidentium, nempe, H L, 3 Σ, quod serua.
NVne quia figurae iam dictae adiacentes homologis lineis figurarum , plurificari possunt, quε tum in eodem plano. vii apparet in figuris, S , Υ, β, Δ, quε cum sint in codem plano sunt tamen duae figurae, ideo ut ex duobus fiat una tantum, adhuc Omnium linearum harum adiacentium figurarum aliam translationem regulis , HL ,Σ 3, faciemus ἱ ducantur ergo per ipsas, L G, 3 8, duo Plana, quorum & OppUsitorum planorum tangentium communes .
sectiones sint ipsae, 3 2, 8 e , LQ, G Τ, eum ipsis, 3Σ, 8a,LH, Gα, angulos aequales continentes, & agantur dul ex opposito tam gentes figuras, O Z X, Φ r Λ , parallelς ipsis , O λ, Φ a , quς sint ipsae, Z F,r 7, productae cum reliquis tangentibus Oppositis, O X, ΦΑ, donec occurrant planis, LT, 3 23, ut in punctis, E, F; , , tu ctis rectis lineis, E F, 7. Quia ergo, D E, equi distat ipsi, UG.&, 16. vnd. E P, ipsi, G T, angulus, D E P, aequatur angulo, 28 G T, & eadem Elem. ratione angulus , s 7, probabitur aequalis i psi, L 8 es, unde, quia, G T, aequatur ipsi, 2 8 I , angulus, F E D , erit aequalis angulo, q6, & cum sit, ut, O X, ad , Φ Δ, vel vi , ΟΕ, ad , Φ , quia, LG, 38, iunt lineae incidentes similium planarum figurarum, H U, Comllac Σ χ, vel vi, XE, ad , Λ , ita, EF, ad , ψ 7, sinc autem ,Σ Ε, Δ q,
compreheniae interea idem extremitates rectarum , E F, 6 7, & peri metrum figurarum, O Z X, Φ r Λ, ealdem tangentes, ergo, E F, q7, erunt incidentes similium ngurarum, O Z X, Φ P Λ, & oppositarum tangentium , OE, Z F;Φ4,T7. Similiter si sic producantur 14. lib. 1, Oppolitae tangentes figurarum , S , Y;β Δ, quarum duae incidant linsis. L G, 3 8, ut in , Κ , P, reliquae vero in punctis, U D, Planis, LT, 3 es , Occurrant, iunctis, Κ mPU , ostendemus pariteri pias, ΚΣ', - Γ, ene incidentes similium figurarum , Y, Δ, vel similium, S, a, di oppostarum tangentium extremarum, quae ad puncta, Κ ΙΑ, terminantur. Si igitur transferamus omnes lineas tum 1, visis egurarum, S, Y, tum, β, Δ , regalis eisdem tangentibus, Vel semper his regulis ipsis, O E, Φ , prius compositis illis, quq sibi in directum runt, tum in figuris, S , Y, tum, . Δ , ut ex illis fiat unica composita recta linea, με s.ctis in directum posita in figura adiacente, qualis sit,s V, aequalis . s. compositae ex his, quibus adiacent figurae, β Δ , &, MK, aequalis compositae ex his, quibus adiacent figurae, S, Υ; tandem habebimus figuras adiacentes ipss incidentibus a. Μ Κ V, 9 2 . Et , in quibus plures figurae, S, Y, in unam, M ΚΔ', ω β, o , in vos nam,
159쪽
praefatis oppositis tangentibus planis quae sunt etiam opposita tam gentia plana solidorum , L D G F, 3687, incidant quoq; duo pla-a6. lib. i. na, L T, 3 , Η, ad eundem angulum ex eadem parte sunt . n. prima plana , ΗG,Σ8, Oppositis tangentibus planis aeque, & ad eandem partem, inclinata, & anguli, T G T, 'U 8 2, aequales inter se , ne non anguli, L G 82, p 8 2, unde etiam secunda plana ad eadem tan- 16.5 i. gentia plana sunt ad eundem angulum ex eadem parte . Sint vero figurae ex planis inclinata oppositis tangentibus parallelis, altitud,
nam, ρ P es, collectς erunt. Si igitur hoc fiat in eqteris figuris, qu in solidis, ΗΖ ,ΣPa. ipsis tangentibus planis aequi distant, tandem habebimus duo solida, quae sint, L DFG, 3687, aequalia duobus solidis , LI ZU,Σ r et, seu duQbM , A P, VN. I. DG F, nempe ipsi, 3. huius. A Ρ,&, 3 687, ipsi , U&, nam Omnia eorum plana, regulis oppositis tangentibus planis, sunt inter se aequalia ex constructione. Sed di haec tolida, L D G F, 3 6 8 7, dico esse inter se similia : Cum .a.
160쪽
tesque ipsorum sosdorum, L DG F ,3 68 . sinsiliter ad eandem partem diuidentibus, concepfg ut pr&batum est' inter te veipsae, D E F, 6 4 , necnon, M Κ Ρ, 9 Γ, & omnum earundein linearum homologarum regulae duabus quibusdam, nempe ipsis , ΟΕ , Φ , aequid istantes, & earum incidentes ipsae , E F, 7 , ne V Π, Κ V, 2 , quς omnes incidentes iacent in plano similiuiu rigurarum, L F G, 3 7 8, & sunt earum homo togae, aequid istantes i is , LQ,3 , communibus lection: bus planorum incidentium figurarum, L FG,3 8, 96plius imum tangentium, quarum quidem tigurarum 16. Id,. Lplana sunt ad plana tangentia, ut dicitu in cit, aeque ad eandem par tem inclinata , & cum ipsae, inquam , figurae, L FG, 3 78, sine is miles inter se, nam effig . est , EF, ad , 47, ut, O E, ad , ΦΑ, idest A.Def.io. ut, LG, ad ,3 8', quae diuidunt sivi: liter ad eandem partem ipsas, Li. G, 3 8, qu ad etiam de caeteris probabitur & cum anguli, in T, I 81', sint etiam aequales luperius clictis consequenter, & ijs, quae 'μ' lib. L. Prop.16. ostensa sunt, ideo, inquam, & ipiae figurae, L F G, Defis. H.
3 7 8 ,& ipia tolida, L D G F,3 6 8 7, pariter similia erunt. VN
Nunc solidum, 36 7 8, planis, oppostis tangentibus parallelis, in talia frusta diuisum intelliint , ut quae in ipsis ductatur rectael ,
neq ipsi, 3 8, aequidistantes, in eisdem frustis singulε integrς habea
tur .i. ita ut ductarum sic linearum, quae ad stultorum ambientem sum Perficiem terminantur, pars quidem non sit intra frusta , pars vero exti a , sed totae intra, vel saltem nihil earum extra reperiatur, hanc etenim sectionem supponere fieri posse nullam inuoluit repugna tiam,cum hoc totum solidum ex duabus uictarum translationibus resultans sit interius integrum , enim vero si praelatum solidum in frusta quaecunque per dicta plana parallesa scinderetur, nec in ipsis contingeret, quod attentamus, denuo Ria frusta planis praedictis pae rallelis continuo resecare Ims, ut tandem omnis linearum , ipsi, 3 8
requid istanter iri d istis frustis ducibilium, fractura tolleretur: Esto igi, tur , quod hoc obtinuerimus per duo plana , 9 D V, 4 , oppositi planis tangentibus parallela, quibus lolidum , 36 78, in tria trusta, 3 6 φ 7 ,- , S , 9 ta 2 8, sectu in habeatur ella, rationis, qualem diximus , in his ergo singulis frustis ductae quaecunque ips; ,38, aequi- distantes , & ad eorum superliciem tcrminatae, integrae habebuntur.
Sit vite tu, in alio solido, L D F G, diuisa , L G. sunniter ac, 3 8, in punctis, E, Κ, per quae tranteant plana i D E F,M K l . oppo sitis planis tangentibus parallela, quibus lolidum, L D F G , in trib ir sta scindatur, L D E F, D , M K G , erunt ergo etiam liqc frui a
eius rationis, qualem cupimus .i. omnes ducis ipsi, L G, aequidistat tes, in ipsis frustis conceptae, integrae erunt; quod ex eorum simili.
tudine facile ollendi potest, si enim aliqua ex. gr. in frusto, L D E HS i ducta-