장음표시 사용
171쪽
pezium, F C M O, esse ut composita ex , R C, &, I , C D, ad
D, hum, I, C D, ergo S aequali trapezium, F G R C, ad trape. aium ,F C M O. erit ut C , cum, . , C D, ad , M U , cum, I, DC, quod eraddemonstrandum.
HIne patet omnes Iimas trapegis, F c Rc, regula, Ru, ad omnes lineas trapexi, , FCNο, regula eadem esse, ve, Rc, eum, I, C D , ad , Μ D, cum , I, DC, Peluti autem tu antecedenti ostendimus,s,c D At aqualis ipsi DF , omηes tineas trapeη33 , FGND, regula,c Μ, aquari omnibus abscissis ipsius , F D , adruncta , Du, ita in pra- senti ostendemus omnes lineas trape ii , FG Rc, regula , D, aquari rea siduis omnium abscissarum ipsius . AC, πιι , F D, adιuncta. ; unde patebit residuas abscissarum proposita linea, νι, F D, adrancta omnes abscissas eiusdem , adiuncta atra livea, ut, D Μ, esse ut eompsistum ex prima adluutia ,σ , I , proposita, c D ψ siue, F D , illi aequatis, ad compositum ex feeunda adiuncta , O, , proposita linea, idest ut, ηC, eum ,:,C D , vel , DF, ad , Μ D , cum , CD, vel, DF.
THEOREM A XXII. PROPOS. XXII. Expositis duobus utcunq; parallelogrammis, in eisdemis
que duetis diametris, & duobus utcunq; lateribus pro regula sumptis, nempe in unoquoqὶ eorum Vno: Omnia qua drata cuiusuis dictorum parallelogramorum ad omnia qua drata cuiusuis triangulorum per diametrum in ipso constitu. torum, erunt ut omnia quadrata reliqui parallelogrammi ad omnia quadrata cuiusuis triangulorum per diametrum in isto ductam pariter constitutorum.
Sint exposita utcunque parallelogramma, A S , Τ β, in iisqued diae diametri, E O, Z & , regulis sumptis, E S , Z β . Dico omnia quadrata, A S, ad omnia quadrata trianguli, O E S, esse ut omnia quadrata, T a , ad omnia quadrata, & Z β. Si enim, ut Omnia qua
172쪽
drata, Τ 3, ad omnia quadrata trianguli, & Z β, ita non sunt pinnia quadrata, A S, ad omnia quadrata trianguli, O E S , erunt igiatur ita Omnia quadrata, A S, ad maius , vel ad minus omnibus quadratis trianguli, O E S, sint excessus, vel defectus, omnia quadrata figurae planae , n, diuidatur autem latus, o S , bifariam, in , Q, OQ, QS, bifariam in . P. R. & se deinceps fiat, ita ut ductis per puncta diuisionum parallelis ipsi, E S, D R, C d, BP, tandem deuentum sit ad parallelogrammum, D S, cuius omnia quadrata, re nix. princgula .ES, sint minora Omnibus quadratis figurq, Ω, per puncta au-I . Elem,tem, in quibus dictae parallelq iplam, o E, lecant, ducantur vique ad proximas parallelas aequidistantes lateribus, Α E, O S, ipsς, L MG Κ, EM, erit igitur triangulo, OE S, circumscriptλ figura quae tam coposita ex
scripta composita ex parallelo.
grammis, se Q, IR, HS , ita v omnia quadrata
titate, quam sint omnia quadrataigurae,n j nam in pares vel grammo, DS, recta, HM , diuidit omia qua jr ta, I S, in omnia: quadrata, D M in omnia quadrata, H s, & ip rectangula bis sub , D M, M R, veluti punctum H diuidit quadratum, D R, in quadrat. D H, quad at..H R , & rectangulum bis sub , D H R ,sipe ex et g. seq. ab hac independente,& ideo omnia quadrat. D S, excedunt Omniae quadrata, HS , omnibus quadratis, DM,&rectangulis bis sub , D M , M R, eodem pacto Ostendemus omnia quadrata , F R, excedere omnia quadrata, I R, omnibus quadratis, F Κ, & rectangulis bis sub , F Κ, ΚΩ,& sic omnia quadrata, G Q, excedere Omnia quadrata, 9 Q, Omnibus quadratis, G N, cum rectangulis bis sub , G N, N P, S in figura circumscripta superiunt adhuc omnia quadrata, L Ρ , porro sitas excestus stinui colligamus sent omnia quadrata, D S, nam si umnia quadrata , L P, vel, 9 Q unxeris Omnibu& quadratis G μ
173쪽
ει rectangulis bis sub , G N, N P, fient omnia quadrata , GO, h εsi iunxeris Omnibus quadratis, F Κ, cum rectangulis bis sub , F Κ, ΚQ, fient omnia quadrata, F R, quς tandem si iunxeris omnibus quain dratis, D M, cum rectangulis bis iub, DM,MR, fient omnia quais drata, D S, quq cum sint minora omnibus quadratis fgurg, o, hinc
figurae circumscriptae omnia quadrata excedunt omnia quadrata inriscriptet minori quantitate, quam sint omnia quadrata, n, & ideo exincedunt Omnia quadrata trianguli, o E S, multo minori quantitater Quia ergo omnia quadrata, A S, ad omnia quadrata trianguli, U ES, cum Omnibus quadratis, n. erant ut omnia quadrata, I β, ad omnia quadrata trianguli, & L β, hinc omnia quadrata , Ah, ad Omnia quadrata figurε circumlcriptet triangulo. O ES. habebune inai rem rationem , quam omnia quadrata, 1 β, ad Omnia quadrata ubanguli, &Zβ.
Nunc diuidatur similiter, S β, in punctis, R ,Δ, Σ, ae, os, in punctis, P, Q, R , & per pundia, R Δ Σ , parallela: ipsi, Z s , ducamur , N V, ΔX , Σ Υ, secantes,& Z , in punctis, T, I , 6, i G quq usque ad proximas parallelas ipsis ,& β , TZ , aequi diliantes duca tur, e r, A r . 6, utariangulo , & Z β ait circumaeripta figura ex
parallelogramos, Disiligoo by Coost c
174쪽
Madrata, A s , ad omnia quadrata, F R , erunt ut omnia qua-
ita , d. β, ad omnia quadrata, q Σ : Eodem pacto ostendemus Οαι Ria cirata, A S, ad Omnia quadrata . G Q, este ut Omnia quadra, 1 β, ad omnia quadrata, Δ Δ , & tandem Omnia quadrata, A S. Omilla quadrata, L P, este ut Omnia quadrata, I β, ad omniat ad rata , . , unde , colligendo, omnia quadrata, A S, ad omniat adrata parallelogrammorum, DS, FR, Gia,LΡ. idest fistum Cum impiae, erunt ut Omnia quadrata, T β, ad omnia suadrata Malislogrammorum , Φm, ΔΔ, ΑΣ, Υβ, idest ad omnia quadrata ID 2 e circumscriptae triangulo, & Z β, lςd omnia quadrata. Α S, 1 omnia quadrata figurae circumicriptae triangulo , O E S , Ostensa mi habere maiorem rationem, quam omnia quadrata, a β, ad O ia quadrata trianguli,&Zβ, ergo Omnia quadrata, Τ β . ad Gmita quadrata figurae circumscriptae triangulo, & Z β, habebunt ina rem rationem, quam ad omota quadrata trianguli , S Z β, ergorinula quacitata figurae circumicriptae triangulo, & Z β, nauiora γu ut omnibus quadratis.trianguli ,&Zβ, quod est ablurdum, nomerM Omnia quadrata, A S, ad maius, quam sint omnia quadrata triangui i , O ES, habent eandem rationem, quam omnia quadrata, a s, ad omnia quadrata trianguli, & Z A. Dico autem neque ad minus ei uidem habere eandem rationem. sint enim defectus adhuc omnia quadrata figure, n, & fit circumscripta triangulo, O E S, figura ex parallelogrρmmis, L P, G Q, F R,D S , & al a imcripta ex parallelogrammiι, Mad, IR, H S, commposita, ita ut omnia quadrata circumicriptae luperent omn a qua crati inscriptς minori quantitate, quamcim omnia quadrata er go omnia quadrata trianguli, O E ,, 1uperabunt i mnia quadrata imicriptae figura: multo minori quam late, sunt autem Omnia quadra ta . A S, ad omnia quadrata trianguli, O E S, daractis omnibus quadrat s , n, vi iam uia quadrata . I β , ad Omnia quadrata trianguli, M. 3, ergo Lmnia quadrata, A b, ad omnia quadrata inlcrἰptae 1 gurae habebunt minorem rallori m , quam Omnia quadrata, a 3, ad
Omilia quadrata trianguli, S Z β. Diuidat r nunc pariter latus, αβ npunctis, R , Δ, Σ , sin, liter ac, OS , di inditur in . P, Q, R ,
pra, Uninia quadiata, A S, ad OAnia quadrata figurq intcriptς triangulo , O E , , elle ut omnia quadrata, i β, ad Omnia quadrata figuorae inlcrip.ae triangulo, S Z a . iunt autem omnia quadrata, A S , ad omnia quadrata figurae inlcriptae triangulo , O E S, in minori ratione, quam sint omnia quadrata, Tβ ad omnia quadrata trianguli,
175쪽
. piae triangulo, & Z β, eruiu in minori ratione, quam omnin quais drata , T 3, ad omnia quadrata trianguli, & Z β, ergo figuri ini criptae triangulo, & Z β. Omnia quadrata maiora erunt Omnibus quais dratis trianguli, & Z β, quod est absurdum, igitur omnia quadrata, A S, non ad minus, quam sint omnia quadrata trianguli, E S, erunt ut omnia quadrata, Ta, ad omnia quadrata trianguli, & Z β, sed neque ad maius, ut ostensiam est ergo ad i pia erunt, ut Omnia quadrata, T β, ad omnia quadrata, & d a. Si autem comparentur Omnia quatrata, A S, T si ad omnia quadrata triangulorum, A E O, Τ g &, eodem modo siet demonstratio, igitur ostensum est, quod erat demonstrandum.
HInc patet quacun7ue δε omnibus quadratis parallelogνa morum tales, vel tales conditiones habentium in Propos. 9. IO. II. I 2.3 3. I huius Libri ostensa sunt, eadem de omnibus quadratis triangulorum , tanquam de eorundem partibus proportionali,us verscari, reguis Ia νno latere sumpta, dum triangula circa altituesnes, ct baeses , siue dbasibus descriptas 'aras, O latera aequaliter basibus inclinata , easdem ebria-nt conditιοnes ibi notatas.
IGitur triangulorum in eadem altitudiae exissentium omnia quadra ta , vel omnes figurae similes siue sint similes ad inuicem, qua sunt triusque πιanguli ,Medusimiles λ erant vi figura i basibus descripta.
. visisti, 'N r si tria gula fuerser in eadem, vel aequalibus basibus inomnes Quis '' ' LI ra similes, utriusque ad inuicem, erunt νι altuadines, vel H I intera basibus aequaliter ιnclinara.
I. huius. π Tem triangulorum omnia quadrata, siue omnes figura similes. etiamsi - I sint dissimiles, quae sunt viris': trianguli, habebant rationem com positam ex ratione figurarum a basibus descriptarum, σ Etιtudinum, si e lateram bobra qualιter incιιnatorum .
176쪽
ET trianguIorum, quorum basium figura altitudInibvr, vel lateri. bus aequaliter basibus inclinatis reciprocantur , o ne figura, si- α. huita. miles basium figuris ,sunt aequales r Et si omnos figurae, similes basium β-guris .sint aequales , figuras basium altitudinibus , vel lator bus aequali. cer basibus ιucιι natis recuroce respondentes habebunt.
ET tandem similium triangulorum omnia quadrata erunt in triplata Iux .ratrone laterum homologorum , siue ut eorum cubi; regulas verὸ fin. i. Sex. an supradictis suppono semper duo illorum triangulorum latera, qua bais ti Elem. ses voeo; hic vero intellige illorum triangulorum latera bomologa. His autem sequentem Tropositionem Dbιungam, tum huius gratia, tam eo. hη με rum, quα sequentur.
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
S, exposita quacunque figura plana, in ea ducatur utcumque recta linea, quae sit sumpta pro regula, eadem vero in puncto , vel punctis diuisa, prout lib. 2. Elem. supponitur secari, per puncta diuisonum lineas duxerimus rectas, siue curuas, figuram diuidentes, ct semel tantum secantes quam. tris aliam regulae parallelam, si regula in uno puncto tantum diuisa sit, vel toties, quot sunt puncta diuisionum regule se xceptis tamen extremis. in quibus linearum sectae partes in puncta aliquando degenerare possunt. Quaecunq; in dict. a. lib. demonstrantur hac diuisione supposita circa vel quadrata, vel rectangula eidem rectar lineae applicata, eadem de omnibus quadratis dictae figurae, vel eiusdem partium, vel D. Die. .dς Icctangulis sub ipsis pariter verificabuntur hvm Sit exposita utcunq; figura plana, A B C D, in qua ducta, B D,
recta linea utcunq; sit illa iumpta pro regula, & ea diuisa in uno, vel Pluribus punctis, prout postulant Propos.Σ. lib. Elem. per puncta dis uisionum ducantur lineae siue rectς, siue curug, A E C, A P I, toties quamuis aliam ipsi, BD, parallelam in figura, B AD C, secantes V L qu
177쪽
quoties , BD, secta esse supponitur, exceptis tamen extremis, ut eT. gr. ipsa , C I , tu qua parte, Ci, quae in recta, C I, separari debui linient per lineas, A E C, A F l, in puncta , C , I, partibus, BE, FD, respondentia degeuerauerunt. Dico quaecunque demonstranturaniinea, B D, circa quadrata, vel rectangula, illi, vel illius partibus ainplicata , verificari de omnibus quadratas totius figure, B A U C, siue partium eiusdem figurae per dictas lineas coniticularum, siue der elangulis sub eiusdem partibus. Ut ex. gr. quia in Propos. lib 2. DE sh - , Uem. Ostenditur rectangulum lub, B D , D F , aequari reseangulo huiu,' sab, B F D, cum quadrato, F D, sic dico verum esse rectangula lubfigura, A B C D, & figura, A DI, aequari rectangulis sub figuris, A BI F, A DI F, cum omnibus quadratis lagurae, A DI F, si enim aliam utcunque duxerimus regulae, B D, parallelam, ut , Η Ο, secantem lineas, A C, in , M , &, AL in, N, verum esse comperiemus rectangulum, H ON, aequari rectangulo, H N o, Cum quadrato , NO,&idem in creris regias, B D, ph telis in figura, A BC D , ductis reperiemus, ergo verum erit rectangula illa simul collecta, idest rectangula sub m
' φ 'gura , ABI D,&figura, A DI, aequari rectangulis sub figuris, A Bl, Α D I, cum omnibus quadratis, A DI , quod 3. Proposit. I. lib.
Similiter si supponamus , B F, bifariam secari in , Ε, cui adiungatur, F D, suppotuerimus etiam lineam, A C, bifariam secare quam. Iibet omnium linearum figurae, AB I, regula, B D , lupi adictarum, quarum singulis aditur,quq in directum manet m figura, A D l, v luti Propos. 6. ostenditur rectangulum , B DF, cum quadrato, F E, aequari quadrato, E D, ita hic ad modum superioris ostendemus re Oangula sub figura ,ΑB ID,&, ADI, cum omnibus quadratis figurae , AC I, aequari omnibus quadratis figurae , Α CD, quod rei sponder Prop.6. eiusdem lib. Consimiliter reliqua demonstrabimus, o unde iuxta I. Propos. Secundi Elem. colligemus.
REctangula sub figura indisfa RI D, er sub diuisa , Ac D, pre
178쪽
Iota seeundam habebimus omnia quadrata figura , AR PD, aquari rectang.sub , A BID, σsingulis partibuι , ABI, AID- Δ
I tertio iam dictum'in Propositione quid colligamur .
Irata quartam habemus omnia quadrata figura, ABI D,per unisam lineam , AFI, iuris, aquarι omnibus quadraers figurarum, A BI, MI D, o rectamulis bis sub dictιs M.ABI, AID.
IVxta quintam , si nupponamus lineam, A L bifariam diuidere omnes lineas figura , ABI D, regula , BD, sumptas, o easdem tineam, A c. non bifariam iuidere, colluemus rectangula submaqualibus paratibus, ABC, Ac D, cum omnrbus quadratu figura, Ac I, aquari omtribus quadratis figura , A PI .
F. SECTIO VI. I Uxta sextam quid colligatur iam ictum est in Proposuisue a G. SECTIO VII.
Irata septimam eolligemus,supposito, quod figura, A BID Jecetuν4 sua linea , A I, utcunque, dummodo eadem secet omnes squidiae santes ipsi regula, B D, in figura, A DI D , ductas , o in uno tantum puncto . cs ligemus rnquam omnia quadrata figura , ABID, ct omnia quadrata figura , ADΙ, aequari rectangulis bissub Rurii , AB P I, una cum omnibus quadratιι , AB I.
179쪽
Octauam ,si supponamus figurami, ABC D, utcunque si Iam pex lineam , AC , qua tamen secet omnes ipsi , BD, aquidistantes in figura, A BC D, duitas, ct in uno tantum puncto uti dictum est eo luemus rectangula quater sub nuris , ABCD, ABC, cum omnrbus quadratis , A C D, aquari omnibus quadratis figura composita ex figura, ABCD, ET, ABC, ita ut omnium linearum figura. ABC D. sinagulis 'intelligatur adiecta, qua nunc in figura, A BC, est cum illa in eadem restituine.
IVxta ηοηam , si supponamus lineam , A I, secare omnes aquidi laxates ipsi, BD, ιn figura, AB ID, ductas bifriam, O lineam, Ac, easdem bifariam non Deare , colligemus omnia quadrata figura , Aco, cum omnibus quadratis hara, A Rc , dupla esse omnιum quadratorκm figura , A ID, cum omn3bus quadratis figura , AC I, otermedia .
Irata decimam, si supponamus , AC, lineam bifariam secare omnes aqvidimures ipsis , BD , in figura , ABI, ductas, ct illis addi, qua in directum ιllis iacent in figura , AID; colligemus omnia quadrata figura , ABC D, eum omnibus quadratis figura , A D I , di pia esse omnium quadratorum Marae, A B C, cum omuibus quadratιs figura, A D.
Irata νηDelmam , si supponamus , BD , in , E , itasectam esse, ut re ctangulum , DBE, sit aequale quadrato , E D qualibet autem aequis dista nitum ipsi , BD, in figura , ABCD, talι modo, ct ad eandem paratem diuIditur per lineam, A EC, patet , quod etiam rectantula sub figuris , ABCD, ABC, aquabuntrer omnιbus quadratis figura , CD, regula , BD, igitur livea , Ac, dividet superficiem pl anain, ABC D, sie dicere liceat seeuudum extremam, ac mediam ratιθn mi hac au temProseluentIbas accurate memoria ζommendetur.
180쪽
THEO REM A XXIV. PROPOS. XXIV. EXposito parallelogrammo quocunq; in eoque ducta dia
metro;omnia quadrata parallelogrammi ad omnia qua4drata cuiusuis triangulorum per dictam diametrum constitu. torum erunt in ratione tripla , vao laterum parallelogrammi communi regula existente . Sit parallesogrammum, AG , in eo ducta diameter, C E , regula
utcunque latus, E G. Dico omnia quadrata, A G, esse tripla Omnium quadratorum trianguli cuiusuis, A EC, siue, CE G. Diu, dantur bifariam latera, A C, C G, in punctis , B, Η, & per, B, tinsi, CG, perque, H, ipsi, C Α, parallelς ducantur, B F, D H, quq secum recta, CE , communiter bifariam lecabunt in puncto, M. Quia igitur in figura, siue parallelogrammo, A G, ducitur linea, BF, quq omnes aequidistantes ipsi, EG, bifariam secat,&, CE, quae easdem in paries inaequales diuidit, prε te quam, D Η, omnia quadrata trianguli, A ci R C Per I.COEC, Cum omnibus quadratis trianguli, CE G, & cum omnibus quadratis duorum ptriangulorum, CBM,EM F, dupla erunt omnium quadratorum ,R F, licet enim, D DIAE , per lineam, C E, sit non bifariam diui- ι' sa, nihil tamen hoc obstat nostro proposi- leo , nam & ipsi, D Η, eontingit, veluti ijs, squae inaequaliter secantur, quadratum se- Ictarum partium, scilicet quadrata, D Μ, Μ H, dupla esse quadratorum dimidiae, nempe quadrati, D M, &ςius, quae intersectiones interiicitur, quae hic nulla est, eum duς se cantes, B P, C E, uniantur in puncto, Μ: Sunt autem omnia q uadrata trianguli, A E C, aequalia omnibus quadratis trianguli, C EG, quia lunt triangula in aequalibus basibus, EG, A Q&eadem au εx 3 vertitudine licet euerse posita, & ideo omnia quadrata trianguli, C E C Corol. G , sunt aequalia omnibus quadratis, AF, cum Omnibus quadratis huiu, ' triangulorum , C B M. M R F. Quoniam vero omnia quadrata trianguli, ΒΜ C, sunt aequalia omnibus quadratis trianguli, C MΗ, omnia vero quadrata trianguli , CE G, ad omnia quadrata trianguli , C M H , sunt in triela ratione eius, quam habet, G C, ad , C Η, quae est dupla .i. in ratione o hupla, di hoc, quia triangula, C E G,