장음표시 사용
201쪽
R. de . M vi a Corol. lib. I. Corollar.
Sit ergo expositum quodcumq; parallelogrammum, A C, & tri
angulum, F G H, in quibus pro regulis sumantur latera, BC, G H. Dico solidun quodcv nq: limitare genitum ex parallelogsammo, AC, iuxta regulam, B C, esse cylindricum, cuius basis erit a , B C, descripta figura, & latus, utrumuis ipiorum, A B, L C, lateria vi r gulae , B C, insistentium; Et genicum ex triangulo ,r G H. iuxta
regulam, GH, esse conicum, cuius basis erit a, G ad , Ue.cripta
gura, & latus utrumuis duorum, F G, F H , regulae, G id, insulentiam . De .cobantur a regulis, B C , G H, figura: utcunque Planae,
BCE, GH P, aequaliter inclinatet planis, Λ C, F G H, deinde per circuitum figurae, 6 C E, seratur lacus, A ri, cui sic aequale latus, LX, quodque punct 3, A, describat circuitum figura: , H A L, & per circuitum figurae, G H Ρ, feratur vcrumuis laterum, F G, F H, im definite productum versus Gguram , G H P. cuius portio inter, F, & punctain, P, fit, F P, erit ergo solidum quod clauditur superficie cylindrica , dei cripta latere, A B, 6e duabus figuris. ALX, BCE, cylindricus; & quod c a ditur superficie conica de scripta altero laterum, P G, F H, indefinite producto, &figura, G H P, erit conicus. Dico autem soliduin similare genitum ex , A C, iuxta regulam, B C. cuius omnia plana sint omnes figurae ipsius, A C, similes figurae, BC E, esse hunc cylindricum, A C E , nam quaelibet earum , quae discuntur omnes figurae similes parallelogrammi . AC, regula, B C, similes inquam figurae, B C E, est etiam similiter posita, ac, B C E, descripta latere homologo ipsi, B C, igitur eius perimeter erit in s perficie cylindrica descripta latere, A B, si enim aliquid eius esset inistra, vel extra illam superficiem,aliquid eius esset intra, vel extra communem sectionem talis assumptε figuri, & luperficiei cylindric , talis autem com nun is sectio est perimeter figurae similis , & similiterpositε, ac, B C ε, quia si cylindricus plano secetur basi aequi distante concepta figura erit similis , & similiter posita, ac basis ergo haberemus duas figuras ab eodem latere homologo descriptas, similes aequales, & similiter positas, & non congruentes, quod est absur ' dum, congruent igitur, erit ergo assumpta figura, quae est una ea rum, quε dicuntur omnes figurq parallelogramini, A C, inites ipsi,
B C Ei regula. B C, di est vaum eorum, quae dicuntur Omnia plana io'
202쪽
tia solidi similaris geniti ex. A C, iuxta regulam, B C, erit, Inquam, assumpta figura etiam unum eorum, quae dicuntur omnia plana cylindrici , A C E, regula, B C. E, quod etiam de caeteris simili modo ostendetur, ergo tolidum similare genitum ex , A C, iuxta regulam. B C, & cylindricus, A C E, habebunt omnia plana regula, B C E, assumpta in communia, ergo lolidum similare genitum ex. A C, tu ta regulam , B C, erit idem cylindrico, A C Ε, cuius basis est figura, B C E, & latus alterum laterum, A B, L C. Similiter ostendemus χἀ Iidum similare genitum ex triangulo, F G H, iuxta regulam, G Η, esse dem conico, F G H P, cuius latus alterum laterum, F G, F H,& basis est figura, G Η Ρ, consimili via supradictae procedentes, queterant demonstranda.
SI intra triangulum. F G H, ducamus ipsi, GH, parallelam Heuntiqua sit, D L absindens a tr/anguιo, F G V, trape tum D m ostendemus eodem modo, quo supra , folιdum similare genitum ex tru Rro , D H, iuxta regulam , GH, esse frustum folii similaris geniti extrι ingulo, F GH, ruxta emdem regulam, id si frustum comet, FGH P, B. de . istis coni, cum figura di scripta a , GH, est circulus, vel frustum nr, i mIis recta, De scatena, cum ιlla es Rura νemlinea, qua facile ostendentur.
203쪽
secantium , is basium , qua figurae genitrices in cylindricis erunt paras telogramma in conicis triangula , o in fructis conicis trape ia: Vιtuγverum est quodlibetolidum similare genitum ex parallelogrammo ruxilae regulam unum lateram esse cuindractim , o genitum ex triangulo iuxta regulam unum laterum esse conicum , ex trape io esse frustum corinicum a ct vice versa, quemlibet cylindrum esse solidum similare geniis tum ex parallelogrammo in ipso producto per planum per latera ductum. Ienitum inquam iuxta communem sectιonem erus , coe basis cylindrici quemlibet conicum esse solidum similare genatum ex trιangulo ιn eo. dem producto per traiecti nem plani per latera , genia tum , inquam iuxta communem femonem eius, O basis dicti consci; quodliber frustum conicum esse Dudum si anilaragenitum ex traperio in
ipso producto per traientionem SI
plani per latera eiusdem frusti, genitum inquam Iuxta re gulam communem sectione eius , O vnsus basium eiusdem e Sive ergo, exposito parallelogrammo , O trranguIo intellexeris iuxta dilfiu. 8. huius, describi omnes figuras similes eis quaerisoabuntur a basibus dim parallelogram. mi , trianguli, O sic conceperis egici solidum . cuius illa funt omnia. plana: siue tutelleaens latus dictι parallelogrammι, vel trianguli r do uitὸ productum reuolui per circuitum figuraram a basibus descriptarum , ut babeas folidum dicta Iupeisicie descripta , O basi, vel basibus comprehensum , idem utroque modo tibi obuenit folidum, potest autem prior Puc an generatio solidorum per descriptionem figurarum I posterioν autem, generatro solidorum per reuolutionem facta, qua maioris diluc dationis gratia hic apposur, Ῥt ex bac declaratione aliqualiter pateae, an plurrmis etiam aliis utramq; generationem rite nos imaginari posse, ut in obfra, spheroide, o conordibus, ct eiusdem frustis, o aliis quam
204쪽
- drata duarum figurarum iuri stra ta -m daris regulis, ita sunt solida simiaria gemta ex imaem figuras ruria easdem regulas.rdebcum In Propositionibus huius Libri inuenta est ratio omnium quadratorum par auelogrammorum, vel triangustrum; Mel trapeqiorum, reguis, eorum laterabus, eandem ratisvim comperiemus habere solida simia iam genita ex parallelogrammis, idest cyIisdrreos, vel ex triangulis, ades conrcos; vel ex trape iis, 1delifrusta conica, genita inquam iuxta eo dem regulas, qua amplius ilucidabimus singula, qua opportuna fuerint, Theoremata denuo assiumentes ..
Propos . igitur exposita denuo eius figura, intelligantur ba sGΜ, ΜΗ, describere similes figuras planas , quae sint, GIΜ R, MTH S, ut eorum lineae , eliatera bomesoga, aqu erectas planιs, A m rc , ct m js, tanquam in basibus consissere cylindricos, A M. BH, quorum latera sint , A G , C H, erunt litar hi lindrisi folida similaria genita ex parallelogram mis, AN, NC, iuxta regulas, G Μ, ΜΠ, igitur erunt, vi omnia quadrata eorun dem regulis eisdem, G Μ, Μ sunt at s. huius. rem omnia eorum quadrata, ut quadrata basium , Gai I, ΜΗ, ergo Ἱ-Bndrici , AZ NC, erunt ut quadrata basium , G Μ, M H , .L H Dum similes , GI S HT, igitur Glιndrur in eadem alaιtudine, σμιtibus basibus ιnsistentes sunt , uti a bases .
In Propos a G. consimiliteκ procedentes colligemus, cylindricos iue dem, vel aqual/bus, ac simitibus bobus consistentes esse, ut alti rames, vel n latera squaliter eorundem basibus inclιnat .
205쪽
I apos II. deduc-us eylindricos similibus basibus insistente
babere inter se rationem compositam ex ratione basium, σ altιtu dinum , vel laterum aqualiter dι vis bobus ιnclι torum .
IV Propos I a. colligemus Ulindricos, quorum similes bases altituis
dinibus, vel lateribus aqualiter basibus inclinatis reciproce rein spondent, este aruales; re οιιndricos aequales , similιbus basib s res sentes, bases habere altitudinIbus, vel lateribus aquatiter basibus ι clinatis , recrprocas.
IN Prop. 13. habebimus simi cs cylindricos esse in tripla ratione I
EX Prop. is colligimui si praedicti olindrici insistant basibus diue
imιlibus , asiue praedictas passio ues de ipsis ver sicari; in qurbus tamen non numerantur simιles Ulιndricr, cum oporteat eosdem ιιes bases habere.
IV Prop. et r. habemus is eias figura , foliar similaria genita ex piis
206쪽
IV 2 pos as habemus quemcumque lindricum esse triplum eoniis
cran eadem basi, O altitudine cum ipso. Sit expositus quicunq; c . Iandricus E , in basi, D H E F , m eadem autem basi, ct altitudine se conscus , DBE, M tamen basi insistens , H ducto plano per latera eonici./dem transeat per latera lindrici, risit autem ductum tale planum, quod faciat in conιco , DBE, triangulum DBE, O in cylindrico, ME, parallelo grammum , E, erunt 1grtur, AE, O tris angulum, D BE, genitrices figura eorumdem solidorum , quaesimilaria ad rnuicem
vocantur, gen ta ruxta communem regulam,
D E, quod ergo gignitur ex , E, ad genr- tum ex triangulo, D B E, erat ut omnia quadrata, A Ε, ad omnia quadrata trianguli, D B E, regula , DE, idest triplum , folidum veris similare genitum ex , AE, iuxta re a halsingulam , DE, cuius figurae sintsimiles figura , DFEH, est Olindriear,
, E, o solidi similare genitum ex triangulo, D B E, iuxta regulam, DE, cuius figuraesimi similes pariter figurae, DF E H, est conicus, DBE, ergo cylindricus , A E, triplus erit lonui , DRE, O consequenter tria plus reis eur uιs at is in eadem basi , DF ΕΗ, in altitudine, eam eonis 36 huius.co , D B E, existentis, quoniam , ut inensium est, conrei in eadem alti-eudiueflantes sunt , ut bases , unde cum bases sunt aequaIes . O cmici huiu, sunt squales, Merum ergo es, quod proponebatur .
Trop. 27. habemus folida ad inuisem similaria genita ex tris eos in eadem basi quaesit unum lateνum aequidistantium in oe altitudine confiitutis, quorum opposita bases set aquales, genita, rnquam siuxta eommu nem regulam ipsam basim, idest frusta conicorum quorum opposita bases sunt figura descripta a lateribus dicto νum trapetrorum uid6tantιbus , esse aqualia.
207쪽
I 2I Prop.28. babetur lindricum in ea dem basi, oe altitudine eam frusto conici constitutum , ad idem, ess sumptis duabus homologis tu oppositis frusti conici b isi us ut quadratum maroris dι Iarum bomois luarum ad rectangulum sub ditiis homologis una cum, . quadrat; Δfferxntia earumdem so maluarum. Sit lindric ιs , AC, rn bisi figura. quacumqui plani, B c , ia eadem autem basi, ct altitudine sit frustum conici, ERCI , sic tamen se babens, ut d/cto plano per latera efflindriaci, A C, idem transeat per latera 'Ur conici BEIC , sit autem ductum tale planum , quod faciat in Olindrico , A C, parallelograminmum, AC, oe is fructo , B E IC, trape η tum, BEIC, erunt igitur recta , B C, EI, liclea Cores. 11. Oppasid rum basium stasti tuter se homologae. lib. t. o quia cylindricus , AC, est Diιdum sim Coroll. 3. irre genitum ex , AC, iuxta regulari, B G, ,. hu is st Jum , E Sc I , est solidum praeditto similare genitum ex trapes,
, r. huici E B CI, sunt autem b ac syllosimitaria, ut o mma eorumdem quadrata,er omnia quadrata , AC, regula , BC, ad omnia quadrata trape , , ERC I , regula eadem sunt , ut quadratum , BC, ad rectangulum sub , B GEI, una cum, I, quadrati di ferentia earumdem . ergo lindricus, Ac, ad fructum conicum, EB c I , ct ad quodurs aliud in eadem basi, oe aia Ε. ΗuI is. titudine cum hoc constitutum quoniam exisset huic aequale erit ut quain ' ui . deatum , BC, ad rectangulum sub , Rc , EI , una cum, , quadratι OD ' ' ferentiae earumdem , BC, ΕΙ, qua sunt duarum oppositarum basium , ECorol. r. I, BC, bomologa utcunque sumpta, nam planum eadem folida secansductum est v cumque, dummodo per eorumdem latera transeat.
HIne patet si in eadem basi , BC, figura, fuerit conisas, O eadem
altitulae cum ' isto, idest cum cyli drico, A C, qui sit conicus , '' B Pod bis erit, i, cylindrιci, A C, ct ideo ad frustum, EB I, erit ut, i , quadrati , BC, ad reti angulum sub , BC, EI, una eum, , quadratι dι ferentia , SC, EI, idea ut torum qaadratum , BC, ad rectangulum sub , BC , er tri a , E I, una cum toto quadrato disserentia earum dem , B C , E I. Vide igitur quam sit a tro r bac demonstratio ea, quarii, ostender int cyti adra n esse triplum con ι, σ prima piramidis in ea
iam basi, dr a litudine c- i ο consi te, nam ad tot variasotida hec
208쪽
δε extendit, quoisunt figurarum planarum variationes, qua nullatim gnato coarctantur numero, cuius modi demonstrationis uniae litatem in alijs figuras quoque in posterum consideranήis prosequemur . vi am plιus ιnfra patebit.
I 2 Prop. 29. O eius Corollario tandem ed cemur solida similaria
genita ex parallelogrammo, vel triangulo eodem, iuxta duas regu Ias latera angulum continentra , rdis cylιndricos ab eodem paralleloo grammo , O conreos ab eo vi m trIataulo genιtos, ruata dictas regulas..ess inter is, ut easdem regulas.
THEOREM A XXXV. PROPOS. XXXV. PArallelepipedum sub basi rectangulo quodam, a Ititua
dine autem quadam recta linea aequatur parallelepipedis sub basi eodem rectangulo, &sub quotcumq, partibus, in quas altitudo utcumq; diuidui potest. Et si rectangulum, quod est basis, intelligatur utcumq; diuisum in quotcumq; rectangula dictum parallelepipedum arquatur parallelepipedis sub singulis partibus altitudinis, & singulis partibus basis sit parallelepipedum rectangulum, A P, cuius basis rectangulum.
Τ Η, lupponatur pro nunc indiuila, S. altitudo, D T, diuisa utcumque in quotcumq; partes , D , S T. Dico parallelepipedum , A P, inquari parallelepipedis lub, D S , T li , S rub , S T, i D. Uuc tur per, S , planum aequi distan, basi , T H , quUd in eo prUducet re- Corolaiectanguluin, ut , SG,lunt igitur. A M,N P, parallelepipeda,&, A l. b. i. N , est iu b, D , , S G , vel, s H, tu a, b G , T H. iunt ij gurg si Cofotii m les ,&aequa: es N P, vcio iub , S T, T H , continetur , est autem lib. i. allelep pedum , A P, conteritum ruo, D T, d H , aequale parabelepipedis, A M, N P, luis partibus simul lumptis, ergo parallele- Pipedum sub , D T, T H, aequatur parallelepipedis . ub, D S, T II,
Sit nunc basis, Ι H, diuisa utcumque in quotcumque rectangula, T V, V P. Dico parallelepipeduin iub, D Γ, 's H, aequari parallelepipedis sub , D S, T V, sub , DS, V P, sub , S l , TV, , sub 4 T, V P. Ducatur per rectaui, Q. V, planum inquidistaus planis,
209쪽
I X, FH, quod producat in parallelepipedo, A P, rectangulum, EU, in parallelepipedo, A M, reclan gialum, EO, & in parallelepipedo. N Ρ, rectangulum, R U, per pla num igitur, E V, diuiduntur parallelepipeda, A M, N P, in parali pipeda, A R , B M, N Q, O P, est autem totum parallelepipedum , AP, aequale parallelepipedis, A R, BN, N a, O P, Sest parallelepipedum, A R, sub , D S, S Ο, id est sub, DS, TU, & parallelepipedum, BM, sub , E R, R G, hoc est sub, DS, H,& parallelepipedum, Ninest sub , S T, T U, &, O P, est sub, R Q, Q Η, hoc est lub, S T , Q Η, ergo parallelepipedum, A P, idest sub , DT, TH, est aequale parallelepipedis sub , D S, &, T v, & sub, D S, V P. & sub , S T, T V, & sub, ST, QΗ, idest parallelepipedis sub sngulis partibus altitudinis, & singulis partibus basis contentis ἰ
Contineri autem parallesepipedum voco sub tribas rectis eiusdem angulum folidum eontinentibus, quarum dua qualibet rectum angulum constituunt , siuesub earum quavis, O parallelogrammo recta agulosub reliquis duabus ; ita νt, cum dico parallelepipedum sub tali recta linea, ct tali rectangula ,siae sub talibus tribus rectis lineis, intelligam illud parallelepipedum habere angulum solidum rectis angulis constitutum , veluti in istis Τbeorematibus ipsum assumo, igitur patet nos ex tribus rectis parallelepipedum eonirnentibus quamlibet
possiens altitudine sumere , σ rectangulum sub reliquis duabus traba ion B CTHEOREM A XXXVI. PROpOS. XXXVI. SI recta linea in uno puncto secta sit vicumque parallelepFpeduin sub tota linea, & quadrato unius factarum partium erit aequals parallelepipedo sub tali parte, & rectan.
210쪽
gulo totius In talem partem ductar. Idem autem parallelepipedum sub tota,& talis partis quadrato, erit aequale parat. lelepipedo sub reliqua, & quadrato talis parti3, una cum cubo eiusdem partis.
Sit ergo recta linea, A C, utcumque secta in , B, dico parallelepi, pedum sub , A C, & quadrato, C B, aequari parallelepipedo sub , BC,&rectangulo, BCA, hoc autem patet
ex superiori Scholio, nam parallelepipedum B Csub, A C, & quadrato, C B, continetur sub ω-ε tribus his rectis lineis, nempe, A C, & dua. hus, C B, & ideo idem continetur sub , C B , & rectangulo, A C B, fiue est aequale contento sub , B C, & rectangulo, A C B. Dico insuper parallelepipedum sub , Α C, & quadrato , C B, m uari parallelepipedo sub , A B, & quadrato. C B, una cum cubo, C, quod patet nam parallelepipedum sub diuisa altitudine, A C, & tae inferiindiuisa basi, nempe quadrato, CB, aequatur parallelepipedis subpartibus singulis, & basi, scilicet sub , AB, & quadrato, B C, & sub, B C, & quadrato, B C, idest cubo, B C. quod erat ostendendum.
THEOREMA XXXVII. PROPOS. XXXVII.
SI recta linea in uno puncto secta sit utcumq; cubus tollus aequabitur parallelepipedis sub partibus, ct quadrato eiusdem. Idem etiam erit aequale parallelepipedis sub tota. di partibus quadrati totius per talem diuisionem factis, id est parallelepipedis sub tota, & quadratis partium, & rectau sulo sub partibus bis contento.
Sit recta linea, A C, utcumq; secta in, B, dico eubum, A C, aequari parallelepipedis sub partibus, A B, B C, & quadrato totius, quod patet nam cubus, AC, idest parallelepipedum sub diuisa, AC,&as. huius. indiuisa basi quadrato, A C, est aequale parallelepipedis sub partibus, Λ B, B C, eiusdem, Λ C, diuisae, & sub eadem basi quadrato, A C. Dico etiam cubum, Α C, aequari parallelepipedis sub , A C, &quadrato, A B, quadrato, B C, & rectangulo bis sub , Α Β C, nam cubus, A C, idest parallelepipedum sub indiuisa altitudine, A C, & 3 1 . huius. diuisa basi in dicta quattuor spatia, aequatur parallelepipedis sub e dem indiuisa altitudine, Α C, & sub dictis basis partibus, nempe sub
quadrato, A B, quadrato, B C , di rectangulo bis sub , Λ B C, quod