장음표시 사용
211쪽
H Inc patet eubum totius , Ac, aequari parallelepipedis subsingulis partibus ipsius , A C, oe singulis partibus quadrarι, A c, quod
THEOREΜA XXXVIII. PROPOS. XXXVIII.
SI recta linea in uno puncto secta sit utcumq; cubus totius aequatur cubis partium, una cum parallelc pipedis tersub qualibet partium, & quadrato reliquar. Vel aequatur cubis partium una cum tribus parallelepipedis, sub tota, de
eiusdem partibus conte ut IS. Sit recta linea , AC, utcumque secta in puncto, B. Dico cubum, A C, aequari cubis, A B, B C, & parallelepipedis ter lub, A B, &. quadrato, BC,&ter sub , BC,&quadrato, AB. Nam parallele-MCorol. pipedum sub , A C, & quadrato, A C, qui est cubus, AC, aequa. ant. vel ex tur parallelepipedis sub lingulis partibus ipsius, A C , & sub singulis 3 'Rukψ partibus quadrati, A C , ab hac diuisione prouenientibus, id est parallelepipedo sub , A B, & quadrato, A B, qvi est cubus, A B , item i. fiuiu, - , A B, S quadrato, B C, item iub, A B, & rectangulo, A B C, bis, L. i. Hest iub, C B, & quadrato, B A, bis sumpto, habemus ergo unum cubum, AB, unu in parallelepipedum lub,
quadrato, B A; transeamus nunc ad aliam 2 partem, B C, remanent ergo parallelepipe. da lub, B C, & quadrato, B C , idest unus cubus, B C, item sub CB, & quadrato, A B, & tandem iub, C B, & rectangulo, C B A, bis, M. MIM. idest iub , Α Β , & quadrato, B C , bis , si igitur haec possetiorarallelepipeda prioribus iunxeris habebis cubum, A B , cibbum.BC parallelepipedum ter iub, A B, S quadrato, B C, & ter lub , BC, &quadrato, B A, quibus aequale erit parallelepipedum sub , A, Sequadrato, C A, idest cubus, C A . Quia vero parallelepipedum lub. C B, & quadrato, B A , idest sub , A B , & reo an ulo, A E c , cum parallelepipedo sub , A B , & quadrato, B C, idest iob , C B S .ectangulo, Λ B C , aequatur, ex II. huius, purallelepipedo rub lora Α C, & rectangulo sub partibus, A B , B C, ideo dicta sex parallelepi peda tribus lub tota, A C, & partibus eiuldem, A B. B C, aequalia
212쪽
OVoniam posterior pars Tropos antec. addita fuit postispresionem Lib. I s. 1 o ne mireris, benigne Lector , si in eisdem alia quaudo Propinuones offenderis nouvibit prolixiores, quam si per bane peliriorem partem fuissent demonstrate, cum illa ex priori parte tune deducta fuerint, quod solerti Geometra haud dissicile erit in allis propositionibus anim iduatere, rn quιbus hanc viderit adhiberi.
THEOREM A XXXIX. PROPOS. XXXIX: SI tecta linea bifariam, &non bifariam secta fuerit, pa
rallelepipedum sub medietate propositae lineae, & subrectangulo inaequalibus partibus contento, cum parallelepipedo sub eadem medietate, & sub quadrato se Aionibus intermediae, aequabitur cubo eiusdem medietatis propositae lineae. Sit recta linea, A E, bifariam diuisa in, B, non bifariam in C . DF eo parallelepipedum iub, B E,&rectangulo, A C E , una cum paralleleppedo iub, BE,&lub quadrato, B C , cubo eiusdem, BE, aequale este; Nam rectangulum, AC B, cum quadrato, BC, qua' ,.see didrato, B E . est aequale, Ut autem rectangulum , A C E , cum qua Ela drato, B C, ad quadratum, B E, ita sumpta communi altitudine, .huiu B E, parallelepipedum iub , B E, & rectangulo, A C E, S sub , BE, & quadrato, B C. ad parallelepipedum sub , B E, & quadrato, B E, idest ad cubum , B E, ergo parallelepipedum sub , E B, & subrectangulo, ACE, una cum parallelepipedo lub eadem, E B, & subquadiato, B C, em aequale cubo, EB, quod Ostendendum erat.
213쪽
SI recta linea bifariam secta fuerit, & illi in directum a d.
iuncta quae uis recta linea; parallelepipedum sub composita ex dimidia propositae, & ex adiuncta linea, & sub rectangulo sub composita ex tota ,& adiuncta, & sub adiuncta, una cum parallelepipedo sub composito ex eadem pro positae medietate, & ex adiuncta, & sub quadrato eiusdem medietatis, aequabitur cubo compositae ex dicta medietate,& adiuncta. Sit recta linea proposita, A C, bisariam in , B, diuisa, cui in direactum sit adiuncta utcumq; C E. Dico parallelepipedum sub , B R& rectangulo , A E C, una cum parallelepipedo sub , B E, & qua drato, B C, aequari cubo ipsius, B E. Nam rectangulum, A E C, cum s. seeudi quadrato, C B, aequatur quadrato, B E , igitur sumpta communi Elem altitudine, B E, parallelepipedum sub , B E, &rectangulo, A E C, una cum parallelepipedo Iub, B E, & quadrato, B C, aequabitur pa-hui . rallesepipedo sub , B E, & quadrato, B E, idest cubo, B E, quod erat ostendendum.
Ex methodo tu superioribus demonstrationibus adhibita inanifestum est nos similiter e eteras Propositiones fecundi Elementorum d monsbrare posse, in quibus linea festa in uno, vel plurιbus punctis eonsideratur, ad parallelepipeda eadem traducentes , nam si Iuper spatiarn illis considerata intelligantur constitui aque alta parallelepipeda, erunt illa, Mi ipse bases . propterea que ibι de basibus demonstrantur , de parallelepipedis aque altis eisdem basibus insulantibus recte colligi possunt, qua ob claritatem, O facit itatem a me relinquuntuν .
THEOREM A XLI. PROPOS. XLI. PArallelepipedum, quod sub tribus rectis lineis propori
214쪽
Hare manifesta est, nam habebunt bases ipsis altitudinibus rec ipro-Cas , quod etiam uniuerlatius ostenditur Undecimo Elementorum Propos. 6.
ΤΗ EO REM A XLII. PROPOS. XLII.
DAta recta linea terminata, utcumque in punct o diuisa, possibile est ipsam ad alteram eiusdem partium ira producere, ut cubus compositae ex proposita linea, & adium cia, sit aequalis cubo propositae lineae, simul cum cubo comis positae ex adiecta, & illi conterminante portione uelae linei.
Sit data recta linea, A C, terminata, druisaq; utcumque in puncto, B, ostendendum est pollibile etae ipiam ita producere ad alteram illius partium, ut ad, C, ut cubus compositε ex, A C. S adiecta, sit aequalis cubo. AC , cum cubo compositae ex eadem adiecta, & ex, B C, portioue, A C, adiectae conterminante. Producatur ergo , CA, ad partes. A, ut in , N. ita quod, N B, sit tripla , B A , fiat dei n. de, ut, N B, a i , B C , ita quadratum , B C . ad quadratam rectae li- ε,M,1e sirin politae: Ulterius exponatur recta, E F, aequalis com sir dex , A C, C B. cui applicetur rectangulum aequale quadrato, M . excedens figura quadrata, cuius latus sit, F H, producatur autem, Λ C, versus, C , ut in , D, ita nempe , ut, C D , sit aequat is, FH. Dico cubum t rius, A D, αquari duobubcubs, AC, B D. Cum .n. sit, ut, N
ad quadratum, M. ideo paralleles pedum sub altitudine, AA , quuest, i, praeaecte altitudinis , N B, & quadrato, M, aequabitur te tiae parti cubi, BC. Quoniam vero quadratum, M , aequatur rectan. E. cor gulo, E H F , idest rectangulo sub composita ex , A D , B C, & lub, G v, 3 C D, ideo parallelepipedum sub altitudine, A B, di basi rectangulo h sub composita ex , Α D, B C, S sub , D C, aequab:tur tertiae part bi, B C, addatur commune parallelepipedum lub, B C, S basi inctangulo, B D C, erit ex una parte hoc parallelopipedum cum, i, cu bi, B C, ex alia vero haec summa; scilicet parallelepipedum sub , A B, α rub rectangulo sub composita ex , A D, B C, & sub , D C. una cum parallelepipedo sub , B C ,& rectangulo , B D C, quae quidem summa efficit parallelepipedum sub, A C, & rectangulo, A D C, iam B b . n.ha
215쪽
. v. liabe. na parallelepipeda n sub , A B .& rectangulo, Α DC,61ub, A B,& c mgulo. B Z D, . . sub , B C,&rectangulo sub , AB, C D, cui si vinxeris parallelepipediam iub, B C, & rectangulo sub, B D, D C, co n Ioiretur parallelepipedum lub, B C-rectangulo, Α Ia C, quod additum parallelepipedo lub, AB,& eodem reis 33. huius. Et 1ngulo. A D C, componet par*llelepipedum tub, A C, & re ctangulo, A D C, quod quidem uale erit alteri luminae pr.ed istae, nempe parallelepipedo lub, B C, & rectangulo iub , B D, DC, una cu n, i, cubi, B C, ergo & eorum tripla a qualia erunt sei Schol. s. licet parallelepipeda m.ter sub , AC, & rectangulo , A D C, seu terhin . sis, A D, & rectan galo, AC D, uabitur parallelepipedo ter sub, B C, & rectangulo, B D C, seu ter sub , B D, & rectangulo, B C D, cum cubo, B C, additis vero communibus cubis, AC, C D, fiet pa-ῖ - ψ ψ rallelepipedoeri ter sub , A D , & rectangulo , A C D, cum cubis, A. . C, C D, idest totus cubas , A D, aequalis parallelepi pedo ter sub , B. 's R 'D,&rectangulo, BCD, cum cubis, BC, CD, quae integrant cubum, B D, in & cu n cubo, A C, eis igitur cubus, A D , aequalis duobus cubis, AC, B D. Possibila est ergo facere, quod proposi-
Ex boc minifestum est , β, A c, sit latus dati eabi, ct sit etiam da.
tarerea linea , ut , AB, minar , AC, posbile esse inuenire duos cubas , ut , AD , D B, ita die eorum diserentra sit aqualis eubo dato, Ac, oe latera n cubιeorum , A D , D B,s licet, A B , pariter offerentia sit data, est .v. eubus , AC , aqualts dicta cuborum , A D , DR. disserentia , ut essensum est . tam vero similia solida quacunq, sint DL, tripla ratione linearum , seu laterum homologorum eorumdem , rdeis' erunt, ut eubi ipsarum truearum ,seu laterum homologorum , O rdebeasdem rationem , quam h abet cubus , A D, ad eubum , DB, babebitengr. Icofaedrum descriptum latere , AD , ad Icofaedrum descriptum latere , BD, ρ dicta bomalogo, σ νt cubas , A D , ad cubum . A C , ita erit Ie έιedra n , AD , ad Icosaedrum, Ac , nec nou colligeudo, ut cubus , AD , ad cubas , AC, BD, ita erit Icofaedrum, AD , ad Ico. Dedra , AC, BD, ergo Icofaedrum, A D, aquabitur Icosaedris, A G
216쪽
set Iessaedrum . A e, o, A P, recta linea ipsius latere minor, non ἀι - snuliter, ae in cubis maenia essent Ico aedra , AD , D B, quornm differentia esset aqual/s dato Icofaedro ,-c, nec nori eret dem laurum is mologorum disserentra aquatis datae retia lιnea, A B . Ste etiara data Spha Orbem data erassitici, minoris tamen ιllius semidiametro, Mais lem posbile erit inuenire. Universalissime autem dato quocumq.solido, duorum ipsi dato similium differenitam aqualem pissibile πιt Inaentre. qaedrum pariteν linearum ,seu laterum homologorum d3ssirentia sit da ea , dummodo ea sit minor linea, seu latere propinitι Iotidi praedictis,omologo , quod exsuperius dictas facilὸ c stare potes.
NOηηulta autem ex prafatis proximis Tropositionibus etiam abali s ostensa fuerunt, sed ne Lectora ad alios Libros pro harum captu est recurrendum, hic eas adiungere placuit, prscipuὸ cum ea. rum adducts demonstrationes ab aliorum Auctorum ratronIbus, ni DLIor, non parum sint disserentes , cam ferὶ Omnes ex Hica Propos 3 s. via fatis compendiosa deducta sint; quod olim me circa Tropositiones Secundi Elem. d prima nempe usq; ad IO. prastιisse memini, eas omndis ex prima compendiosissimὶ demonstraηdo, H etram postmodum, o Patrem claurum fecisse ιmaduerti.
218쪽
In quo de circulo,&Ellipsit, ac selidis ab
. eisdem genitis, traditur doctrina.
Mnia quadrata portionIs circuli veI EI lipsis, ad omnia quadrata parallel grammi in eadem basi altitudine cum portione constituti, regula basi, erunt, ut composita ex sexta parte axis, vel diametri eiusdem ,& dimidia reliquae portionis, ad axim, vel diam trum reliquae portionis: Eadem vero ad omnia quadrata trianguli in ijsdem exi stentis erunt, ut composita ex dimidia totius, & reliquae portionis axi, vel diametro, ad axita, vel diamctrum reliquae
portionis. Sit circulus, vel ellipti , ED R P. cuius axis, vel diameter, E R, ad quem ordinatim applicetur , D P, abscindens utcumque porti nem , D E P, quae sumatur quoq; pro regula , & centrum sit, Α, ac Parallelogrammum ,F Ρ,. in eadem basi, D P, cum portione ,& e dem altitudine; sint autem primo , D P, PH .latera parallelogram mi, F P, parallela ipsi . E R . Dic ergo omnia quadrata portionis,D E P , ad omnia quadrata parallelogrammi, F Ρ, esse, ut composita ex ista pacte, E B, di diaudia , LR, ad istam , BR. Sum tuu
219쪽
ergo intra , E B , utcumque punctum , C, & per, C, duratur ipsi, DP. parallela , C M, secans suruain circuli vel eli ipsis, ED R P, in, N; Est igitur quadratum, BP, vel, M C, ad quadratum, C N, ut
rectanguluin, R B E , ad rectansulunt, ROEsestautem, EP, purallelogrammum iu eadem bas, Saltu ituo ne, cum semiportione, E BP, regula eit ipla basis.&, C M, ducta vicum. que parallela ipsi basi , repertumque est quadratum, C M, ad quadratum, C N, esse ut rc tangulum, R B E, ad recta a gulum , R C E, ergo magnitudines h
rum quatuor ordinum erunt 'proponio- Coro . . nales.s. Omnia quadrata parallelogram . mi, E P, magnitudines pruni ordinis col
lectae, iuxta primam, nempe iuxta qua dratum , C M , ad omnia quadrata semi r portionis , E B P , magnitudines lecundi Q, ordinis collectas, iuxta secundam .l. iux.ta quadratum, C N, erunt ut rectangula sub maximis abicissaruin, EB,&lubadiunctis, B R, magnitudines ter iij o dinis collectae, iuxta tertiam . . iuxta re ctangulum, R B E, ad rectangula sub omnibus abscissis, E B,& residuis eamna T.' Ledem . adiuncta, B R , recti, vel obliqui
transitus supradictis existentibus in quae sunt magnitudines quarti ordinis colloctae, iuxta quartam. .iuxta rectangulum, R C E ', quoniam vero rectangula sub maximis abicissarum, E B, & sub adiun.ctis, B R, ad rectangula sub omnibus abscissis, E B, adiuncta , B R, & sub earum or. 3m residuis, sunt ut, B R, ad compositam ex dimidia, B R, & sexta parte, E B, ergo conuertendo omnia quadrata semiportionis, B E P, ad omnia quadrata parallelogrammi, E P, veli storum quadrupla .s. Omnia quadrata portionis, D E P , ad Omnia quadrata parallelogrammi .FP, erunt ut composita ex ,ἱ,BE, I, B R, ad eandem, B R ; Iungantur nunc, D E, E P. Dico vlterius, omnia quadrata portionis, E D P , ad omnia quadrata trianguli, D E P, esse ut composita ex dimidia totius, E R, Mipia, B R, ad eandem , B R . Cum enim ostenderimus omnia qua
dcata Parallelogrammi , P P, ad omnia quadrata portionis, D E P.
220쪽
I. I B', E R I II. assesse ut, BR, ad compositam ex , I, B R, & , ἰ, B E, ideo omnia quadrata trianguli, D EP cum sint, i, Omnium Suadratorum pa-a rallelogramant, F P, erunt ad Omnia quadrata portionis , D E P, ut, I, R B, ad compositam ex , I, R B,&,ἱ, B L, idest ut tota, R B, ad compositam ex, i, R B, ω, J, B E, sed, 3, R B, . s. J , R B, cum, , B E, constituunt, j, integr*, E R, icilicet, I, eiusdem, E R, quε ideo cum, Φ, ipsius, B R, a. cum, B R, adipiam, B R , erit, ut Omnia quadrata convertendo a portionis , D E P, ad omnia quadrata
Quoniam vero, si in parallesogrammi, vel trianguli dicti, basi, D s. Lib. i. P, sit parallelogrammum, vel triangulum, & in eadem altitudine, Pet B. C., omnia quadrata d ctorum parallelogrammorum inter se AEquantur, roll. xx.. sicut etiam ornnia quadrata triangulorum, regula eorundem basi, lib. x. ideo ostcnsum est omnia quadrata portionis, D E Ρ, ad omnia quadrataparallelogrammi in eadem basi, & altitudine cum ipsa conmintuti esse, ut composita ex , Ψ, Β Ε, &, I , B R, ad eandem, B R, ad Minnia vero quadrata trianguli in ijsdem positi, ut composita ex , BR, & dimidia, R E, ad ipsam, B R, quod ostendere Opus erat.
HI c patet in figura, in qua ἴasis portionis eonstituta per ceπ-trum circuli, vel ellipi transeat, quoniam omnia quadrata parali elogrammι , F P, ad omnia quadrata pominis, DEP, funt ut, s R, ad compositam ex , I ,ἱ,AE, scilicet , , AR, qμM, EA, est aqualis ipsi, Aq, I autem, oe, i, A eonstituunt, .l , vel, Φ, ipsius, is R, ide, omnia quadrata parallelogrammi, F P esese cd omnia quadrata portionis , D ET, ut, A R, ad , i , AHiddi esse eorundem sexquiritera , quia verb omnia quadrata trianguli, DEP, τ . Lib.2- . D t, ἱ , omnium quadratorum parallelogrammi, F P, ideo omnra quadrata trianguli, DEP, ad omnia quadrata portionis, DET ,sint vi I. M a. oeconuertendo omnia quadrata pontovis, D EP , funt dupla om . ηiam quadratorum trianguli , DET, O sab sexquιaltera omnium quin dratarum parallelogrammi, F P, dummodo in eadem bissi, ct altitudine um portione sint constituti parallelogrammum, o D angulum, νιραιὲμpra in sine monstratιonis sublunaimu .