장음표시 사용
221쪽
THEO REMA II. PROPOS. II. SI a circulo , vel ellipsi per lineam ad eorum axim, vel dia
metrum ordinatim applicatam utcunque portio abscindatur, sit autem parallelograminum in eadem altitudine cum
dicta portione sed in basi aequali secunds diametro, & regula basis ipsius portionis; omnia quadrata dicti paralles Ogra mi ad omnia quadrata di iri portionis crunt, ut rectangulum sub dimidia eiusdem axis, vel diametri. & sub eiusdem dimidiae tripla, ad rectangulum sub axi, vel diam e tro abscissae portionis, & sub composita ex axe, vel diametrorcliqvspo tionis,& dimidia totius axis, vel diametri.
Sit igitur circulus, vel ellipsis, B UOR , eius axis, vel diameter, B O , ordinatim ad ipium applicata, V R, utcumq; abicindens por tionem, v B R, sit vero secunda diameter, C F, & producta, V R, ita ut, P N, sit aequalis ipsi. C Ροῦ&, P M , ipsi, C Α, in basi, Ρ N,& altitudine portionis, U B R, sit parallelogrammum , DN, Scirca axim, vel diametrum , B M. Dico ergo omnia quadrata parali Iogramini, D N, regula, V R , ad omnia quadrata portionis, U B R eue virectanguluin lub, B A,& tripla, AO,adrectangulum sub, BM,&sub composiae x, M O, O A; iungantur, U B, P B; O nnia ergo quadrata semiportion f, B C U H, ad Omnia quadrata tria aguli, B U M, sunt vi, A O, Oaxant. M , ad , O H, i. iumma, R M, commuis ni altitudine, ut rectangulum iub , B M, Cf.Liba. 11 Ο Α, as rectangulum, B M O, Omn a autem quadcata trianguli, B V M, ad PPMB. Co oina a quadrata trianguli, B P H, sunt - ut q ua statum , U H, ad quadratum, P η' ' M, vel ad quadratum, C A, .i. Vt rectau-Bx i' gulum, O M B, ad rectangulum, Q A B, ergo ex aequali, & conuer- - - tendino nata quad cata trianguli, R P M , ad omnia quadrata semi--'' '' portionis, B V M, erunt ut rectangulum, B Ao, ad rectangulum a Lib sub , B H, & , M O A, & antecedentium tripla .s. omnia quadrata .Lib, a. parallelogram ni , D H, ad omni a quadrata semiportionis, B U xl, vel o mala quadrata parallelogrammi, D N , ad omnia quadrata
222쪽
ta rectangulum sub ,BM,S,M ΟΛ, quod verum esse ostendetur, ut in antecedente, etiam si parallelog limum, D N, non sit circa axim, vel diametrum, B M, νnde pa et, Sc.
THEO REMA III. PROPOS. III. SI intra circulum, vel ellipsim, duae ad axim, vel diameis
trum ordinatim applicentur rect ae lines, sit autem parat. I elogrammum, & triangulum in eadem altitudine cum po cone inter applicatas conclusa, sed in basi altera applicatari rum: omnia quadrata dicti parallelogrammi ad omnia quadrata conclust portionis cregula basi erunt, ut rectangulum sub partibus axis, vel diametri per basim constitutis ad reactingulum sub abscissa per basim ab extremitate axis, vel diametri,& sub composita ex medietate portionis axis,vel diametri eisdem applicatis intermedie ,& abscissa per aliam applicatam ab eiusdem extremitate, una cum rectangulo sub eadem intermedia, de sub composita ex, , eiusdem,&, I, abscissae per eandem applicatam ab eiusdem extremitate: Omnia vero quadrata incluse portionis ad omnia quadrata dicti trianguli erunt, ut rectangulum lub composita ex abscissis ab axi, vel diametro per ordinatim appliςatas versus terminum, cui basis propinquior est,& sub scxquialtera abscissae ab at in extremo per applicatam , que non cst basis, una cum rectangulo sub huius reliqua,& sub dupla abscisip per basim ab extremo, cui ipsa basis propinquior est , ad rectangulum subpartibus axis, vel diametri per bam constitutis. Sit ergo circulus, ves ellipsis, A C D F.
Centrum, O, axis, ves diamecer, A D, duae ad ipsatu ordinatim applicatae luat, I S, CF, intercipientes portionem, I C F S, sit autem parallelogrammum , B F, in basi . . utra uis applicatarum, ut in , CP,& eadem altitudine cum stulto, C I S F, sit etiam inunc circa axim, vel diametrum, M R,N-gula vero, C F; Dico ergo omnia quadra .:ta parallelogramini, B F , ad Omnia quam ' L
223쪽
lum sub , D R, & sub composita ex , I, R M. So,M A, Teum
Tectangulo sub ,RM,&sub compositaeΣ , Φ,H-,M A. , otiatur in , M R, utcunque punctum, T, per quod agatur ipsi, E v, Darallela , TX, secans curuam , S F, in , U, erit ergo quadratum, Rs , vel quadratum , T V , ad quadratum, TX, ut rectangulum , DR A, ad rectangulum , D T A; & quoniam , M F, est parallelogran in in in eadem basia, R F, & althydmucum e portione , ME P AS,Sc , TX, ducta fuit utcunque parallela te iij .. - ipsi ueF. repertumque est quadratum , TV, ad quadratum , T X, esse ut rectang Corolli. lum, D R Α, ad rectangulum, D T A, con-
. Lib structis quatuor magnitudinum Ordinibus, ut in antecedente, cocludemus omnia quadrata parallelogrammi,.M F, ad omnia
qaadrata semiportionis, M R E S, esse ut repangula, DRA , tot, quot sunt omnes abaeissa: ipsius, M R , ad rectangula sub residuis omnium abscissarum , M R , adiun- Cor. a. cta, R D, & sub omnibus abicissis, M R, adiuncta, M Ai quia ve- ib. , ro, D A , diuisa est vicuinque in duobus punctis , R , M, rectangula sub , D R A, tot, quot sunt omnes abicili , R M, ad rectangula sub residuis omnium abscissarum, M R, adiuncta, R D, & luti omnibus Lib. abscissis, M R. adiuncta, MA,sant ut rectangulam, D R. A, ad rectangulum sub , D R, & sub composta ex , I, R M, &, M A , una . cum rectangulo sub , R M, 6c sub composita ex , ἱ, R M, &, I, MA, ergo Omnia quadrata parallelogramini, M P, ad omnia quadrata se portionis, M R F S, vel omnia quadrata parallelogrammi, B F, ad omnia quadrata portionis, IC F S, erunt ut rectangulum , D RA , ad rectangulum sub , D R, & sub composita ex , I, M R , & ex, - M A, una cum rectangulo sub , RM,& sub composita ex , i, R M,N,I,ΜΑ. Ιungantur nunc, C M, NI P. Dico insuper omnia quadrata portionis; ICES, ad omnia quadrata trianguli, M CF, esse ut rectan. gulum sub composita ex , M D, D R, & lubiexquialtera, M A, una cum rectangulo sub composita ex . M D, & dupla , D R, & lub, I, M R. ad rectangulum, D R A ; omnia n. quadrata parallelogram mu B P . ad omnia quadrata portionis, I C P S , ostensa sunt esse virectasigulunx, DK A, ad rectangulum iub, D R, & luti composita ex , I, R M, ω ex. M A, una cum rectangulo lub, R M, & sub composita ex , lx R M, &, I, M A, ergo eorum tertia pars ad eadem consequentia erunt ut tertia pars rectanguli , D R A , ad eadem consoquentia rectangula. s. ut integrum rectangulum, DR A, ad. illa re
224쪽
M iub, R,& kΝI A, triplicetur rectangulum sub , D Riων i. et eis. I , R M , fit rectangulum iis tripla, D R-iub, I, R M, cui si a datur rectanstulumlub, M R ,6c, b,RM, fit rectansulum iub com- ρο-i iri i , am,RM, L sub composita ex , M D, dc dupila, RT , S la, ciI , R M, quod serua : Remanent rectangula ad- ν.Lib.1. hix 4b CD- , N R,. sub , M R, S, A, triplicanda, quod si est py Vettia inissum iub, D R,M A, aequatur rectangulo subdupla, g, .ela D-, : MA .cui si addatur rectangulum sub lub. Maz, Iliniectangulum sub , I, M Α, & iub composita ex , M R ,6c dupla, R uia iub composta e3, 11 D, D R, quod triplicaium fierectangulum lub composita ex , M D, DR , S sub sexqui altera , MA, quod simul cum rectangulo sub composita ex, M D, & dupla, DR , & sub , I, M R , ad reetangulum, D R Λ, conuertesdo, habe.hit eandem rationem, quam omnia quadrata portionis, IC F S, ad omnia quadrata trianguli, C MF ; quod etiam verificabitur, si dictum parallelogrammum, & triangulum, sint quidem in eadem basi Cp . i.
cum portione, ted non circa eundem axim, vel dfametrum cum ea. 'ip dem portione, ut supra patere potest in antecedentibus, quod Natostendendum.
THEO REMA IV. PROPOS. IV. IN eadem antecedentis figura si paraues grammum sit
quidem in eadem altitudine cum portione, sed in basi ar- quali secundae diametro ue omnia quadrata dicti parallel grammi ad omnia quadrata dicts portionis. erunt , ut quassi rum dimidij axis, vel diametri eorumdem ad eadem consequentia rectangula, retenta eadem regula. Exponatur denuo antece lentis figura, vi producatur, CF, ita vi, V A, fit aequa
V R , aequalis, R X. 6c in , V X, basi siucon ructum parallelogrammum, G X, in altitudine eadem cum portione , t C F S, sit etiam circa eandem axun, vel cita
metrum, M R , cum portione, I ECF HS : omnia ergo quadrata parallelogranimi, G R, ad omnia quadrata parallelogrammi, B R, tegula, C ξ δ 9 Lib. i. C c a iunt
225쪽
SI in circulo , vel ellipsi ducantur coniugati axes, ve I dia.
in etri, in altera autem eorundem sit tamquam in basi parallelogrammum circa eundem axim,vel diametrum cum c iraculo , vel ellipsi, circa quaem sit etiam triangulus, sed in basi opposita basi parallelogrammi, sumatur autem in dicta axi, vel diametro utcunq; punctum , per quod basibus dictis agatur parallelas quadratum eiusdem parallelae trianguli lateri. bus interceptae aequabitur reliquo quadrati eius, quae in te cipitur lateribus parallelogrammi, dempto quadrato eius, quae intra circulum, vel ellipsim concludetur.
. Sit circulus, vel ellipsis, B D Η F, eius coniugati axes, vel di amestri , ΒΗ, D F. in altera autem earum, ut in , DF, tanquam in basi,& circa axim, vel diametrum, B E, sit parallelogrammum, Α F, et ca eundem vero, sed in basi, A C, sit triangulum, A E C, sumatur autem in , B E, utcunque punctum. M, per quod ipsi, D P, agatur parallela, V R, se os curuam , D B F, in , T, I, & latera trianguli, A E C, in ,s, N. Dico ergo quadratum, s N, aequari reliquo quadrati , U R, dempto quadrato, TI. Nam rectangulum, H E B, ad rectangulum, H M B, est v t quadratum, P E, vel quadratum, R M, ad
226쪽
ad quadratum, I M, ergo per conuersionem rationis rectangulum, HEB, .'. quadratum, B E, ad qua
dratum , M E, quod est excessus. rectanguli, H E B, lub rectangulum, HM B, erit ut quadratum, R M , ad sui reliquum, dempto quadrato, M I, sed ut quadratum, B E, ad quadratum. EM, ita quadratum. B C, idest quadratum. M R. ad quadratum, M N, quia triangula, B E C, M EN, sunt sequian gula; ergo quadratum: B C, idest quadratuin, M R, ad quadratum, M N, erit ut idem quadratum, M R, ad sui reliquum , dempto quadrato, MI, Semum quadrupla . s. quadratum, S N, aequabitur reliquo quadrati, V R, dempto quadrato, T I, quod erat ostendendum.
QV O NI A Μ autem punctum, Μ,sumptum est Meumque bina
patet, quod ommta quadrata Dranguli , AEC, regula, D F, siquantur reliquo omnium quadratorum parallelogrammr, F, demptis omn)bus quadratas semicrreuti , vel δε-ιlipsis, DBF , ct duabus utcunq; duet is ipsis , DF, parallelrs , H, X G, V R, patet, quod om uia quadrata traperit , Υ SVR, aquabantu νesiduo omnium quadratorum parallelogrammi, X , demptis omnibus quadratis portionis somicirculi, HI semellipsis inter , ZL, T I, conclusa : Quia -rb ostensa es ratio omnrum quadratoνum eurusvis parallelogram oram in altitudine eadem cum portionibias , basi aatem aquaιι secunda viametre, . Se as. omnia quadrata trapentorum , Hl triangulorum in iisdem existenis lib. xium . bine manifesta es ratio eorundem ad dicta residua, ct consequen-Dr ad omnia quadrata portionum semis irculi, - semuli sis , DB F. dictis parallelis interpositarum, vi ex.gr. nota erat ratιo , quam babent omnia quadrata paνallelogrammν , XR, ad omnia quadrata portoonis, a T I L , ct sic in νeliquιs . Rura His omnιa quadrata tr/angulι, AEc , ad omnra quadrata triangulι , S EN, fant in tripla ratrone ipsius , .ECor δα βε, σι , Em, ideo etiam patebιι, quod omnia quadrata parallelogram-J V - ', A F , demptis omadas quadratu semicircula, Hi semiellipsis, DR F, ad omnia quadrata parallelogramm3 , V F , demptis omnibus qua
227쪽
THEOREM A VI. PROPOS. v I. S I iis , vel el 'psi ad axim, vel diametrum eiusdem
or nuatim applicetur utcumque recta linea , quae sum turpin Rula : Omnia quadrata eiusdem ad omnia quadrata 'ptavi ius portionis; per eam constitutae, erunt ut paralleis lepipedum seb quadrato totius axis, vel diametri, altitudine eiusdem dimidis ad parallelepipedum sub quadrato a Dsumptae inuetionis altitudine autem linea composita ex relio quae portionis axi, vel diametro, & dimidia totius: Vel erunt, ut cubus totius axis, vel diametri ad parallelepipe. dum sub quadrato assumptae portionis axis, vel diametri, &sub altitudine linea componia ex tripla axis, vel diametri reliquae portionis, cum cubo axis, vel diametri reliquae podi
sit circulus, vel ellipsis , A BC D, cuius axis, vel diameter, AC, eentrum, O,& ordinatim utcunq; ad ipsam applicata, B D, comstituens duas po tiones, B A D, BCD; quae quoque sit regula. Dico ergo omnia quadrata circuli, vel Ellipsis, A BCD, ad omnia quadrata portionis, B A D . ex ὀ uabus portionibus , B AD, B CD, ad libitum sumptae, esse, ut parallalepipedum lub basi quadrato, A C , altitudine, CO, ves, C X, quae sit aequalis , C & illi in directum constituta , ad parallesepipedum sub basi quadrato , A E, at titudine, EX, vel ut cubus, A C, ad parallelepipedum sub basi quadrato, A E, altitudine tripla. E C, cum cubo, AB; iungamur, B A , AD, B C, C D i omnia ergo quadrata portio. nis , B C D, ad omnia quadrata portionis, B ADiff. D, habent rationem compositam ex ea, quam Fb habent omnia quadrata portionis, B C D, ad omnia quadrata trianguli, B C D, &ex ea, quam habent haec ad omnia quadrata trianguli, B Α D, &ex rati r. hulus. ne istorum ad omnia quadrata portionis , Η Α D: Omnia vero quadrata portionis, B C D, ad omnia quadrata trianguli, BC D, iunt e C- ο ut coinposita ex , O Α, Α Ε, ad , Α Er omnia item quadrata trian -
ἰοῦ 'guli, B C D, ad omnia quadrata trianguli. B A D. quia triansulaiunt m eade in basi, B D, sunt ut, C E , ad , E Α: Omnia denique
228쪽
ouadrata trianguli.NA D . ad omnia quatiata potat A, B AtD, Duint ut, L C, ad comuositam ex , KC CO; hacum autem trium navtionum componeotium ratiun emitum dictam illa , quam ha i , C ε. Lib. iaE, ad , E A, &, C E, ad , E ia, compunit tionein quadrati , CE , ad rectangu tu in su h . A E, de sub, ECO, habemus ergo illas tres
rationes in has duas resolutas .f. meam, quam habet quadratum, EC, adrectangulum iub, A E, &. E C in & in eam, quam habet composita ex, O A, A E,ad, A B; ratio aut*n quadrati, E C ad rectangulam sub , Α Ε,&, ECoια ratio ipsinas MA E, sumpi pro tudine ad, AE, pariter pro vilitudine sumptam, componunt rati nem parallelepipedi sub basi quadratia, CE , altitudine autem, EAPet D.Coo, ad parallepipedum sub basi quadrato, A E, altitudine autem, E rollar. C O, quod serua . 34. Duplicentur nunc horum parallelepipedorum est tudines, omnia 'ergo quadrata portionis, BC D, ad omnia quadrata portionis, B AD, erunt ut parallelepipedum sub quadrato, E C, altitudine ve
dupla, E A, & dupla, A O, quae est, A C, ad parallelepipedum subban quadrato, A E, altitudine dupla, E C, & dupla , C O, quq est, AC a parallelepipedum autem sub quadrato, C E. & sub composta Lib. ex dupla, A E ,&, AC, aequatur parallelepipedis sub quadrato , C E, & sub , A E, bis, una cum parallelepipedo sub, A C, & sub quadrato, C E, idest una cum parallelepipedo sub LA E, adhuc semel, μει sub quadrato , E C , cum cubo, E C, quq simul cum praedictis cos sciunt parallelepipedum ter sub LA E ,.sub quadrato ,E C, cuincubo istus, R C a Similiter ostendet nux parallelepipedutu sub qua drato , AE.&sub composita ex , C A, & dupla, C E, aequari para lesepipedis ter sub , C E, & sub quadrato, E Α, cum cubo, E A, er go Omnia quadrata portionis, R C D, ad omnia quadrata portionis, B A D. erunt ut parallelepipedum ter sub quadrat C E, altitudiane, E Α, cum cubo , C L, ad parallelepipedum ter sub quadrato , ΛΕ, altitudine, E C, cum cubo, Α E, ergo, componendo, Omnia qua drata circuli, vel ellipsis, A BC D , id omnia quadrata portionis , RH D, erunt ut parallelepipedum ter lub altitudine, A E , & quadrato , E C, cum cubo, EC, simist eum parallelepipedo ter sub astituis dine, C E, & sub quadrato, E A. cum cubo, E Α , ad parallelep pedum ter sub quadrato, Α Ε, altitudine .EC,eum cubo, A Ε, illa an Lib. ,-
autem simul lumpta conficiunt cubum , AC, ergo omnia quadrata
circuli, vel ellipsis , ABC D,ad omnia quadrata portionis, R A D, erunt ut cubus , AC , ad Drallelepipedum sub basi quadraco, A E,
altitudine linea composita e dupla , EC, Se L, A C. ergo dimi diatis huius rationis terminio omnia quadrata cuculi, vel ellipsis, AB C D, ad omnia quadrata portionis, B A D, erunt ut parallelepi
229쪽
oe. pedum sub basi quadrato, AC, altitudine, CO, vel, CX, quod ρIii . ' dimidium cubi, A C, ad parallelepipedum sub basi quadrato, RG n. 34. E, altitudine, E X, quae cit dimidia altitudinis parallelepipedi lubli, x. bali quadrato, A Ei altitudine dupla, E C, S ipia, C A, simul) pa tet ergo, quod omnia quadrata circuli, vel ellipsis, A B C D, ad omnia quadrata portionis, B A D, erunt ut parallelepipedum lub basi quadrato, A C, altitudine , C X, ad parallelepipedum sub basi quadrato , A E, altitudine , E X, vel ut probauimus ut cubus, A C, ad parallelepipedum sub basi quadrato, A E, altitudine linea composita ex dupla, E C, & ex, A C, .i. ad parallelepipedum sub basi quai drato, A E, altitudine tripla, E C, cum cubo, A E, quae erant dein
HIne etiam patet portionis, BC D, omnia quadra 'a ad omnia qua drata portionis . BAD. esse ut parallelepipedum sub basi qκ drato , CE , altitudine gutem, EA O. ad parallelepipedum sub basi γ μ. drato, A E, altitudine autem , EC O, patet ergo si circulus. vel ellapsis
per applicatam ad eorum axim , vel sametrum in duas portiones v cum; diaudantur , quaeq; sumatur pro regula, quod nota erit ratio om tum quadratorum virtusque portIonas intorse .
SI in circulo, vel ellipsi duae ad eundem arim, vel diameistrum Ordinatam applicentur rectae lineae; omnia quadrata unius portionis frugula basi ad omnia quadrata alte rius portionis erunt, ut parallelepipedum sub basi quadrato axis, vel diametri illius, & sub composita ex axi, vel diametro reliquae portionis, & dimidia totius, ad parallelepi pedum sub basi quadrato axis , vel diametri alterius portionis, & sub composita ex axi, vel diametro reliquae porcio ... niS, & dimidia totius.
Sit circulus, vel ell,psis, A C N D, cuius axis, vel diameter, A MCentrum, O, duae ad ipsum utcunq; ordinatim applicatae sint, B P, C D, sit autem producta, A N , iii, X, ita ut, X N, sit aequalis , NO; regula vero alterutra applicatarum, ut, C D. Dico ergo Omnia quadrata portionis , B A F, ad omnia quadrata poetionis, C A D.
230쪽
esse, ut parallesepipedum sub basi quadrato, A E , altitudine autem, E X, ad parallelepipedum sub basi quadrato, AM,
altitudine, M X. Nam omnia quadrata portionis, B Α F, ad omnia quadrata circuli, vel ellipsis, A CN D, lunt ut parallesepipedum sub basi quadrato, A E, altitudine, E X, ad pacallesepipedum subbasi quadrato, A N, altitudine, N X, item omisnia quadrata circuli, vel ellipsis, A C N D, ad omnia quadrata portionis , C Α D, lunt ut parallelepipedum sub basi quad rato, A N, altitudine, NX, ad parallesepipedum iub basi q uadrato, Α Μ, altitudine, M A, ergo ct aequali omnia quadrato portionis , B A F, ad omnia quadrata portionis, C A D, erunt ut parallelepipedum subbasi quadrato , A E, altitudine, EX , ad parallelepipedum sub basi quadrato, Α M, altitudine, M X, quod erat ostendendum.
PROBLEMA I- PROPOS. VIII. ADato circulo, vel ellipsi portionem abscindere per lis
ncam ad eiusdein axi in, vel diametrum ordinatim ap plicatam , cuius omnia quadrata ad omnia quadrata tria guli in eadem basi ,& altitudine cum ipsa portione, habeant rationem datam ι oportet autem hanc esse maiorem sexqui altera, existente regula ipsa ordinatim applicata. Sit eirculus, vel ellipsis, A D M E, axis, vel diameter, A M, centrum, F, oportet igitur ad ipsum axnn , vel diametrum, lineam orodinatim applicare, quae ab ipio circulo, vel ellipsi abicindat . portionem , culusam ima quadrata regula ipla applicata ad omnia quadrata trianguli in eadem basi , & altitudine cu .n ipsa habeant raqtionem dat m ; ha dico prius oportere esse maiorem sex qui altera, nam cuiuslibet abici stae portionis cui ostentum est omnia quadrata ad omnia quadrata trianguli ii adem bas, & altitudiue cum ipsa sunt, ut composita ex dimid a totius axis, vel diametri,&ex diametro resiquae portionis, adaxim,vcidia meistium reliquae portionis, si duridendo excessus omium quadratorum