장음표시 사용
231쪽
die ae portionis super omnia quadrata dicti trianguli, ad omnia quadrata dicti trianguli,sunt vid. midia totius axis via diametri ad axuv. vel diametrum reliquae portionis, Oportet ergo, quod dicta ratio diuisa sit ma-1or pa, quam habet, F M. ad, M Α, quae mmponendo evadit lexquialtera: sit ergo data ratio, quam habet, B Η, ad, NI , maior sex qui altera, & abscindatur, HS, aequalis ipsi, NII,&fiat, ut, BS, ad , S H, ita, F M, ad , M Ο, & ducatur per, O, ipsa, D E, ad axim, vel da metrum, A M, ordinatim applicata, & rungantur, D Α, A E; quoniam ergo, ut, B S , ad . S H, ita eli, E M , ad. ΜΟ,eOmponendo, B H, ad , H S, vel, N R, erit, ut, F M , M O, ad , M O, sunt autem omnia quadrata portio. Huius . nis, D A E, regula, D E, ad omnia quadrata trianguli, D Α Ε, ut, F M , M O, ad , M O, & ideo sunt ad ea in ratione data, in ea . quam hiabet, B Η, ad, N B, qu Id essicere opus erat.
OMnia quadrata circuli, vel ellipsis,regula altero axium,
vel diametrorum, ad omnia quadrata eiusdem, reis gula reliquo axium, vel diametrorum, erunt, ut dichias primus axis, vel diameter, ad dictum secundum axim, vel diametrum .
Sit circulus, vel ellipsis, M P C F, cuius axes, vel diametri coniugatae, M C, PF. Dico ergo Omnia quadrata cimuli, vel ellipsis, M P, C F, regula, MC , ad omnia quadrata eiusdem, re gula P F, esse, ut, M si, ad, P Fέ ducantur ger punευ, M, P. C, F, tangentes ci culum, vel ellipsim, MP C P, quq sint, AN. ND, D H, H Α, musti tuentes parallelogrammum, AD , circulo, vel ellipsi,M Ρ C P. circulascriptum, cuius latera parallela sint ipsis , P F, M C, axibus, vel diametris coniugatis: Umnia ergo qua
drata circuli, vel ellipsis , M P C E, regula , M C ,sunt subsexquiaN
232쪽
tera omnium quadratorum paralles agrammi, A D, regula eadem, MC, omnia vero quadrata eiusdem circuli, vel ellipiis, regula, P F,o' sunt subsexqui altera omnium quadratorum parallelogrammi, A D, CGll. i. regula eadem, P F, ergo omnia quadrata circuli, vel ellipsis, Μ Ρ huius . C F, regula, Μ C . ad omnia quadrata eiusdem regula, P F, erunt, ut omnia quadrata parallelogratuini, A D, regula, M C, ad Omnia quadrata ei uidem, regula, P F, sed omnia quadrata varallelogram- ην LiN .mi, A D, regula, M C, ad omnia quadrata eiusdem, regula, P P, sunt, ut, M C, ad , P F, ergo omnia quadrata timilli, vel ellipsis, MP C F, regula , M C, ad omnia quadrata e uuiiuna, regula, P P, erunt, ut, MC,ad, PF, quod osten fer oportebat.
HI ' c patet ,si ad , MC , T F, ordinatim applicen thr rectae linea
portiones abscindentes a dicto circulo , ves uilipsi,quoniam osten fa est ratio omnium quadratorum abscisse portion is, regula basi,ad omnia 6. Hesus. quadrata citculi, vel elypsis, ῖI T C F, ct ιtem o Lensa est ratio Om- ηιum quadratorum circuit, vel et I sis , IUTCF, regula altero axium, ξ R ς vel diametrorum, ad omnia quadrata eiusdem, regula reliqua exi, vel diametra deniq; Ucnsa es ratio omnιum quadratorum erusdem eis-edili, vel ellipsis, ad omnia quadrata pertIonis per ali ane ordInatim ap- - plicatam abf. 1ssa, regusa basi dictae portιouis , qaod ideo nota erit ratioowπιam quadratorum duarum portienum per dιctas applicatas abscissa- φ. Huiu run , reg dis dἰ laruM pserri num iasib I , qnod, c.
THEO REMA IX. PROPOS. X. SI circulus,&ellipsis, vel duae ellipses fuerint circae .
dem axim , vel diametrum, illi erunt inter se, Vr uorum lectandi axes, vel diametri. Sint circulus, S ellipsis, vel duae .llipses, A F U T, A G V S, cit- vile d
i l lograminum in eadem basi, & altitudine cuin semiportione, A G ' ς' Dd , li, ut
233쪽
H, ut etiam parallelogrammum, D H, est in eadem basi ,& altit dine cum semiportione, A B H; sumatur utcunque in , A H, pumetum . U, S per ipsum ducatur ipsi, F L parallela, O lecans cur uam, Asia, in , N, CG, in , I, curuam, AF, in , Μ,&, DF, tu, Ex o.l.t. E. Igitur quadratum, F H, ad quadratum, N eius O, erit ut rectangulum, V H A, ad re-MbQu' ctangulum,U O A, ut quadratum, G H, I ... ad quadratum, N V, ergo quadratum, FH, vel quadratum, Eo, ad quadratum, EMO, erit ut quadratum, Io, ad quadra- Flum, O N, ergo, E O , ad , O M , erit ut, IO, ad , O N, est autem, E O, ducta utcunque parallela, ET, &sunt parallel gramina, D H, ClI, in ij idem balibus, & , altitudinibus cum semiportionibus, Α F Η,
Coroll. 3. AGH , ergo omnes lineae parallelosiain-
6- tib mi, D H, ad omnes lineas senii portionis, F A H, erunt ut Omnes lineae parallelogrammi, C H , ad omnes lineas semiportionis. AGi '' ' H, ergo parallelogrammum, D H , ad semportionem, A F Η, erit ut parallelograminum, C H , ad lenai pol ticnem, A G H, ergo, per mutando, DII, ad , C H, parallelogrammum erit, ut lemi portio,
. , . A F H, ad semiportionem, A G H, ergo ut, D H, ad , C H, ut --λ' basis, F H, ad basim, H G . vel vi, F T, ad , G S , ita erit semipOrtio, A P H, ad semiportionem, A G H , vel sic eorum quadrupla .Lita erit circulus, vel ellipsis, A F VI', ad circulum, vel ellipsim, AGUS, quod, &c.
HI 2 c etiam babetur, quoniam quadratum , Eo, ad quadratum, O M , est ut quadratam , IO, ad quadratum, O s , idcIrco, quod
eadem pacto, tuata Th. antecedens , concludere possumus omnra quadrata , D H, ad omn/a quadrata, C H , esse, ut omnia quadrata fem, portionis , AF H, ad Omuιa quadrata semjortionis , G H , vel ντ omnia quadrata circuli, vel ellipsis , AF U T , ad omnia quadrata circuli, vel ellipsis , AGU S, funt autem omnia quadrata parallelogram F. Lib. a. mr , D H , ad omnia quadrata parallelogrammi, C H, Pt quadratum, FH, ad quadratum , GH, babetur ergo anquam, quod omnia quadrata
circuli, vel ellipsis , AFU T , ad omnia quadrata circula , vel ellipsis, A GV S , sunt ut quadratum, FH, ad quadratum, H G, Nel ut qua dratum , F T, ad quadratum , GS ci cci sint ut quadrata fecundorum
234쪽
L I B. E R C II I. THEOREM A X. PROPOS. XI.
CIrculus, vel ellipsis ad quemlibet circulum, vel ellipsim
habet eandem rationem,quam rectangulum sub ipsius coniugatis axibus, vel diametris, ad rectangulum sub istius coniugatis axibus, vel diametris, aeque tamen diametris ad inuicem inclinatis.
Sit circulus, A B C D, cui us axes coniugati sim, AC, BD, eentrum , O, ductis vero per puncta , A, C, parallelis ipsi, B D, F L, Q.
G ,&per puucta , B, D, parallelis ipsi , A C, LG, FG, ut sit, FG,
rectangulum circulo, ABC D, circumscriptum , sit, ST UI, quislibet circulus, vel ellipsis, cui rectangulum, E R , sit circuinscriptum, habens - A vIatera parallela coniugatis ax bus, S U,TI. Dico circulum, A B C D, ad ellipsem, S T VI, elle ut rectangulum, FG, ad rectangulum, E R ; producatur, S V, hinc inde, ita vi, N Κ , sit aequalis, O A,
axes intelligatur, Κ T, M I, ellipsis, vel circulus,& productis tangentibus, 4' E, I R , ut occurrant ipsis, H Κ, M P, sit rectangulum, H P, circumscriptum ipsi, Κ T MI, ellipsi, vel circulo, habens latera coniugatis axibus, KM,T I, paral-Iela : Est ergo ut rectangulum, FG, ad Exantae. rectangulum, H P, ita circulus, A B CD, ad circulum, vel ellipsim, Κ T MI, quia iunt ambo circa , A C, K M , axes Ex aate aequales; item parallelogrammum, HP, ad parallelogrammum, E R, est ut circulus, vel ellipsis, Κ T M I, ad circulum, vel ellipsim, S T V I, ergo ex ςqua Ii rectangulum, F G, ad rectangulum, E R, erit ut circulus , A B CD, ad circulum, vel ellipsim, S T Ul. Sit nunc, A B C D, ellipsis, ut etiam, S T UI, poterit esse, quod, A C, B D, sint non axes, sed coniugatae diametri, & , F G, parallelogrammum , Oportet autem lumere in ellipsi , S T , V I, coniugatas diametros, b U, T l, ita ut aequaliter sint inclinatae
ac iplae, Λ C, B D, tunc enita circumscripta parallelogramma, licet
235쪽
licet non sint rectangula, tamen erunt aequiangula, unde aequiangulum erit parallelogranam. Is P, ipsi, E G, & ellipses , ABCD, ΚT M I, erunt circa, A C,ΚM, aequales diametros, ita ut si lisper. ponerentur ad inuicem isti elliptes, ut, Κ M, esset in , A C, ipsa, TI, esset in , B D, & ideo eodem mindo ostendemus , ut supra ellipses, ABCD, STUI, esse inter te, ut parallelogramma illis eircumscriapta, FG, ER, de quia illa sunt quiangula habebunt rationem ex
ratione laterum composillam , sed Lib. a. etiam parallelogramma rectangula sub elidem lateribus habent ra- - Η 'Σtionem copo li tam ex ratione e rundem laterum , ergo ellipsis, AB C D, ad elliptim, SI VI , erit ut parallelogrammum, F G, ad parallelogrammum, E R, sibi aequiangulun .ut rediangulum sub, FL,LG, vel sub , BD, AC, da- metris , ad rectangulum sub , TI, S V, diametris, patet igitur circinium, vel ellipsin, A B C D, ad cir eulum , vel chlipsm, S 1 Ul, esse ut rectangulum sub ax bus, υcl dia. metris , A C, B D, ad rect angulum sub axibus, vel diametris , S U, , T I, quae diametri aeque ad inuicem inclinantur, qued oliandere
HI P c ergo colligitur , qae ad Τsand a irrculos comparatur ad cisiseulum , illi sunt interser, νοῦ ratangulasab eoruru axIbas. t. vi quadrata axιum, O ideo fuat m dupla ru one axirem siue diametro . rum, quanda vers cIrculus compa Iur ad eli ipsim . erit ad illum , visur axis quadratum ad rectangulun sub ax ibus Al siis . Desitque, si elisl sis comparetur ad ellipsim , erit ad illum, H rectatantum sub axibus illius ad rectat gulum sub axibus alterius , Pel νt rectangulum sub dia. metris coniugatis semper intellige, nisi atrad ad tun illos ad re stari. Iulum subdiam ris criterius , qua ut praedicti aquair ter ad ruurcem fmni in mala ; vel tandem , ripa coelogramma illis eireumscripta,
236쪽
uoram latera sintpraedictis diametris parallela, qua ideo sunt ἀνι gula, uniuersalirer stri pradi fissunt ueνθ, Hraralmogramma rectangula, vel aquiangula rilis circ umscripta a Vnde et am habetur para telogramma rectragula illis aircumscripta esset νς parallelogramma . aqu/angula pariter illis circumscripta.
HI C viterius solligitur, quod qν cresque de binis paralles .grarum s Uensa sunt ira Theorem. s. 6. 7. 8, liba . praes*Istis coddσι Ib4s tEIς cooperatιs cIrea eorun bases, altitudines , vel circa eorum latera, eadem o de ellipsibus verseabuntur easdem condit oves in proprjs axibus , vel diametris babentibus; nam bis positis parallelogramma illis circumscrip/a , aPOMula babent in suis i teribus, vel in basi, oe altriadine easdem conditiones, unde sicuti di .ctae conclusiones seqquntur pro parallelura ramis circumscriptis, ira etiam verificantur 'ro inscriptis ellipsibus, ad quas dicta parallel gramma habent easdem ratιones, vi probaeum est, qua igitur bιο μμ iisaut pro ellipsibus ad inauem comparatis o leca , per supracitata TMoremata supplentur, pro ciscuos a Gem bο tantum habems, quo J , sint, vi eorum axi u in , να si maai; d Me diametro A quad tu ε, non aliaque circa eosdem variatio contingit .
Colliguntur ergo hac de biclis ellipsibus .s quod qua sunt circa egu, dem diavietrum, sunt ut relua fecunda diametri ia
OVacunq; ellipses babent rationem ex axibus , vel diametris coa iugaris, aequaliter ad inaicem inclisatis compositam.
237쪽
- Imiles ellipses sunt in dupla ratione suorum axium, vel diametra in rum homologarum, vel H eorundem quadrata .
ΡRo cireulis autem tui supra ditium est) hoe tantum babetur, quod
sint νt diametrorum quadrata, vel in dupla ratione diametrorum et neque illis alia variatio contingit ,scuit ellipsibus competere ex superioribus compertum est.
THEOREM A XI. PROPOS. XII. OV cunq, de omnibus quadratis parallelogrammorum,
appositas ibi conditiones habentium, ostensa sunt in Theor. 9. Io. I i. I a. 1 3. lib. a eadem de omnibus quadratis circulorum , vel ellipsium illis inscriptorum c regula in utrisque altero axium, vel diametrorum coniugatarum v tificabuntur.
Patet haec propositio, nam omnia quadrata circulorum, vel el-Coroll. r. lipsium tregula altero axium, vel diametrorum sunt subs xquial- juF tera omnium quadratorum parallelogram uiorum, qu:bus inscrubuntur, latera habentium diet: s axibus , vel diametris parallela; habentibus autem illis appositas ibi cond:tiones in tuis lateribus,eedem adsunt in axibus, vel diametris circulorum, vel cllipsium , quibus circumscribuntur,& e contra; & ideo conclusiones , quae collectae sunt pro illis in dictis Theor. etiam pro omnibus quadratis circul rum , vel ellipsium illis inscriptorum,ut demonstratς recipi pollunt , cum sint eorum partes proportionales, iisdem regulis pro omnibus quadratis circulorum , vel ellipilum , & pro omnibus quadratis parallelogrammorum illis circumicripcorum , assuinptis .
238쪽
THEOREM A XII. PROPOS. XIII. SI eirculum , vel ellipsim duae rectar lineae in terminis
coniugatarum diametrorum tetigerint inter se conuenientes, eisdem diametris ductis. Omnia quadrata consti-ituti paralleIogrammi ad omnia quadrata trilinei a di et is tangentibus ,& ab inclusa curua comprehensi, regula altera diametrorum, erunt ut dictum parallelogrammum ad sui reliquum, dempto quadrante circuli, vel ellipsis iam di et ae. quod inscribitur praedicto parallelogramino , simul cum eX- cessu dicti quadrantis super duas tertias iam dicti parallelo gramm i, quae ratio erit proxime, Vt a I. ad 2. Sit circulus, vel ellipsis, A B C D, cuius diametri coniugatae, AC , B D, in quorum terminis, C, D, duae rectae lines ipsum tangentes inter te conueniant in , U. Dico ergo sumpta regula qualibet d.ametrorum , ut, B D, quod omnia quadrata parallelogrammi, o V, ad omnia quadrata trilinei, D C U, duabus tangentibus, D TV C, & ab ijs inclusa curua, D C, comprehensi sunt, ut idem parallelogrammum , O V, ad sui reliquum dempto quadrante, O C D , circuli, vel ellipsis, A B C D, simul cum eo spatio , quo idem quadrans excedit
duas tertias parallelogrammi, O RSumatur intra, O C, utcunque pun
e uin, E, & per, E, ducatur ipsi , BD , parallela, E F, secans curuam, DC, in , I. Omnia ergo quadrata pa rallelogrammi, O V, ad rectangula sub parallelogrammo, O U , & 1emi- portione, O C D, sunt ut p*rallelo grammum , O V, ad eandem semiportionem, o C D; sed eadem ad ro. lib. a. Omnia quadrata seni portionis, O C D , sunt sexquialtera, ergo ad residuum erunt ut parallelogrammum, O U, ad residuum semiporistionis. O C D, demptis ab ea, i, parallelogrammi , OV, quarum idem parallelograminum, O U, est sexquialterum; residuum autem rectangulorum sub parallelogrammo, O U ,& semiportione, O CD, demptis omnibus quadratis semiportionis, O CD, sunt rectam vidεἱbIAgula sub semiportione, O CD, de trilineo, CD V, nam veluti in, dicta.
239쪽
E F, ducta, utcunque quadratum, EI, detractum a rectangulo sub IE, E F, relinquit rectangulum sub , EI, I F, ita in caeteris sequitur; De. dicta & illis simul collectis sequitur etiam , quod detractis omnibus quais Pro C. i. dratis semiportionis , O CD, 1 rectangulis sub parallelogramaicuo ii 3- U . &semiportione, OC D, relinquantur rei tangula sub semipo tione, OC D, d trilineo, DCV, ad haec igitur, quae sunt dictum
residuum, omnia quadrata parallel grammi,Orierunt ut parallelogram-mum , o V, ad residuum semiporti
nis, o C D, ab ea demptis, i, parablelogrammi, O V i eadem autem Omnia quadrata parallelogrammi, o V,
ad rectangula sub parallelogrammo. Per C. 3. ΟU,& semiportione, o C D, .i. ad omnia quadrata semiportionis, o CD, una cum rectangulis lub semipo
. tione, O C D, & trilineo, C V D, sunt ut parallelogrammam , O U, ad semi portionem, O C D,ut paulo supra in hac demonstratione ostem dimus, ergo, colligendo, omnia quadrata parallelogrammi , o Rad omnia quadrata semiportionis, OC D, una cum rectanguus bis sub semiportione, o C D,& trilineo, C V D, sumptis, erunt ut paraIlelogrammum, o V, ad semiportionem, V C D, una cum excessu, quo dicta semiportio, o C D, excedit, i, parallelogrammi , Ο
V, ergo, per conuersionem rationis, Omnia quadrata parallelogram- per D.La. mi, O U, ad omnia quadrata trilinei, D C V, quae remanent detra. 2. a. ctis omnibus quadratis semiportionis , O C D, una cum rectangulis
sub illa, & sub trilineo, D C V, bis sumptis, ab omnibus quadratis parallelogrammi , Ο V; veluti detracto quadrato, EI, una cum re Etangulo bis sub , EI, I F, remanet quadratum, I F, 3 ad omnia quadrata trilinei, DCV, erunt ut parallelograminum, O ad residuum, detracta semiportione , O C D, una cum excessu, quo ipsa superat duas tertias parallelogrammi, O v , a dicio parallelogrammo, o V.
Est vero parallelogrammum, O U, ad dictum spatium residuum
. . proXimε, ut a I. ad 2. nam si supponamus parallelogrammum, O U, esse 2I. erit semiportio , o C D , earumdem partium proxime I 6. I, jadviIns. est .n. ad eam, sicut rectangulum , quod esset circulo, vel ellipsi, ABC D, circumfer imum, habens latera ipsis , AC, BD, axibus p rallela ad eundem circulum, vel ellipsim .i. vi I . ad II. proxime, ut ostendit Archimedes lib. de Dimensione Circuli, est .n. vi I ad II. ita M. ad 16. . , ruri usi dux tertiae Parallelogrammi, OU,lunt I les
240쪽
semiportio vero. O CD, quae est proximE MLI, excedit, i, paraI
ximh rs. hoc si detrahatur a toto parallelogrammo , OU, quod est 2I. relinquentur a. erit ergo parallelogrammum, O U, ad hoc residuum proxime, ut a l. ad a. unde & Omnia quadrata parallelogram- mi, O U , ad omnia quadrata trilinei, D C V, erunt proxime ut a I. ad 1. quod erat ostendendum.
patet, si nos praecise sciamus, quam rat ionem habeant omnia quadrata parallelogrammi, O U, ad omnIa quadrata tritinei, DCV, quia etiam scinus, quam rationem habeant omnia quadrata, cD , ad omnia quadrata semiportionis , Oc D , sciemus etiam , quam rautionem habeant eadem ad rectangula subsemiportione , OC D , O trilineo, D C V , bis sumpta, ct item nota erat ratio ad eadem femel sumpta, qua si iungantur omnιbus quadratis Iemiportionis , OC D, compo Percaac nemur rectangula sub para. lelogrammo , OU, O semiportione , lib. O CD, ct fiet nota ratio omnium quadratorum, O U , ad rectangula subparialelogrammo , O V , O semiportione , O CD, quae est eadem comiti, et, quam habet parallelogrammum, OU, ad semiponionem , O CD, O ideo bee erit nota, sicut etiam erit nota ratis parallelogramma cuinculo , vel ellipsi, A BCD, ιιrcumscripti, habentis latera parallela ipsis, a QBD,ad eundem circulum,uel ellusim, B C D, ct hinc habere. tur c xcvlι quadratura; Ideo quarendum est,quam rationem habeant pra-οιIe omnia quadrata,D V,ad omnIa quadrata trilinet, CDV ; quod bacuse Me nec aliss, nee mihι compertum esse potuit.
THEOREM A XIII. PROPOS. XIV. SI circa parallelogrammi rectanguli quodlibet laterum ἰ
tamquam circa diametrum integrorum, semicirculus, vel semiellipsis, etiam ipso non existente rectangulo, debcripti fuerint, circumsesentia autem circuli, vel curua elli piis non pertingant, neque secet oppositum praedicto latus, sit autem regula parallelogrammi basis: Omnia quadrata dicti parallelogrammi ad omnia quadrata figurae, quae reli quis tribus parallelogrammi lateribus dempto eo, quod E e a pro