Geometria indiuisibilibus continuorum noua quadam ratione promota. Authore P. Bonauentura Caualerio ..

281쪽

nicum, E D P, esse subduplum portionis is haerae, vel sphaeroidis, DE ' haec autem etiam ah alijs ostenta lum. Verum si ligurae similesiam dictae non sint circuli, vel elli-Ples, sed aliae utcunque figurae, ut CX.g. quadrata, veluti in figuris in. tra elliptes exempliticare volui, i ametros homologas in Iaguris gen tricibus habentia , adhuc eaedem rationes supradictis erunt inter iii

solida ad' inu cem similaria genita ex , F P,& portione, D E Ρ, si ueex triangulo, EDP, & portione,D E P, bases haben ta quadrata SἔPatet autem hic, qu ad solidum si . milare genitum ex , F Ρ, balem ha hens rectilineam, sicuti est prisina, ita & hoc nomine vocari potcst magis particulari, veluti & solidum limitare genitum ex triangu lo , E D P, nomine pira nidis vocari potest, dum basi.n habet recti ineam in Deniq; uniuersalillimE habetGrratio quorumcumque duorum s lidorum genitorum ex , FP,& portione. D E Ρ, siue ex triangulo, DE P, & portione, D E Ρ, iuxta re. lam , D P, quacunque in similius figuris variatione facta. Quae autem in huius Theorematis decla. ratione antinaduersa sunt, memoria teneantur , nam & sequentia Gonsimili methodo , sed breuiori declarabimus; sussiciat autem tot figuraru variationes in duabus tantum exemplificasse, quas solido. rum indicant bases, nempe cireuulus , & quadratum, inlcriptum eidem circulo , habens utrunq; dia. metrum ita figura genitrice, impo- flerum enim cuin sine figurarum coas pone id aegre fieri ponit una tantum positione concenti erimus,

282쪽

ea nempE, qua omnes figurae similes circuli esse lupponuntur, cael ras ergo variationes ex hir facillime auidus veritatis indagator propria marte comprehendere poterit, quae pro huius Theor. declarat. ad teq. quoq, dilucidat. latis esse reor.

COROLLARIVM ID

IN Propositione secunda , expolita figura Coroll. antec. consoris miter, patet , quam rationem habeat inlidunL similath genitum ex , D N, id est cylindricus in basi figura dei cripta a basi, Ρ tu , cuius latus est, H N, ad iobidum sibi similare genithm ex portione, V C BF R ,. L cia omnes figurae similes ipsus, D di , fiat circuli diametro in , DN , habentes ,& omnes figurae similes portionis, UC BFR, fiat pariter cireuli recte axem, B O, lecantes, & diametros in eadem portione sitos habentes, qui circuli sint genitricibus erecti J cylindrus, DN, mi portiouc in sphaerae, vel sphaeroidis, V C B F R. vel si figurae sint reisti lineς, patet ratio, quam

habet prisma, D N, ad iolidum sibi sinitare genitum ex portione, U C BF R, circuli, vel cllipsis , B C O p.

Ductis autem rectis, B Ρ, Ρ N , tet similiter ratio, quam habet cinnus , Η Ρ N , ad portionem sphaerae, et sphaeroidis, U C B F R, siue pyram s , B P N , ad lolidum similare

genitum ex triangulo, B P N. , si tellige ieruper hqc lolida inuicem genita iuxta regulas in Theorematibus assumptas, ne toties id repetatur fiue tandem, quam ha I uniuerIaliter lolidum similare geni tum ex , DN, vel triangulo, B PN, ad sol dum sibi similare genitum ex portione, V C B F R-hoc si, B st axis, quod si tantum sit diameter eaedem rationes colligemur admodum superioris Theorematis. Esterso in figura cylindricus, DN . ad portionem sphaerae , veIlphaeroidis, V CBP R, vel prisma, D N, ad iolidum similare genitum ex portione, U C B F R, vel tamdem quodlibet lolidum similare genitum ex , D N, siue quilibet cylindricus genitus ex , D N, ad solidum sibi similare genitum ex poristione , V C B F R, ut rectangulum sub , b A,& tripla, A O, ad rectangulum sub , B M, S sub composita ex , M O, O A. Solidum vero similare genitum ex triangulo, B P N, siue sit conus, siue diramis,

silc tantum conicus, ad sibi sitatare genitum ea portiove,V C B F R,

283쪽

fue hoc sit portio sphaerae, vel sphaeroidis , siue tantum solidum s milare genitum ex portione, V C B F R, ut rectangulum, B A O, siue quadratum, B A, ad rechasgulum iub, BM,& iub composita ex, MI Propos. O, O A , nam sicut rectangulum B A Ο, est tertia pars rectanguli δε. lib. sub, B A ,& tripla, A O , ita solidum similare genitum ex triangulo, B P N, est tertiat arc solidi s daris genitii ex , R N, unde patet, &c.

COROLLARIUM III.

IN Proposit. tertia colligitur, quam rationem habeat solidum si4milare genitum ex , B F, siue sit cylindrus, siue priima, siue tantum conicus, ad sibi smyare genitum ex portione circuli, vel ellipsis, IC F S, siue hoc sit frustum sphaers, vel sphaeroidis, siue tantum solidum similare genitum ex portione, IC F S, siue, A D, sit axis siue non, qui eadem est ei, quam habet rectangulum, D R A, ad rectangulum sub , D R,&sub composita ex , I, R ἹM; & ex, M A, una cum rectangulo sub , R M, & lub composita ex , ὲ , RSolidum autem similare genitum ex triangulo, M C F, siue sit conus, siue prisma, sue tantum cinnicus, ad sibi similare genitum ex poristione, I C F S, siue hoc si frustum sphaerae, vel sphaeroidis, siue tantum solidum similare genitum ex tali por- tatione, I C F S , erit ut rectangulum, D R A, ad rectangulum sub composita ex , M D, D R , & sub sex. uialtera, M A, una cum rectangulo sub composita ex , M D, &upla, D R , & sub , I, M R, siue , At , sit axis, siue tantum di meter, quq iuxta antecedet tum de .la ationem facile percipi possunt.

COROLLARIVM IV.

IN Propos. quarta patet ratio, quam habet solidum simila rege. ntum ex, G X, quod apparet in luperioris figura, ad sibi similare genitum ex portione, IC F S, quae ratio ibi conlpiciatur. Cois

284쪽

π NCorollario Propos. quintae, si suppisnamus notam raticinem, I quam habent omnia quadrata, AF, ad pmnia quadrata trian. guli, A EC, Mi quam habent Omnia quadrata ,.XR, ad omnia quadratg.trapeti , Id b. R, veluti iam eam notam reddidimus, colligimus , quam rationem habe t Omnia quadrata, A F, ad reliquum, demptis omnibus quadratis semicirculi, vel semiellipsis, DB F, ω quam rationem habeant Omnia quadrata, XR, ad reliquum, dein ptis omnibus quadraris portionis,Y T iI, 6c ideo patet, quam rationem habeant omnia qMadrata, A F, ad om nia quadrata tem circuli, vel semielli. psis, D B F. ει quam rati mem habeant omnia quadrata , X R, ad omnia quadrata portionis, Y TI unde p- Paret,quam rationem habeat solidum similare .genitum Cc, A Fάria fix Iindrus , siue prisma, siue tantum cylindricus , ad solidum sibi similare gonitum ex semicirculo, vel semiellipsi, DB F, liue hoc sit haemisphaerium, sue haemisphaeroides, siue tantum solidum similare illi, genitum eri DB F. Item patet, quam rationem habeat solidum similare genitum ex , X R, quodcunque illud sit, ad sibi similare genitum ex poristione , Y T I R. Eodem pacto manifesta fieret ratio solidi similaris geniti ex , AG ,.ad sibi similare genitum ex portione , V B ita in reliquis Inventae igitur sunt alio modo a prae dictis, rationes s lidorum inuicem similarium genitorum ex parallelogrammis in basi aequali secundae diametro constitutis .f. in basi aequali ipsi , DF,&circa eo idem axes, siue diametros utcunque portionum , Y B R , TYR I, D Ti F, &, D B F. quod explicare opus erat, & in supra pinsta figura modo solito declaratum est, sed tantum unico exemplo ne ipsa conis erctur is CO

285쪽

o Elo M E T R I A COROLL. VI. SECTIO PRIOR

IN Propos. sexta.& eiusdem figura apparet solidum similare v. nitum ex circulo, vel ellipsi, A B CD, siue sit sphaera, vel sphaeroides, vel tantum solidum similare, ad solidum sibis milare genitum ex altera portionum, BAD, BCD, utramuis, ut ex , B A D, sue hoc sit portio sphaerae, vel sphaeroidis, vel tantum solidum similare genitum , B A D .cta ut par elepipedum lubaltitudine. XC, bassi quadrato, C Α , ad parallelepipedum sub altitudine,XE, basi quadrato, E A. vel ut cubus, in C,ad pa rallesepipedum sub altitudine tripla, EG hasi quadrato, Λ cum cubo, A E.

VNde eulligitur in Cortalario solidum similare genitum ex poditione, B AD, ad sibi similare genitum ex portione, B C D, esse ut parallelepipedum lub altitudine, X B, basi quadrato, E A, ad rarallelepipedum sub altitudine, O A E, basi quadrato, EC, qu iacunque sm illa solida similana, siue sit, Λ C, axis, siue tantum

diametero

IN Propos. sepisna colligitur soliis

dum similare senitum ex portlΟ-ne, B A F, ad sibi similare genitum ex portione , C A D, siue haec lolida sint portiones sphaeri, vel sphaeroidis, siue tantum solida similaria , siue . A N, si axis, siue tantum diameter, esIe ut

parallelepipedum sub altitudine , X E, Dasi quadrato, E Α, ad parallelepipedum sub altitudine .X M , basi quadrato, M A, ut exemplificatur in praesenti figura more solito.

286쪽

COROLLARIUM VIII.

IN Propos. octava discimus a data sphaera, vest phaeroide, vel in. lido quocunque genito ex circulo, ves Ellipsi, iuxta regulam, quet

fi vaa ex ordinatim applicatis, abicindere portionem, quae ad solidum sim . lare sibi genitum ex triangulo in eadem basi, & circa eundem axim, ves diametrum cum portione constituto, habeat datam rationem, quam Oportet esIe maiorem lex qui altera; quae omnia ibi clare patent, & ideo figuram non appono.

COROLL. IX. SECTIO PRIOR.

IN Propos. nona patet ratio, quam

habet solidum similare genitum ex circulo, vel Ellipsi, iuxta regulam pri mum axim, vel diametrum, ad lolidum smilare genitum ex eodem , iuxta secundum axim, vel diametrum tamquam regulam, sue haec solida sint sphaera, vessphaeroides, vel tantum lolida similaria, quae in his appositis figuris clare patent, in quarum una conlpici pote ilip hqroiades prolatum, in altera oblongum, prindicta autem ratio est ea, quam habet prima axis, vel diameter ad secundam axim, vel diametrum: quq etiam pro reliquis lolidis ad inuicem similaribus in nifesta sunt.

SECTIO POSTERIOR.

IN Corollario autem eiusdem Theorematis colligimus esse notam

rarionem omnium quadratorum duarum portu num circuli, vel

ellipsis absci; larum per viteas, quarum una sit parallela primo, ait ra iecundo axi, vel diametro, quales sint in appositis figuris porti nes, B M S, V Ρ X, unde etiam nota erit ratio solidorum similarium, B M S, V P X, ex ipsis genitorum, unum iuxta regulam, B S, alterum iuxta regulam, V X, siue sint haec portiones sphaerae, vel lphazmidis, siue lolida similaria genita ex portionibus, B M S, V F X.

287쪽

GEOMEΤRIAE COROLL. X. SECTIO PRIMA

IN Propos. ra. dicimus , quod si zrculi, vel ellipies habuerint latuis coniugitis axibus, vel diametris eas conditiones, quas tu posuimus in ede lateribus parallelogrammorum In Thmr.9. i C. Ii. 12. I 3. Lib. 2. quod pro eorum circulorum, vel ellipsi una omnibus quadratis regula basi sequentur caedem conclusiones ibi collectae, ii enim his circu. nictabantur parallelogramma latera habentia axibus, luel diametris coniugatis circulorum, vel ellipsium parallela, habe bunt haec parallelogramma requisitas conditiones in suis lateribus.& ideo sequentur iam dictae conclusiiones pro pacallelogrammis , &consequenter pro omnibus quadratis elliptium illis inlcriptorum, cum haec sint subsex qui altera omnium quadratorum parallelogra morum illis circuinscriptorum id est ut clariuς loquar, si circulus, ð piis, vel duce ellipses fuerint circa eandem diametrum, vel circa aequales diametros, ves axes, erunt omnia quadrata eorundem rem. lis secundis axibus, vel diametris, ut omnia quadrata parallelogram morum illis circumscriptibilium, latera habentium dictis axibus, vel diametris parallela , regalis ei idem retentis, & quia omnia quadrata parallelogrammorum, latera basibus aeque inclinata aequalia habemtium regulis basibus, sa at ut quadrata basium, ideo omnia quadrata circulorum , vel ellipsium circa eundem axim, vel diametrum, vel aequales constitutorum, erunt ut quadrata lecundoruin axium , vel diametrorum, & ideo iolida similaria genita ex ipsis iuxta easdem regulas, erunt ut quadrata secundorum axium, vel diametrorum, quae solida, vel erunt lphaera, & iphaeroides, vel ambo sphaeroides circa eundem axim, vel diametrum, vel lolida silmilaria genita ex dictis circulo, euellipsi, vel duabus ellipsibus iuxta dictas regulas, quae quoque erunt inter te, ut quadraca iecundorum axium, Vta dio

metrorum is

QVod si in dictis figuris circulo, & ellipsi, vel ellipsibus sumatur

pro regula communis axis, vel diameter, erunt omnia quadrata eorundem inter se, ut secundi axes, vel diametri inter

se, & sic etiam erunt solida similaria ex eisdein genita iuxta dictam regulam, in quibuo includitur sphaera, di Ipharoules.

288쪽

ITem colligimus solida similaria genita ex circulo, & ellipsi, vel

ellipsibus, utcunque iuxta datas regulas .i. spharam,& sphaeroides,&alia quaecunque solida similaria gcnita ex dictis figuris, habere inter te rationem ex eorum axibus, vel diametris coniugatis compositam.

SECTIO IV.

IVem colligimus solida similaria genita ex circulo, vel ellipsi, vesellipsibus, quae habeant axes, vel diametros reciproce quadratis axium illis coniugatorum re pondentes iuxta quae genita, intelligantur,eise aequalia, dummodo vel una in utrisque sumantur axes, vel Vna diametri aequaliter ad inuicem inclinatae: & si haec snt aequalia, illa esse reciproce relpondentia.

SECTIO R

ITem habemus, quod sphaerae,&similia sphaeroideia, & in uni

uersum, quod solida similaria genita ex circulis, vel ellipsibus h bentibus axes, vel diametros in ratione secundorum axium, vel di metrorum , cum quibus aequaliter sint inclinati, quod, inquam, sint in tripla ratione axium, vel diametrorum .i.ut cubi eoi undem. Haec enim demonstrata de omnibus quadratis parallelogrammorurn pro omnibus quadratis circulorum , vel ellipsum, tamquam corundem partibus proportionalibus dum illis inscripta intelliguntur recipi possunt.

COROLLARIUM XI.

IN Prop. ra. colligemus solidum smilare genitum cx,ΟU, quod potest esse vel cylindrus, vel pri ma, ad sibi similare genitum ex trilineo, D C U, esse ut, O V, ad reliquum spatium, dempta quarta Lirculi, vel ellipsis, OC D , cum excessu dicti quadrantis iuper duas tertias, rectanguli, OU, idest proxime, vi 2I. ad a. Exponatur de huiusTheor. figura tantum rectangulum, O V, cum quarta , OC D, dimissa, E F. si igitur intelligemus , OV, circa, D V, manentem re Ii Plui, quoad redeat, unde ducessit, describetur, ab, c, V, cylindrus, 9 A. idest solidum similare genitum ex , OV, cuius omnes figurae

289쪽

s miles sunt circuli, semidiametros in figura genitrice, o V, habentes , a trilineo autem, DC V, describetur quoddam solidum, quod Vocetur, Apex sphaeralis, si , O C D, sit quarta circuli; vel sphaeroidalis, si , O CD, sit quarta ellipsis, idest solidum similare, quod potest dici genitum ex trilineo, D C V, habens omnes suas similes figuras circulos semidiametros in figura genitrice , D C V, litos habentes, est igitur inter haec duo similaria solida, quq in particulari

hoc exemplo sunt cylindrus,& apex sphς-ralis, vel sphaeroidalis, ratio eadem supradictς, quam breuitatis causa aliter exemplificare dimisi. Consimili autem unico exemplo .f. assuis mendo pro figurissimilibus ipsos circulos, semidiametros in figuris genitricibus habentibus, breuitatis caula, & ob seruandam in figuris elaritatem imposterum contenti erimus.

COROLLARIUM XII.

IN Propos. Iq. patet ratio solidi similaris geniti ex , F D , ad sol,

dum similare genitum ex figura, F BDE. Apposita. n. hic. illius figura, dimissa, H C, &, Α Ρ, & retenta, B D, tantum in, ridivisa, reuoluatur, F D, circa manentem axim, Z D, modo lupra dicto, ex , FD, igitur fiet cylindrus , F Α, & ex figura, FQB Dd, fiet quoddam solidum rotundum , quod vocetur, Tympanum sphaerale .si, F QB, sit semicirculus, vel sphaeroidale, si, F QB, sit ellipsis, erunt autem haec duo so- Iida similaria genita ex figuris, FD, F Q B D Z, figuras similes cir- Bculos habentia , quorum semidiametri iacent in suis genitricibus figuris , & patet, quod ratio cylindri , F A. ad tympanum sphaerale, vel sphaeroidale, F QR A, est eadem ei, quam habet, B D, ad , D U, eandem autem habet quodli bet solidum similare genitum ex , F D, ad iuuilare sibi genitum ea n

gurare QB D Z, qualecunque sit.

290쪽

L I B E Ro Ilia . COROLLARIUM XIII.

IN Propos i: colligimus solidum similare genitum ex , Η F, ad solidum similare genitum ex figura , N M B E F, demptis solidis smilaribus genitis a trilineis , MN G, GFE, esse ut, H F, ad circulum, vel ellipsim, M B E G. Reuoluatur, H F, circa, N F, mane tem , ut supra, ex , Η F, igitur fiet cylindrus, Η R, & ex figura, NM B E F, fiet quaedam figura, a qua si auferantur soli. da, quae fiunt a duobus trilineis, MN G, GFE, remanebit quaedam figura so. lida,quam vocabimus, Anum tum strictum circularem, si,M B E G , sit circuli1ς Rlliapti cum vero, si sit ellipsis,&Iatebi quam rationem h eat cylindrus,HR, ad hunc

anulum strictum, AI, sicuti uniuersaliter patet ex supradictis quani rationem habeat solidum similare genitum ex , H F, ad solidum sibismilare genitum ex figura, N M B EF, demptis inlidis similaribus 'genitis ex trilineis, M N G, G F E.

IN Propos. a 6. patet, quam rationem habet solidum similare genitum ex , H O, dempto solido similari genito ex , N Ο, ad solidum sibi similare genitum ex figura, M B E O C, dempto solido similari senito ex figura, MG EO C, .i. esse eandem ei, quam habe H