장음표시 사용
301쪽
ad ellipsim, B D M Gi ponatur hic illa figura, &, ut sat nostrum
exemplum, reuoluatur. Α R , circa manentem axim, C Ra cylindrus ergo senitus ex , Α R, ad sol idum genitum inreuolutione ex ellipsi, B DM G, erit vi , A R. ad ellipsim, B D M G, sic etiam, ut diximus. caetera lolida simiularia ex ijsdem per descriptionem smiulium figurarum genita: Vocetur au tem solidum in reuolutione genitum ex ellipsi, BDMG; Anulus strictus vilipticus altera parte latior.
IN Corollario colligitur solidues similare genitum ex, A R, ad so lidum sibi similare genitum ex ellipsi, B D M G , ambo iuxta
communem regulam, F R , esse ut solidum similare genitum ex eo dem, A R. ad iolidum similare sibi genitum ex eadem ellipsi, B D MG, sed ambo genita hixta communem regulam, C R. Exemplum patebit, si concipies, A R, reuolui circa mancntem axim, F R, CDlindrus enim tunc genitus, ab , A R. ad anulum strictum ellipticum altera parte latiorem, genitum ab ellipsi, B D M G, habebit ea dem rationem, quam supradictus cylindrus ad supradictum anulum, et ideo amplius colligemus quoniam, permutando, cylindrus ge nitus in reuolutione circa, C R , facta, ad cylindrum genitum in reo uolutione circa, F R, est ut anulus factus in illa reuolutione ad an RCor. . tum iactum in hac, propterea sicuti primus cylindrus ad secundum Sm .a . est, Vt, FR, ad , R C, ita primus anulus ad secundum erit, ut, FR,hb. . ad , R C, sic etiam erunt 1olida similaria genita ex eisdem, iuxta regulas, FR,RC.
ΙN Proposit. 33. colligimus solidum similare genitum ex , A X. dempto solido similari genito ex , C X, ad solidum sibi similare genitum ex figura , BD MXT, dempto solido similari genito ex figura, B G MX T, esse ut, A R, ad ellipsim, B D MG; quod sit mantur solida similaria genita ex elidem iuxta communem regula maT X, Vel, C R, eandem rationem inter se habere comperientur di. cta residua scilicet quam habet, Α R. ad ellipsim, B D M G. Exponatur Hura, &, ut fiat exemplum, reuoluatur, Λ X, circa manea
302쪽
ni cum in reuolutione exealipsi, B D M G, erit ut, R, ad est ipsi in , B D M; idem accidet, si reum Iulio fiat circa axem parallelam ipsi, R C , inclusam duabus, F A, R C,
Verius, A, C, puucta pro ductis: vocetur autem s liduin genitum inreuolutione ex ellipsi, BDMG, anulus latus ellipticus altera parte strictior
HIne insimus patet, quod fascia solida cylindrica ut ita dicam
in reuolutione circa, T X, genita ex , A R , ad anulum genitum ex ellipsi, is D M G , in eadem reuolutione, est ut cylindrus gemmiuLex , A R , dum reuolutio fit circa, C R, ad anulum stri uim clia lipticum altera parte latiorem in eadem reuolutione circa, C R,. hellipsi , B D M G , genitum; nam ambo sunt, ut, A R . ad ellipsim, B U M G, dem patet pro lolidis similaribus, &c. Quia vero di dia fascia 1blida genita ab , A R , ad cylindrum ab eodem , AB, genitum est, ut residuum quadrati, F X , dempto quadrato, R X, ad quadra tum , F R, cst . n. cylindius genitus ab , A X, ad cylindrum genitum ab , A R , ut quadratum, F X, ad quadratum, F R , cylindrus item genitus a , C X, ad eundem cyndrini genitum ab, Α R , est ut quadratum . R X, ad quadratum, R E, ergo hoc cylindro dempto a cylindro genito ab , A X, reliqua fascia solida s.enita ex , A R , ad cylindrum genitum ex eodem. A R, erv.ut residuum quadrati, F X, ab eo dempto quadrato, R X , ad quadratum, F R, hanc ergo rationem habebit etiam anulus latus ellipticus altera pArte strictior ad 'anulum strictum ellipticum altera parte latiorem ex eadem ellipsi, BD MG .genitum ; quia vero residuum quadrati, F X, dempto quadrato, R X , est rectangulum iub, X R , R F, bis cum quadrato, FR,. idest rectangulum sub , Σ E, F R , cum rectangulo lub, X R, R P, .i. . rectangulum lub compo ita ex , R X. X F,& iub , F R, ideo dictus. anulus latus ad d.ctu .n anulum strictum, crit ut rectangulum sub . composita ex ,RX, X F,&iub, F R, ad quadratum, FR,.i. erit
303쪽
VLterius habemus fascias solidas cylindicas genitas exempli gr. ab eode .n rectangulo, AR, dum fit reuolutio te mel circa, TX , & semes circa parallelam, A C, ad anulos latos ellipticos altera Iarte strictiores genitos in reuolutiun. bus ab ellipsi, B D M G, h, ere eandem rationem scilicet quam habet, A R, ad ellipsim, B DΜG,&idctii ter se dicto anulos emi, ut dictas fascias, dictae autem falciae solidae cylindricae sunt, ut xesidua, demptis a qua 'ratis semidiametrorum basium integrorum cylindrorum quadratis semidiam trorum basium cylindrorum , quas dictae fasciae complectuntur, &ideo dicti anuli inter se eandem rationem habebunt, quam dicta quadratorum residua .
IN Corollario huius tandem dicitur, quod si, B D M G, non
esset ellipsis, tum in Schemate huius, tum Theorematis antecedentis, sed alia utcunque figura habens tamen praedictas conditiones ibi appositas, quod de eadem dicta quoque de ellipsi , B D M G, vorificarentur, nolque hic colligimus, quod Oin a lupradicta aeque, ae de lolidis genitis ab ellipsi , B D M G, de genitis ab ipsa figura palliter verificarentur . Possumus aurem vocare solida descripta per reuolutionem factam circa, C R, a figura, B D M G. Solida an laria stricta altera parte latiorat quae vero fiunt ab eadem peret Ol tionem circa, TX. Solida anularia lata altera parte strictiora.
Possent quidem plura aIia eirea hae solida eonsiderari secentis
planis parallelis, ad axem, circa quem fit reuolutio, existentibus rectis , quam inter se rationem habeant resecta segmenta . Item restat contemplandum solidum, quod nasceretur ex reuolutione dimIdia ellipsis circa non axem ,sed diametrum , vel diametro p et allelam; qua νω Iuta circa diametram folidum dUcribit referens figuram ori; circo πὸ preallelam diametro portionem maiorem ab ellipsi refreantem, δε- scribit quoddim solidum latius ex una parte, quam ex alia, referens figuram mali paradisi, ut vulgb dicitur, ι isca veta parallelam diame ro
304쪽
revoluta, qua ab ellipsi minorem abscindat portionem, describit quosdam solidum referens figuram Fici, pluraque his similia contemplanda remanerent, sed ut studioso Lectori in agro hoc fertilissimo Ialorandi, M.
lumq; excolendi non omnis videatur sublatus esse locus,illius hae inquisitioni reseruare volui his. Aduerte autem in fuperiorιbus licet figura νum assumptι fuerint axes , ut errca eosdem fieret reuolutro , tamen ea dem veriscarι assumptis, qua sunt tantum diametri, nam passiones Seis stionum conicarum eisdem insunt, siue sint circa axes , siue errca tanqrum diametros, ut babetur Libro Prιmo Schesιε Propositιon1seo.
306쪽
In quo de Parabola, ct Elidis ab eadem
gulum fuerint in eadem basi, & citea eundem axina, vel diametrum cum parabola , paraIIeIogrammum exit parabolae sexquialterum , triangulum au tem erit eiusdem parabolae subsexquitertium. Sit ergo parabola, FCH, in basi, FH, circa axim,ves diam erum , C G, sit autem in eadem basi ,F Η,& circa eundem axim, vel diametrum parallelogrammum quoq; AH,&triangulum, C F H. Dieo ergo parallelogrammum , Α Η, esset sexquialterum parabolae .F C IR1riangulum autem, CFH, esse eiusdem Iarabolae, F C Ha subsexquitertium. umatur ergo in , C E , quae tangit parabolam in puncto . C , utcunque pun Oum, N , & per. Ν,ducatur ipsi, C G, νβralicta , N O, producta usque ad b sim, P H, cui occurrae in, O; quae pa riter secet curvam para laein, M,&
per ,Μ, ducatur ipsi basi, F H, parallela , I L. Est ergo quadratum, GH,
307쪽
Schol. walib. I. Coroll. 3. ια lib. L.
G H, vel quadratum, E C, ad quadratum ,ΤM; vel ad quadratum,
C N , ut, G Caad, CI, . i. vi , ON, ad , N M, est autem , C H. p rallelogrammum in eadem basi, dc altitudine cum trilineo , C M HE, &punctum , N , utcunq; sumptum, per quod acta est ipsi , CG, parallela , No, repertumque est, ut quadratum, EC, ad quadratum , C N, ita esse, O N, ad , N M; erso horum quatuor ordinum magnitudines erunt proportionales scilicet omnia quadrata maximarum abscissarum, E C, magnitudines primi ordinis colleeue iuxta quadratum, C E, ad quadrata omniuM atacissarum ipsius, C E, siue ambo sint recti, vel eiusdem obliqui transitus , quae lunt magnitudines secundi ordinis collectae, iuxta quadratum , CN, erunt Ut Oin nes lineae parallelogrammi, C H , magnitudines tertij ordinis collectae, tu ta, N O, ad omnes lineas trilinei C MΗ E, magnitudines quarti ordinis col. . lectas, iuxta, N M, regula pro his omnibus lineis existente ipsa, E H; ut a tem sunt omnes lineae parallelogram-
mi, C H, ad omnes lineas trilinei, C MH E, ita est parallelogrammum, C Η, ad trilineum, CMHE, ergo parallelogrammum , C H, ad trilineum, C M H E, est ut quadrata maximarum abscissarum ipsus, C E, ad quadrata omnium abscissarum lysius , C E, verum illa quadrata lunt istotum tripla, ergo erit parali Iogrammum, C Η, triplum ipsius trilinei, C M H E, ergo idem parallelogrammum , C H, erit sexquialterum semiparabolae, G C MEI, ideo etiam parallelogrammum, A Η , erit parabolς, F C Η, se quialterum. Quoniam vero triangulum, C F Η, est dimidium parallelogrammi, A Η, ideo quarum partium parallelogrammum, ΑΗ, erit sex, & parabola, F C H, consequenter ea undem quatuor, triangulum, C F Η, erit tria, & ideo erit ad parabolam, F C H, ut tria ad quatuor,& idcirco erit eiusdem subsexquitertium, quae ostem
HIne patet ductas in trilineo, C au H E, aquidistantes axi, vel di metro , C G, esse inter se, ut quadrata absessarum per easdem drangente, eri versus verticem parabola, qui est punctum. c. nam osten fum est, OR , siue, H E, ac Μ, esse ut quadratum, Ec, ad quadr
308쪽
I intra parabolam ducantur utcunque duae ad axim, vel V ametrum eiuMem ordinatim applicatet Iineet, abscissae ab iisdem parabolae, erunt inter se, ut cubi dictarum line
rum ordinatim applicatarum . Sint ergointra parabolam circa axim, vel diametrum , C G, conlututam, duae ad iplum ordinatim applicatae rectae lineae. F Η Ο Μparabolas, OCM, FCH, abse nutes. Dico ergi parabolam.FC H, ad parabolam, O C M, esse ut cubum, F H, ad cubum, O Me Constuantur circa axes, vel d ametros, CI, C G, & in eisdem batibus, O M, F H, cum ductis parabolis parallelogramma. R H. R M
Quoniam ergo quiangula parat. 1 .Lib.2-lelogramma habent rationem ex lateribus compositam, sunt au- - α σε
tem parallelogramma. Α Η, RM, aequiangula, nam, ΟΜ, est parallela ipsi, FH, ideo parau IOgraminum , Α Η, ad parallelo. graminum , R M, habeb t rati nem compositam ex ea,quam ha bet, Α, ad , Ro, .i. G C, ad, CI, .i- quadratum, F Η, ad quais 38. Sedratum, O M, & ex ea, qaam habet, F Η, ad ,Ο M, sed etiam e h μ' bus, FH, ad cubum, o M, habet rationem compositam ex ea, quam habet quadratum, F Η, ad quadratum, O M, & ex ea, quam ha D.CoroLdet, F H, ad , o M , ergo parallelogrammum, Α H, ad parallelo. q. Geneta grammum, R M, & consequenter parabola, F C H, ad parabolam, lib. R. o C M, quia iunt dictorum parallelogrammorum subsexquialtere erit ut cubus, F H, ad cubum, O Μ, quod ostendere opus erat. -ςς
THEO REMA III. PROPOS. III. - ιSI in parabola ducatur quaedam recta Iinea ad eiusdem
axim, vel Uiametrum ordinatim applicata; agantur de inde ipsi axi, vel diametro arquidistantes recis lineae usque ad curuam parabolicam,& dictam ordinatim applicatam,
quae bassi erit eiusdem parabolae; Dicta aequidistantes rectε
309쪽
lineae erunt Inter se, ut rectangula subpartibus basis ab ebsdem a quidistantibus constituita. I i T. Sit ergo parabola, F C Η. cima axim, res diametrum, C G , ad ,
quam Oidinatim applicetur recta lin*a viciInq; E H , aueantundetari de intra parabolam axi, ves diametro 'o ς parallelae utcun te, AN , MCubastin, F Η, in punctis, NIO, diuidentes. Dico igitur reis' ctam, AN, ad rectam, M o, esse ut rectangulum, F N H, ad rectangulum, F Ο Η ; ducatur per . M , ipsi, F H, parallela, M I; est 38.RtSeh. ergo . G C, ad , CI, ut quadratum, G H, ad quadratum . I M . vel Αφ tib ad quadratum, GO, ergo, per conuersionem rationis, G C, ad, GI, vel ad , M O, erit ut quadratum, HG, ad sui reliquum, dempto quadrato,
G O, hoc autem residuum est recta gulum iub, G O H, bis, una cuin qua-' drato, O H, quod est aequale rectangulo, F OH , nam rectangulum, GOH, eum quadrato, o H. aequatur rectangulo, G H O, .i. rectangulo sub,. I F G, O Η, cui si iunxeris rectangulum . sub , GO,&eadem, O H, coniurget . . mElem. integrum rectangulum, F OH, aequale rectangulis sub , GOH, his, . una cum quadrato, GH, ergo, CG. ad , M O. erit ut quadratum, GH ,..i. vi rectanguluim, F G Η, ad rectangulum , F O H, & com . Elcin. uertendo, M O, ad , C G, erit virectang. H OFi ad rectangulum. HG F. eodem modo ostendemus, C G , ad , A N, esse ut idem rectangulum, H G F, ad rectangulum, P N H, ergo ex aequali, & conuerutendo, A N, ad, M erit Ut rectangulum , F N H, ad rectangulum, F O H , quod ostendere oportebat. Postunt autem vocari S , A N,
M O , ordinatim applicatae ad basim parabolae, P C Η, icilicet ad
SI ad basim parabolae ordinatim applicetur utcunque rocta linea, fiat autem paralleso grammum, & triangulum habentia circa communem angulum dictam applicatam ,&abscissam a basi ab utra uis extremitatum eiusdem, vel sint duae ad basim utcunque ordinatim applicatae, sub alterutra
quarum ,& sub inclusa ab ijs dein portione basis fiat paralle. logrammum,& triangulum, dicti parallelogrammi,vel trianis
310쪽
LIBER I riguli, ad portionem parabolae dicto parallelogrammo inscri
ptam ratio nota erit. Sit parabola, cuius basis, F G, ad axim, vel diametrum, C X, oris dinatim applicata I ad basim autem, FG, sit etiam Ordulatim applicata , AN , utcunq; diuidens basim, F G, in puncto, di , sat autem Parallelograminu in , R N , & triangulum , A f N , lub lateribus, AN, N F, vel sub , A N ,N G; Vel sint duae utcunque aci basim, FG. Ordinatim applicatae, A N , C X, sat autem parallelograirmum, &triangulum lub, A N, N X, vel lub, C X, X N. Lico parallelogra mum, RN, vel triangulum , F A N , ad Portionem, A F N, parabolet. F C G, para telogrammo, RN, inscriptam,e1Ie in ratione nota. Similiter parallelogrammum, Z X, & triangulum,
Producatur, CX, Vt cunque in , E,& circa semiaxes,vel lem, diametros coniuga
tas , F X, X E, intelligatur descriptus somicirculus, vellemi ellipsis , F E G, pro- -
ducantur deinde , R F, Z N, indesinith, secetque, Z N, curvam I micirculi, vel lemi ellipsis , F E G, in puncto, O, S compleantur pa rallelogramma, V N, X, sumatur deinde in , F di , utcunq; Fun ctum , , , per quod ipsi, C E, parallela ducatur, YI, lecans cui uam Parabolae in , I, curuam autem, F E G, in , M ; est ergo, A di , ad , I Ex ante S, ut rectangulum, G N F, ad rectangulum , G S F, eii autem etiam 46. vequadratum, ON , ad quadratum, S M , ut rceiangulum, cx di P, ad Sch. l. i. rectangulum, G S F, ergo; A N', vel, Y S , ad , S I, erit ut quadratum, N O , vel ut quadratum, T S , ad quadratum, S M , iunt autem , R N ,N V, parallelogramma in elidem basibus, di altitudini' coibit. hus cum portionibus, A F di , N F O, & punctum, S , lumptum est io.-a. utcunque, repertumque est, ut , Υ S, ad, SI, ita esse quadiatum, Tia O S, ad