장음표시 사용
311쪽
S Lib. S, ad quadratum, S M, ergo Λ ri uin quatuor ordinum magnitudinererunt proportionale, collectae, Iuxta quatuor iam dictas magnitud nes proportionales . l. om aes linea: lpi us, R di , rumpta pro omnibus communi regula , C E. in ad omnes lineas inlinei, F IH N, erunt ut omnia quadrata, P O, ad omnia quadrata triumet, F M O N ,ra tio autem , quam habent omnia quadrata, E O , ad omnia quadrata trilinei , F MO N, iam notiti cata ei l lib.3. de circulo, de ellipsi Pro POsit. I. ergo & ratio Omnum linearum, R M . .
subinde ratio parat Ielogramini, RN, ad portionem, F I ri, nota erit, & subinde
nota erit ratio trianguli , FAN, quod est
grammi , R N, ad portionem, FI A Naeodem modo ostenis
demus parallelogra mutn , ZX , ad qua- trilineum, N A C Aut omnia quadrata , R X, ad omnia quadrata quadria linei, O N X F, ratio autem, quam habent omn a quadrata, R X, ad omnia quadrata quadrilinei, ON X E, iam notificata est in supra dicto Libro, Proposit. 3. & ergo ratio parallelogrammi, Z X , ad quadrilineum, siue portionem parabolae, A N X C, nota erit, veluti S ratio trianguli, C NX, ad eandem portionem, AN XC, pariter nota erit, quod erat ostendendum. HIne eolligitur dicta paralleb gramma ad portiones parabola sibi
ruscriptas , ordinatιmque ad parabola bii sim applicatis inclusas, esse , ut omnia quadrata parallelogrammorum Iliis e rcgione res ponden-rium , quibusq; inscribuntur semiportiones circuli. Hi ellipsis 1ais diacta ad omnia quadrata ditiarum semiportionum , regula communi oι, vel drametro, C E, existente .. Osensu a .n. est, ' adportrimem, F A
312쪽
O , Z Y, od portionem, AC X de , esse , ut omnia quadrata , I X. ad Omara quadrata quadrilinei, R O E Y, oe,AH, c X, ordinatim ad basim, F G, applicata sumptae sunt utcunq, unde patet.
THEOREM A V. PROPOS. V. D Vctis utcunq ue ad basim parabolae ordinatim appIicatis, parallelogramma sub ipsis, & portionibus basis ab ijsdem abscissis ad tibi inscriptas portiones parabolae inir scriptam rationem habebunt.
Sit ergo parabola, H G A, in basi , HA, circa axim, vel diam trum, GO.&sint ductae ipsi, G O, parallela: utcunque , S T, E C. compleantur autem parallelogramma, LT, BO, DC, deinde producatur, G O, utcunque in , M, & circa lemiaxes, vel semidiam tros , HO. OM, intelligatur, H M A, semicirculus, vel semiellipsis, cuius curuam, S T,
cent ita, V N, com pleatur pariter parallelogramma, Hv, HM, H di, producantur insuper,YM , BG, vique in,
et, , I, quae sunt in lateribus, B R, Yti. igitur paralle- Vlegrammum, L T, Nportionem, H S
quadrata, H V, ad omnia quadrata s m pertionis, hi Tu, regula, G M, pro hac Propos. sumpta)vt. TA, ad compo stam ex , I, T A, &, Ψ, H T, ut patet in labro de Circulo, & Ellipsi
Similiter ostendemus, B O, semiparabolae, H G O, esse sexqu alterum, est enim ut omnia quadrata, H M , ad omnia quadrata, HV M o, idest in ratione sexquialtera, ut patet in eadem Propissit. I. Pariter demonstrabimus, D C, ad portionem, H G E C, esse ut, 4c , ad compositam ex , I, AC, dc,ἱ, CH, sic enim sunt Omnia O o a ' qua
313쪽
quadrata, I N, ad Omnia quadrata semiportionis, II M N C, ut patet in eiusdem Lib. PropUi. I. . Quod si velimus comparare parallelogramma, quae iunt in balibus aequalibus axi, vel diametro , inueniemus in fratcriptas rationes scilicet parallelogrammum, i, T, ad portionem, H h T, esse vi re.ctanguluin iub , H O , dc tripla, O A , ad rectangulum lub, HI, &sub composita ex , T A, &, A O, sicuti lunt Omnia quadrata, H Z, ad omnia quadra a sein portioni S, H T V. Eadem ratione, B C, ad Portionem, H G E
nia quadrata, H I, ad omnia quadrata semiportionis, II HN C, ut patet in eo. dem Lib. 3. Prop. L. Si tandem sumamus parallelogram. mum, P C , cui inscripta est parabolq portio, T S G E C, inclusa duabus, ST, E C, ad basim, H A, utcunq; ordinatim applicatis, siue intercipiantaXem, vel diametrum , GO, siue non, siue axis, vel diameteri G 0, sit altera harum duarum ad basim, H A, ordinatim applicatarum, siue non; reperiemus parallelogrammum, P C , ad portionem, T SG E C, esse ut rectangulum, H O A, ad rectangulum sub , A C, &sub composita ex , I , C T, dc tota, T H, una cum rectangulo sub, ΤC, 6c sub composita ex , Φ, T C, te, I, T H , sic enim elle inueniemus omnia quadrata, TI, ad omnia quadrata quadrilinei, T V MN C, ut patet eodem Lib. PropOLq.
HInc habetur si fiant triangula , duetis , S H , T E , GH, RI', bac
ad portιones, quibus inscribuntur babere eassem rationes , quas habent dιmidia antecedentium ad eadem consequentia seperius exp/ sa, sunt enim γ ipsa triangula G.Iorum o ramuelosi ammorum di dra. THEO .
314쪽
SI ad basim datae parabolae ordinatim applicetur recta Iu
nea, tota parabola ad abscissam portionem per ipsam ordinatim applicatam erit, ut parallelepipedum sub altitudine dimidia basi, sub basi autem quadrato totius basis, ad paraI. I elepipedum sub altitudine linea composita ex dimidia basi, di reliquo basis, dempta abscissa ab cadem extremitate basis, a qua portio parabolae abscinditur,& sub basi quadrato eiusdem abscissae per dictam ordinatim applicatam : Vel erit, ut cubus totius basis ad parallelepipedum sub basi quadrato abscisis, altitudine tripla reliquae, cam cubo dictae abscissae. Sit parabola , HGA . cuius basis, H Α,& axis, vel diameter, GO: ducatur deinde ipsi, GO, utcunque parallela, ST. Dico parabolam , Α G Η, ad utramuis portiOnum, SHT, TS GA, ut ad, SHT, esse ut parallelepip. sub auritudine dimidia , HA, quae sit, A X, illi
ta , basi quadrato, AH, ad parallelepip dum lub altitudine, Tiri basi quadrato , ΤΗ. Producatur , G in, M, & circa lemiaxes, vel semidiam uos, HO, M, i telligatur descriptus semicirculus , vel linovellipsis , H M A - .d de per Pinacia, G, H, ducamur Ipsi , H A, parallela: I B R, y
315쪽
S , usque ad , BN, Υ&,in, P, Z.&per, S V, ducantur, U F, SL, parallelae ipsi, H A, sunt igitur parallelograinnia, B A , A Y, L T, T F, B T, T Y, Ρ A, A Z. Igitur parabola, A G H, ad porcionem, Η S L habet rationem compoticam ex ea, quam habet parabola, HG A, ad parallelograminum , B A, idest ex ea, quam habent omnia quadrata, Η &, regula sumpta pro hoc Theor. ipla, G M, ad omnia quadrata semicirculi, vel semiellipsis, HM A;&ex ea, quam s. Lita, . habet, AB, ad , B T,
s. Lib. 1. idest omnia quadrata δε H, ad omnia Ex ante c. quadrata, H Z; & ex ea, quam habet, B T, ad portionem, HST, idest omnia quadra ta , H Z, ad omnia quadrata semiportionis, HIV, feci etiam omnia quadrata 1emicirculi. vel semiel lipsis, HM A, adon . a quadrata semiportionis, H T V, --hent rationem com-Iositam ex ea, quam abent omnia quadrata semicirculi semiellipsis, H M B, ad omnia quadrata, H S ,&ex ea, quam habent liqc ad omnia quadrata semiportionis, H T V, ergo palia Lb. bolax H G A , ad portionem, ri S T, est ut omnia quadrata, HA, ad omnia quadrata semiportionis, H T V, idest ut parallelepipedum sub altitudine, X A, basi quadrato, A H, ad parallelepipedura . sub altitudine, X T, basi quadrato, T H ; vel ut cunus, A H , ad parallelepi pedum sub altitudine tripla, A T, basi quadrato, TH, curicubo, T H, sic .n. esse Omnia quadrata semicirculi, vel semiellipsis, H LI A, ad omnia quadrata iemi portionis, H v T. Ollenium ea Lib.I. Propos. .
316쪽
tionem, S II T, erat ut omnia quadrata semiportionis , AN UT, ad omnia quadrata femiportionis , H U T, . . ut parallelepipedum sub altitudine linea composita ex , H, H T, basi quadrato, O, ad parallelepipedumsub altitudine, XT. basi quadraro, H T, ut patet in CorolLDPr.rdιc a Propos6. eiusdem Libri 3
SI duae ad basim paraboIae appIicentur utcunque rectar liis
ne ae , abscissae portiones parabolae erunt inter se, ut pa
rallelepipeda sub basibus quadratis abscissarum a basi per
easdem appIicatas ab eadem extremitate, aqua portiones abscisis intelliguntur .a Ititudinibus compositis ex residuis
dictae basis c demptis a bscissis & dimidia totius.
Sit ergo parabola, II G A, in basi, Η Α, ad quam ordinatim apa plicentur duae utcunque lineae , S T, R V, abicindentes portiones, RH V, S II T Dico portionem , R H V, ad portionem , SHT, esse si producatur, A X, aequalis ipsius basis , AH, medietati ut parallelepi pedum sub altitudine, X V, basi quadrato, V Η, ad parallelepipedum sub altitudine, X T, basi quadrato , TH. Est enim portio, R H U, ad parabolam, A G Η, ut parallelepipedum iub altitudine, X V, basi quadra to, V H, ad parallelepipedum sub altitudine, X Α, basi quadrato, AH, item parabola, AG H, ad portionem , H S T, est ut parallele. pipedum iub altitudine , X A, basi quadrato, Α Η, ad parallelepipedum sub altitudine, XT, ba fi quadrato, i H, ergo ex aequali portio, RH V, ad portionem , S H T, est ut parallelepipedum sub altitudine, XV, basi quadrato, VH. ad parallelepipedum iub altitudine, XT, basi quad.ate, i ii, quod Ostendere Opor
317쪽
SI ad basim datae parabolae ordinatim applicetur recta II. nea, sub qua,& sub portione basis abscissa, ac earum exatrema iungente, fiat triangulum, portio parabolae abscissa ad triangulum sibi inscriptum erit, ut ad reliquam basis, dempta abscissa, eadem reliqua cum, ipsius abscissae.
Sit parabola, H G A, in basi, Η Α, ad quam ordinatim applicetur Vtcunque recta linea, S T, fiat autem triangulum sub , S T, di virauis duarum , Η T, T A, ut lub, H T, & lub, S Η, quod sit, H ST. Dico portionem, H ST, ad triangulum, H S T, esse ut compositam ex , AT, & , ἶ , TH ; ad , A T, compleatur paralle.. Huius. Iograminum.CT, ei tergo parallelogrammum, C T, ad portionem, H S T, ut, A T, ad compositam ex , , A T, & ,i,T Η,& antecedentium dimidia scilicet triangulum, HS T. ad portionem, H S T, erit ut dimidia, A T, ad compositam ex , ἰ, A T, &, Φ, T H, idest ut, A T, ad , A T, cum , , IIT,& conuertendo, portio, H S T, ad triangulum, H S T. erit ut composita ex , I, Η T, & tota, T A, ad , T A, quod ollandendum nobis erat.
Potes autem , ct dicta ratio sie eonstitui, triplieatis terminis , scit
cet, quod portio , HS T, ad πι gutum , HS T, sit ut Mia , H A, cum duabus, ε T, ad tres, A T, vel sic, quod sit, ut damidia, H A, cum , T, ad ipsam, A T.
PROBLEMA I. PROPOS. IX. A Dat parabola portionem abscindere per lineam ab
eiusdem basim ordinatim duchim, quet ad triangulum sub eadem ordinatim ducta, & abscissa per eandem a basi parabolae ad eandem partem, ad quam abscinditur portio, habeat datam rationem, dummodo haec sit maior sexquiaItera
318쪽
Hoe Problema soluetur methodo Propos. 8.Lib. . propterea circa ipsum non immoror . . .. Ο
SI ad basim datae parabolae ordinatim applicentur utcuniaque rectae lineae, triangula sub ipsis, & portionibus basis ab ijsdem abscissis,erunt ut parallelepipeda sub basibus quadratis abscissarum a basi, altitudinibus autem residuis ipsius basis demptis abscissis.
Sit parabola, H G A, cuius basis, Η Α, axis, vel diameter, GO.snt autem ductae duae utcunq; ordinatim applicatae ad ipsam basim, H A, ipsae, S T, V X, & iungantur, S Η , V H. Dico triangulum, V H X, ad triangulum, H S T, esse ut parallelepipedum sub altitudine, Α Υ, basii quadrato, X Η, ad parallelepipedum lub altitudine, AT, basi quadrato, T H. Quoniam enim triangula unum angulum
vni angulo aequalem habentia ratio. nem habent ex ratione laterum illis angulis circumstatium compositam, ideo triangulum, V H X, ad triangulum , S H T, habebit rationem com positam ex ea, quam habet, V X, ad,
S T, id est recta ulum, A X H, ad rectangulum, A r Is, S ex ea, quam habet, X H , ad , H T, sed istae duae
rationes componunt rationem paral
lelepipedi rub altitudine , H λ, basi rectangulo, A X H, ad parallelapi- pcdum iub altitudine, H 'I, basi i es angulo, IIT A, .i. parallelepipedi Iehol M. sub altitudine, A X, basi quadrato, X Η, d parallelepipedum sub I.b. i. altitudine, A T, basi quadrato , T li, ergo triangulum, V H λ, ad triangulum, S H Γ, erit ut parallelepipedum lub altitudine, A X, baliquadrato, X H, ad parallelepipedum iub altitudine, A T, bali quadrato, TII, quod erat Ollandendum.
319쪽
HIne apparet, si producat r, G O, utcunq; in, F, σ circa semiaxes. vel semidiametros , HO, OE, defcrιbr intelligatur semicirculus, vel semiellipsiis , HS c, quod, si etiam producantur , ST, V X, tu, H,
Μ, ct iungantur omnia quadata triangulι, H XIII, ad omnia qua Data tria guli , HTH , regula , O E, erunt in ratrone comis posita ex ea, qetam babet quadratum , X M , ad quadratum , T 2η .i. re ct angulu n , A X H , σε rectangulum , A T H , ex ea, quam habet,
X H , ad , HT, .i. erunt, vi parallelepipedum sub altitudine , A X. basi quadrato, X H, ad parallelepipedum sub altitudine , A T , basi la drato, T H .
SI ad arim, vel diametrum datae parabolae ordinatim a se plicentur duς rectae lines eandem secantes, deinde sunt. pio extremo puncto minoris dictarum ordinatim applicat rum ,&alio extremo pun dio maioris dictarum, sed non ad eandem partem Iungantur dicta puncta recta linea I haec diis uidet quλdri lineum duabus ordinatim applicatis inclusum in duo trilipeat Trilineum igitur constitutum in maiori ductarum linearum ad trilineum costitutum in minori tanquam in basi erit, v die a maior ordinatim ductarum , simul cum tertia proportionali duarum, quarum prima est iii placompositet ex minqri, & dimidia excessus maioris super minorem, secunda autem est dimidia dicti excessus, ad eandem minois
Tem, cum eadem tertia proportionali. Sit ergo parabola, cuius basis, B H, axis, vel diameter, N O, dugad ipsam utcunque ordinatim applicatae sint, B H , basis minor ipsa , B H, abscindens parabolam , A N M , luinatur autem utcunque punctium, A, extremum m noris, Α Μ, & punctuin, Η, ad aliam partem de duobus extremis maioris , B H, & iungantur, A, H, puncta recta linea, A H , deinde a punctis, A, M, demittantur
320쪽
E, & iungatur, A G. Dico trilineum, A B H, ad trilineum , A LIH , esse ut, B H, cum, C E, ad ipsam , AM, cum, C E t Prius autem dico portionculam, A S B , esse aequalem portionculae, MI H, ct enim trapezium, ABOR, aequatur trapezi O, ROHM, dc
quadrilineum, R A S B O, ipsi quadrilineo , R M I H O, cum, AU, axis, vel diameter bifariam diuidat omnes aequidis antes ipsi, RH,& ideo omnes lineae quadrilinei, R A S BO, aequentur omnis bus lineis quadrilinei, R M H U, unde dicta quadrilinea etiam sunt qualia , & ideo portionculae, A S B, MI H, inter te iunt aequales ruet. Quoniam, vero portio, A s B C, ad triangulum, A B C , est ut compotita ex P, B C, & ex, C H, ad , C H, ideo, . diuidendo, portion-Lula, A S B, ad triangulum, A B C, erit ut A B C, ad , CH, vel 3d a M., ut, b C , ad triplam, C H, .i. sumpta , B C, communi altitudine, ut quadratum, BC, ad rectangulum lub. BC,& tripla, CH ; est autem triangulum, ABC, ad triangulum, Ad H , ut , CB, ad , B H,' 'idest sumpta communi altitudine tripla, CH, ut rectangulum
sub , B C, & tripla, C H. ad rectangulum lub, B H, & tripla, C H,
ergo ex aequali portioncula, A S B , ad triangulum , A B H, erit ut qua dratum , h, C, ad rectangulum iub , B H, S tripla, H C, quoniam vero, BC, est media proportionalis inter triplam, H C , & iplam , CE , ideo quadratum , B C, aequatur rectan
vir de portioncula, A S B , ad triangulum , A B H, erit ut rectangu- Ium iub, C E, & tripla, CH, ad rectangulum sub , B H , & tripla , C H, idest crit, ut basis, C E, ad basim, B H, ergo, componendo, trilineum, A S B H, ad triangulum, A B H, erit ut, C E, cum, BH, ad ipiam, B H, triangulum vero, A B H , ad triangulum, A CG, vel ad triangulum , A G M , est ut, B H, ad , C G, vel ad, A NI, cli vero triangulum , A G M, aequale triangulo, A H M, ergo trilineum , A S B H , ad triangulum , A M H, erit ut, C E, cum, ΒΗ, ad , A M, est vero trilineum, A S B H, ad portionculam, A S B , vel, MI H , illi aequalem, per conuersionem rationis, ut, B H , cum , C E, ad iplam , CE, ergo, colligendo, trilineum, RS B H, ad triangulum, A H M, & portionculam, MI H, . . ad trilineum,