장음표시 사용
331쪽
DE derisi forte tamen videtur , quod ostendamus has varietates parabolιs contingere posse, nec easdem esse, exempligraria, Meirculor, quibus tantum contιugit se habere, ut diametrorum quadrata . nee alia iisdem accrdit ναιat Φ, propterea subsequens Theorema
THEOREM A XIX. PROPOS. XX. DAto quocunq; parallelogrammo, circa eiusdem duo
latera angulum continentia semiparabola describi potest, cuius alterum eorundem laterum sit basis, alterum axis, vel diameter integrae parabolae, ad quem dicta basis ordinatim applicatur.
Sit parallelogrammum quodcunque, A D, cuius sumantur ut cunque duo latera, A C, C D, circa angulum , AC D. Dico ci ca, AC , C D, semiparabolam describi polle, ita ut alterum ipsorum, A C. C D, sit basis dictae semiparabolae, ait: um sit axis, vel diameter integrae parabolae; Ello quod velimus, C D, esse basim,&, C A, axim, vel diametrum integrae parabolae; applicetur ergo ad, A C , rectangulum aequale quadrato , C D, quod latitudinem faciat ipsam, X A, erit ergo quadratum , CD, aequale rectangulo sub , C Α, A X , &, A X , erit linea, iuxta quam possunt, quae a curua para in ho d. bolae transeunte per puncta, D, A, ii, τ' vertice, Λ, ad axim, vel diametrum, A C, ordinatim applicari possunt; erit ergo quaedam semiparabola, cuius curua transibit per puncta, A D, in baii, C D, ex illante, AC, axi, vel diametro imtegrae parabolae, sit auteri dicta lemiparabola, A C D, quod osten dere opus erat. Coa
332쪽
HIne liquet , si cuilibet parallelogrammo es inscriptibilis
rabola tali pacto, quo dictum ess, quod varietares, qua paralleologrammu contangunt, etιam ipsis parabotis competere pissunt
O Mnia quadrata parallelogrammi in eadem basi, Be cIn
ca eundem axim, vel diametrum cum parabola, regu la basi, sunt dupla omnium quadratorum ipsius parabolae romnia vero quadrata parabolae sunt sexquialtera omnium quadratorum trianguli in eadem basi,& circa eundem arim, vel diametrum eum ipsa constituti. Sit ergo parabola, cuius basis, V F, axis, vel diameter, E M, 'st etiam parallelogrammum , io P. & triangulum, E U P . in
eadem basi, V P, & circa eumdem axim, vel diametrum, E M. Dico, omnia quadrata, A P, r gula , U F, Omnium quadrat rum parabolae, VE F, esse duisla: Omnia vero quadrata par olae, U E F, omnium quadratorum trianguli, V E F, esse sexisquialtera . Sumatur intra, E Μ, utcunque punctum, N, per quod ipsi, V F, agatur parallela, N D, secans curuam parabolς in , O; est ergo quadratum , M F, vel quadratum, N D, ad quadratum, N O, Vt, M E , ad , E N , est austem, E F, parallelogrammum in eadem basi, & altitudine cum se ismiparabola, E M F, regula eii, M F ,& punistum,N, sumptum ut cunque, per quod regulae parallela ducta est, Ν D, repertumq; est , ut quadratum, D N, ad quadratum , N O, ita esse, M E , ad EN, C' ηδ ergo horum quatuor ordinum magnitudines erunt proportionales Couectae iuxta. dictas quatuor magnitudines proportionales scimΙicet omnia quadrata, E F, magnitudines primi ordinis collectae ima primam scilicet iuxta quadratum, di D, ad omnia quadratat aparabolae , EMF , magnitudines secundi ordinis collectasNSta secundam scilicet irata quadratum, Ilio, αὐ-ῖ vr max.
333쪽
mae abscissarum, E M, magnitudines terti j ordinis collectae iuxta tertiam .s. iuxta, M E , ad omnes abicitas ipsius, M E , magnitud, nes quarti ordinis collectas iuxta quartam .l. iuxta, E N, iumptis maximis abscissarum, E M ,& ei uidem omnibus abicillis, vel recti, ζ' 'I vel eiusdem obliqui transitus; sunt autem maxi inae aburissarum, E, duplae omnium abicissarum, E M, recti, vel eiuldem obliqui transiitus, ergo & omnia quadrata, E F, erunt dupla omnium quadratorum semiparabolae, EM F, & eorum quadrupla .s. omnia quadrata, A F, erunt dupla Omnium quadratorum parabolae, V EF; Quarum ergo partium Omnia quadrata ; A P . eiunt lex, earum omnia quadrata parabolae, V E F, erunt tres, sed quarum partium omnia quadrata , A F, sunt sex, earum Omnia quadrata trianguli, , E U F, tunt duae, quia omnia quadrata, Λ F, lunt tripla omnium in '' ' quadratorum trianguli, E U F, ergo quarum partium Omnia qua drata parabolae, U E F, sunt tres, uarum omnia quadrata trianguli, E U F, erunt duae, ergo Omnia quadrata parabolae, U E F,erunt sexquialtera omnium quadratorum trianguli, U E F, quae ostende
SI ad eundem axim, vel diametrum parabolae ordinatim
applicentur duae rectae lincae parabolas constituentes, quarum altera sumatur pro regula , harum parabolarum omnia quadrata erunt inter se, ut quadrata aΣium, vel divmetrorum earundem. Sinr ergo ad eundem axim, vel diametrum, CG , parabolae, PCΗ, duae utcunque ordinatim
tes , sit autem regula altera harum ordinatim applicatarum, ut, F Η. Dico Omn:a quadrata parabolae , F C H, ad Omnia quadrata parabolae, O C M , este ut quadratum, G C, ad quadratum, CI Constituantur parallel grammum, A H, in basi, F Η, ει circa axim, vel diametrum, C G, & parallelogrammum. R M. in basi, OM,& circa axim, vel diametrum , CI. Quoniam em
334쪽
omnia quadrata, AH, sunt dupla omnium quadratorum parabo lae , F C H, & omnia quadrata , RM, iunt dupla omnium quadra- βη δ Qtorum parabole , OCM, ideo Omnia quadrata parabolq, F C II, ad omnia quadrata parabol*, O C M , erunt ut Omnia quadrata, A H, ad omnia quadrata, R Μ: Omnia vero quadrata , R H, ad omnia quadrata, R M , habent rationem compositam ex ca, quam habet
quadratum, F H, ad quadratum, o M , id est ex ea, quam habet, GC , ad , CI,& ex ea, quam habet, H E , ad , di M , quia ills cum basibus, O M , F II, continent angulos qquales , dus autem rati nes , scilicet, quam habet, G C , ad , C I, & , H E, ad , IN M , .i. GC, ad , CI, componuat rationem quadrati, G C, ad quadratum, CI, ergo omnia quadrata, A PI, ad omnia quadrata, R M , vel omnia quadrata parabolε, F C Il, ad omnia quadrata parabolq, OCM, erunt ut quadratum, G C, ad quadratum, C I, quod ollend
THEOREM A XXII. PROPOS. XXIII.
IN figura Prop. ir sumpta regula ipsa, ΒΗ, ostendemus
Omnia quadrata, PH, ad omnia quadrata frusti , A BI M, este ut, ON, ad compositam ex ,NR,& .RO: Omnia vero quadrata frusti, AB H M, ad omnia quadrata trianguisti , R B H, esse ut compositam ex , O N , dupla, N R , et . RO, ad ipsam, No.
Sumatur in , R Ο, utcunq; punctum, X, per quod regulε , ΒΗ, parallela ducatur, X I', secans curuain parabols in, I, eii ergo qua dratum, O H , vel quadratum, TX, ad quadratum, XI, ut , ON , ad , di x, cst autem paraιielogram multi, R id , in eadem basii, & altitudine cum quadrilinco, ROHM,ti punctum , X, sumptum eit utcunque , ductaque , XT, regulae parallela , repertum est quadratum I x, ad quadratum, XI, este ut d is DN, ad , N X, ergo horum quatuor ordinum magnitudines erunt proportionales.l.Omnia quadrata,R H , magnitudines primi ordinis eqmil collcchq iuxta primam. l.iuxta quadratum, T X. ad omnia quadrata quadrilinei, B MHU, magnitudines secundi ordinis collectas iuxta secunda.L'uxta quadratum , X I, erunt ut maximς abscissarum , O R,
335쪽
magnitudines collectae iuxta tertiam, & quartam .s. iuria, ON, te tiam. &, NI X, quartam, ijsdem recti, vel ei uidem obliqui tran litus sumptis: Quia verti datae rectae lineae, O R, adiungitur , R N, ideo maximae abscissarum, O R, adiuncta, R N, ad omnes abicissas, OR, adiuncta, R N, recti, vel ei uidem obliqui transitus, lunt ut, o di, ad Corol. compositata x,N R,& I. R O, ideo omnia quadrata, R H, ad om. et M. ma quadrata quadrilinei, R M HO vel eorum quadrupla . . omnquadrata, P H, ad omnia quadrata frusti , A B H H, erunt ut, O N, ad compositam ex , N R, Sc l. R O; Et conuertendo omnia quadrata frusti A B H ,I, ad omni i quadrata, F H , erunt ut compolita eI,N R, Si l. Ro, ad , N O, Omaia vero quadrata, P H, omnium qua dratorum trianguli , RBH, iuut tripla . . iunt ut, N Idem, N Ο, ergo, ex aequali, Omnia quadrata fruni, A BHΜ, aa Omnia quadrata trianguli, 6 R H, erunt ut composita ex , N R, & R O ad N O vel ut horum tripla .s. ut componia ex tribus, ta n,&i exqui altera R , ad ipsam, NO, porro si iunxerimus unam, N R, cum, R O, fiet integra, O N, cum duabus, N R, & dimidia, R O. aequalis triplae, N R, & sexqu itterae, R O; ergo omnia qua drata frusti, A B H H, ad omnia quadrata trianguli, RBH, erunt vi composita ex dupla, N R, & dimidia, R cum, N ad ipsam, N O; quae ostendere Oportebat .
V ii autem probatum fuit omnia quadrata, PH, ad omnia qua drata' li, A B H M , esse ut, P O, ad dimidiam , Ost, cum,
uut autem omnia quidrata, PII, ad omnia quadrata parallelo grammi , AG, ut quadratam , HO, ad quadratam, flM , .i. ut, O
ad L. ideo omnia quadrata, P H , ad omnia quadrata fructi, A BFIM, ab iisdem demptis omnibus quadratis, A G, erunt ut, 2 0, ad dimidiam ipsius, O R.
THEOREM A X XIII. PROPOS. XXIV.
SI intra curuam parabolae ducatur utcunq; recta linea laeandem terminata, & ad axem obliqua, deinde intra portionem ab ipsa resectam ducatur alia utcunq; praedictae parallela, agantur autem ab cxtremitate harum parallelarum lineae axi aequi distantes: Vt basis resectae portionis ad distantiam parallelarum ab eiusdem extremitate ductarum,
336쪽
Ita erit alia praedictae parallela ad distantiam parallelarum. ductarum ab eiusdem extremitate secundo dicta .
Sit ergo intra curuam parabolicam, A B C D F, ducta utcunque, BF, oblique lecans a xcm, NII, in eandem sumam terminata, agatur deinde intra portionem . BN F, rerectam a , B F , recta, CD, parallela ipsi, B F; ducantur intuper a punctis, B, C, D, F, axi, N R, parallelae , B O, CV, D G, FH,&a puncto, F, cadat ipsi, di R, perpendicularis, FA, iccans parallelas, D G, NR, CV, BO, in punctis, G, R, U, O, poterunt ergo dictarum parallelarum distantiae sumi in ipsamet, A F , nam ipta per pendicularitcr dictas parallelas secat, erit ergo, o F, distantia parallelarum , B U, FH , ab extremis punctis rectae, B F, ductarum; pariter . U G erit distantia parallelarum, CV.DG, ab extre punctis D,rtim. Dico ergo, B F , ad , F O, cile ut, C D , ad , V GDucantur a pum.. O , D , i pii, V, perpendicularis, D X, secat s , L F, in. M, quoniam ergo anguli, b GP, C X D Hunt recti, is eoiunt in ter te aequales. ite in angulus, O B F, eli aequalis angulo, V l F. S V
, ad , UX, . . ad , VG, quod Ostendere opus erat.
PROBLEMA II. PROPOS. XXV. AS sumpta iterum se perioris figura, dimissa axi, &eLdem parallelis, BO, CV, D G, FH, &ipsa, DR
nguram plenam describere cum portione, BCDF, comin unem habens angulum mixtum si b, BF, ct curva, FDE, qui fit ad punctum, F, ita ut qualibet in dusci ista fistua re a linea ipsi, B F, a qui distanter ducta, sit distantia pa- allelarum axi, Qua: ab extremis punctis eiusdem rectar lineae, productae usque ad curuam parabolicam, duci pc sunt: Ocetur autem haec descripta figura ἱ figura distantiarum
pQrtionis, siue parabolar, BCDF.
337쪽
Quoniam ergo, o F, est ditantia parallelarum ax uctaruati, B F , abscindatur a , B E , recta , F E, aequalis distantiae, FU , insuper intelligatur adhuc ipla , CD, ducta utcunque parallelirectae, BF, terminans in puncta, C D, cu .uae parabolae, & cunsit V G , di stantia parallelarum axi, quae a punctis , C D, ducua tur', abicindatur ab ipla , C D, versus, D, pia, D Z, aequalis ei antiae, V G sic iluctis in portione, BC DF, omnibus lineis, regiala.B F in earundem singulis inteli gantur lumptae distantiae, sicut occeptae fuerunt, E P, Z D, quarum extrema puncta sint incurua Parabolica, F DCB , sint autem in huius curuae ea parte, inquaiunt puncta, DP, patet ergo si lumamus punctum, S, veructa post sonis, B S E , quod dictarum Omnium linearum extrema puast
erunt in cuiua parabolica, quα incipit a vertice, S, & desinit in , riper alia ergo extrema puncta earundem
dillantiarum intelligatur ducta linea, SE E . Dico figuram , S E E , comprehensam recta, E E , curua parabolica, S DE,&linea, S ZE, este huiutinodi, quod, si duxeri nus intra Iplam vi. cunq; ipsi, B F, parallelam, quae producatur usq; ad cucuain parabolicam , huius portio manens in lagura , S E F , erit distantia parallelatum axi, quae ducuntur ab extremis punctis ab eadem producta incurua parabolica signatis. Intelligatur ergo ducta utcunque, D Z, ip F , parallela, & producta viq; ad curuam parabolicam incidens in puncto, C, quoniam ergo, C D, eit una earum , quae dicuntur omnes lineae figurg, B S F , portio eiusdem manens intra figurassi, S E F, erit distantia parallelarum axi, quq ab eiusdem extremis pa 'ctis ductae intelliguntur, & hoc per conitructionem patet , quoniassi
ab ipsa, C D, abicissa eii , Dd, quς terminat in lineam, S Z LJ qualis dict ς di stant i et , ergo figura, s E E , dei cri pia est, sualem p .'blema postulabat; quet vocetur 5gura distantiarum portionis,udes 'rabolet, B SP.
OUia vero osseusum e J, B F, ad distantiam parallelarum ariti
F, ducit.irum , esse ut, C D, ad dis antiam parallelarum punctis , C, D, ductarum , sunt autem , E F, Z D, aequales dimi. t s, ideo erit , BF, ad , FE, ut, CD, ad , Dd, oesic erit
338쪽
IN eadem antecedentis figura ostendemus omnia quadrata portionis, BS F, ad rectangula sub eadem portione,BSF ,&sub figura , SE F, regula communi, BF, esse ut, BF, ad , FE.
Est enim quadratum, B F, ad rectangulum sub , B F, F E, ut, BF, ad , F E; similiter dueta utcunque, C D, parallela regulς, B F, Ostendemus quadratum, CD, ad rectangulum, sub , CD, D Z, esse vi , CD, ad , Dd, est autem vi , B F, ad , F E, ita, C D , ad , D Z , ergo quadratum, B F Kad rectangulum, B F E, erit ut qua dratum, C D, ad rectangulum, C D Z, sic ostendemus quamlibet ductam intra portionem, B S F, parallelam regulet, B F, ad ei uidem portionem inclusam figura, S F E, este ut quadratum, B F, ad rectangulum sub , BF, F Eo ergo quadratum, BF , ad rectangulum '' ' 'sub, BF, FE, erit ut omnia quadrata portionis, BS F, ad rectangula sub portione, B S F, & iub figura, S E F, ut autem quadratum, B F, ad rectangulum sub , B F, F E, ita, B F, ad , F E, ergo omnia quadrata portionis, B S F, ad rectangula sub portione, B S F, & Mgura , E S P, erunt ut, B P, ad , PE, quod Ostendere opus erat.
SI intra curuam parabolae duae utcunque ducantur rectae linee in eande terminatae, quarum una recte, altera oblique axim secet, sint autem constitutarum ab cisdem p rabolarum diametri inter se aequales: Omnia quadrata parabolae per eam , quae recte axim secat, constitutae, regula eadem, erunt aequalia rectangulis sub parabola per obliquam ad axem constituta, regula eadem, & sub figura distantiarum eiusdem parabolae per obliquam ad axem com aitutae.
339쪽
Sint intra curuam parabolicam , B AC, duae utcunquae ducta meandem terminatae , DF, MC, quarum, D F, recte, altera, M C, obliquE secet axem , A P, sit autem descripta linea, H R , ut sit conis nituta, H R C, figura distantiarum portionis, M F C, S ab eodem vertice, H, a quo ducitur linea, HR, ducatur, H Q, parallela axi, AP,& sint diametri, A Z, H O, parabolarum , DAE, MEI C, inter se aequales. Dico ergo omnia quadrata parabolae, D AF, regula, D F, esse aequalia rectangulis iub parabola, M H C, regula, MC,&sub, H R C, figura distantiarum eiusdem parabolae, M H C. Iungantur ergo, D A, A F,M H, H C, &a puncto, M, ducatur, M X, axi . A P, aequi distans, a puncto Vero, C, perpendicularis axi, A P, producta vi q: in, B, tandem a puncto, H, ipsa, HI, perpendicularis ipsi, M C: Omnia ergo quadrata , D A F, par holae, regula, D P, ad rectangula iub parabola, M H C, regula , MC, & lub trilineo, HRC, habent rationem compositam ex ea, Defin. quam habent Omnia quadrata parabolae, D A F , regula , D E , ad 1.l. I. omnia quadrata parabolae, M H C, regula, MC,S ex ea, quamlhabent omnia quadrata parabolς, M H C, regula, M C, ad rectat gula lub parabola, M H C, & l ub trilineo , H R C, regula cadem, MC: Omnia vero quadrata par holae, D M F, rcgula, D F, ad Omnia quadrata parabolae, M H C, regula , M C, sunt ut omnia quadrata trianguli, D A E , regula, D F, ad Omnia quadrata trianguli, M H C, regula , M C, nam omnia quadrata
parabolarum sunt sexquialtera omnium quadratorum trianguloi um in xyaratu . eisdem basibus, & circa eosdem axes cum ipsis constitutorum, regu
lis basibus: Omnia insuper quadrata trianguli, D A F, regula, D R, ad omnia quadrata trianguli, MUC, regula, MC, habent ratio , it ' nem compositam ex ratione altitudinum, & quadratorum basium .i. ex ratione, quam habet, A Z , ad , H I, & ex ratione, quam holbet quadratum, DF, ad quadratum, M C, vel quadratum, ZE, lad quadratum, O C, est autem, A Z , aequalis ipsi, HO, ex hypin cishol. tesi, &, Z F, ipsi , Q C, ergo omnia quadrata trianguli, D A F, ad ir.huius. Omnia quadrata trianguli, M H C, regulis iam dictis, habebunt rationem compositam ex ea , quam haset, O H , ad H I, & ex ea, quam habet quadratum, Q C. ad qu adratum, C O, quia vero trian gut i, HIO, O Q C, sunt aequianguli, ideo, O H, ad , HI, erit ut, O C, ad, C Q, ergo illa habebunt rationem compositam ex ea,quam
habet, O c, ad , C in& quadratum Q. C, ad quadratum, C O, est
340쪽
autem ut, o C, ad , C Q, ita, sumpta, Q C, communi altitudine, rectangulum sub OC, C Q, ad quadratum, Q C, ergo ratio composita ex ea, quam habet, O C, ad , C Q, di quadratum , QC, ad quadratum, CO, est eadem compositae ex ea, quam habet rectan. gulum lub, OC, C Q, ad quadratum, Cia, & quadratum, Cia, ad quadratum, CO,. i. eadem ei, quam habet rectangulum sub , Q C, C O , ad quadratum , C O, . i. eadem ei, quam habet, Q C, ad, CO; ergo omnia quadrata trianguli, DA F, ad omnia. quadrata trianguli , M H C, vel Omnia quadrata parabolae, D A F , ad omnia quadrata parabolae, M H C, regulis iam dictis, erunt ut, QC,
Ulterius omnia quadrata parabolae, MI C, ad rectangula subparabola trilineo , Η R C , regula, M C, sunt vi, MC, ad , C R, vel ad , CX, .i. Vt, O C, ad, C Q, ergo omnia quadrata parabolae, D A F, regula, D F, ad rectangula sub parabola, MPIC , & trilineo, H R C, regula , M C, habebunt rationem compositam ex ea, quam habet, Q C, ad , C O, & ex ea quam habet, CV, ad , QC, idest habebunt eandem rationem, quam habet, . C, ad , QC, idest erunt illis aequalia, quod ostendex pus erat.
HInc patet omnia quadrata parabola , re via , DF, ad omnia quadrata parabolae , N H C, regula, M C, esse ut Vc, ad , c O , vel, X C, ad C N , vel, D F, quae est aequalis ipsi, XC , ad , Μ dum diametri , AZ,HO ,sunt aequales, ut in Theoremate ostensum est.
Poetet ulterius, si intra euruam parabolicam duae utcunq; rectae Iin . oblique axem secantes , dr in ipsam terminantes , ductae fuerint , regula pro qualiber parabola sumpta earum b.rsi , quod rectangula sub dici is parabolis per easdem consitutis , ct sub figura distantiarum earund m parabolarum, inter se erunt aequatra , quotiescunq diametri earundem sint aquales , utraq; enim singillatim aequabuntur omnibus quadra is p rabolae , cuius basis secet perpendeculariter axem eiusdem
qui sit aequaris diametris dictarum parabolarum , O pro qua sit regulaei' dem basis.