장음표시 사용
321쪽
THEOREM A XI. PROPOS. XII. 3A Ssumpta figura Propos. am dimissa recta, A G, & eo
stituto parallelogrammo luper, B H, circa axim , vel diametrum R o, quod sit, PH unctisque, BR,RH, sendemus parallelogrammum , P H, ad frustum parabolae, ASB HIM, esse ut, B H, ad , HC , cum, CE; & trianis gulum, RBH, ad idem laustum esse ut, B H, ad duplam, H C, CE ἀ
Parallelogrammum enim. PII, est ad triangulum, ΑΒΗ, ut dupla, B H, ad ipsam, B H, triangulum vero, A B H, ad sectio culam. A S B , eit ut, B H, ad AC E, ergo, ex aequali, parallel Corol.It grammum, PH, ad sectionculam, ASB, est ut dupla, B H, ad, Mi - C E, & ad duas: portionculas, Α sB , M I Η, erit ud dupla, B Η, ad duplam, CE , idest ut, B H, ad, CE. Item parallelograminum,P H, ad trapezium , A BHM, est ut, BΗ, ad,A M cum dimidio excessiis,. BH, super . A M, .i ad , Α Μ, Vel, CG , G H. ergo, colligendo, parallelogrammum , PH, ad i ectioncula ASB, MI H, eum trape. aio, A B H M, d. ad stustum pax bola i A S B HIM , erit vi, B Η, ad , H C, cum, C Eά Quia Vero trian tum, R B H , est dimidium parallelogramini, P Η, ideo ad stinum, A s B H I M, erit ut diamidia , B H, ad , Η. Ccum ,.C E, d. νι ,BH ,ad duplam, H C, CE , quod erat Ostendendum ia
322쪽
SI ab extremo puncto basis datae paraboIar ducatur usq;as
curuam parabolae supra , vel infra basim c indefinite producta ipsa eurua recta linea: Data parabola ad segmenta sub ductis lineis, & curua ab ijsdem abscissa comprehemsa, singillatim sumpta,erit ut cubus basis ipsius datae para-holae ad cubum rectar lineae dicto puncto interceptae, & alio puncto ei uidem basis productae, si opus sit, in quod cadit rceta linea , quae ducitur ab alio extremo puncto basis resect i segmenti parallela axi, vel diametro ipsius datae parabolae
Sit ergo data parabola, Η Ν B, in basi, Η Β, sumpto autem uno extremorum punctorum, H, B, ipsius basis, H B, ut ipsum, H, ab eo ducatur utcunq; recta linea ,. Η Α, supra basim , H B, & indef-nith producta curua, NA B, alia, HV, lubter basiim, ut sint constituta segmenta, ANH, UB NH, sit autem axis, vel diameter, N O, cui parallelae ducantur per puncta, A U, versus basim , Η Β , productam, si opus. sit, Occurrentes illi in punctis , X , C. Dico ergo parabolam , H N B, ad segmentum, H N A , esse ut cubus, H R, ad cubum, H Cis
Eandem vero ad legmentum νHNBU, esse ut cubum ,ΒΗ,
ad cubum , H X , iungantur puncta , B, A ; B, N; N , Η,
& sit, C E, tertia proportiona lis duarum, quarum primae est tripla, C H, secunda autem ipsa, B C. Quoniam ergo triangula, Coroll. r. NAH, ΒΑΗ , sunt in eadem basi, B H, erunt inter se, ut altitu. 39 butu .dines, vel ut lineae, quae , verticibus , NA, ad bases ductae cum eisdem aequaliter inclinantur .i. triangulum , Η N B, ad triangulum , H A B, erit ut, N O ad , AC , .i- ut rectangulum, Ho B, adrectangulum, H CB .. Inluper triangulum, ΗΝ Β, ad portion-culam, ASB, habet rationem compositam ex ratione trianguli H N B, ad triangulum, H A B, .i. ex ratione rectanguli, Η Ο Β , ' 'ad re tangulum, H C B. & ex ratione trianguli, H AB, ad p
323쪽
xae e. Onculam, A s B, . i. ex ratione, B H, ad , C E, quae duae rationes Mesee componunt rationem parallelepipedi iub altitudine, B H, basi rectangulo , HOB, vel quadrato. OH, ad parallelepipedum lubaltitudine, C E, basi rectangulo, H C B, ergo triangulum , HN B, ad portionculam, Α S B, est ut parallelepipedum iub altitudine , ΒΗ, basi quadrato, Ho, ad parallelepipedum iub altitudine, CE, basi rectangulo, id CB, est autem, ut dicebatur, triangulum, H N B, ad triangulum, H A B, ut rectangulum, H O B, vel qua dratum , Η Ο, ad rectangulum, H C B, idest sumpta, H B, coinmuni altitudine, ut parallelepipedum sub altitudine, H B, basi qua.drato, H O, ad parallelepipedum sub altitudine, H B basi rectam gulo, H CB, ergo, colligendo, triangulum, H N B, ad portio Culam, ASB , cum triangulo, A B H , si licet ad triliueum, H AsB, erit ut parallelepipedum lub altitudine, H B , basi quadrato, HO, ad parallelepipedum sub altitudine composita ex , H B, C E, basi rectangulo, H C B; vel ut istorum quadrupla silicet ut paralle-I epipedum lub eadem altitudine, HB, ba si quadruplo quadrati, HG, idest quadrato, H B, silicet ut cubus, H L, ad parallelepipedum sub eadem altitudine composita ex , HB, CE, basi quadruplo re- .halu ctanguli, HC B. Quia vero parabola, H N B. est lex qui tertia trian guli, HN B, ideo erit ad ipluin, ut loldum sexquitertium cubi, HB, ad cubum, H B, est autem triangulum, H,B, ad trili neu n, H A S B, ut cubus, H B, ad parallelepipedum sub altitudine com posita ex , H B, C E, & iub basi quadruplo rectanguli, H CB, ergo ex aequali parabola, H N B , ad trilineum, H A S B, erit ut solidum sexquitertium cubi, HB, ad parallelepipedum sub altitudine composita ex , H B ,CE, basi quadruplo rectanguli, - H C B: vel ut istorum subsex quitertia silicet ut cubus, H B, ab parallelepipedum sub ea.dem altitudine composita ex ,
H B, CE, basi tri plo rectan. guli, H C B, est enim quadruplum rectanguli, H C B, sexquite ιι.ι,. tiu tripli eiusdem rectanguli; hoc autem consequens parallelepipedum potest diuidi in parat telepipedum sub altitudine, C E, basi triplo rectanguli, H C B, vel basi rectangulo sub , B C, & tripla , C H, 'parallelepipedum sub altitudine, H B, basi etiam rectam gulo sub , B C H, ter sumpto, quoniam vero tripla, H C, & , C B , CE , luat deinceps proportionales , ideo parallelepipedum, quod
324쪽
fit ab illis tribus aequale est cubo mediae idest parallelepipedum iubaltitudine, C E, & sub basi rectangulo ipsius , BC, ductae in tri. plam, CH, a quabitur cubo, BC, remanet adhuc parallelepipe. dbm lub altitudine , ΗΒ, basi ilibus reet angulis, B C H , quod altitudinem , B H , diu dentes in duas s licet in , B C , C H , diuidimus in parallelepipedum sub altitudine, H C, bas rectangulo . Η - 1 e B, teriumpto idest in parallelepipedum lub altitudine, BC, basi Τ 'quadrato. C H , ter sumpto, & in parallelepipedum sub altitudine, 36. I.,. BC, basi rectangulo , BC H , ter sumpto idest in parallelep pedLm sub altitudine , H C, basi quadrato, BC, ter sumpto; parat epipedum ergo sub altitudine composta ex , HB, CE, basi rectangulo, H CB, ter lumpto, aequatur parallelepipedis ter Iub, B C,&quadrato, C H , ter lub, H C, S quadrato, C B, cum cubo, C B , ad haec ergo simul sumpta cubus , HB, erit ut parabola, H N B , ad trilineum, HASB; quia vero parallelepipedum ter lub, BC, 3 . l. ci quadrato, C H , cum parallelepipeeo ter lub, H C, & quadrato,
CB, cum cubO, C B, deiiciunt a cubo, B H, quantitate Lubi, HRideo, per conuersionem rationis, parabola, H Is B, ad legmentum,
B N Α , erit ut cubus, B H, ad cubum , H C. Nunc d ico parabolam, H N B, ad segmentum, H N B V, esse ut cubum, B H, ad cubum, H X; ducatur per , V, ipsi, B H, parallela , V Z, lecans curuam parabolae productam in , Ζ, & a ..huiu punisto, H , ipsi , N O , vel, XV, demittatur parallela, HI, occurrens ipsi, V Z, in , I, cst ergo parabola, B N H , ad parab tam , V B N Η Ζ, ut cubus, B H , ad cubum , V Z, item parabo.
la, V B N H Z, ad segmentum , V B N H, quia, V Η , est supra
basim . V Z, inest ut cubus , Z V, ad cubum, V I, vel , X H; aequalis, VI, quia, XI, est parallelograminum; ergo, ex aequali, parabola , H N B, ad segmentum, H N B V, constitutum per lineam ductam a puncto extremo, Ha basis, B H . properantem infra eandem basim, B H, erit ut cubus, B H, ad cubum, H X, quae
SI intra curuam parabola dueantur utcunque duae redue
lineae in eandein curuam terminantes, par. bola ab una ductarum constituta ad parabolam ab alia constitutam erit,
ut cubus primo ducta ad cubum Iccis lineae , quae, ducit ut
325쪽
per punctum extremum alterius secundo ductae , parallela I rimo ductae, incluta dicto puncto,& alio eiusdem paralle ae productae, si opus fit, in quod cadit, quae ducitur per aliud extremum punctum secundo ductae, parallela axi, vel diametro parabolae per primo ductam constitutae.
Sit curua parabolae , B A E C, intra quam sint utcumq: ductae in eandem curuam hinc inde terminantes . . quod non sint ducta: pM' rallelae axi primo, B C, secundo, A D; ducatur deinde per utrumlibet extremorum punctorum secundo
ductae, ut per, A, ipsa, A F, parallela ipsi , B C, in quam productam, si opus
sit, incidat parallela axi, quae ducitur per punctum , D , aliud extremum ipsius, A D, occurrat autem illi in , F. Dico parabolam , B A E C, ad parabolam , AED, este ut cubum, B C, ad cubum, A P. Est enim parabola, γε huiu B N C, ad parabolam, A N E , ut cubus, B C, ad cubum , A Exxii. ἡξ ixem Parabo , A N S, ad parabolam, AN ED, est ut cubus, Α Ε, ad cubum, A F, ergo parabola , BN C, ad parabolam, AN ED, est ut cubus, BC, ad cubum, AF, quod ostendere opus
π N eadem antecedentis figura, si ducatur intra parabo-I lam, BNC, a puncto, V, sumpto utcumque in curua, BNC, verius basim, BC, ipsa, V X, incidens basi in , X, parallela axi, vel diametro eiusdem parabolae. Dico parabo-'Iam, A N E D. ad segmentum , V CX, e sic ut cubum, A F, ad parallelepipedum ter sub , B X, & quadrato , XC, cum cubo, C. Nam parabola, A N E D, ad parabolam, B N C, conuertendo,
est ut cubus, A F, ad cubum, B C, item parabola, B N C, ad. huies. stginei'Ium , VCX , est Ut cubus, B C, ad parallelepipedum ter iubaltitudine, B X, basi quadrato, X C, cum cubo, X C, ergol, ex aequali, parabola, A N ED, ad Iegmen cum , UXC. erit ut cubus, A F, ad parallelepipedum ter sub , Η Α , & quadrato, X C, cum cubo . A C, quod ostendere oportebat.
326쪽
lineum, V N AI, ad trilineum, VNA BX , esse ut parallelepipedum ter sub , EI, & quadrato, IA, cum cubo . I A, ad parallelepipedum ter sub , CX,& quadrato, X B, 'cum cubo, X B. Similiter trilineum, V EI, ad trilineum , VEC X, esse ut paralleli pipedum ter sub , AI,& quadra to, IE, cum cubo, IE, ad parallelepipedum ter sub , BX, de quadrato, XC, cum cubo, XC.
Trilineum enim , V N AI, ad parabolam, A N E, est ut paral- εAuis.lelepipedum ter suis, E I, & quadrato, IA, cum cubo, I Α, ad cu-hum, A E, item parabola , AN E, ad parabolam , BNC, est ut cubus, A E , ad cubum, B C, S tandem parabola, B N C, ad trili- x.huius. neuita, V Α Β X, est ut cubus, C B , ad parallelepipedum ter sub , CX , & quadrato, X B, cum cudo, B X , ergo , ex aequali, trit Ineum, V N A I, ad trilineum, V N B X, erit ut parallelepipedum ter lub, .diumn E I, & quadrato, i Α, cum cubo, I A . ad parallelepipedum tersub, C X, S quadrato, A B, cum cubo, X B . Eodem modo Ostendemus trilineum. UIE , ad trilincum , V X C , este ut parallelepipedum ter iub, AI , & quadrato, I E , cum cubo, LE, ad parallelepipedum ter lub, d X, di quzdrabo, XC, cum cubo, XC, quod, dcc.
SI duae intra curuam parabolicam ducantur rectae lineae a Xem lac autes, fuerint autem constituatum ab eisdem Parabolarum diametri, ve t axis, & diameter aequales, & ipse parabolae erunt quale S.
sit curua parabo lea, B A C, intra quam ducantur utcunque duς, D F, UC , axem lecantes, i dest non parallela: axi, sint autem, ΛR, HO, diametri, vel axis,& diameter interie aequales. Dic
Parabolam, D A P, esse aequalem parabolae, M HEC; ducatur Qq Per,
327쪽
per, C, ipsi, D P, parallela, C B, & producantur, A R, H Ο, vsqiad, B C, in , P, Q , iunganturque, AC, ΗC,S a puncto, M.
h,.huius. ducatur, Μ X, parallela axi, vel diametro, A P; quoniam ergo, o
Q, est parallela ipsi , MX, & ipsa secat, MC, bifariam in , O, secabit etiam. X C , bifariam in Q : & quia parabola, A B C, ad parabolam , M HEC, est ut cubus , BC, ad cubum . CX, vel vic bus, PC , ad cubum, C Q, ideo semiparabola, Ap C. ad semipa. rabolam , HOC, erit ut cubus , P C, ad cubum , C Q, & eorumdem subsexquitertia .i. triangulum , A P C, ad triangulum, HOC, erit ut cubus, R C., ad cubum, C Qr quoniam vero triangula aequi.
ansula habent inter se rationem compositam ex ratione basium , e . altitudinum, vel linearum a verticibus earundem ductarum aequauliter basibus inclinatarum ; ideo triangulum, A PC, ad triangulum , Η Ο C, habebit rationem compositam ex ratione basis, P R, ad basim , O H, vel, A R, illi aequalem, & ex ratione, PC , ad, Cia, quae vel sunt altitudines, vel lineae ductae a communi vertice, eum aequali inclinatione ad bases, A P, &, Η Ο, productam, quia, A P, Η Q, sunt parallelae, eli autem via P A . ad A R, ita quadratum, P C, ad ἡ quadratum, R F, ergo triangulum, AP C, ad triangulum, HOC , habebitrationem compositam ex ea, quam ha
bet quadratum, P C, ad quadratum , RF, ω ex ea, quam habet, PC, ad C Q, quia vero triangulum, Α Ρ C, ad triangulum, HOC, est ut cubus, PC, adcubum, Cia , ideo ad illud habet etiam rationem compositam ex ea, quam habet, P C. ad C Q, S ex ratione quadrati, P C , ad quadratum , CG, ergo istae duae rationes, icilicet quam habet, PC, ad , C Q, & quadratum, P C, ad quadratum, R P, componunt eandem rationem, quam illae duae, icilicet ratio, P C, ad , C Q, &quadrati, P C, ad quadratum, C Q . est autem in his communis ratio, quam habet, P C, ad , C Q, ergo reliqua ratio, quam habet quadratum, P C, ad quadratum, C Q, erit eadem ei, quam habetidianis. quadratum idem, P C, ad quadratum, R F, ergo quadratum , Cia, erit aequale quadrato, R F,& , C Q, erit aequalis ipsi, R F. Quoniam autem parabola, B A C, ad parabolam, D A F, est vir talium cubus, B C , ad cubum, D F, .i. ut cubus, P C, ad cubum , R F, item ostensum est parabolam eandem, B Α C, ad parabolam, MΗF C, esse ut cubum, P C, ad cubum , C Q, ideo parabola, D A F, ad parabolam , MI F C, erit ut cubus, R F, ad cubum , QC,luntaxi t eae, Q C, R F, inter te aequales, ut Olleatum est, & ideo etiam
328쪽
eorundem eubi sunt aequales, ergo parabola, DA P, erit aequalia parabolae, M H F C, quod ostendere opus erat.
HInc patet, si diametri, A R, Η Ω, vel axis, O diameter sint aqua.
. THEOREM A XVII. PROPOS. XVIII. Exposita semiparabola cum dimidia basi , & axi, vel
diametro totius , & completo parallelogiam mo sub dicto axi, vel diametro.& semibas, descriptaque ellipsis quarta, vel circuli circa axem.vel diametrum , & sem, basim dictam , tanquam circa semiaxes , vel semidiam tros coniugatas integrae ellipsis, vel circuli ; s deinde simmatur utcunque punctum in limi basi , per quod ducatur recta linea ad oppositum latus parallelogrammi paralle la dictae axi, vel diametro, piri io huius inter semibasim . di curuam ellipsis, vel circuli inclusa, erit india propo tionalis inter inclusim oppositis satelibus parallelοSraminini iam dicti, & eadem lemib si, ac curua parabolae. Si vero sumatur punctum in axi , vel diametro iam dicta ,st per ipsum ducatur semibasi parallela, producta usq; ad ιδ tus oppositum parallelogrammi iam dicti, & iungantur
extrema puncta curvae parabolae recta linea, huius portio inclusa inter axim, vel diametrum dictam,& curuam parabolae, e it media proportionalis inter eam, quae includitur lateribus oppositis dicti parallelogrammi , & eam , quae includitur lateribus trianguli sub dicta axi , vel diame. dicta sumi basi constituti.
329쪽
Sit semiparabola, A O C B, in basi, B C, & axis, vel diameter
integrae, A B, compleaturq; parallesogiammum , DB, Scirca, AB, B C, tanquam semiaxes, vel iemidi a metros coniugatas , de cri-hatur quarta circuli, vel ellipsis, A t C B, deinde iumatur in basi, BC, Vccunque punctuin , P, dc per , Ρ, ducaturi pli, A B, parallela, P H, Iecan, curuana parabolae in , X, & cuculi, vel elliptis, A I C, in , I. Dico ergo, l P , es e med amproportionalem nter, H P, P 1,producatur , c. B, verius, B , in , Z , itavi, BZ, sit aequalis, BC, est et go quadratum , A B , vel quadratum, HP, ad quadratum, P I, ut rectangulum , Z B C, ad rectangulum, Z P C, . Vt, A B, vel , Η Ρ, ad , P Σ, ergo ut, H P, ad , PI, ita erit, I P, ad, P 1. 1 ungantur puncta, A, C, & lumpto Vtcunq. puncto, V. in , A B, per ipsum ducatur ipsi, B C , parallela, V F, secans curuam parabolae in , O, & rectam, AC , in,N. Dico ergo, ut, FV, ad , VO, ita elle, V O, ad , UN; est en mquadratum , B C, vel quadratum , F V , ad quadratum, V O, ut, B iΑ , ad , A U..i. vi, B C, vel, F V, ad , V N , ergo erit, ut, F V,ad, V O, sic, Uta, ad , V N, quae ostendere Oportebat.
PArabolae sunt inter se, ut parallelogramma illis circum. scripta latera habentia basibus , di eorundem axibus, vel diametris parallela.
Patet haec propositio, nam dictae parabolae sunt subsexquialteraedictorum parallelogrammorum, di ideo sunt inter se, ut ipsa parallelogramma.
HInc patet, conclusiones, que de parallelogrammis tollecta sunt ιn Propos .6. 7.8.Lib. 2. suppositis quibusdam conditronibus inlato ibus,vel in altitudine,-bali victorum parallelogrammorum,posse colligi etiam pro parabolis ea1 dem conditiones In axibus,vel drameatris, vel altitudιnibus, oe b ibur babentes,quIa enim tunc dicta con
330쪽
ditiones reperiuntur etiam in lateribus eireumferiptorum illis paraialelogrammorum , vel in altitudine, o basi eorundam, quia basis es eommunis, ct reliquum talus axo. vel diametro parabola aquidistans , id osequuntur illico ostensa conclusiones pro parallelogrammis acteongequenter eιιam pro ipsis parabolis , quarum Esa parallelogramma sunt sexquιaltera,recs 1 possunt.
OV id ergo ostensum est parallelogramma,qua sunt in eadem altis dine, esse inter fe, vi bases, oe qua in eadem basi,vel aqualibus batibus , iis inter se, ut altιtAdines, vel ut tinea a verticibus ad bases cum aqAaιι inclinatione ad easdem ducta e ideὸ colligemus etiam para. holas, qua sunt circa eundem axem, vel diametrum, esse inter se, ut bainses; o quae sunt in eadem, vel aequalibus basibus , esse inter se, ut alti . tudines, vel ut linea , qua a vertιcibus eorundem ad bases cum aquati inclanatione ducuntur sue ιlla sint axes sue diametri.
SImilher colligemus parabolas babere rationem compositam ex raotione basium, oe altitudinum, vel linearum, qua a verticibus duincuntur,aequaliter basibus inclinatarum, siue sint axes ,siae diametri.
I Tem parabolae babentes bases altitudinibus , vel lineis 2 vertiessus
ductas aqualiter inclinatis reciprocas erunt aequales a ct parabola quales , quarum diametrι aqualiter ab bases sint inclinata, habebuσebases altitudinibus, vel lineis ductιs d verticibus ad bases aiualιter in-ctinatιs recFrocra.
DEn' parabola, quarum axes, vel diametri, ad bases squaliter in clinati, ad easdem bases habent eamdem rationem , sunt in dupla ratione basium, siue axium , vel diametrorum, vel ut quadrata eorundem a 'R am parallelogramma his parabolis circumscripta sunt similia, ct ideo sunt , ut quadrata laterum bomologorum, qua vel sunt axes, aut diametrι,vel bases dictarum parabolarum , o Meis etiam ipsa parabola sunt, ut quadrara axium, vel diametrorum aequaliter basibus inclin