장음표시 사용
341쪽
THEOREM A XXVI. PROPOS. XXVIII.
SI intra curuam parabolicam duae utcunque ductae fuerint rectar lineae in eandem terminantes, quarum una recte, altera Oblique secet axim ; Omnia quadrata constitutae parabolae per eam , quae axim recte lecat, regula cadem,
ad rectangula sub parabola constituta per oblique secantem axem, regula huius basi, & sub figura distantiarum eius. dem parabolae, erunt ut q adratum axis primo dictae para, holae ad quadratum diametri secundo dictae parabolae.
Sint igitur intra curuam parabolicam, A D H, duae ductae rectae
lineae in eadem terminantes, quarum una rectE, altera obliquE lecet axim, si ergo constitutarum ab ij idem parabolarum diametri sunt aequales, pater veritas Propositionis ex antecedenti Theor. non sint autem constitutarum parabolarum diametri aequales, sint autem
duae parabolas constituentes, AH, recte secans axem, DO, ct CG, oblique iplum diuidens, existatq; axis, D O, maior diametro parabo lae, C E G, quae sit, E M, & sit ducta linea, ER, & constituta. ER. G, figura distantiarum parabolae , CE G. Dico ergo Omnia quadrata
parabolae, A D H. regula , A H , ad rectangula sub parabola. C E G, ct trilineo, E R G regula, C G, esse ut quadratum, D O, ad quadratum, EM, abscindatur ergoab, O D, D N. aequalis ipsi, E M , S pex, N, ducatur ipsi, A H,
parallela, B F. Omnia ergo quadrata parabolae , AD IJ, ad omnia quadrata parabolae, BDF, regula communi, AH, vel, B F, iunt ut quadratum, O D, ad quadratum, DN, vel ad quadratum, E 1.huius. M, sed omnia quadrata parabolae, BDF, regula, B F, sunt aequalia rectangulis lub parabola, C E G,&trilineo, E R G, regula, CG , ergo omnia quadrata parabolae, A D H, regula, A H ad re-EIaatςc. ctangula sub parabola, C EG , & trilineo, ERG , regula, CG. erunt ut quadr4tuta, OD, ad quadratum. EM, quod erat Osica dendum
342쪽
HIne patet ,si dua re linea ad axem obliqua parabolas eonstitue.rint,sumpta pro regula constituta parabola recta eam consitue re, quoniam rectangula sub dιctis parabolis, σ figuris distantiarum ea. rundem ad omnia quadrata parahola, cuius basis sit ad aa im recta quae pro eadem sumatur pro regulaὰ sunt, ut quadrata diametrorum eartinisdem ad quadratum axis ill tus tertia parabola; quod ideo Illa rectangula erunt inter se, ut iametrorum earuηdem parabolarum quadrata fuerint
THEOREM A XXVII. PROPOS. XXIX: O Maia quadrata parabolarum, regulis basibus sunt in
ter se, ut omnia quadrata parallelogrammorum, in eisdem basibus, & circa eosdem alies, vcl diamet rca exiis itcntrum, regulis ei idem basibus. Manifesta est haec propositio , nam omnia quadrata dictarum
parabolarum iunt subdupla Omnium quadratorum eorundem p .huiuBrallelogrammorum, euacm regun5 assumptis, icilicet parabolatum balibus iam dictis.
HIne colligimus conclusiones, qua de omnibus quadratis parallelo. Irammorum collecta foti in Theorematibus P. Io. II. I 2. II. Lib. a. regulis ibidem assumptas, suppositis quibusdam condιtionabas circa altitudines , vel latera aequalitιν basibus inclιnata, ct quadrata basium , vel ipsos bases, νcri cari et tam de omnibus quadratis parabotarum , suppositιs eisdrm conditio .ibus circa axes, vel altitudInes, vel circa diametros aequatiter basibus ι ne ιuatas , O circa quadrata basium, vel eosdem bassi uam bis coηditionibus axibus, vel altitudinibus, vel diametris, ct quadratis basii m, vel ipsis basibus competentibus, etiam altitudinibus , veι ι ateribus paralia lura, umorum , aquaitter basibus ηclinatis, ct quadratis busium, vel eijdem basibus, pariter conveniant,
ηδ quidem parallelin ramma sint in eisdem basibus, ct eirea eosdem xta vel drametros cum parabolis . oe ιdιὸ dime conclusiones, qua tunc S s in colliis
343쪽
colliguntur pro omnibus quadratis dictorum parallelogrammorum, pro omnἰbus quadratis etiam parabolarum etsdem tetscriptiarum , tamqua- pro earundem partibus proportιonalibus, scilicet dimidijs , pariter is vera recit pusuης.
ET quia osse um est omnia quadretia parallelogrammorum in ea. deos altit, diae tanti. . m. regulis basibus , esse inter se , ut qua dea ubi iuni ct exi leu Num in eadem basi esse , ut altitudines , vel etiam, viliter et eυruudem aequaliter basibus inclinata, ideo pariter hic colligemus omaet quadrata parabolarum in eadam altitudine existe tium , regulis bali vos , t Id ut quadrata basium , existentium in ea dem basis esse inter se, ut aιtitudines, vel Pt diametros aequaliter ba sibus inclinatas.
S Imilite qui i ο'ensum est omnia quadrata parallelogrammorum,r
gulis basibus, habere inter se rationem compositam ex ratione quadratorum basium, oe altitudinum, vel laterum aqualiter basibus imelinatorum ; Ideo colligemus , hic , omnιa quadrata parabolarum regulis basibus , habere inter se rationem compositam ex ratione quadrato-νum basium, o altitudinum, vel diametrorum aqualiter basibus im
Co simili methodo eolligemus, omnia quadrata parabolarum reginiis basibus, quarum basium quadrata altitudinibus, vel diametris aequaliter basibus inclinatis reciprocantur , esse aequalia , ct quae sunt aqualia, esse parabolarum, quarum altitudines, vel iametri aequaliter basibus inclinata, basium quadratis recιprocantur.
DEniq; 2 hoe obtinemus . nempe omnia quadrata parabolarum, regulis basibus , quarum altitudines , vel diametrι, basibus a qualiter inclinata, ad easidem bases eandem rationem babeant, esse amrer se in tripla ratione basium, vel altitudinum, vel drametrorum
xqualiter basibus inclinatarum; qui ρmnia clare . O facile patent. THEO.
344쪽
SI duae rectae lineae ducantur, quarum altera parabolam tangat, altera vero axi, vel diametro parabolae aequia distanter ducta eandem secet, in idem punctum concurremees: omnia quadrata parallelogrammi, regula tangente, erunt sexcupla omnium quadratorum trilinei sub dictis tangente, & secante, & curua parabolae ab ijsdem inclusa, comprehensi. Sit lemi parabola, A CB, quam tangat lineae, AD, & a puncto, A, ducta, A B, axis, vel diameter, integrae parabolae, dein de agatur utcunque, D C, parallela axi, vel diametro , A B, secans curuam parabola: in, C, & Occurrens tangenti, A D , in , D, ducatur tandem a puncto , C, ipsi, A D, aequi distans, C B , secans, A B, in , B, regula autem sit, A D. Dico ergo omnia quadrata parallelo- graivini, AC, esse omnium quadratorum trilinei, A DC, sexcuplar omnia enim. quadrata , AC, ad rectangula sub, AC, di semiparabola, A B C, sunt vi, A C, adlam parabolam, ABC, .i. te qui altera .i. ut 6. ad A. Omnia autem quadrata, AC,
ad omnia quadrata lemi palab Olε ABC, sunt dupla ut 6. ad 3. ergo Ornnia quadrata , A C, ad residuum demptis omnibus quadratis seni parabolae , Α Β C, a rectangulis sub , A C. & lemi parabola, A BC , . i. ad rectangula sub semiparabola , A B C , & rilineo, Α D C, erunt in ratione lex-cupla id est ut 6. ad i. ad eadem vero bis lumpta, ut 6. ad 2. quoniam vero omnia quadrata . A c . ad omn: a quadrata semiparabolae, ABC, sum ut 6. ad 3. Vt dictum est, ideo omnia quadrata, AC, ad omnia quadrata te mi parabolae, ABC, ctim rectangulis his sub semiparabola , A B C , & trilineo, A D C, erunt ut 6. ad s. ergo ad reliquum lcilicet ad Omnia quadrata trilinei, A D C , omnia quadrata, A C, erunt ut 6. ad I. idest erunt eorundem sexcupla, quod ostendere Opurcebat.
345쪽
HIue b.rbetur omnia quadrata trilineorum sub tangentibus, ct seis eantibus, veluti sunt, A D , D c, regulis tangentibus , esse inter se, ut o muta quadrata parallelogrim narum sub eisde utauen. ribus, croeantibus , regulis j em tangentibus , quoniam dιctorum erilineorum 6m ii t Iu rbata sunt sex ta ρ artes omnium quadratorum dictorum pirallelorea n uorum, Et ideo pro ipsis etiam has conclusi Geolligemus, scilicet. 1
Sr dicti erili ei fuerint in eadem altitudine , quad omnia quadrua earund' u erunt tuter se, ut basium quadrata .s tangentium; DF G rint dictit ili ιei in eadem basi scilicet tangente, dicta omnia quadrata erunt tuter se, ut altitudines , vel , visecantes aequaliter b*ibus scilicet taugeatibus, inclinata .
ΙTem quod omuia quadrata dictorum trilineorum habebunt inter febrationem compositam ex ratione quadratorum basium, ct ex ratione altitudinum, vel secantium aequaliter basibus , βιlicet tangenti bus, inclinatarum.
PAriter quod omnia quadrata dictorum trilineorum , quorum to gentium quadrata altitudinibus , vel secautibus squaliter tanen tibus inclinatis reciprocantur, esse aequalia; ct quae sunt qualia, es a trilineorum, quorum basium, vel tangentium quadrata altitudinibus , νὼ secantitat squaliter tangentibus Inclιnatis, reciprocantur. E. SE-Disilirco by Coosl
346쪽
TAudem, quod, si diciorum trilineorum secantes ad tangentes eano den3 rationem habuerint, omnia quadrata eorundem erunt o truella ratione tangentium, vel secantis .
EXponatur figura Theor. anteceduntis, & intra paralleclogrammum, AC, ducatur Vtcunqι recta, EF, p rallela ipsi, BC, quae sumatur pro regula et Ostendemus .n. om ia quadrata, A C, demptis omnibusq uadratis semiparabolae, ABC, ad omnia quadrata, EC, demptis omnibus quadratis quadrilinei, M E B C , esse ut quadratum, AB, ad quadratum, B E.
Omnia .n. quadrata, AC, ad Omnia quadrata, EC, demptis omnibus quadratis quadrilinei, E M C B, habent rationem compO- sitam ex ea, quam habent omnia quadrata , A C, ad omnia quadrata , E C, idest ex ea, quam habet, A B, ad , B Ε , & ex ea, ib. i. . quam habent omnia quadrata, E C, ad residuum, demptis ah i)sdem omnibus quadratis quadrilinei, M E B C, .i. ex ea, quam habet, A B, ad I . B E, duae autem hae rationes .f. quam habet, AB, ad , BE, &, AB, ad I. B E, coinponunt rationem quadrati, Α Β, ad re. 'angulum sub , E B, & I. BE, .i. ad dimidium quadrati, B E, ergo omnia quadrata, A C, ad omnia quadrata, EC, demptis omnibus quadratis quadrilinei, M E B C, erunt ut quadratum, A B, ad dimidium quadrati, BE, sunt autem omnia quadrata, AC, demptis omnibus quadratis semiparabolae , A B C, dimidium omnium quadratorum, A C, quia omnia quadrata, A C, sunt du.pla omnium quadratorum semiparabolae . A B C, ergo omnia quadrata , AC, demptis omnibus quadratis semiparabolae, A B C, ad omnia quadrata, EC, demptis Omnibus quadratis ouadrilinei, EMCB, erunt ut dimidium quadrati, AB, ad dimidium quadrati,
BZ, idest ut quadratum, Abi ad quadratum, BE, quod erat demonstrandum .
347쪽
3r6 GEOMETRI nTHEO REM A XXX. PROPOS. XXXII. SI parallelogrammum, & parabola fuerint in eadem bac
si , & circa eundem axim , vel diametrum constituta,
basisque sumatur pro regula: Omnia quadrata dicti parablelogrammi ad omnia quadrata figurae compositae eX parabola , & alterutro trilineorum, qui fiunt extra parabolam, demptis omnibus quadratis ei uidem trilinei, erunt ut dictum parallelogrammum ad dictam parabolam , ad eadem vero cum omnibus quadratis illius trilinei erunt, ut dictum parallelogrammum ad dictam parabolam simul cum . . dicti parallelogrammi .i. Vt 24. ad ι7. Sit ergo parallelogrammum , A F, in eadem basi, D F, & circa
eundem axim , vel diametrum, B E, cum parabola, D B F, regula sit, D F. Dico omnia quassi ata, A F, ad omnia quadrata figurae, C B D F, demptis omnibus quadratis trilinei, BC E , esse, Vt , AF, ad parabolam, D B F, eadem vero ad omnia quadrata fg. C B DF, esse ut, A F, ad parabolam , D B F, cum . . parat telogrammi, A F; quoniam enim, B E, est axis, vel diameter tum parabolae, DB F, tum parallelogramini, A F, ideo si ducatur intra parallelogrammum , A F, utcunq.
recta linea parallela ipsi, DF, portiones eiusdem incluissae trilineis, A D B , CF B, erunt inter se aequales, & ideo para. bola, D B F, erit figura , qualem postulat Prop. 29. Lib. quapropter omnia quadrata, A F , ad omnia quadrata sigurae, CBDF, clemptis omnibus quadratis trilinei , BCF, erunt vi, A F , ad parobolim, DB F. Quoniam vero omnia quadrata, A F, ad omnia quadrata, B F,
sunt ut quadratum, D F, ad. quiadratum , F E . . i. quadrupla .ia ut 2 . ad 6. omnia vero quadrata, Bb, iunt sexcupla omnium qua-3o huius. dratorum trilinei, B C F, .i. ut 6. ad I. igitur omnia quadrata, 1 F,
ad omnia quadrata trilinei, BC F, erunt ut et . ad I. idcst ut, A P, ad tui ipsius ergo omata quadrata, A F, ad omnia quadrata fi
348쪽
gurae, CBDF, erunt vi, AF, ad parabolam, DRF, cum . parallelogramini, A FI parallelogrammum autem, 1 F, est sex. quialterum parabolae, D B P, ad illam , ut a . ad Ita ergo si numero I 6. iungatur , '. eiuldem parallelogrammi , AF, dent I . igitur omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata figurae, CBDF, erunt ut et . a i I7. quod Ostendendum erax.
HIne patet omnia quadrata, F, esse sexquialtera omnium quῶdratorum figura, CBDF, demptis omnibus quadratis trilinei, B C F , nam sunt ed illa , ut , AF, ad paraboιam , BDF, cuius parallelo grammum , AF, Ufexquralterum.
THEOREM A XXXI. PROPOS. XXXIII.
IN eodem antec. Proposit. Schemate ostendemus omnia quadrata figurae, C B D F, demptis omnibus quadratis, BF, ad omnia quadrata , BF, demptis omnibus quadratis trilinei, B C F, esse ut II. ad yzNam omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata figurae, CBDF, ostensa sunt esse, ut a. . ad 37. eadem vero ad omnia quadrata, B F, H ni vi 2q. ad 6. quia iunt eorum quadrupla, ergo ad residuum .s ad omnia φradrata figurae, C B D F, demptis omnib. quadratis, B F, erunt vi 2 . ad II. con uertendo omnia quadrata figuret, CBDF, demptis Om. nibus quadratis, B F, ad Om. nia quadrata , A F, erunt ut II. ad 24. Item omnia qua drata, AF, ad omnia quadrata . B F, sunt ut aq. ad somnia vero quadrata, BF, ad omnia quadrata trilinei, BCF, sunt ut 6. ad I. ergo omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata trilinei, B C F, sunt vi 2 . ad I. eadem vero ad omnia quadrata, B F, lunt Vt a . ad 6. ergo omnia quadrata, A F, ad Omnia quadrata , B F, demptis omnibus quadratis trilinei, B C F, erunt vi 2q.
ad I. er i dulcia Omia quadrata usura. C B D P, demptis o 'bus
349쪽
bus quadratis, BF, ad omnia quadrata, AP , viri. ad 24. ergo a ex aequali, omnia quadrata figurae, C B D F, demptis omnibus quadratis B F, ad omnia quadrata, B F, demptis omnibus quadratia tria linei , B C F, erunt ut 1 ι. ad s. quod erat ostendendum.
THEOREM A XXXII. PROPOS. XXXIV. Assumpta eadem anteced. Theor. figura, si producatur
basis, DF, quae retineatur pro regula I Vtcunq; in , M,&per M, ipsi, B E, parallela ducatur, ΜΗ, cui Occuris rat, AC, producta, in ipso, H. Omnia quadrata, A M. demptis omnibus quadratis, C M, ad omnia quadrata figurae , HBDM, demptis omnibus quadratis quadrii mei, Η BF M, erunt vi, AF, ad parabolam, DB F, id est erunt eorum sexquialtera : Quod facile patebit, quia parabola, DBF, inscripta parallegramino, AF, est figura , qualem p stulat Proposit. 3. . Lib.I. Viterius autem dico omnia quais drata , A ri, ad omnia quadrata figurae, BDM H, esse ut quadratum, D M, ad quadratum, ME, dimidium quadrati, ED, cum rectangulo sub sexquitertia, DE, dc
In constructa figura igitur omnia quadrata figurae, II B D Μ, perrectam, BE, diuiduntur in omnia quadrata semiparabolis, B DC, D. , .L, . in omnia quadrata, B M, & in rectangula bis tu, semiparabola , BDE, & sub E H, nunc drata, A M: Omnia igitur quadr .ita, AM, ad omnia quadrata ,BM, sunt ut quadratum , D M , ad quadratum, 11 E, quod serua. Item. Omnia quadrata, 'A M. ad omnia quadrata, A E, sunt ut quadratum, M D, ad quadratum , DE, omnia vero quadrata , A E, sunt dupla omnium quadratorum ieini parabolae, B D E, ergo omna quadrata, Λ M, ad omina quadrata lemi parabolae, BD E, sunt ut quadratum, Μ D, addi .nidium quadrati, DE, . quod etiam serua. Tandem Omnia
350쪽
HIne apparet, quod methodo buius in Tropos 3 i. Ostendi potera
THEOREM A XXXIII. PROPOS. XXXV.. - , IN eadem anteced. Propos. βgura. o endemus omnia quadrata , B M, ad omnia quadrata figurHBF M Η, esse ut quadratum, E Rad quadratum,M F, cum rectangulo sub E F, & sub , Fbs, una cum quadrati, E F, regula e sdem
Omnia .n. quadrata figurae, Bh MII, per rectam, C F, diuiduntur in omnia quadrata, C M, in omnia quadrata trilines , B C F ἐ& D. Corol. in rectangula bis sub trilineo, bc F,&sub,CM; ad horum ergo fBgula comparemus omnia quadrata, BM; haec igitur ad omnia