장음표시 사용
351쪽
quadrata, C M, sunt ut quadratum, Ε Μ, ad quadratum,M F,quod serua. Item omnia quadrata, B Μ, ad Omnia quadrata , BP, sunt ut quadratum, ME,
ad quadratum, E F, omnia vero quadra ta, B F, sunt sexcupla Omnium quadratorii trilinei, B C F, .i. sunt ad illa,ut quadratum, EF, ad eiusdem i. e
nia quadrata, B M, ad omnia quadrata trilinei, B C F, sunt t quadratum, E M, ad quadrati. E F, quod etiaserua. Tandem omna quadrata, B M, ad rectangula sub, By, F H, . sunt ut quadratum, E M, ad rectangulum sub, E F, F M, rectangu la vero sub, B F , F H, ad rectangula sub trilineo, B F C, & sub , C M, sunt ut, B F, ad trilineum, B C F, nam, C M, est parallelogram. mum idest sunt eorum tripla .i. sunt ut, EF, ad i. EF, .i. virectangulum, E PN, ad rectangulum sub ὁ. E F, & sub, F M, ergo, ex Φquali, omnia quadrata, B M, ad rectangula sub trilineo, B C F, &sub, F Η, erunt ut quadratum, E M , ad rectangulum sub J. E F, &sub, F Μ, ad eadem vero bis sumpta , ut Quadratum, EM, ad rinctangulum bis sub ἰώ E F, & sub, F M, idest temet sub J. E F, sub , ΗΜ, ergo, colligendo,oinnia quadrata,B M , ad omnia quadrata; CM, ad omnia quadrata trilinei, R C F, & ad rectangula bis sub tria lineo, B C F, & sub, F Η, .i. ad omnia quadrata figurae, B F Μ H, erunt ut quadratum, E M , ad quadratum, M F, rectangulum subq. E F, di iub, P Μ, una cum l. quadrati, E F,quod Osundere opus
i πT De eolligimus omnia quadrata, B M , re residuum, demptis a II eisdem omnibus quadratis figura, BFΜH, esse ut quadratum, E Μ, ad residuum, demptis . quadrato. EN, bis omnibus . . quadrato, . F Μ, rectangulo sis, rario ο. F E, cum . quadrati, EF, hoc autem residuum est rectangulum sub , Μ F, sexquitertia , FE, cum L. qua drati, E F; nam si a quadrato, E Μ, dempseras quadratum , F Μ, rema nebunt duo rectangula sub,N F, FE, cum quadratum, F Ε , ulterιπι β ἐ.
352쪽
Tandem ablato t. a quadrato , F E, remanenι e. crusdem quadrari, νιrde omnia quadrata, B tu, ad residua m, demptis omnibus quadratis figura B F N H, erunt ut quadrarum, E IV, is rectangulum sub MF, o sex- qu tertιa,F E, cum ἱ. quadrati, F E.
THEOREM A XXXIV. PROPOS. XXXVI. j
IN eodem Schemate Theor.Prop. 34. ostendemus omnia quadrata figurat, BDMΗ , demptis omnibus quadratis , B M , ad omnia quadrata, BM, demptis omnibus quadratis figurae, BFMΗ, esse ut, EM., cum .EM, dii. ED, ad, MF, cum l. MF, & .FE.
Omnia enim quadrata, A M, ad omnia quadrata figurae, D B HM, ostendimus esse, 3 hulo. ut quadratum , DM, ad quadratum, M E, reei angulum 'sub, ME, S lexquitertia, ED, cum . 'uadrati, E D, ea-cem vero ad omnia quadrata, B M , sunt ut quadratum, o M, ad quadratum, M E, ergo omnia quadrata, ΑM, ad omnia quadrata figurae , HBDM, demptis omnibus qua- Matis, B M, erunt ut quadratum, D M, ad rei tangulum sub, M E , Ssexquuertia, E D, cum . quadrati, E D, S , conuertendo, haec ad illa erunt, ut rectangulum sub sexquitertia, ED, cum I. quadra ti, E D, ad quadratum, D M: Omnia vero quadrata, A M, ad O munia quadrata. B M, sunt ut quadratum,D M, ad quadratum, M E,& tandem omnia quadrata, ΒΜ, ad eorum residuum, demptis '
omnibus quadratis figurae, B H M F, sunt ut quadratum, E M, . ad rectangulum sub , M F, & sexquitertia, F E, cum J. quadrati,i' ' PE , ergo, ex aequali omnia quadrata fsurae, B D M Η, demptis. Omnibus Madratis, BM, ad omnia quadrata, BM, demptis omnibus quadrato figurae, B F M Ην erunt ut rectanguinium iub, M E,& sexquitertia, E D, cum I. quadrati, E D, ad re. Φangulum sub. M F, & sexquitertia, F E, cum l. quadrati, F ε ι quia vero rectangulum sub, ME, Sisquitertia, E D, aequatur re-T e a clare
353쪽
et in tu'o sub sexquitertia, HE, S: sub , E D. quia bases eorum lunt altitudinibus reciproce, & eadem ratione rectiangulum sub sex. qui tertia, E P,& sub, Fri,aequatur rectagulo sub E F, & sexquitertia, FM,ideo supradicta ratio erit eadem et,quam habet rectangulu subiD E , vel, E F,&iubiex qui tertia, EM. cum I. quadrati, D E, idest cum re tangulo sub, E F, & . E Fώ ad rectangulum lub, E F, & sub sexquitertia,FM, cum quachati, EF, idest cum rectangulo sub , E 6cl. EF, dua ante'rqctangulgi ib, E P ridi sub sexquitertia, E M,&sub, EF, & I. E F, coniiciunt rectangulum sub, EF,&sub composita ex I. E F,& sexqui traia , EM; pariter alia duo rectan. gula sub, E F, & E P. & lub. E F, Ssexquitertia, F Μ, conficiant rectangulum sub , E F,&composita ex q. E F,& sexquitertia, FH, ergo omnia quadrata figesrae, BD M H, demptis omnibus quadra. tis, B M, ad omnia quadrata, B M, demptis omnibus quadratis figuarae, d F M H; erunt ut rectangulum sub , E P. & composita ex l. EF, & sexquitertia, E M, ad rectangulum sub eadem altitudine, E F, S sub composita ex E P. & sexquitertia, F M , .i. vi composita ex iis E F, vel I. E D, & sexquitertia, E M , ad compositam ex 4. EF,6EMxquitertia, F MEHest ut, EM, cum . M E,&GE D,ad, HF, cum AM E, quod vilaiidere oportebat.
IN figura Prop. 3a, ostendemus, regula, D F, Omnia qua.drata semiparabolar, D B E, ad omnia quadrata sigurae, C B D F, demptis omnibus quadratis trilinei, B C F , esse ut octa ua pars,D F,ad duas tertias eiusdem iD F, .i. Vt 3 .ad 16.
Nam omnia quadrata semiparabolae, B D Munt dimidium om. nium quadratorum, A F , ideli :sunt ad illa, ut quadrati, DE , ad quadratum, D E , item omnia quadrata, A E, ad omnia quadrata, A F, sunt ut qua dratum , D E, ad quadratum, D F;tandem omata quadrata, D F,ad omnia quadrata figuri, C B D F , demptis omnibus quadratis trilinei, BC F, iunt lexqui altera, idest lunt ut quadratu , DF, ad rectanguluin Iuri DF,& l. DF, ergo, exaequa , Omn a
354쪽
quadrata semiparabolae, B D C, ad omnia quadrata figurae,.C B DE, demptis omnibusqiuadratis trilinei, BGF, erunt ut dimidium quadrati, D E, ut rectangulum sub D F, & lub, D F, ad recta-gulum iub Q. D F,& i , D F, . . ut j. U F, ad i. DF, .i. ut ζ . . DGad I G D F, .i. ut 3. ad Io. quod Ostendere opus erat. -
THEOREM A XXXVI. PROP. XXXVIII.
N figura Prop. 3 - adhuc ostendemus omnia quadratal figurae, I BOMi demptis omnibus quadratis figurae , BΗ M F, ad omniaqμadrata figurae, C B DF, demptis omni bus quia is uilinei, BC F, esse ut, QM, M F, ad, F D.
Quoniam in omnia quadrata , A M. dcmptis omnibus quadratis, C M , sunt ad omnia quadrata fgurae, H B D M , demptis om
3 huius .s. ut omnia quadrati,
Z F,ad omnia quadraata figurae ,. C BDF,
demptis omnibus qda fi ldratis trilinei, BCF, I M lergo, permutando,. I, E F M
quadratis, C M, ad omnia quadrata. A F. erunt ut omnia quadri. fgurae, H B D M, demptis omnibus quadratis figurae, HB F M, ad omnia quadrata figurae , CB Dp , demptis omnibus quadratis trit,nel, BC F, sunt autem omnia quadrata, A Mydemptis omnibus quadratis, C M, ad omnia quadrata . A F, ut rectangulum bis sub , M F, F D, cum quadrato, F D , - rectangulum sub composta ex , T M, M F, & sub; F D, ad quadratum , F D, . ut composita exsD M, M F, ad, F D, ergo omnia quadrata figurae, D M, H B,deinptis omnibus cmadratis figurae C.B D F. dem is omnibus quadra tis trilinei, B C F, erunt ut, D M, M ta ad , F D, quod Ostendoro
355쪽
THEo REM A XXXVII. PROP. XXXIX.
ΙN schemate adhuc Prop. antee. ostendemus omnia qu2 quadrata figurae, HBDM, demptis omnibus quadratis figurae, ΒΗ MF, esse ad omnia quadrata semiparabolae , BD E, ut, D M, M F, ad et i- ipsius, F D.
Nam omnia quadrata figurae, HB DM , demptis omnibus quasnhutiri dratis figurae, B H M F, ad omnia quadrata figurae, C B D F, dem Ptis omnibus quadratis trilinei, B C F, ostensa sunt esse, ut, D M, MF, ad, F D, haec autem ad omnia quadrata semiparabolae, B D E, sunt ut '. F D, ad I. ipsius, F D, a. ut, FD, ad I F D, ergo, ea a rati, omnia quadrata figurae , H B D M , demptis omnibus qua ratis figurae, B H M F, ad omnia quadrata semiparabolae, B D E. erunt ut, D M, M P, ad T q. ipsius, F D, quod ostendere opus erat.
σSI in figuris Propos. 3 a. & 34. ducantur, G P, G V, regu lis, DF, D M,parallelae, ostendemus csi ipsssecauerint parabolam, DBF, omnia quadrata figurae, C B D F, dem piis omnibus quadratis trilinei, B C F, ad omnia quadrata figurae, CBNΡ , demptis omnibus quadratis quadrilinei, BCPO . Vel omnia quadrata figurae, HBDM, demptis omnibus quadratis figura , B Η M F, ad omnia quadrata figurae, H B N V, demptis omnibus quadratis figurae, Η v OB, esse ut parabolam, D B F, ad parabolam, N B O.
Demonstratio praesentis, Theor. erit conformis demonstratio. nibus Prop. I p. zo. Lib 3.quapropter inde petatur.
H Dc colligemus omnia quadrata figura, HRDΜ, demptis omnibus quadratis figura, R HN F, ad omnia quadrata figurae. HB VU, demptis omnibus quadratis figura, B H U O, esse H omnia quadrata figura . CBDP, demptis omnibus quadratu trilιηei, B c F, ad omnia
356쪽
qxadrata figura, e B H P, demptis omnibus quadratis quadrilinet, Ic P χσ utraque esse, ut cubum, DF. ad cubum, P O.
THEOREM A XXXIX. PROPOS. XLI. IN eisdem figuris ostendemus, regulis adhuc Ipsis, D M.
D F, omnia quadrata figurae, C B D F, ad omnia quadruta figurae, CBN P, esi e ut parallelepipedum sub , BE,&I'. quadrati ipsius, DF , ad parallelepipedum sub , B X,&his spatijssimul compositis .s quadrato, XP, . quadrati, N X, & rectangulo sub sexquitertia, N X, & sub , X P: Omnia vero quadrata figurae, HBD M , ad omnia quadrata figurae , HBNU, esse ut parallelepipedum sub , B E, & his spatijs.s. quadrato, M E, . quadrati, ED,& rectangulo sub sexquitertia. D E,& sub E M,ad parallelepipedum sub, B X, & his spatijs . s. quadrato, V X, . quadrati, X N, & re,ctangulo, sub sexquitertia, NX,&sub, X V.
Ducatur per, N, ipsi, B E, parallela, N Q, in utraq; figura, it,
figurae, CBD F, ad omnia quadrata sim.rae,C. B N P,habet rationem compositam ex ea, quam habent omnia quadrata figurae , C B D F, ad omnia quadrata, Α F, . .e ea, quam habent l. quadrati, DF, ad 'quadratum, D F, & ex ratione omnium quadratorum,A P. ad Omnia quadrata, Α Ρ, .i. ex ratione, E B, ad , B X , & ex rationa Omnium quadratorum, A P, ad omnia quadrata, Q Ρ, .i. ex ratione quadrati, G P, vel quadrati, DP, ad quadratum, P N , ω tandem ea ratione omnium quadratorum, P,ad omnia quadrata figuri, C. BN P..i.ex ratione quadrati,NP,ad quadratum,ΡX,cum .quadrati,XN,& cum rectagulo sub sexquitertia,N X,S lub P,harum a tem rat: onum istae. l. quam habent , δ. quadrati,D F,ad quadratum,
357쪽
qui tertia, NX, & sub, X P, conficiunt rationem - l. quailisti,nR... ad haec ipatia ultimo dicta,haec vero ratio, in ea, quam habet , E . B, ad B A., conficit rarion*m parallelepidi sub , B E, Si l. quadra-xi, D F, ad parallelepipedum lub, B X, es cinis spati3s: vltimo dictis, scilicet quadrato,P A, , quadrati,N X,& rectangulo sub sexquiter. tia,N I, & sub, ΚΡ,ergo omnia quadrata figuri,C B D F, ad omnia quadrata figurae,C B ri Ρ, erunt vi pyrali epipedum sub,B E, MI P. quadrati, D F, ad parallelepipedum sub, B X ,&dictis spatiiν timo dictis. t Eadem methodo.compositionis proportionum , summis inedijs omnibus quadratis, A M, A V, QIF, inter omnia quadrata figur irum, H B DM, H B N V, offendemus pariter omnia quadrata Dgurae, FIBDM, ad omnia quadrata figurae, H BN V, esse ut parallelepipedum sub, B E, dc his spatijs .i. quadrato, M E, I, quadrati, E D, & rectangulo sub sexquitertia, D E, & iub, E M, ad parat. lelepipedum sub, B X, & sub bis spatijs .f. quadrato, V X , I. quadrati, X N, & re Vulo sub sexquitertia, X N, S sub , X V, quae erant nobis ostendenda. Ni
SI intra parabolam axi, vel diametro eiusdem parallela
ducatur recta linea incuma , & basim parabolae terminata, quae basis sumatur pro resuda , ducta vero tangente parabolam intermino dici traxis, vel diametri, & producta dicta parallela usque ad ipsam, compleatur parallelograimmu in sub ipsa,& basis maiori portione: omnia quadrata constituti parallelogrammi ad omnia quadrata residuae figurat eodem mclusae parallelogrammo, ab eodem dempto trilineo extra semiparabolam facto,erunt ut quadratum baissis dicti frusti ad quadratum residui eiusdem basi, dempta ab eadem dimidia basis totius parabolae, simul cum I. quadrati huius dimidiae, &rectangula sub sexquitertia talis dimidiae, & eodem basis residuo iam dicto.
358쪽
Mi ergo parabola, Η B M. cuius aris, vel diameter, E G, sis,
H M, ducatur autem intra iplam eidem, B G, parallela, E F , ducta vero tangente, A C, in termino, B ,quae erit parallela basi,H F, proinducatur .venus, F E, illi productae occurrens in, C, & compleatur parallelograminum', A P, regula V ro sit, H M. Dico ergo Omnia quadrata, A E , ad omnia quadrata figurae, C B H F, ese ut quadratum, H F, ad quadratum, F G, '.quais diati, G H, & rectangulum sub se quitertia, H G, & sub,S F. Hete autem erit consimilis demonitrationi secundae partis Theor. 32. ideo inde colligatur.
IN eadem anteced. Proposit. figura ostendemus omnIa quadrata, A F,ad omnia quadrata figurae, C B H F,demptis omnibus quadratis trilinei, B C E. esse ut paralles epipeduui sub , B G, & quadrato,H F, ad reliquum paralleIepipedi sub , BG,&his spatis . s. quadrato, FG, '. quadrati, G H, & rectangulo sub sexquitertia, H G,& sub, G F, ab eo. dem dempto - .parallelepipedi sub, CE, &quadrato, FG.
Nam omnia quadrata, A F, ad Omnia quadrata, B F. ducta peti rad. a. Ε, ipla, E I, aequid istans, H M,sunt Vr parallelepipedum sub, ΑΗ, & quadrato, H F, ad parallelepipedum sub, Bl, & quadrato, IE,
laut autem omnia quadrata, B E, iexcupla O.nnium quadratorum 3 ulus.
trilinei, B C E, ideo omnia quadrata, A F, ad L mnia quadrata triis linei, B C E , erunt ut parallelepipeduin sub , ΑΗ, vel, BG,&lubquadrato, H F , ad parallelepipedi iub , BI, & quadrato, ΙΕ, textam
partem: Quia vero omnia quadrata ,A P, ad omnia quadrata figurae,
C B H F, sunt ut quadratum , H F, ad haec lpatia .s. quadratum FG, - H G Fb quadrati, H G ,& rectangulum sub sexquitertia, H G, & sub , G F, .i. sumpta, B G,communi alta. tudine. ut parallelepipedum sub , B G, ω quadrato, H F, ad parab v v lcle
359쪽
levepipedum sub, BG, & dictis spatijs, ideo omnia quadrata, A F, ad omnia quadrata ngurae, C B lIF , demptis omnibus quadratis trilinei, B CH, erunt ut parallelepipedum sub, B G, & quadrato, H F, ad reli suam, dempta lex arte parallelepipedi sub, B l, ves, CE, ex sta, G, super, E F,'sub quadrato, I E, a parallelepipedo sub, w, & di reis spatijus. quadrato, F G, I. quadrati, G Η, & rectangi sp iexquiincta I I G, & sub, G F.
IN eadem figura Pro . qa. ducta intra frustum parabolae. E BI F, recta, V R, parallela basi, HM , ostendemus omnia quadrata figurae, C B H F, ad omnia quadrata figurae, C B R U , esse ut parallelepipedum sub , B G, & his spatijs .s quadiato, FG. . quadrati. GUA &rectangulo sub sexquitertia, H G, & sub , G F, ad parallelepipedum sub , BS, & sub his spatij si scilicet quadrato, V S, '. quadrati, S R, di rectangulo sub sexquitertia, R S, & sub , S V. 'Huius demonstratio non est alia a demonstratione Propos. t. ideo ibi in secunda eiusdem parte recolaturis
' - THEOREM A XLIII. PROP. XLV. ' '
IN eodem Propos. a. Schemate ostendemus Omnia quadrata figurae, C BHF, demptis omnibus quadratis trilinei, B C E, ad omnia quadrata semiparabolar, B H G, esse treliquum parallelepipedi sub , BG,&his spatijs .s qua drato, FG, ' quadrata, GH,&rectangulo sub , FG,&sex-quitertiaei GHue ab eodem dempta sexta parte parallelepi
Etenim omnia quadrata figurae, CBΗF, demptis omnibus quadratis trilinei, B C E, ad omnia quadrata, A F, conuertendo, sunt ut parallelepipedum sub, B G, & his spatijs, scilicet quadrato. P G, l. quadrati, GH, & rectangulo sub . F G , & sexquitertia , GH, ab eodem dempto t. parallelepipedi sub , C E, & quadrato, F' G, ad '
360쪽
s, ad parallelepipedum sub , B G, S quadrato, IJ F ; item omnia
quadrata, A F, ad omnia quadrata, A G, sunt ut quadratum, FH, ad quadratum , H G, . s. sumpta, BG ,communi altitudine, ut parallelepipedum sub , B G, & quadrato, F H , ad parallelepipedum sub , B.G, & quadrato, H G et Tandem omnia quadrata, A G, dupla sunt omnium quadratorum semiparabolae, B H G, ergo,ex aequali, omnia quadrata figurae, CB Η F, demptis omnibus quadratis trilinei, B C Ε, ad omnia quadrata semiparabolae. B H G, erunt ut parallelepipedum sub, BG,&his spatijs .s quadrato, F G, '. quadrati, G H. & rectangulo sub , F G , & sexquitertia, G H , ab eodem dempto: ἱ. parallelepipedi sub, C E, & quadrato, F G, ad dimidium parallelepipedi sub, B G, & quadrato, G H, quod erat demonstra
IN parabola ducta axi, vel diametro arquiditanter recta
linea, si deinde fiat parallelograminum sub eadem ducta, & sub bas, angulum habcns aequalem angulo inclinationis eiusdem ductae ad basim, regula sumpta basi. Rectan gula sub parallelogrammis, in quae dictum parallelograminmum diuiditur a ducta linea , sunt dupla rectangulorum sub portionibus frusti parabolae,dicio parallelogrammo inclusae, per eandem ductam constitutis. Sit parabola, A Z G, in basi , Z G, circa axim, vel diametrum,
A Q. cui parallela ducatur ut cumque recta, D P, fiat autem parallelogrammum lub,Z Q, D P, angulum habens aquai cangulo inclinationis, D P, ad Z G, . . angulo,qui sit, Di G, utcunque ex duobus, DPG, DP Z , sit autem hoc paralle logrammum, H G,regula ve ro, HG. Dico ergo ,recti gula
sub,ΗΡJE,dupla esse recta guloru sub portionibus,B D P Z, D G P. Sumpto ergo utcunq; in , D P,puncto,d , per,Τ, ducatur, R F , ipsi, Z G , aequid istans icca usq; curuaria parabolae in, S l, S, A Q, in, O. Rectangulum ergo, ΖΡ ia, ad rectangulum,S TI ,habct rationem