장음표시 사용
371쪽
nia plana dictarum conOidum, alijs figuris similibus seorsim iaunoquoque solido alsumptis, inter se eandem rationem,quam pri dictae similes elliptes habentibus, quod ea solida , quorum assum piae similes figurae iunt omnia plana, erunt inter se aequa' ia, dum diametri genitricium eorundem figurarum, quae simi abscissae Pa rabolae,interie quoq; aequales fuerint.
IN Propos. 28.&eius CorolLassumpta illius figura, & facto talito exemplo per reuolutionem, ADH, parabolae circa axim. D habetur,quod si conois parabolisca, ADH, in reuolutione descripta
secetur quom Ocunque planis siue ad axem rectis, siue obliquis,quod abisscissae conoides erunt inter te, ut quadrata diametrorum eorundem, Nam ut omnia quadrata, BDP,regula, Briquae axim, DO, reeu lecat, ad rectam
gula sub parabola, C EG, di figura distantiarum, ERG, ita esse omnes circulos, BDF, diametros in ea si. tas habentes, sumptos iuxta regulam, B F, ad omnes similes elliopses figurae genitricis, C EG.iumptas iuxta regulam, CG, quarum diametri maiores iunt in figura , C EG, minores vero in figura di-ltantiarum, REG, Ostendemus, methodo antecedentis, ergo dicti omnes circuli parabolae, BDF, ad dictas omnes ellipses parabolae, C EG, erunt ut quadratum, DN, ad quadratum, S M, ergo S co nois parabolica , BDF, ad conoidem parabolicam, CEG, erit ut quadratum, DN, ad quadratum, EM, unde, conuertendo, coniais parabolica, GEC, ad conoidem flarabolicam, FDB, eriL ut qua dratum, EM, ad quadratum, DN , si ergo aliud planum, VtcunqἐDblique axem , DO,secauerit, erit conois parabolica, BDP, ad hanc conoidem ultimo resectam, ut quadratum, DN, ad quadra tum drimetri huius reIectae cono: dis, ergo ex aequali conOiS purabolica , C EG, ad hanc conoidem ultimo resectam, cuius basis pariter oblique lecat S im, D G, erit ut 'uadratum , EM, ad huius
diametri quadratum, quomodocunque igitur resecetur conois pia nis axem lecantibus, resecta segmenta sun*, ut diametrorum qua drata. Sed uniuersaliter,si, vice circulorum,vel dictarum ellipsium,
summam ui alias tiguras similes in unoquoq; solido seors m, quin rum iunt omnia plana, ijs ex illeatibus omnibus figuris similibus genitria
372쪽
genitrietum figurarum, quales lunt parab Mae, BDF, CE A, dieta ex iisdem genIta iolida iuxta regulas hales abseissarum parabolarum, si diliae figurae similes fuerint inter se, ut praedicti circuli, vel smi. les e lipses, vel ut omnia quadrata, S rectangula iubabicissis parabolisn figuris distantiarum earundem, regulis semper pro unaquaque earundem parabolarum basibus funiptis, erunt inter se, ut quadrata diametrorum abscisiarum per ducta μana parabolarum. intellige tamen refreantia plana semper m supradi ctis elle erecta plano genitricium figurarum, ut planum per, c G, erectum para doIae, A DF , plano,fimuit ei & quod per, BF, sue in conoide, siue bis iam dictis lolidis, ut lupradictum est genitis.
parallela ducatur utcunque, BD, intra istam.& iungatur,BE; ducaturque, RS, diameter parabolae,
reuo uatur parabola, AC E,circa aximmanentem, C M, ut fiant conoides
parabolicae, ACE , BCD , S per BE,
ducatur planum erectum plano para bolae , ATE , scindens frustum eonoidis,BAED, in duas portiones,icilicet, BAE, BDE. Dico ergo portionem, B A E, ad portionem , BDE, Resecta, C aequali psi. RS, esse ut quadratu i MO,csi rectangulo his sub, MOC, ad quadratum, ON, eum rectangulo bis sub , ONC. Nam conois, ACE, ad conoidem, BR E, est ut quadratum, MC, ad quadratum, R, vel ad quadratum,OC, ergo, per conuersioneiurationis, S conuertendo, portio Ida, BAE, ad colloidem para holicam, Ac F, erit ut residuum quadrati, MC, dempto quadrato, , ad quadratum, MC, .f. ut quadratum, Mo, cum rectangulo bis sub, Μ . ad quadratum, MC, quod serua. Iteni quia conoi dem, ACE, ad conoidem, BRE, diximus esse ut quadratum, MCoad quadratum, eadem autem conois, ACE,ad conoidem,BCD, est ut quadratum, MC, ad quadratum. CN, ergo conois, ACE, ad reliquum dempta conoide,8 CD,a conoide,BRE, erit ut idem quae dratum, MC, ad reliquum, dempto quadrato, CN,a Quadrato. a. ad quadratum, odi, eum rectangulo bis lub, ON , est ergo cinnuis, ACE, ad portionem solidam, BDE, ut quadratum, M C, ad quadraLum, ON, cum rectangulo bis iuri C. erat autem portioi solica,
373쪽
solida, BAE, ad conoidem parabolicam, ACE, ut quadratum,MOscum rem angulo bis sub, HOC, ad quadratum, MC, ergo,ex aequa li, portio iolida, AB E . ad portionem solidam, BDE, erit ut quadratum, Mo, cum rectangulo bis suti MOC, ad quad. ON, cum rγ
Sed uniuerIaliter si sint solida similaria genita ex parabolis,ACE, BCD, ruxta communem regulam, A E, & ducatur planum per,B rectum plano parabolae, ACE, scindrus solidum similare genitum ex , B DEA, in duas portioMs solidas, BAE, BUE, adhuc, eoni qumter i upradictis, inueniemus has duas portiones solidas esse in eadem ratione, yt porιiones solidae productae ex sectione frusti coinnoidis parabolicae, BAED, .cesse ut quadratum, Mo, cum rectan. gulo bis lub, MOC,ad quadrat,vON, cum rectangulo bis iub, C, quod ex iupradiclis erui facit E pote st; quae demonstratio currit etia, si, CM, non sis axis, sed tantum diameter , ut consideranti clath
IN Prop. xy. & ConSeist. I.6 1. colligimus solida similaria genita ex parabolis in eadem altitudine constitutis, genita inquam iuxta regulas ipiarum bases , esse inter se, ut quadrata basium, & in ijsdem basibus constitutis, ut earum altitudines, vel ut diametros aequaliter basibus inclinatas; hoc igitur nedum concluditur de cinnoidibus parabolicis in eadem altitudine stantibus, quod sit,ut qua drata basium, vel in eadem basi existentium, quod sint, ut altilindines, sed de caeteris suntlaribus solidis ex ipsis parabatis genitis iuxta regulas bases, ut dictum est.
ITem habrinus conoides paraholicas, & caetera sintda similaria
cx parabolis genita iuxta regulas bases, habere. inter se rati innum compositam ex ratioae quadranorum basium . N altitudi' num , vel diametrorum aequali erbasibus inclinatarum. i
C. . C. S E C T I O III. T Tem eadem solida, suarum bases altitudinibus, vel diametris
A aequaliter basibus inclinatis reciprocantur, esse aequalia, quae lunt aequalia habere bases altitudinibus, vel diametris aequa' liter basibus inclinatis, reciproca*. . . D. SisDiuili os by Coos e
374쪽
An tem colligemus conoides parabolicas, & catera solida si-
milaria ex parabolis genita iuxta regulas iplarum bases, quam axes,vel diametri ad homologas basum diametros, vel late. rananeant eandem ratione. i. similes conoides parabolicas. & si- - simil3ria genita ex parabolis iam dictis, esse in tripla ratione dicharum homologaru in linearum. .
figura , ut fiat solitum exemplum, reum
Lau urs ACD , circa manentem axim, DC, patebit ergo cylin. o Iograx e , , Inreuolutione .... νη-se cupium solidi geniti ex trilineo, C D Α, .s. solidi, C A F. Sed n ' C Q uersaliter solidum similare stentia um B D, ad sibi similare genitum eX, UDA, sexcuplam rationem habe-
'CD , sit perpendicularis ipsi,
V H, si e non ἔν vocetur autem soli. cum genitum per reuolutionem ex, CV Λ, Apex parabolicus.
A. - SECTIO II. lN Corollario autem colligimus apices parabolicos in eadem
titudine existentes, este ut basium quadrata, S in eisdem bainus eue, ut altitudines, sic etiam esse solida similaria genita ex ' ineis in eadem altitudine, vel in eadem basi existentibus, gen, inquam iuxta regulas tangentes iplas parabolas. /
Tem, quod eadem solida quomodocunque sint, habeant intera Ie rationem compostam ex ratione basium ,& altitudinum. lecantium aequaliter tangentibus inclinatarum.
375쪽
ΙTem, quod eaden solida bases habentia altitudinibus i vel se.
cantibus aequaliter tangentibus inclinatis reciprocas, sint aequalia; & quae sunt aequalia, bales habeant altitudinibus . vel seis cantibus aequaliter tangentibus inclinatis reciprocas.
TAndem, quod eadem solida sint in tripla ration angen.
tium, vel lecantium parabolas i si tangentes ad secantes se. miparabolas, ex quibus inreuolutione generantur, habeant eanadem rationem.
IN Propos. r.exposi ea figura, & ut fiat nostrum exemplum re uoluto, Α C, circa manentem axim, A B, patet solidum, quod In reuolutione fit ex trilipeo, A DC, ad solidum, quod fit er trilineo , MFC, esse ut quadratum, A B, ad quadratum, B E, S uniuersaliter,s lidum similare genitum ex , AC, dempto solido similari genito ex semiparabola, A C B, ad sibi similare genitum ex , E C, dempto solido similari genito ex frusto, E M C B, esse ut quadratum, Α Β, ad quadratum, B E. genita, in quam intellige iuxta communem regulam, B C.
IN Prop. 3 . exposiri figura i&yt fiat nostrum exempIum reo uoluto, Α Η , circa manentem axim , C F, patebit cylindrum in reuolutione genitum ex A F, ad solidum genitum ex parabola, DB P, esse ut, A P, ad parabolam, D B F, & ita esse quodlibet sinlidum similare genitum .ex, A F , ad sibi similare genitum ex figura, C B D F, dempto solido similari genito ex trilineo, B C F ; cylindrum vero genitum ex , A F, a. A M, ad solidum in reuolutione genitum ex figura, C B D F, esse ut, A P, ad parabolam, DB F,
376쪽
eum s l. parallelogrammi Ps .i. ut ais . ad i7. S itae sciolidum D milare ge nitum ex, AF, ad sibi
milare genitum ex tiguara, CBDF, G genita inis quam iuxta communem Oregulam, DF. UOCetur autem solidum , quod in reuolutione generatur ex parabola 'LBF. Semianulus strictus parabolicus; quod vero gignitur ex, fgura, C B D F; Semibasiis columnaris parabolica stricta .
IN Corollario colligitur cylindrum , A M, esse sexquialterum semianuli stricti parabolici,D B F X M,unde colligi potest proprietates , quae conoidibus , Vel apicibus parabolicis in Corollari s . S8. Propost. I. huim in esse ostensa sunt, & de semianulis strictis parabo icis pariter concludi.
IN Proposit. et g. habemu partem interiorem semianuli stricti parabolici, ad exteriorem quae partes dis leparantur per superficiem in reuolutione descriptam i n superioris figura per lineam, siue axis, BE, esse vi s. ad I.& si celse quodlibet solidum smila. re genitum eri B F, dempto solido similari genito ex trilineo, B CF, ad sibi similare gehi tum ex figura, CBD F. dempto solido similari genito ex , BF, genita , inquam, iuxta communem regulam, DR
IN Prop. 3q. assumpta eiusdem fisura, ut fiat exemplum reuoluatur, A M, circa manentem axim, H M, fiat autem ex , A M. in reuolutione cylindrus. AL ; patet igitur cylindrum, A L, ad 1olidum in reuolutione genitum ex parabola, LBh, este vi, A F, ad V y α parabo-
377쪽
parabolam, DBF, hoc autem vocetur Semianulus Ialua parabdelicus & ad solidum genitum ex figura , HBDΜ-e ut quadractum, D M, ad quadratum, Μ Ε, 3. quadrati, E D, cum rectanguisio sub sexquitertia, D E, & iub, E M, quod vocetur Semibasis e lumnaris parabolica lata; Et uniuersaliter solidum similare geniatum ex, Α M, ad sibi similare genitum ex figura, II B D M, hab re eandem rationem proximὶ dictaei ad idem vero dempto solidos milari genito ex quadrilineo, B F M H, esse uti A F, ad parabolam, D B F. . . in ratione sexq uialtera .
IN Coroll. potest colligi etiam in Cor. 1 o. Prop. St. Sest. PO iter. concludi posse cylindrum in reuolutione genitum ex, A Rad semibasim columnarem strictam parabolicam genitam ex fg ra, CB D P, et se ut quadratum, D F, ad quadratum, F E,I quadrati, E D, S rectangulum iub sexquitertia , D E,& sub , EF , &sc esse solida similaria ex eisdem genita iuxta communem regulam D F .
IN Prop. 33 . iterum assumpta antecedentis figura, patet cylin drum genitum in reuolutione ex, BM,. i. cylindrv n , B V. ad solidum genitum ex reuolutione figurae, B Η M F, L ad solidum, B F Κ R, quod vocetur semityin panum parabolicum, esse ut qua dratum, E M, ad quadratum, M F, cum rectangulo sub E P , &F M, una cum J. quadrati, E F; & sic esse solidum similare genitum ex , B M , ad tibi similare genitum ex figura, B H M F, iuxta communem regulam, D M.
378쪽
EX Coroll. habetur cylindrum, BY, ad residuuin, dempto semitympano parabolico, BFKR, ab eodem, esse ut quadratum, EM, ad rectangulum iub, M F, S iub 1exquitertia, F E, cum l. quadrati, F E, & sic esse solidum similare genitum ex , B M , adreuduum, dempto ad eodem lolido Gnuari genito ex tigura, B HB, iuxta communem regulam, D M.
IN Prop. 36 . vita adhuc eadem figura, patet portionum semia. Duli lati parabolici ex , D B F, parabola in reuolutione geni-'tis quae sepaiantur a super cie descripta ab axi, B E, exteriorem ad Interiorem .s. quae gignitur a tem iparabola , B ID E , ad eam , quae gignitur a semiparabola, B F E, et se ur, E M, cum J. EM, &8. E D, ad M F , cum l. M P,& q. F E, di sic esse iolidum smilare genitum ex i gura, D B H m, dempto 1olido similari genito ex , BM, ad solidum similare genitum ex , B M, dempto solido similari genito ex figura, B F M se, iuxta communem regulam, D M.
.N Prop. 37. visa fio Cor. io. P. I i. huiusa patet conoidem parabol.geae nitam in re uolutione ex semiparaboa
379쪽
338 GEOMETRIAE COROLLARIVM XVI.
IN Propos. 38. compecta adhuc eadem superiori figura, hab tur semianulum latum parabolicum genitum in reuolution: ex parabola, D B F, ad lemianu. um striinum pararabolicum genis tum ex eadem, esse ut, D M, H P, ad F D, & iic esse . solidum sit lare quodcunq; genitum ex figura, HBD M. dempto solido limilari genito ex figura, B H in F, ad iolidum sibi similari genitum exfgura, C B D F, dempto solido similari ge nito ex trilineo , BCF, iuxta communem regulam, D MA I
IN Prop. 39. visa eadem superioris figura, habemus semianu. tum latum parabolicum genitum ex parabola, Du F, ad co-noidem parabolicam gealtam ex eadem per reuolutionem,el se ut,
D M, H P, ad in ipsius, F D, & sic esse quodlibet solidum simit regenitum ex,H R D M, dempto solido limitari genito ex figura, B H UP, ad solidum sibi similare genitum ex semiparabola, B D E,
IN Prop. o. vi fis fig. Cor. Io. & Iti superiorum,&ductis utcumque basi parabolae,D B F, equidistantibus intra ip am,quq sint,G P, G P v,patet semianulos parabolicos ex parabolis, DBRN B O, in utraq; figura per reuolutionem genitos, esse inter se , uti pias parabolas, D B P, N B Ο, & sic esse quodlibet solidum simiolare genitum ex figura, H B DM, dempto solido similari genito ex figura, B F M H, ad sibi similare genitum ex figura , Η B N U, de opto tolido similari genito ex figura, H B O U. Et fie etiam solidum initare genitum ex figura, C B D F, dempto solido sim, lari genito ex trilineo, C B P, ad inlidum sibi similare genitum exsigura, C B N P, dempto solido similari genito ex figura, B C Po,
genita inquam iuxta communes regulas, D F. t
EX Coroll. habetur semianulos latos parabolicos ex parabolis,D B E, N B O, in reuolutione circa, H M, genitos esse ad in.
380쪽
uire, ut semianulos stricios par: holicos ex parabolis, DBF, I, Ilo. genitos in reuolui .c et, i , 5 sac sol da minitaria,Sc.& vir tot se anulos parabo acc S, sui laris, s Le frictos esse ad inuict n', vecti dietarum parabolarum basium, D F, I, C. & sic etiam 1 olida stalaria, dic.
IN Prop. r. visis adhuc fg. Cor. Io. SI a. superiorum, patet semibasim columnarem sirictam parabolicam genitam in reuolutione ex figura,CBDF, ad semibas m columnarem latam parabol cam genitam ea figurat C B N P, eee vi parallelepipedum sub, BE, & l. quadrati ipsius, DF, ad para telepipedum sub,BX,S his spatijs. l. quadrato, AP, I. quadrati, NX, & rectangulo lubsexquilinia, NX, εἱ sub ,XP; S sic etiam esse quodlibet lolidum smilare genitum ex figura, CBDF, ad solidum sbi simiIare genitu ex figura, CBNP, iuxta communem regulam, D F, patet insuper semibasim col um narem latam parabolicam genitam in reuolutio isne circa, H M, ex figura, DBΙ Μ, ad semibasim columnarem lata parabolicam genitam ex figura, MN V, esse ut parallelepipedum sub. BE, & his spati Is L quadrato. ME, I. quadrati, ED, S recta-gulo sub iexquitertia, DE,& ivb, EN,ad parallelepipedum sub, B X,& his spatiis L quadrato , VA. ζ. quadrati, λN ,&rectangulo sub lexqui tertia, NX,& sub, XV; S sic etiam esse solidum simila. re quodcunq; genituria ex fistura, HBL M, ad solidum sibi simila. re genitum ex figura, HBN V , tu ta communem regulam, D M.
IN Prop. 4a. assumpta figura, quae ad ipsum pertinet L parallelogramo, AP, & frusto parabolae maiori illi incluso a. EBHF,