장음표시 사용
381쪽
cylndro parallelogravium, AN , & in semibasi colamnari figura.
HRON, quae erit circa exem , CF, composita ex duabus nguris, EBHF, FEON, similibus, & aequalibus ei, quae per reuolutionem seinibali in columnarem, HRON, generat; patet ergo in hac ieto. posit. cylindrum, AN, ad semibalem columnarem mediam para.
bo icam, HBON, esse ut quadratum basis, HR, ad quadrata, EG, quadrati, GH, cum rectangulo sub lexquitertia, H S, & sub , GF; lic vero etiam erit quodlibet solidum similare genitum ex, AF, ad sibi similare genitum ex figura, CBHF, iuxta communem re gulam, H P.
IN Pcop. 43. visa superioris figura, patebit cylindrum, A ad solidum genitum in reuolutione ex frusto maiori parabolae , EBHF, quod vocetur Aceruus maior parabolicus ) L ad Aceruu, HARON, esse ut parallelepipedum sub, BG, & quadrato, H P, ad reliquum parallelepipedi sub, BG, ω his spatijs .ia uuadraco, FG. I. quadrati, GH, & rectangulo sub sexquitertia, HG, di sub , Griab eodem dempto . parallelepipedi lub, CE, & quadrato, F G; Sic etiam erit lolidum similare quodcunq; genuum ex, AF , ad sibi similare genitum ex figura, c BHF, dempto iolido similari genito ex trilineo, BCE, iuxta communem regulam , H F.
IN Prop. adiuncta superioris figurae linea,RV,parallela ipsi. ΗF, quae, RV, sit producta usq; in, X, per ipiam ducatur plais num aequidistans basi, HN, quod faciet in 1ernibali columnari, HBUN, communem factionem circuIum, RX, habetur ergo hinc s mi basim columnarem mediam parabolicam, HBON,ad ablcisium per circulum, RX, frustum, RBOX, esse ut parallelepipedum sub , BG, & his spatijs .l. quadrato, FG, I. quadrati, GH, & rectangulo lublexquitertia, HG, & lub, GF, ad parallelepipedum sub, BS ,&sub his spatijs .f. quadrato, VS, quadrati, SR, & rectangulo sub sexquitertia, RS, & lub, S V. Ueluti etiam erit quodlibet solidum similare genitum ex ligura, CBHF, ad sibi similare genitum ex si gura, CBRV, ivxca sommunem regulam, M. C
382쪽
IN Prop. s. visa adhuc anteced. figura, patet aceruum maiG rem parabolicum , DBEOlv, ad conoidem parabol: cam gen, P .ex emiparabcla, B ID G, esse ut reliquum patallelepipedi sub , G B,& his spatis. l. quadrato, Ι G, . quadrati, GH,& rectagulo lub, FG,& sexquitert a,GH,ab eede depto parallelcpipedi sub,CE,&quadrato,FG,ad dimidiu parallepepidi lub, BG, di quadrato, GH; utetia erit quodlibet solidu timilare genitu ex hgura, c BDF, deinpto solido similam genito ex trilineo, BCF,ad solidum sibi fmilare genitum ex se parabola, BHG, iuxta communem regulam, hi P.
IN Prop. I. sumatur ex figura Prop. 46. frustum minus parabolae , quod est, DPG, cum Parallelogrammo . DG, di integra basi parabolae, Z A G, quae est, ZG, &, ut fiat
solitum exem plum, reuolua. tur, D G, circa manente axim,
axim, EG, fiet ergo ex reuolutione circa, DP, a parallelogrammo, DG, cylindrus, RG,N , frusto parabolae minori, P , solidum , quod ut, Id , quodque vccetur, Aceruus minor parabolicus;&ex reuolutione circa; EG, a parallelimranimo, D G , in alia figura lindrus, DU, & a trilineo extra frustum minus parabolae constituto lolidum. DGXl, ouod est frustum apicis parabolici refectum per circu um. DX, quodque vocetur Frustum apicis parabolie .Patet ergo cylindrum, RG,ad aceruum minorem parabolicu', HLG, esse ut, ΖΡ, ad compostam exu ZP, S i. PG, ac cylindrum,DU, ad frustum ap cis parabolici, DG Σ, esse vi. Z P, ad sui reliquum, demptis ab ea l. ZP, cum 4. PG- Sin autem etiam erit quodlibet solidum sim ita re genitum ex ,LG,ad solidum sibis lare genitum ex frusto minori, DGP , ut, inquam, in priori parte huius I hcor. dictum est ; S se etiam solidum quodlibet similare genitum ex , DG, ad sibi similare genitum ex trilineRDEG, iuxta con inunc mga regulam,
383쪽
regulam, ZG, ut in posteriore dicti Theor. parte dictum est .
IN Propositione 48. sumatur de ligura proposic. 66. parabIIa, ZAG, cum basii, LG, & a M. AQ, & reiecto eius m. non stulto, De G, de ei uidem ngura adhuc iuinatur , OG , trilineum , in quo ducitur, DE,aequiduians ipsi, AX,& seorsim ponatur,ut autem nat, reuoluatum minus eiu
DBG circa, DP, neum, A G, reu visu apex να σωυ4GZ, & ex G DE,eius patet igitur ex ipsa synp, s. aceruum minorem, R .aa liuidem glira eam,ZAG habere rationem com p sitam ex ea, quam abet composita ex l. ΖΡ, & ἱ- PG, ad, ZP, &ex ratione parallelepipedi tu DP,& quadrato. PG, ad dimidium parallelepipedi sub , Α & quadrato,Q G; & sie etia esse quodlibet soliduin siundare genitum ex frusto parabolae, DGP, adsiSi similare genitum ex semiparabola , As G ; iuxta communem. regulam, ZG. Item ex eadem Prop. patet apicem parabolicum, Α G Z , ad eius stustum, DGY, habere rationem compositam ex ea, quam habet sexta pars parallelepipedi sub Αχ' quadrato , Q G, ad parallelepipedum iu DP, & quadrato, PG, & ex ea, quam habet, ZP, ad residuum, demptis ab eadem, Z P,sZP, cum .P G : Sic autem quoque erit quodcunque solidum similare genitum ex trili. neo, Am, ad sibi similare genitum ex trilineo, GDE, iuxta com munem regulam, A X. 1. : COR
384쪽
N Propositione 43. assumpta de figura Propos t. 46. parabola, ZAG, cum axi. Ainde illi parallela, DP, absci ndatur ab axi, Ain ipsa, AV, excessus, A Q. su per, DP, & ut fiat 1 olitu in
frumn maius, ZADP, tum frustum minus, DFG , circa communem axem, D Ρ, ut ex frusto maiori, D A Z P, fiat aceruus maior parabo licus, Z ADON, & ex Dum minori. DFG , hae acervus minor Parabolicus, R DG a Patet ergo ex hac Propos. aceruum minorem, RDG, ad aceruum maiorem, ZADON, habere rati nem compositam ex ea,quam habet composita ex '. ZP, & PG,
ad Z P, & ox ratione parallelepipedi sub, DP, S quadrato, FG, ad parallelelei pedum sub , AR &his spat9 L quadrato, PQ, I. qua Mati, QZ, & rectangulo sub lexquitertia, zQ, & sub, QP, dempto ab eodem parallelepipedi sub, AU, S quadrato, .: Sic autem erit etiam quod libet lolidum similare genitum ex frusto minori, DPG, ad sibi similare genitum ex fgura , CRZP, Prop. 6. dempto solido similari genit o ex tritio eo, A CD, iuxta communem ro gulam, ZG.
N Propositione so . de figura proposit. 46. sumatur frustum minus parabolae,quod est, DGΡ, quodque secatur per rectam, Ti, aequi distantem ipti , FG, accipiantur insuper duae integrae, ZG, SI, & ut fiat nostrum exemplum, reuoluatur, D P G , frustum circa manentem axim, DP,ut ex, DPG, fiat aceruus minor, R D G, & ex, DTI, eius frustum. YDI, patet e
go ex hoc Theorem. aceruum m I
norem, RDG, ad relectum frustum, YDI, habere rationem e m- PQR. ex ea, quam habet rectangulum. ZPG, cum I. quadrati, Za 2
385쪽
PI, alte ait galum, iri, cun I. qiadrati, si,&ex ea, quam habet auiaratu n, PG, at quadratira , TI. Ue etiam erit quovilibet lol da n i n lare ge alta nex stu to in Mari parabolae , quod est, D PS. at sibi ii nitare gessitatu ex trilineo . D PI, iuxta com is munemregulara, PG.
tem eius, qu 3d prod4ceretur, reuoluta parabola circa basim, vestur parallelam, si se togentem parabota ,siue extra ipsam eon' ta λσproportιο ι em ra/1dem segmentorum ἶ uecnou , o aliorum corporum, quorum uatitia eum ob speculuionem iucunda, tum in or .dine admota confiderata, non inuratis etiam esse videtur , sed bae
386쪽
INTVS.IU quo de H Mota, inpositis Sectionibus,: ac siti alia eisdem genitis, habetur
contemplatio.'THEO REMA I. PROPOS. I.
MNIA quadrata Hyperbole, regula si pia basi scilicet una exordirinatim appIicatis ad axim, vel diametrum eiusdem, ad omnia quadrara parallelogrammi in eadem bafi, &altitudine cum ipsa, erunt ut linea compositat ex dimidia transversi lateris hyperbolari de '. diametri, vel illi eiusdem, ad eomposita nex transuerso latere, &axi, vel diametro eiusdem: Eaden vero ad omnia quadrata trianguli in eadem b isi, & altitudine cum ipsa erunt, ut coisposit i ex sexqui .ltera transuersi lateris, de axi, vel diameistro eiusdem, id compositam sx transuerso latere, &axi, vel diacietis eiusdsci.
387쪽
Sit igitur hyperbola. DAP, in basi, F, euius axis, vel diameter, EB, & transuersum latus, BD, bifariam diuisum in , N, describatur vero Pa allelograininu, AF, in eadem alti rudisse , & basi cum hyperbola, DBE, & nunc circa axim,vel diametrum, B circa quam iit etiam triangulum, BDP . Dico ergo omnia quadrata hyperbolae, DBP, regu la , DF , ad omnia quadrata, AF, esse ut composita me x, N B,& I. BE, ad , OE; ad omuia vero quadrata trianguli, Dd P, asse ut compositam ex sexquialtera , OB,& ipsa, BE, ad, OE, sumatur in , BE, Vt-cu nq; punctum, M, & per, M, ducatur, MG , parallela ipsi, DF, lecans curuam hyperbota in , H. Est ergo quadratum , Es, vel quadratum, GH, ad quadratum, ΜΗ, ut rectangulum, OEB, ad rectangu .lum. OMB, eli autem, BF, parallelograsmum in eadem altitudine, de basi cum semihyperbola . BEF, Spunctum, M, utcunq; sumptum, per quod acta est ipsi , DP, P 'rallela, MG, regula, DF, repertumque est, ut quadratum, GM, quadratum, Mi ta esse rectangaues, OgB, ad iactiagulum, O
' MB, ergo horum quatuor ordinum magnitudines erunt propor tionales .f. omnia quadrata, Bb, magnitudines primi ordinis col lectae iuxta primam. f. iuxta quadratum, G M. ad Omnia quadra ta semi hyperbolae, BEL magnit*dines lecundi ordinis collectas iuxta secundam .s, iuxta quadratum, M H, erunt ut rectangula iubmaximis abicis larum, BE, magnitudines tertii ordinis collectς ivxsta tertiam .f. iuxta rectangulum sub , OE, EB, ad rectangula sub omnibus ablhissis, EB, adiuncta, BO, & sub omnibus abscii sis, EB, magnitudines quarti ordinis collectas iuxta primam, . s. iuxta re et angulum, OMB; verum rectangula subi maximis abscissarum,
EB, adiqncta, BO,& sub maximis abicissarum, EB, ad tectangula sub Omnibus abscissis, EB, ad iupcta, BO, &Jub omnibus abicitus, EB, recti, vel eiusdem obliqui transitus; sunt ut, OE I ad compose' tam ex ,γB, & l. BE, ergo, c*nuertendo,omota quadram iemi' hyperbolae, BEF, ad omnia quadrata, BF, vel eorum quadrupla a Omnia quadrata hyperbolh, D sp, ad ciconia quadrata, A etiamsi, AF, non esset circa axma; νῆl diametrum, BE Utasitum in eadem altitudine cum hypωbola, DBF, erun, ut couipssica ex I. o B, & '. BE, ad, OE. Quoniam vero omnia quadrata, AF, sunt tripla omnium qua
388쪽
dratorum trianguli, I BE, ideo sunt ad illa, ut, OE,adi. Ο ostensum autem. est omnia quadrata hyperbolae, DBF, ad Omnia qua .drata. AF, este ut compositam ex I. OB,& q. ΒΕ, ad OE , ergo, ex aequali, omnia quadrata hyperbolae, DdP, ad omniy quatiata trianguli, RBE, etiam si non ellet circa axim, vel diametrum, BE, sed tantum in eadem altitudine cum hyperbola,DBri erunt ut w- posita ex '. B. & J. BE, ad i. OE, vel ut horum tripla .i. ut ςomposita ex te quialtera, OB, di ipsa, BE, ad , OE, quod ostendere
SΙ duae ad axim, vel diametrum hyperbolae ordinatim
applisatae fuerint rectar linear, hyperbolas constitue nates, sit autem eariis altera regulae omnia quadrata hype b. lar ab una earundem constitutae ad omnia quadrata hyperbolae per aliam constitutae, erunt ut parallelepipedum
sub composita ex sexquiaItera transuersi lateris hyparbolarum dictarum. & sub axi, vel diametro hyperbolae primo dictae, di sub quadrato ς iusdem axis, vel diametri ad parallelepipedum sub composita ex eiusdem transuersi lateris sexquialtera, de axi, vel diametro hyperbolae secundo distae, & sub quadrato eiusdem axis, vel diametri.
Sint intra curuam hyperboIae duae utcunq; ad axim, vel diametrum, NE, Ordinatim ductae recta linetae, HG, DF, hyperbolas, NHG, NDF , constituentes, si autem earum altera, ut , DF, tum pia pro regula, & transuersum eo rinidem latus. No, bifariam diuisum in, B, cui in directum sit adiecta. OX, aequalis dimidiae, ON. Dico ergo omnia quadrata hyperbolae, DN F, ad omnia quadra in hyperbolae, ΗNG,esse ut paralIelepipedum sub , XE, S uuadrato, EN, ad parallelepipedum sub , XM, S quadrato, MN . Fiant ergo in basibus, DF, HG, & circa axes, vel diametros, N M,M E, parallelogramma, AF, CG: Omnia ergo quadrata hyperbolae, DNP, ad omnia quadrat3byperbo , HNG ,habent rationem composissim ex ea, quam hanent ni ania quadrata hyperbolae, DN F, ad omnia quadrata. AF, omnia quadrata, AF, ad Omnia quadrata, CG, di omnia quadrata, CG, ad omnia quadrata hyperbo lae, UNG; ted omnia quadrata hyperbolae, DN F, ad Omnia qua
389쪽
drata, AF, sunt ut eomposita ex , . ON..i. ex , BN,& . NE, adoin . OE,vel ut istorum tripla .s. vi, XE,ad trip tam,OE . insuper omnia Ei fili quadrata, AF,ad omnia quadiata,CG,habent rationem composita l. i. ex e qua habet quadratu, DF,ad quadratu, HG, idest rectangulum,ΟEN,ad rectagulu, Ex antee. ΟΜN,.i.horu tripla l.rectangulum subtri. PlaOE,&,EN,sola,ad recta gutu subtripla, ΟΜ,& sola,MN, &ex rne,m,ad,N M; ta-dem Omnia quadrata,CG,ad omnia quadra ta hyperbolae,HNG, sunt ut,OM,ad copo sitam ex, BN, & I. N M, .i. ut tripla ,UM , ad , MX, idest sumpta, MN, communi alti. tudine, virectangulu lub tripla,OM, & sub, a MN,ad rectagulu tu XM,MN,ergo Omnia quadrata hyperbolae, DNF, ad omnia quadrata hyperbolae, HNG, habent rationem compostam ex ea, quam habet, XE, ad triplam, EO, .i. sumpta, EN , communi alueudine, ex ea, quam ha
bet rectangulum, XEN. ad rectangulum sub, N E, & tripla, Eo,&ex ea, quam habet rectangulum sub tripla. UE,& sub, EN, ad rectangulum sub tripla, o i, & ii, MN, & rectangaeum sub tripla. OM, & sub, MN, ad rectangulum sub, MN, & MX. & tandem ex ea, quam habet, EN, ad, NM; porru ιstae rationes .s. quam habet rectangulum sub, XE, &, EN, ad rectangulum sub tripla , ΟΞ, EN, item quam habet rectangulum lub tripla, OE, &, EN, ad re clangulum sub tripla. OM , ει MN, & quam habet rectangulum sub tripla, OM, &, MN, ad rectangulum, X MN, conficiunt rati
nem re tanguli, XEN, ad rectangulum, X MN, quae umul cum ratione: quam habet, EN, ad, NM, confidit rationem parallelepipe. di sub , NE. &rectangulo, NEX, . . sub, XE, & quadrato, EN, ad parallelepi pedum sub, NM, & rectangu o, NMX, .i. sub I XM &quadrato, MN, ergo omnia quadrata hyperbolae,DN F, ad omnia quadrata hyperbolae , ΗNG, erunt ut parallelepipedum sub , XE, S quadrato, EN, ad parallelepipedum sub, XM, & quadrato , MN, quod ostendere oportebat.
390쪽
NX,&ON,&s-NE, regula eadem, DF, retentas osten demus omnia quadrata parallelogrammi , S F, ad omnia quadrata frusti hyperbolae, H DFG, esse virectangulum, OEN, ad rectangulum sub , OE,&, NM, una cum re ctangulo sub composita ex . NO,& . ME, & sub , ME; Omnia vero quadrata trianguli, D MF, ad omnia quadramia eiusdem frusti, ΗDFG, esse ut rectangui um, OEN, ad rectangulum sub, OE, & tripla , NM , una cum rectangulo
sub composita ex , NX, & ME, sub, ME.
Sumatur in , ME, utcunq; punctum , L , & per ipsum regulae, DF, parallela ducatur, LΚ, curuam hypcrbolicam in , I, lecans; Est ergo quadratum, EF, vel quadratum, LΚ, ad quadratum, L I, ut rectangulum. OEN, ad rectangulum, OLN ; est autem parallelogrammiam ΛΤF, in eadem basi,&altitudine cum figura , MGFE, punctum , L , sumptum est ut cunque, perq; ipsum regulae, DF, ducta parallela, LΚ, repertum est, ut quadratum, KL, ad quadratum, LI, Aita esse rectangulum, OEN, ad rectangulu, i OLN; quatuor ergo ordinum magnitudi-s Hi
nes constructae iuxta has quatuor inuentas imagnitudines proportionales, erunt quoq; lini proportionales .i. Omnia quadrata; ME, ad D P Π o FOmnia quadrata figurae, MGFE, quae sunt M cmagnitudines primi, & secundi Ordinis constructae iuxta prima ,&secundam .s. iuxta quadratum, KL, & quadratum, LI, erunt, Vt rectangula sub maximis abicissarum, EM, adiuncta , MO,& sub maximis abscissarum, EM, adiuncta, MN , ad rectangula sub om nibus abscit sis, EM, adiuncta, MO,& sub omnibus abscissis, EM, adiuncta, MN, quae sunt magnitudines tertij, & quarti ordinis collectae iuxta tertiam, & quartam .l. iuxta rectangulum, OEN, LN; verum rectangula sub maximis abicissarum, EM, adiuncta, MO, &lub citdem adiuncta, MN, ad rectangula sub omnibus abscissis, EM, adiuncta, Mo, di lub ijsdem adiuncta, MN, omnibus recti vel ei uidem obliqui transitus sumptis , lunt, ut rectangulum, OEN, ad rectangulum lub, OE, S, N M, una cum rectangulo lubcomposita ex UN, S O ME, & sub , MF, ergo omnia quadra ta, MF , ad omnia quadrata figurae, GMEF, vel horum qua di pla .i. Omnia quadrata, S F, ad omnia quadrata fiusti, Hin G ,