장음표시 사용
391쪽
erunt, ut rectangulum, OEN, ad rectangulum sub , OE, &, NΜ, una cum rectang. sub composita ex I. UN, & I. ME, & sub, ME. 24. l. 1. Quia vero Omnia quadrata trianguli, DMF, sunt omnium quadratorum, SF , idec ad omnia quadrata Dusti, H DFG, eruntvt l. rectanguli, OEN, ad rectangulum sub, OS,&,NM, una curectangulo iub composita ex I. ON, & l. ME, desub, ME, vel ut horum tripla. . ut rectangulum, OEN, ad rectangulum sub , OE,& tripla, N Μ, una cum rectangulo sub composita ex sexqui altera N, .ia1,NX,&ON,& l. NE, & - MLquet ostendere opus
THEOREMA IR PROPOS. IV. IN eadem antecedentis figura prod uctis, CH, R , verissus basem, DF, cui incidant in, PQ, regula eadem retenta, ostendemus Omnia quadrata, SF, ad omnia quadra. ta frusti, H G, demptis omnibus quadratis, I Q. esse virectangulum, OEN, adrectangulum sub, EM, & sub comis posita ex x .EM, integra, MN,& ζ.NO: Omnia vero quadra. ta trianguli, DMF, ad eadem esse Ostendemus , ut rectang: N,ad rect.sub composita ex, EX,dupla,NM,&sub, ME
,h h- omnia .m quadrata, SP, ad Omnia qu adrata frusti, HDFG .' ostensa sunt esse,ut rectangulum, OEN, ad rectangulum sub , OE, & NM, una cum, rectangulo sub composita ex ζ. ON,6c l. ME, & sub, ΜΚ: Omnia vero quadrata a S F, ad omnia quadrata, HQ, sunt ut quas. l. 3. dratum, D P, ad quadratum , PQ, vel ad quadratum, HG,.i. Vt rectangulum EN, s Sch. ad rectangulum, OMN , ergo eadem ad re. Φο. liquum omnium quadratorum stini, DHGF, demptis omnibus quadratis, Hia , erunt ut rectangulum, OEN , ad reliquum, dempto rectangulo, OMN, 1 rectangulis sub, OE, MN, ω sub composita ex I. UN, ι.ε. Elem' - ME, & sub, ME, eli autem rectanguis tum sub, OE, MN, aequale rectangulis iub, ΟΜ,MN,&sub, EM, MN, ergo dempto rediangulo, OMNO rectangulo lub, OE, MN, remanet rectangulum, EMN, ad quod una cum rectangulo sub composita ex I. ON, & ME, εἰ sub , ME, ipsum rectangulum OEN, erit ut omnia quad. SP, ad Omnia quad. frusti, H DFG, d P tis
392쪽
ptis omnibus quadratis, ΗQ, aequatur autem rectangulum, EM
S . . N ergo Omnia quadrata, SP, ad omnia quadrata frusti, DI GF, demptis omnibus quadratis, Η , erunt virectangulum, OEN, ad rectangulum suo, EM, & sub composita ex J. EM. in. tegra, MN, & I. NO. Omnia vero quadrata trianguli, DMF, ad eadem erunt, Vt q. rectanguli. OEN, ad rectangulum sub , EM, & sub compolita ex se EM, integra, MN, & I. No, . i. vi totum rectangulum sub , OEN, ad rectangulum sub, EM ,& sub composita ex , EM, tripla,
IN eadem figura, regula eadem retenta ,ostendemus omismnia quadrata, AF,demptis omnibus quadratis hyperbolae, DNF, ad omnia quadrata, SF, demptis omnibus
quadratis frussi, H DFG, esse ut parallelepipedum sub c posita ex ipsa, XE, EN, di sub quadrato, NE, ad parallel pipedum sub composita ex eadem, XE, & cum , EN , NM. di sub quadrato, ME,
Quia enim omnia quadrata, AF, ad omnia quadrata hyperbo. huiuBlae. DNF. sunt ut, ΟΕ, ad compositam ex I. ON,&NE, ideo per conuersionem rationis, & conuertendo omnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbolae, DN F, ad omnia quadrata, AF. erunt ut composita ex I. ON, & I. N ad , OE, .i. luminpia, NE, communi altitudine, ut rectangulum sub composta ex I. ON,&4. NE, & sub, NE, ad rectangulum, OEN. Quoniam vero omnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbolae, DN F, ad omnia quadrata, S F, demptis omnibus quadratis seu sti, DHGF, habent rationem compositam ex ea, quam habent Omnia quadrata. AF, demptis omnibus quadratis hyperbolae, D te .i . N P, ad omnia quadrata, AF, .i. ex ea, quam habet rectangulum ' 'sub composita ex I. ON, S . NE, &lub, N E, ad rectangulum, N E O ; & ex ratione , quam habent omnia quadrata,
ad , EM , & tandem ex ea, quam habent omnia quadrata , SE, ad omitia quadrata, SF, dempti S omnibus quadratis frusti , H DrA a a 2 G, ideo
393쪽
G. ideo omnia quadrata, AF. demptis omnibus quadratis hyperbolae, DXP, ad omnia quadrata, SP, demptis omnibuS quadra. tis Dusti, H DFG, habebunt rationem coinpositam ex ea, qua in habet rectangulum sub composita ex I: ON,& l. NE,&iub, NE, ad rectangulum, N EO, & ex ea, quam habet, NE , ad , EM,& ex ea, quam habent omnia quadrata, SP, ad omni quadra , S F, demptis omnibus quadratis frum,H DFG. Quoniam autem omnia quadrata, SP, ad omnia quadrata seu sti, H DFG, sutut rechagulum,OEN,ad rect .sub OE,NM, cum rechag. sub composita ex ΟΝ, &'ME,& sub, ME, ideo cita quadrata, SP, ad residuum, daptis omnibus quadratis Dussi, H DFG, erunt ut rectangulum, O AN , ad residuum, demptis a rectangulo, OEN,rectangulo, rub, OE, NM , una eum rectangulo lub composita ex I. ON ,& l. ME,&sub, MEt si igitur a rectangulo, OEN, dempseris rectangulum sub , OE, MN ,re manebit rectangulum lub, ΟΕ, EM, rursus si a rectangulo sub, OE, EM, dempseris D - esita ex I. ON,& ME, & sub, ME , .i. si dempleris rectang umlub, OB,&, ME. remanebit rectangulum lub, BE, EM, a quo si adhuc auferas rectangulum sub ME, & sub , ME, . i. '. qua.drati, ME, habebimus rectangulum, BEM, dempto quadrati, ME, ad quod rectangulum, OEN, erit ut omnia quadrata, SP,ad sui reliquum, demptis omnibus quadratis frusti, H DFG, ergo Omnia quadrata, AP, demptis omnibus quadratis hyperbolae, DNGad omnia quadrata, SP, demptis omnibus quadratis frusti, H DFG, habebunt rationem compositam ex his rationibus .LeX ea, qua habet rectangulum sub composita ex ON, & e. NE,&sub, NE, ad rectangulum, OEN, & ex ratione, NE, ad, EM, & ex ea, quam habet rectangulum, OEN, adrectangulum, BEM, dempto I.qua.drati, ME; harum autem istae duae, quam .s. habet rectangulum sub composita ex I. ON,& q. NE,& sub , NE, ad rectangulum, OEN, & quam habet rectangulum, OEN,ad rectangulum, REM, dempto . quadrati, ME,conficiunt rationem rectanguli sub comis posita ex I. ,6t I. NE,&sub, NE, ad rectangulum, BEM , dempto quadrati, ME, vel, his triplicatis, conficiunt rationem' rectanguli iub composita ex tribus, BN, .l .ex, NX, & ter NE, .s. dupla, N E, .s. sub composita ex , N E, &, EX, S sub , N E, ad
rectangulum sub tripla, BE, & sub , EM, demptis l. id est integro
394쪽
dempto quadrato, ME, quia vero tripla, BE, est composita ex , ΕΣ, & dupla, EN, si a rectangulo iub com posita ex , EX, S dupla, EN, & sub, EM. abstuleris quadratum, ME, .i. rectangulum sub , MF, Si ME, remanebit rectangulum sub composita ex ipla, XE,EN, NM, & iub, EM, illas ergo tres componentes rationes in has duas resolutas habemus, scilicet in eam, quam habet rectanstulusus, XEN, intepra, & sub , EN. ad rectangulum lub integra, X E, FN, NM,&sub, ME, & in eam, quam habet, NE, M, EM , quae duae rat: Ones componunt rationem parallelepipedi sub , NE,&sub rectangulo integrae, XEN, ductae in , EN, idest parallelepipedi sub integra, XEN, S quadrato, NE, ad parallelepipedum sub , ME,& rectangulo integrae, XE,EN, NM, ductae in , ME, .i. ad Tarallelepipedum sub integra, XE, EN, NM.& quadrato , M E, ergo Omnia quadrata, AF, demptis omnibus quadratis hyperbo. lae , DraF, ad omnia quadrata, SF , demptis omnibus quadrati qfrusti, H DFG .erunt ut parallelepipcdum sub integra, XEN, SI cuadrato, NE, adparallelepipedum iub integra , XE, EN, NM , di quadratoi ME, quod erat Ostendendum . . o
AData hyperbola portionem abscindere per lineam
. ad eiusdem axim, vel diametrum ordinatim appli. Catam, cuius omnia quadrata, regula propositae hyperbolae bas, ad omnia quadrataeqlangvir in eadem bati, & circa eundem axi ves diametrum cum portione, siue hyperi hola abscissa , existent is, habeant datam rationem, quam oportet esse quidem maioris inaequalitatis, sed tamen minorem sexquialtera . . V. ssit ergo data hyperbola, FEG, cuius axis, vel diameter, Elarus transuersum, CE, cuius sit, ΑΕ, sexqui altera, basis, & regula, FG, data ratio, quam habet, HR, ad, R L, maioris inaequali , latis , sed minor sexquialtera, oportet ergo ab hyperbola, FEG, per lineam ad , EM ordinatim applicatam .i. bali, siue regulae, FG. parallelam , portionem, siue hyperbolam abscindete, cuius Omnia quadrata ad omnia quadrata trianguli in eadem basi, &circa eundem axim, vel diametrum cum ipta habeant rationem, quam habet, HR, ad, R L; quia ergo ratio, HR, ad , R L, est mi-uQr sexquialtera, erit minor ea, quam habet, AE, ad, EC, & etiadivi.
395쪽
diuidendo ut nor ea, quam habet,
AC, ad , CE , eandem ergo, quam habet, HL, ad , LR, habebit, AC, ad maiorem, C E , sit illa , CO, & per, O, ducatur, SV, parallela ipsi regulae, FG, iunganturque, SE, EU: Omnia ergo quadrata hyperbolae, SE U, ad omnia quadrata trianguli, SEU, sunt vi, AO,ad, Oz, quia xem, AC, ad , CO, est ut, HL, ad, LR, componendo, AO, ad, Ota erit vi, HR,ad,
RL, ergo omnia quadrata hyperbolae, SEU, ad omnia quadrata trianguisti, NEU, erunt ut, Hri,ad, R Linratione data, quod facere Opus erat.
THEOREM A VI. PROPOS. :VII. SI circa datam hyperbolam describantur asymptoti .
eiuslem autem basis usq; ad asymptotos producatur, quae sumatur pro regula a Omnia quadrata hyperbolae ad omnia quadrata trianguli asymptotis , &bas comprehen si, habebunt rationem compositam ex ea . ciuam habet quadratum basis hyperbolae ad quadratum balis trianguli,&ex ea , quam habet rectangulum sub coinposita ex sex. quialtera transuersi lateris, & axi, vel diametro datae hyperbolae, sub eodem axi, vel diametro, ad rectangulum sub composita ex transuerso latere, de axi, vel diametro eiusdem hyperbolae; &sub composita ex '. transuersi late ris , de eodem axi, vel diametro.
Sit igitur data hyperbola, cuius basis, S X, circa axim , vel dia metrum, O V, cuius transuersum latus siti, RO, bifariam in C ,di ullum, sit autem illi in directum adiunista, AB, aequalis, BC . de inde ducta per, o, tangente hyperbolam , quae sit, ED , cui erit parallela basis, S abicindantur, EO, OD , ita ut quadratum, EO, 6e quadratum, OD , seorsim sint aequalia quartae parti rectan guli sub, BO, latere traui uerio, & sub eiusdem recto latere, si ergo iunctis, CE, CD , ips e producantur indefinite versus basim , SX, cui pi Oduciae occurant in punctis, H, R, erunt, CH, CR, asym
396쪽
ptoti datae hyperbolae. Dico igitur omnia quadrata hyperboIε, Sm, ad omnia quadrata trianguli, lam, habere rationem com positam ex ea, quam habet quadratum,SX, ad quadratum, HR, & rectangulu ,ΑUO, ad rectangulum, JUC, iungam tur, OS,OX: Omnia ergo quadrata hyperbolae, S , ad omnia quadrata tria guli, H CR, habent rationem compose tam ex ea, quam habent Omnia quadrata hyperbolae, SOX, ad omnia quadra ta trianguli, Sm, .i. ex ea,quam habet,AV, ad, V B, & ex ea, quam habent omnia quadrata trianguli, SoX, aa Omnia quadrata trianguli, H CR,quae est com-Iosita ex ea, quam habet quadratum , S, ad quadratum, UR,& ex ea, quam se habet, OV , ad , UC, habemus ergo has tres rationes componenistes rationem, quam habent omnia quadrata hyperbolae, Sm, ad omnia quadrata trianguli, H CR, scilicet eam , quarta habet quadratum, SX, ad quadratum, HR, & quam habet, AR ad, UB,&tandem, quam habet, OV, ad, VC, harum autem istae duae .i.qua habet, AU, ad, UB, S, OV, ad; VC, componunt rationem rectoeuli, RUO, ad rectangulum, BUC, ergo Omnia quadrata hyper. boIae, Sm, ad omnia quadrata trianguli, I CR, habent rationε compositam ex ea, quam habet quadratum, sX, ad quadratum,
ΗR, & rectangulum, AVO, ad rectangulum, BUC, quod Ostendere opus erat.
l. Iai. huius. D. Cor. 21. l. ..
IN eadem anteced. figura, regula eadem, retenta, ostem demus ducta intra hyperbolam, SoX. ipsa, IY, occur rente asymptotis, CH, CR, in, T, P omnia quadrata train et ij, THRP, ad omnia quadrata frusti hyperbi Iae, ISXY,
esse in ratione composta ex ea, quam habet rectangulum
sub, GP, VR, cum . quadrati, PM. ad quadratum, V X, de ex ea, quam habet rectangulum , Buo, ad rectangulum sub ,BV, OG, una cum rectangulo sub composita ex .m,tii. GV,&Iub, GV.
397쪽
Ducantur per puncta, X, R ,XN,RM , rectae lineae paralleIadi axi, vel diametro hyperbolae, OU, Occurrentes, Tri productae,in, N,M: Omnia ergo quadri trapezij, GPRU, ad omnia quadrata quadii linei, GVXY, habent rationem compositam ex ea, quam habent omnia quadrata trapezij, ΡGVR , ad omnia quadrata. GR, .i. ex ea, quam habet rectangulum sub, PG,VR, eum J.quam drati, PM, ad quadratum, UR, & ex ea, quam habent omnia quadrata , GR. ad omnia quadrata. GX, id est ex ea, quam habet quadratum, RV, ad quadratum, UX; quae duae rationes componunt rationem,quam habet rectangulum sub, GP, VR. cum I. quadrati, PM , ad quadratum,UX: & tandem ex ea, quam ha bent omnia quadrata, G X. ad omnia quadrata, GYXU, .i. ex ea, quam habet rectangulum, BUO,ad rectangulum sub, BU, GO, una cum rectangulo sub composita ex BO, & I. GV,&sub, Gricrgo omnia quadrata trapeaij, PGUR, ad omnia quadrata quadrilinei, YGUX, v vel eorum quadrupla .i. omnia quadrata dratrapezij THRP, ad omnia quadrata si u- α sti, IS . habebunt rationem composi. 'T- ram ex ea, quam habet rectangulum lub, . ' V κRGP, VII, cum ἰ. quadrati, PM, ad quadratum, ο, & ex ea, qua habet rcctangulam, BVO, ad rectangulum sub, BV, G una cum rectangulo suo composita ex GR&sub, GU, quod
THEOREM A VIII. PROPOS. IX.. VI adhuc anteced. figura, exponemus aliter rationE
ibi adinventam tantummodo compositam ex duabus. M in am solii n eandem reducentes, probando. s. omnia quadrata ti ianguli, H CR, regula eadem , ΗR, retenta ad omnia quadrata hyperbolae,ss X, esse ut cubus CV, est ad parallelepipeduin ter sub , Co, & quadrato, OV,
cum cubo, OV. Nam ut in supra dicta proposit. ostensum est, omnia quadrata trianguli, CHR, ad omnia quadrata hypeiolae, Sin, conuerte do, habent rationem colu positam ex ea , quam habet quadratu, HR,
398쪽
HR, ad quadratum, SX, &rectangulum, BUC, ad rectangulum: AVO, quae est composita pariter ex duabus .f. ex ea, quam habet, CR ad, Uo, & ex ea, quam habet, BV , ad , UA , ut autem, BU,
M, O, sic est, sumpta, OU, communi altitudine, rectangulum, BUO, ad rectangulum, AVO, quod terra. Sumatur nunc harum rationum componentium ea, quam habet quadratu,UR, ad qua- .dratum, SX, quae est eadem et, quam habet quadratum, HV, ad s. a. Elem. quadratum, VS, quia vero red angulum,HSRμ 1 quadraLO,SV, 1o. 1. Co est aequale quadrato, HU, ideo quadratum, VS, est excessus, quo quadratu,HV, luperat rectang. quia rectangui. HbR, est aequale quadrato, Eo, ideo, ut quadratum, HV , ad rectaugulums 4.ε.Elem.
HSR, ita erit idem quadratum , HV, ad quadratum, EO, & ita erit quadratum, UC, ad quadratum , eo, quia triangula , CE
CHV, sunt similia, ergo, per conuersioncm rationis, quadratum, HV, ad excessum lui luper quadratum, Eo, .s. ad quadratum,VS, erit ut quadratum, UC, ad excellumlui luperquadratum, co, .i. ad rectangulubis lub, Co, OV, cum quadrato, OV, . i. ad rectanis gulum semel sub , BO, OV, eum quadrato, OV , .l. ad integrum rectangulu, BUO; erit ergo, ut quadratum, HV, ad quadratum, US, ita quadratum, CV, ad rectangulum, B vo, haec ergo ratio, quam nempe habet quadratum, E V, ad rectangulum, BUO,lum- .pta vice eius, quam habet quadratum, hi V, ad quadratum, US, Vel quadratum, HR, ad quadratum, ba, quae erat una rationum
componentium) componit rationem Omti; una quadratorum tria-guli, HCR, ad omnia quadrata hyperbolae, b X, simul iumpta cum ea, quam habet rectangulum, b VO, ad rectangulum , AVO,& cum ea, quam habet, C V, ad, UO; harum aulcm trium rationu Umponent.um ea, quam habet quadi alum, V, ad reclangulum, BVO, & quam habet hoc rectangulum, B VO, ad rectangulum, AVO, componunt rationem quadrat, CV , ad rectangulum, AUO, illas ergo tres in has duas rationes retoluta, habemus. l. i' eam,
quam habea quadratum, CV, ad rectangulum, HVG,& lneam, quam habet, EU, ad , VO, porro illae duae ratione1 componunt
rationem parallelepipedi sub, CV, ct quadrato, CV, .i. cubi, CV, ad paralleles ipedum lub, OV, ct rect angulo, AUO, .i. parallel Pipedi sub, AV, & quad. ato, VO, .i. parallelepipedi iub, ΑΟ, &quadrato, UU, cum cubo, OU, i. parallelepipedi ter iub, c O, & .
quadrato, OV, cum cubo, OV ; ergo omna quadrata zr anguli, 'HCR, ad omnia quadrata hv iboiae, Soli, erunt ut cubub, c V, ad paratu lepipedum ter iub, EU, & quadiato, UV, cum cubO, Ov, quod ollandere opuS Gat.
399쪽
3 8 GEOMETRI ETHEOREMA IX. PROPOS. X.
Si a centro hyperbolae duae intra asymptotos eiusdem
ductae fuerint rectae lineae indefinite productae , agantur auten Intra euruam hyperbolicam parallelae tangenti. hus in punetis concurius ductarum linearum, de curuae hyperbolicae hinc inde ad eandem productae, erunt istae bases hyperbolarum, quarum diametri, vel axes erunt portiones dustarum a centro interceptae inter ipsas, & earundem hyperbolarum vertice S: Dico autem omnia quadra ta unius dietarum hyperbol arum, regula eiusdem basi, ad omnia quadrata alterius , regula quoq: huius basi, habere rationem compositam ex ratione rectanguli sub composita ex sexqui altera transuersi lateris hype rbolae primo dictae.& axi, vel diametro eiusdem, & sub composita extransverso latere, & axi, vel diametro hyperbolae secunda dictae . ad rectangulu n sub composita ex sexquialtera transuersi lateris hyperbolae secundo dictae, & axi, ve i diame. tro eiusdem ,& sub composita ex transuerso latere , & axi, vel diametro hyperbol ae primo dictae , de ex ratione parallelepipedi sub altitudine hyperbolae primo dictae , basi voro. basis eiusdem quadrato ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolae fecundo dictae, basiq; pariter eiusdem
Sit ergo hyperbolae, ADT, utcunq: basis, AC, centrum , Expetquod intra ei uidem aiymptotos, ΚΥ. EZ, ductae fiat, FEDR, HEU I, utcunq; indefinite productae, sit tamen altera earum diameteriam expositet hyperbolae, pro alia hyperbola autem constituenda, dueta pariter sit utcunqr intra curuam hyperbolicam, &. in eandehinc inde producta ipsa, OX, parallela tangenti curuam hyperbolicam in puncto, V, in quo ipsam, HI , secat. Dico ergo omnia qua irata hyoerbolae, AD 2 . regula . AC, ad omnia quadrata hypernot e, o L, regula, ΟΚ , habere rationem compositam sum.
ptis, EF, P d, aequalibus i psi. Eo.& , EH , HR, aequalibus ipsi .
EU,ὶ ex ratione rectanguli sub, MB, HI, ad rectangulum sub , Ri. FB; &ex ratioae parallelepipedi iub altitudine hyperbolae, AD
400쪽
& has quadrato, AC, ad parallelepipedum iub altitudine hyper holae, OUX, basi autem quadrato, OX. Nam omnia quadrata hyperbolae, ADC, regula, AC , ad Omnia quadrata hyperbolae, OV X, regula, OX, iunctis, AD, DC, UV, VX, sumptis mediis Des m omnibus quadratis triangulorum, ADC . OUX ,habent rationem composita
ex ratione omnium quadratorum hyperbolae , ADC, ad omnia quadrata trianguli, ADC, .Lex ratione, M B, ad, BF. Ec ex ratione omnium quadratorutrianguli, ADC, ad Omnia quadrata trianguli, O, X, quae est composita ex ratione altitudinis trianguli, A DC, vel hyperbolae, ADC, adiastitudinem tria-guli , O , vel hyperbolae, OUX,& exeatione quadrati, AC, ad quadratum, OX, & tandem eis composita ex ratione omnium quadratorum trianguli, taVX, ad omma quadrista hyperbolae, OUX, .i. ex ea, quam habet, HI, ad , IR, harum autem rationum componentium istri duae .s. quam habet, MB, ad, BP.S , HI, ad, μ' - ''IR, componunLrationem rectanguli sub, MB, HI, ad rectangulus uti, RI, FB taliae autem duae rationes componentes .f. quam ha bet altitudo hyperbolae, ADC, ad altitudinem hyperbolae , CVRS quam habet quadratum, AC, ad quadratum , in , componunt
rationem parallesepipedi 1ub altitudine hyperbolae, AD C. basi quadrato, AC, ad parallelepipedum lub altitudine hyperbolae , OUX, basi quadrato, in, ergo omnia quadrata hyperbolae, ADC. regula, AC , ad Omnia quadrata h perbolae. OVX, regula, OX,
habent rationem compostam ex ratione rectanguli sub, . IB, HI,
ad rectangulum sub , RI, FB, de ex ratione paralla lepipedi lub altitudine hyperbolq, AD , basi quadrato, AC , ad parallelepipedum iub altitudine hyperbolae, OVλ, basi vero quadrato, OX,
IN eadem antec. figura ,iuneta, DV, ct a puncto , ducta, XP, parallela ipsi D V, indcfinite pro duetii , a pi ncto autem, O, ipsa, OP, para II ela ei, quae tangerct hypei bo- Bbb a lam,