장음표시 사용
401쪽
lam, ADC, in puncto, D, quae indefinite quoq; producta occurrat ipsi, XP, inpula sto, P, suppositoque, B D. esse axim, ostende nus omnia quadrata hyperbolae, ADC, adrectangula omnia hyperbolae, OUX , si nilia rectangui
sub ,XO, OP, habere rationem composit am ex ritione rectanguli sub ,MB, HI, ad rectangulum sub , RI , FB, & extatione parallelepipedi sub altitudine hyperbolae . ADC.& basi quadrato, AC, ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolae, OVX, basi aute m rectangulo sub, XO, OP.
Nam omnia quadrata hyperbolae, ADC,regula eade,AC,ad ola
quadrata hyperbolς, MX, regula, OX, Ostenta sunt habere ratio. ne copositam ex ratione rectang. 1ub, Mis, Hi,ad rectang.lub,RI,
Iu antee. FR,& parallelepipedi lub altitudine hyperbolq, ADC, hau quadria AC, ad parallelepipedu sub altitudine hyperbolq, OUX, basi autequadrato,ΟX; insuper Omn a quadrata hyperbolς, OUX, ad rectangu 'a omnia eiusdem hyperbole similiare,ctangulo, XUΡ, regula, XO, sunt ut unum ad unum, scilicet ut quadratu , Iro,ad rectangulum, XOP, .s. sumpta communi altitudine eiusdem hyperbolae, OUX, altitudine, ut parallelepipedum sub altitudine hyperbolae, OUx, basi quadrato, OX, ad parallele, pipedum iub eadem altitudine, basi autem tectangulo, ΚΟΡ, erga omnia quadrata ny P .rbolet , ADC, regula, AC, ad omnia rectangula hyperbolε , X,similia rectangulo, XOP , regu Ia, OX, erum in ratione composita ex ratione rectanguli sub, MB, III, ad rectangulum sub, Rl, Fb,¶llelepipedi sub altitudine
hyperbolq, 4 D ', & iub quadrato, AC, ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolς, OVA, basi quadrato, OX, & ex ratione huius parallelep pedi ad pacallelepipedum sub eiusdem hyperbole , OVA, altitudine basi rectangulo , XOP . quq duq ultimo dictς rationes componunt rationem parallelepipedi lub altitudine hyperbo.
I , AD baia quadrato, AC , ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolς, OUX , basi rectangulo, XOP, ergo omnia quadrata hyperbo4, ADL, regula, AC, ad omnia rectangula hyperbolς,
402쪽
X, similia rectangulo, XOP, regula, OX, habebunt rationem compostam ex ea, quam habet rectangulum lub,MB, HI, ad rei tangulum sub , RI, PB, & ex ea, quam habet parallelepipeduni sub altitudine hyperbol , ADC , basi quadrato, AC, ad parallele- bipedum sub altitudine hyperbolet, OUX, basi rectangulo, XOP, quod erat demonstrandum.
THEOREM A XI. PROPOS. XII. ASsumptis quibuscunq; hyperbolis, in unaquaq;r
gula basi, ostendemus omnia quadrata unius ad omnia quadrata alterius, habere rationem compositam ex ratione rectanguli sub composita ex sexquialtera transuersi lateris, & axi, vel diam erro hyperbolae primo dictae. & sub composita ex transuerso latere, & axi, vel diametro hyperbolae secundo dictar ad rectangulum sub composita ex tra-suersi lateris sexquialtera , & axi, vel diametro hyperbola: secundo dicis,& sub composita ex transuerso latere,& axi vel diametro hyperbolae primo dictae, de ex ratione parallelepipedi sub altitudine hyperbolae primo dictae, bas autem quadrato basis eiusdem, ad parallelepipedum subal. t tudine hyp rbolae secundo dictae, basi pariter quadraro h sis ei uidem. Vel si comparentur omnia quadrata hy perbolae primo dictae, ad omnia rectangula hyperbolae secundo dictae similia cuidam rectangulo, illa ad haec habebunt rationem compositam ex ratione praedictorum recta,
gulorum,& ex ratione parallelepipedi primo dicti ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolae secundo, dictae basi rectangulo . cui omnia dicta rectangula sunt similia. Vel tandem si comparentur omnia rectangula primae hyperbolae similia cuidam rectangulo ad omnia rectangula secundae hyperbolae similia pariter cuidam re clangulo , illa ad haec habebunt rationem compositam ex ratione parallelepipedi sub altitudine hyperbolae primo dictae basi Tectangulo, cui omnia eiusdem i uctangula dant si nilia, ad parallelepipedum sub altitudine iccunda hypei bolae. basi Ic c angulo, cui omnia eiusdem Icciansula iam dicta sunt
403쪽
38i GEOMETRI AElimilia, & ex ratione, quae in huius Theorematis supradi. ctis casibus inter illa duo rectangula primo loco exposita
Sint assumpt*quqcunq; hyperbolq, BAD, HMQ, circa axes, Vel diametros, AC, MP, circa quas sint quoqἰ triangula, BAD, HMQ, & in basibus, BD, H a latus autem transuerium hyperbolet, BAD, sit, GA, cuius lexquialtera, VA ; & latus transuerium hyperbolε, HMQ, sit, MX, cu s lexquialtera, ΜR , sint autem exispositae duae utcunque rectae liaeae, FY, . Dico Omnia qua, drata hyperbolq. BAD, regula, BD a ad Omnia quadrata hyper. perbole, HMQ, regu la, Hru habere ratio in
nem composita ex ea, quam habet rectangu
bet parallelepipedum sub altitudine hy perbo te, BAD, & sub qua drato, BD, ad paralle lepipedum sub altitudine hyperbolq,HMαhasi quadrato, H Q;
quod ostendemus ad Bmodum Propos Io. Si
nia quadrata hyperbolae, BAD, ad Omnia rectangula hypeinciae H HQ, similia rectangulo sub ,1 Qui EN . ostendemus illa ad haec habere rationem compositam ex ratione prim6 dim nter illare. ctangula, & ex ratioue pirallelepipedi sub altitud ne hyperpolae , BAD, b si quaa ato, BD, ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolae . Hud, basi rectangulo sub , HQ, EN: hocq. ostendem
mus iuxta methodum Propou antecolentis. si eamdem Compa rentur omnia rectangula hyperbolae.BAD, fi milia rectangula suta
BD, FY, ad omnia rectangula hyperbolae. ΗMQ, similia rectan gulo sub , H N, ostendemus propositum de his hoc Nem: Naomnia re tangu is hyperbolae , BA D, similia rectangulo sub , BD, FΥ, ad omnia quadrata eiusdem. BAD , sunt ut rectangulum sub , BD, P quadratum, B D , .i. ve parallelepipedum sub altitud,
404쪽
ne hyperbolae. BAD, basi rectangulo sub , BD, PY , ad paralleli-pipedum sub eadem altitud1ne basi quadrato, BD t pariter omnia quadrata hyperbolae, BAD, ad omnia rectangula hyperbo Id M. in similia rectangulo sub, I in EN, habent rationem composita ex ratione rectanguli lub, UC, ΛΡ, ad rectangu um sub, RP, GC, di parallelepipedi sub altitudine hyperbolae, BAD ,& lub quadrato, BD, ad parallelepipedum sub altitudine hyperbolae, HMQ, basi rectangulo sub, Hia, EN , ergo, ex aequo, omnia rectangula hyperbolae. BAD, similia rectangulo lub, BD, FY, regula,BU,ad omnia rectangula hyperbolae, HMQ, similia rectangulo IubMQ,
EN, regula, ΗQ, habebunt rationem compositam ex ratione rectanguli, iub, UC, XP. ad rectangulum sub ,RΡ, GC , &ex rati ne parallelepipedi sub altitudine hyperbolae, BAD , basi rectanguinto sub, BD, F ad parallelepipedum lubeadem altitudine, di hasi quadrato, BD. & ex ratione huius parallelepipedi ad parallelepipeduin sub altitudine hyperbo , ΗMQ,basa lectangulo lub, HO, EN I composita ex ratione parallelepipedi sub altitu ine hyperbolo ABD, basi rectangulo lub, BD, FΥ, ad paralles epipedum iub altitudine hyperbolet, HM , basi rectangulo sub , HQ, EN, quq erant Oilend.
SImilium hyperbolarum omnia quadrata, regulis earum basibus, sunt in tripla ratione axium, vel diametrorum earundemia .
Sint similes hyperbolae, BAD, HV, earum latera stansuer: a , GA. XM , quorum sint sexquies terae , ΑU ,MR, in directum axibus, vel diametris, AC, MP, baies.®ulae sint, BD , H . Dico omnia quadrata hyperbolae, BAD, ad omnia quadrata hyper. bolae, HΜR. esse ita tripla ratione eius, quam habet, AC, ad. MP, iungantur, ΒΑ , AD, IIM , MQ. Quonigm ergo hyperbolae Iima des sunt similes basis, BD, ad, CΑ, erit ut balis, Hu, ad , PM, & iunt Apoll. a anguli in clinationis, AC, ad, BD, & MΡ, ad, I Q, inter se aequa- Con. les, ergo triangula, BAD, HMQ, sunt similia, & ideo omina qua.drata eorundem,regu Iis. ijidem, erunt inter se in tripla ratione i teram homologorum a. eius, quam habet. BD, M. HinveLAC, d, MΡ; quia verti quadratum BC, ad rectangulum, GCA, est ut hyperbolae, BAD, rectum latus ad transuerium a. ut rectum latus p Cor.aata tram uerrum hyperbolae, HMQ, quia ille lunt simile .l.vξ qua l. a.
405쪽
. dratum, H P, ad rectangulum, MPX, ideo quadratum , BC, ad re. - p 'φ ctangulum, ACG, erit ut quadratum, H P, ad rectangulum, MPS; .' ' quia autem ratio, quam habet, BC, id, CA, &, BC, ad, CG,com 1-uEs ponit rationem quadrati, dC , ad rectangulum, ACG, & item ra. Comand. i , quam habet,ΗΡ, ad , PM, &, ΗΡ,ad Pλ, componit rationem& dicta quadrati, ΗΡ, ad recha- ad schol. gulum , MPX, harum
8 -υ autem rationum com ponentium ea , quam
habet, BC, ad , CA, elieadem, ei, quam ha bet, H P, ad, PM, ideo
reliquae componentiuerunt eaedem .s. BC, ad CG, erit ut, ΗΡ, ad , ΡX, est autem etiam, AC, ad , CB, conuerten , O . vi,M P, ad PH, ergo,ex aequali,& con
uertendo, GC, ad CR , erit ut, XP, ad PM ,&diuidendo, GH, ad . AC, erit ut, XM, ad MP,6 antecedentium dimidi ,.s UG, ad AC erit ut, R X, ad, ΜΡ, est autem eadem, UG. ad, Gy, ut eadem , 8X, ad ,X M, ergo, VG, ad , GC,erit ut, R X d, XP,& compopes' do, VC, d, CG,erit ut, RP,ad PX,st autem, UC,ad, C G, ut nia quadrata hyperbolae, BAD, ad omnia quadrata trianguli, 3 AD, S, RP, ad PX, ut omnia quadrata hyperbol ,HMO,ad ον r. huius. nia quadrata triangul , HM., ergo omnia quadrata hyperbrisi BAD, ad omnia quadrata trianguli, BAD , erunt ut omniaqὴ 'drata hyperbolae, HMO, ad ijmnia quadrata trianguli, HMPermutando, Omnia quadrata hyperbolς , BAD, ad omniaq*drata hyperbole, HMQ, erunt ut omnia quadrata trianguli, pΛ
quam habet, AC, ad , MP, quod ostendere opus erat.
ΤΗ EO REM A XIII, PROPOS. XIV. SI exponatur semiperbola, quae per axem. vel diametra integrq sit abscissa, habens pro basi dimidiam b/8
406쪽
.- MBER integrae hyperbolae fiat autem paralleleri: π π un sv b dicta, b asi ,& axi, vel dian etio, in angulo ab eisdcm cente is, sumpta basi pro regul Omnia quadrata dicti paralle, logrammi ad omnia quadrata tri iret extra hyperbolam constituti, erunt ut idem paralled gran n Lm . os uircliquum ab eodem dempta lim: thyperbi la, na cum excessu, quo dicta semihypei Dola sipcrat . duri paralleb gr. m- mi, cum V . paralle logrammi sub largιnte ii sciboliuaxis, Vel diametri hyperbolae ea portione, ad quan reliis qua sit, ut intcsra axis, vel diameter ad eiusti m Iat
Sit ergo axis, vel diameter hyperbols,Bε, cuius Adimidia, BED, latus transueri uix, AB, S in anguio, BED, sub, BE, ED, constitutum parallelogramum, GE, sit autem, ut, EB,ad, BA,ita, E H, ad , ΗΒ, & per, H, ducta,ri parallela ipsi, ED, quq su- matur, pro regula, ita ut sit conlii tutum paralici i , grammum lub, HB, di iub, BG, quae erit tangen, H hypei bolam in puncto, B. Dico gituro:nnia qua- drata, BD, ad omnia quadrata trilinei, BGD, esse E Cut, BD , ad sui reliquum , dempto ab eodem ren iit, pei bola, LED, Vna cum excessu,quo ipsa luperat dieii paralle i gran nil, BD, cum l. B M. Nam omnia quadiata, BΙ , ad rectar rula lub, BD. & lemi hyoerbola, BED, sunt vi, BD, ad ipsam, BI D, rectam CorolLr. ula vero lub, BD, , S BED, aequantur rectanguli bi Lb, I2, B ad . i. ED, simul cum omnibus quadratis, BED, ergo m a Suadrata, BD, ad rectangula lub, BGD, BED, cum Cirii bus quadrat S, PE c Cr.a I. D, erunt vi, BD, ad, BEDι sunt aut m ornnia quadrata. BD, ad i. omnia quadrat , BED, ut, AE, ad con post an ex RB, ct y. B
Proportionaliter diuiduntur in punctis, P, B, .i. ut parallelogram 3. huius mum, BD , ad compostum ex LM , 5 l. ΗΓ, . . vi, BD, ad Coinpofitum ex BD,&q. BM ,e goon nia quadrata, BD , ad rectangula iub, BGD, BED, erunt ur, BD, ad excessum , Luo le- l. mlhyperbola luperat '. BC, cum V. B M, erant autem omnia qLadrata, BD, ad rectangula lub, LGD, BED, una cum Ommb.quadratis, BE D, ut, BD , ad, B Ι , ergo omnia quadrata, BD, ad rectangula bis sub , BGU, BED, una cum omnibus quadra iis, REC c e Die
407쪽
D, erunt m. BD, ad, B ED, una cum excessu, quo, BED, superat.
drata, B D, ad omnia quadrat , BG D, erunt ut, B D , ad tui reliquum, ab eodem dempta lamihyperbola, BED, & excessu, quo dein luperat l. BD, 6c ἱ. BM, quod erat ostendendum .
HA c Propo onem apposui, ut O nonnullas alias inferius ,
sua tieet supponant quadraturam hyperbolae ram noram,ut σψsa complete meeti gutur nou inutiliter tamen aliqualιter sc ri raro si inani , ut si alicuius iηd ιDia illius quadratura in lucem prodeat, illico oe bie apposita nota fiant; vel e conuerso, vi per hac aliquando a ιuuenta natim illius quadraturi nobιs morescat; ν ιde cum Icre .mus, quam rationem habeat, BD, ad semihyperbolam,8ED. prebe demus statim quam rationem babeant omnιa quadrata, BD, ad omnIa quadrata trilinei, BGD r Vel e contra, si quando notoicabrmus, quam rationem babeant omnia quadrata, BD, ad omnra quadrata tralmera BGD , statim compertum habebimus, quam rationem habeat, BD, ad semibyperbolam, BED, ct raus quadratura nota reddetur.
THEOREM A XIV. PROPOS. XV. SI parallelogrammum, & hyperbola fuerint in eadem
basi, & circa eundem axnn, vel diametrum, regula basi. Onnia quadrata dicti parallelogrammi ad omnia quadrata figurae compositae ex hyperbola, & alteruti O triis lineoru n extra hyperbolam coniti tutor uln ,- demptis ominnibus quadratis alta n pti trilinei , eruut ut dictum parat. lelogramu n ad inscriptam hyperbolam. Sit hyperbola, CBD, in bali, CD,
circa axtin, vel dametrum, BE, eius latus trant uersum, AB, in eadem au tem basi, CD,& circa eundem axim,
vel diametrum, BE, sit parallelogramum, FD, regula vero, CD. Dico ergo omnia quadrata, pD, ad omnia quadrata figurae, GBCD, demptis omnibus quadratis trilinei, BGD, at terutrius ex duobus, BFC, BGD, ese
408쪽
se ut, FD, ad hyperbola, CBD, quod patet nam, CBD, dii ngura
qualem postulat Prop. 39. Lib. 3. est enim , BE, communi axis, vel diameter, FD, parallelogrammi, & hyperbolae, CBD, unde Patet, Propositum.
IN eadem anteced. Prepos figura, si producatur, CD, utcunq; in dM, & compleatur paralle logrammum, Η regula, CM: Omnia quadrata, F M. demptis omnibus quadr cis Q GH, ad omnia quadrata figurae, HBCM,dem. pi s omnibus quadratis figurae, HBDM, erunt ut, FD, ad hyperbolam, CBD.
Patet hoc Theor. nam, CBD,est figura,qualem postulat Prop. 3o. Lib. 7. quia, B S, eli communis axi, , vel diameter , parallelogrammi, FD, S hyperbolae, CB D, unoe, &c.
HInc bibetur omnia quadrata,FD ad omnia quad. figura. GR , demptis omnibus quadratis trIlmeι, BGD , sp ut omura qua.drata FM, demptis omnibus quadratis, Gu, ad omnιa quadrata ligu.rae, H SchI, demptis omnibus quadratis R. HBDΜ, quιο νιraq, sunt, ut, FD, ad hyperbolam, c BD.
IN eadem Prop. is . figura si intelligamus ductam vi. cunq; axi, vel diametro, BE, parallelam, RS 6 it au- te, ut oia quad. FE,ad via q uad.scini hypeib.n .E,ic gula, CD,. i. v t,AE,ad compositam ex . AB. & BE, ta quadratum CE, ad quadratum, EI, ut . FE, ad semibypobola, BCE ita esse supponatur, CE, ad EV, ubicunq; caccipia ctulo, V. Dico omni a quadrata , FS, ad omnia qL. drata figurae, RBES, regula, L D, esse ut quadratum c D ad quadratum, SE, quadratum, EI, &Icctangulum bis iub, VE, ES.
409쪽
omnia. n. quadrata figurM, RSCS, iecantur per, SE, in omnia quadrata, AS, in omnia quadrata lami byperbolae, BCE, & in re clausula bis su5, BCE, & sab, B , ad borum ergo Ogula compa. remus omnia quadrata, FS; b c igitur ad omnia quadrata, BS. sunt ut quadratum, CS, ad quadr/xum, SE, Pariter Omnia quadrata, FS, ad omnia quadrata, FZ, sunt Ut quadratum, SC, ad quadratum, CL, omnia vero quadrata , PS a ad Omnia quadrata, BCR, sunt ut quadratum, CZ, ad
quadratum. EI, ergo, ex aequali,Omnia quadrata, Pi , ad omnia quadrata, BCE, erunt ut quadratum,CS,ad quadratum, EI: quod terua . Item Omnia quadrata, Fi, ad rectangula sub, PE, ER, sunt ut quadratum , CS,adrectangulum, CES, rectangula vero sub, FS, ER,ad rectang.sub, BCE, ER,sunt ut, FE, ad, BCE, . i. Vt,CE, al, UE, . i. sumpta, Ss, communi altitudine , ut rectangulum, CES, ad rectangulum, V Es, ergo, ex aequo, omnia quadrata, FS, ad rectangula sub, BCE, ER, erunt ut quadratum, CS, ad rectan.
gulum, V ES, ad eadem vero bis sumpta, ut quadratum, CS, ad rectangulum bis sub, UES; ergo, consequentibus simul collectis, Omnia quadrata, PS, ad omnia quadrata , BS , ad omnia quadra . ta, BCE, &ad rectangula bis sub. BCE, ER , idest ad omnia qua.drata figurae, R BCS, erunt ut quadratum, CS , ad quadra-SE, quadratum, Et, & rectangulum bis sub , VE, Eb ; qua methodo si militer ostendemus omnia quadrata, F D , ad omnia uuadcata figurq, GBCD, esse ut quadratum , CD , ad quadratum , DE, quadratum, Et, & rectangulum bis sub , UE , ED a& similiter omnia quadrata, FH, ad omnia quadrata figurae, HBCM,ella vi quadratum , CM, ad quadratum , ME, quadratum, Et, di rectangulum bis sub, UE, ΕΜ, quod Ostendere opus erat.
IN eadem Prop. I s. figura ostendemus omnia quadrata figurae, HBCM, dempti, omnibus quadratis figurae, H
BDU regul i eadem retenta, ad omnia quadrata figurae,
GBCD, de n ptis omnibus quadratis trilinei, BGD, esse ut composita ex , CM, MD, ad, DC.
410쪽
Hoc Theorema demonstrabri ur methodo Sect. a. Collorari, Prop. II. Lib. 3. quod similiter quacunq; figura existente, si BD, dummodo, BE, sit communis axis eius, & , FD, facile collige
IN eodem Prop. is. figura ostendemus omnia quadrata BCE, regula, CD, ad omnia quadrata figurae, GBCD, demptis omnibus quadratis tril inei, BGD, esse ut quadratum, IE, ad reviangulum sub , CD, di dupla, VE .
Nam omnia quadrata, BCE, ad Omnia quadlata , F E, sunt ut quadratum, IE, ad quadratum, EC, item Omnia quadrata , FE, ad Omnia quadrata, FD,lunt ut quadratum, EC, ad quadratum, s. a. CD,& tandem omnia quadrata, rD,ad Omnia quad.figurae, GBCDrdemptis omni b.quadratis trilinei, BGD,sunt ut, FD, ad hyper bola, CBD, . i. vl,CE,ad, EU, velut, CD, ad dupla, V E, V es ut qua- is., ius. dratum, CD, ad rectangulu sub, CD,&dupla, UE,ergo, ex aequali, omnia quadrata semihyperbolae, BCE, ad omnia quadrata figurae, GBCD,deptis omnibus quadratis tril inei, BGD, eruntvt qua dratum, Et, ad rectangulum 1ub, CD,&dupla, VE, quod erat demonstrandum.
OVia vero omnia quais ita figura, GBCD. demptis omnibus qua d atis trilinei, BGD, ad,mnia quadrata M.HBcu, demptis omnibus quadratis figurae, ΒΗΜD, ostensa sunt esse, ut, CD, cd, DΜ ,.i. sumpta communa altitudine dupla, UE , ut rectangulum sub , ,σdupla, VE, ad rectangulumsub, I , o dupla, UE, y ὸ et/am, ex At ε.huius. αiual , omnia quadrata, B Rad omnia quadrata figura HBcm,di myptis omnibus quadratis figura , BQND, erant ut quadratum , EI, ad rectunautum sub, cmD, σ dupla. UE.
similia possumus eirea hyperbolam, eiusque portiones
contemplari, quorum plurima Lectoris 1ndustria examinanda νelinquo, tum ad nimirm yrolιxrtatem euItandam, tum etiam; quia bile Theoremata minus forte reliquis rucunda erant, tum completa eorum Diuili od by Coos e