장음표시 사용
411쪽
eorum notitia tu suppositione eiusdem Dperbola quiaratura deficiat:
si quis tamen adhuc voluerit atra circa e indem contemplara, metbo
dum tenere poterit Lib. λ. ct me prosequutam, mihι vero post hyperbolarum speculationem ad oppositas fetitiones, ct conrugatar nolonii opportune videtur transtundum.
THEOREM A XIX. PROPOS. XX. SI ad axim vel diametrum utriusq; oppositarum sectio-
nun ordinarim applicentur rectar lineae in easdem terminatae, ita ut abscii lar per easdem ab axi bu , vcidia. metris versus vertices sint aequales erut istae applicatae parallelogrammi opposita latera, quod parallelogiamum si compleatur, regula applicatarum altera sumpta omnia quadrata parallelogrammi constituti ad reliquum , demptis ab ijsdem omnibus quadratis oppolitarum hyperbolarum iam fer. lict. is ordinatim applicatas constitutarum, crunt ut reci a igulum sub composita ex transuerso latere,& axi, vel diametro alterutrius oppositarum hyperbolarum, & sub composita ex hoc axi, vel diametro, & . transuersi laturis, ad rectangulum bis sub . transuersi lateris, S su n composita ex . eiusdem transuersi lateris , & aAi, vel diametro alterutrius oppositarum hyperbolarum, cum quadrati eiusdem axis, vel diametri.
Sint oppositae sectiones, AMC, BN D, quarum latus transuerosum sit, N vi, communis ax s, vel diamete et earundem , ad quam hinc inde productam ordinatuu applicetur, BD, AC, in lectionesicrminatae, abicindentes vel lus vertices, NM , axes, vel diametros, FN, rati, hyperbolarum, BND, AM , quas pariter Oppo sitas voco quae sint inter te aequales , iunganturque, B A, DC , &st, O, centrum oppositarum lectionunLBΛD, AMC: Quoniam ergo, hN, ME, lunt aequales, erunt etiam aequales, BD, AC, &sunt equi distantes, qu a ad eandem d ametrum,ue laxim, FE,lunt Elic: ur ordinatim applicat , drgo, BA, DC, erunt qqui distantes, &. BC, 9 Pxi- parallelograminum . Dico ergo regula tum pia altera applica 'μ' tarum, A ., BD, vi, AC, omma. quadrata, B , ad reliquum eia' rundem dem pos omnibuq quadratis oppositarum hypeiholarum, BND, AMC, elle ut rectangulum. NEO, ad rectangulum,NUE ,
412쪽
his, cum l. quadrati, EM . Ducantur per, M, O, puncta paralle is, AC, ipsς, VS, TR , igitur, TR , tanget lactionem , AMC, Ssunt parallelogramma, fCAEC, V D: Omnia ergo quadrata pa. rallelogrammi, UC, ad omnia quadrata hyperbolae . AMC , ha
hent rationem eompositam ex ea, quam habent omnia quadrata, UC, ad omnia quadrata, TC , .i. ex ratione, OE, ad , EM, & ex ratione Omnium quadratorum, TC,
ad omnia quadrata hyperbolq, AMC, idest ex ea, quam habet, NE, ad co- positam ex , OM, & . ME. istς di et
rationes autem .l. quam habet, OE,
ad, EM, &, NE, ad compositam ex , SM, & l. ME,componunt rationem rectanyli lub, NE, E ad rectangu- Ium sub, EM, & sub composita ex , OM, & l. ME, ergo Omnia quadrata, VC, ad omnia quadrata hyperbolq,AMC, lunt ut rectangulum, NEO,adrectangulum sub, EM,&sub compo. sita ex, o M,& l. ME, quod est squa Ie rectangulis lub,OM,S, ME,&iub q. ME, S iub, ME, . . rectangulo, O ME, cum quadrati, MF;qu a vero rectangu.um, N EO, qquatur rectangulo, NEO, cum quadrato, OE, quadratum vero, OE, squatur quadratis, EM, Mo, cum rectangulis bis sub , EMO, ideo si ab h)s dempseris semel rectangulum, EMO, remanebit de quadrato, OE, rectangulum, EMO, cum quadratos, AM , MO, rurius si dempserishquadrati, EM, a quadrato, EM, remanebunt l. quadrati, EM, rectangulu, EMO, cum quadrato , MO, rectangulum vero, EMo, cum quadrato, UM, quatur rectangulo, FOM, vel , EON , quod collactusmul curn R. quadrati, EM, eli residuum, quod remanet detracto rectangulo, EMO, cum quadrati, EM , a quadrato, Eo, ergo detracto rectangulo, EMO, cum ti quadraii, εM , a quadrato, Eo, iurestia rectangulo, EON, . . a rectangulo, NEO, remanent duo rectangula, NOE, cum l. quadrati, ME; quia ergo ostensum est omma quadrata, VC, ad Onmia quadrata hyperbolς, AMC,
elle ut rectangulum, NEO, ad rectangulum , OME , cum . quadrati, ME, ideo, per conuersionem rationis, Omnia quadrata, UC, ad reliquum, demptis ab ij idem omnibus, quadratis hyperbo-lε, AMC, erunt ut rectangulum, NEO, ad rectanguluin b:ssub,
NOE, cum quadrati, EM. Eodem pacto, si ducamus per, hi, ipsama
413쪽
ipsam, QP, parallelam ipsi, do,quxurit tangens sectionem, BN. D, in puncto, N, ostende .nus Omnia quadrata, BS , ad reliquum, demptis omnibus quadrati; hyperbolia, dND, tumptis medijs omnibus quadratis, ΒΡ, este virectangulum, MFO, ad rectangulum bis lub, MOF, cuius quadrati, Fλ, .i. Vt rectangulum , di Eo, ad rei tangulum bis lub, NOS, cum l. quadrati, EM, nam , uM, est aequalis, NF, & ideo etiam, EN, qqualis, ME, &, Eo, pariter est aequalis ipsi, OE . Tandem ut unum ad unum. ita omnia ad omnia. i. vi omnia quadrua, d S, ad reliquum , demptis omniabus quadratis hyperbolae, BND, .i. vi rectangulum, MEO, ad rectangulum bis sub , M DF, cum quadrati, FN, ita omnia quadrata, BC, ad reliquum,demptis ab eadem omnibus quadratis hyperbolarum oppo tarum, AMC, UND , est autem, ut rectangulum, MEO, ad rectangulum bis sub, MOF, cum '. quadrati, FN, ita rectangulum , NUE , ad rectanguluni bis iub, di OF , cum qi atra L RH, ergo Oiuisa quadrata, PC,. ad reliquum demptis ab i d in omnibus quadratis oppotitarum hyperbolarum, AMC, BNU, trunt virectangulum sub, NEO, ad rectangulum bis sub , NOE, um I.quadrati,M , quod ostendereopus erax,
SI veluti in anteced. sit parallelogrammum habenSep
polita latera, quae sint ad diametrum transuersam OP positaram sectionem ordinatim applicata, quaeq, oppositarum hyperbolarum sint bases, insuper describantur earuasymptoti, & regula sit latus transuersum,constituti parallelogran ni o nnia quadrata ad omnia quadrata figurae , quae continetur lateribus parallelogrammi iam dicti, lateri transuerso parallelis,& oortionibus oppositarum sectio num inter eadem latera comprehensis, erunt ut quadrata uniuscuiusuis laterum dicti parallelogrammi lateri tran suerso atqui distantium ad quadratum lateris transuersi, una cum . quadrati portionis dicti lateris eiusdem parat telogrammi, quae inter asymptotos inclusa manet.
Sin torpositae lect ones, FAD, EUC , quarum latus transuer sum. RV, centruin, O, per quod tranieant earum asymptoti, FO
414쪽
H, Nos, sit autem, veluti in anteced. Prop. constitutum paralle. Iogrammum, FC, cuius Opposita latera , FD, EC, sitnt ad ax in , vel diametrum, AU, in eadem productam, ordinat in applicata
erunt, DC. FE, ipsi, AV,qqui iidi stantes,sint earum portiones
inter a lymptotos conclusae, H R Do κ ἄ
ergo omnia quadrata, Fc , ad omnia quadrata figurae, F ADCU E, idest figurae conclusae in. ter latera, FE, DC,S oppositarum seistionum portiones inter eadem manentes, qui sunt, FAD, EVC, esse, ut quadratu, DC, vel, FE, ad quadratum, AV, cum quadrati, HS,vel, NY . Per puncta ergo, O, V ducantur, XL, VP, ad ipsam, AV. ordinatim applicatae, erit igitur, XL, secunda diameter,&, VP, tanget scinionem, Eu C. Quoniam ergo rectangulum, HCS, aequatur quadrato . OV, idest quadrato, L P, rectangulum vero, HCS, aequatur rectangulo, L SC, bis una cum quadrato, SC, ideo, rectangulum, LSC, bis Una cum quadrato. SC, erit aequale quadrato, LP; eodem pactos intelligamus ipsi, LC, aequid istantem utcunq; ductam lutra parallelogrammum, OΡ, usq; ad sectionem, VC, productam, Ollen demus rectangulum bis s ub eius portionibus inter, OL, OS, S inter, OS, S sectionesta, V C, conclusis, una cum quadrato eiu5, quq inter, OS, & sectionem, UC, clauditur, aequari quadrato eius,quq manet inter, OL, UP, & sic de reliquis cousimiliter lumpi: b; unde ζatebit tandem rectangula sub triangulo, Lob, ct figura, OVCS, is sumpta , una cum Omnibus quaeratis figulae , OVES , aequari omnibus quadratis, OP, regula , AV, iam luppUsita, quia ergo omnia quadrata, CO. ad omnia quadrata, o P, iunt ut quadratu, ZO , ad quadratum, V , id co paritur iii L a quadrata . UC, adrectangu la lub triangulo,LOS,& rgura, Vc b, bib, una cum Omnibus quadratis figurae, OVCS, erunt ut quadratum, ZU, ad quadratum, J V quod ierua. In iuper Omnia quadrata, CO, ad omnia quadrata parallelogrami, SO, si compleretur, essent ut cuadiat Lm, CL, ad quadratum,
415쪽
LS, sunt autem omnia quadrata trianguli, ULS, Omnium qu a.dratorum parallelogramini, SO, ergo omnia quadrata , O , ad Omnia quadrata trianguli, Los, erunt ut quadratum, CL, ad quadrati, L . & quoniam ollensum eii Omnia quadrata, CO, ad rectangusta his sub triangulo, LUS, & ngura, OVCS, una cum omnibus quadratis figurae, OUC S, et se ut quadratum, ZO, vel , CL, ad quadratum , OV, ideo omnia quadrata, CO, ad rectangula bis lub triangulo, LOS ,& figura, OVCS, vo
figura OVCS, tum trianguli, OL i. o:nni a quadrata,CU, ad O unia quadrata figurae, OLCV. 'runt ut quadratum, CL, ad quadratum, OV, una cul. quadrati, LM & antecedentiu .n dupla . f. o nnia quadra ta, XC, ad omnia quadrata figurae, EUCLX, erunt ut qua dratum , CL, a l quadratum. OU, cum '. quadrati, LS ,& ladhuc illo usia quadrupla . l. Omnia quadrata, FG, ad Omnia quadrata figurae, FADCVE, erunt ut quadratum L ad quadratum, OU, una cu .n l. quadrati, L , vel ut i lorum quadrup a,ic licet sui quadratum, CD, ad quadratum, AV, una cum . . quadrati , HS, vel, NY, qui ad ostende se DPus eratis emo lis iter supradi I rin rationem explicare, jD coomn 'a quadrata, PC, at omnia quadrata figurae, FADCUE, else ut qua iratum, RZ, compositae ex transuerio latere, 6,& axibus, vel diametris Oppositarum hyperbolarum, F A D, EVC, ad quadratum, A V. una cum rectangulo sub. AZ,& sexquitertia, Z V. Nam ollentum est eadem esse, ut quadratum, CL, vel, ZO, ad quadratum, OV, cum iis quadrat , LS , & quoniam a ectangulum, C, D. cuin qu idcato, SL, eis aequale quadrato, CL. vel , ZO, rectanguluin aut ein, C s D, est .equale quadrato, OU. deo qua diatum, Li, erit equale reliquo quadrati, ZO. dempto quadra
416쪽
ctanguli lub, AZ, ZV, . i. erit aequale rectangulo lub, AZ, S '. ZV, & ideo omma quadrata, FC, ad omnia quadrata lagurae, Ι ni in CVE, erunt ut quadrat uir, ZO, ad quadratum, OU, cum rectan gulo sub, AZ, & l. ZV, .i. ut horum quadrupla , nempe, ut qua dratum, RZ, ad quadratum, AV, cum rectangulo lub, RE, O r.
ZV. .i. iub, AZ, & iex qui tertia , ZV, quae ratio lic propon batur explicanda, quaeque,ut libet, retineri poterit. HIuc patet quadratum dimidia eius, qua lateri transi ea D U. posit trum sectionum aequidistanter discitur, subtendituri; aagulo, q ui deinceps est angulo sub asymptotis comprehensa , Deliones contineuti aequale esse rectangulo sub composita ex late e t. avfreerso, O axi, vel diametro alterutrius consstularum hyperbolarum per or-d natim applicatas a punctis, quibus dicta Ibbte is incidit, pri ducia, ipsis oppositis semonibus , o sub eodem axi, vel diametro , quod pa 'tet, veluti orati usum est quadratum , SL, aequari rectangulo , AZV.
I per vertices oppositarum sectionum rectar lineae ordinatim ad eorum axim, vel diametrum applicenturusque ad asymptotos productae, quarum extrema ad eas de partes sumpta iungantur rectis lineis, iungentes'; usq; ad oppositas sectiones producantur, erunt istae parallelogia, mi opposita latera, quod parallelogrammum si compleatur, regula existente latere transuerso: Omnia quadrata constituti parallelograinini erunt si xquialtera omnium quadratorum figurae comprehensae sub lateribus dicti parallelogrammi lateri transuerso aequid istant bus. & sub oppositarum sectionum portionibus intcraeadem latcra cQ. clusis: Omnia vero quadrata dictae figurae ciunt quadrupla omnium quadratorum triangulorum, qui sub asymptotis &ijsdem in elusis portionibus latcrum parallclogramini, transuerso lateri aequi distantiu in cGntinentur. Sint oppositae te bo , PAD , EVC , quarum latus iransuer-
417쪽
sum lit, A V, centrum, O, aiymptoci indefinitε producti,Np,ΗΥ, per puncta autem, A Z, int dia tae Ordinatim, NH , YP , pruduciae viq; ad aiy.nptotos, in punctis, N, H, Y, P, ipsis incidentes, qua sectiones tangent, deinde iunctis, NY, ΗΡ, producantur ip tua'
gentes usq; ad lectiones illis in punctis, F, Ε, C, D, s. R d
ι . lacu i. Occurrente , Nng inturque, FD, EC, & per, o, ad Con. ipiam, AV, Ordinat in applicetur, XL, incidens, FE, m. X, &, DC, in , L, quu erit secun ri dia neter,& producatur, AU , indei inite incidens ipsis, FD ,
D . ema. SC, in Punct.. , R, S, eris ergo, FC, parallelogra-Con. inum, nam rectangulum, YFN, . . rectangulum, EN F, est aeqv ile quadrato, AO, id est rectangulo, C s, , H D, iten quad atum: NX , est aequale quadrato , . See.E' .HL,& i leo rectangulum, EN F , cum quadrato, NX , .i quadra tum, XE, erit aequale rectangulo, CH D , cum quadrato, Lla , i quadrato, LD, S ideo, X F, erit aequalis ipsi, LU, & eius dupla, PE, aequalis duplae, CD, & eidem parallela, unde , FD, erit, ξ parallela, & ambae ordinatim ad axim , vel diametrum, R Z , pr d natim applicatae. & ideo in, R, Z, bifaliam lectae, &, PC, erit
parallelogram num, iit regula latus transuersum, AU. Dico sucomnia quadrata parallelogrammi, FC, esse lexquialtera omnium Τ, huius. qua fra torum figurae, F A DCUE ;&h celle quadrupla omnium qua tratorum triangulorum, di OY, HOP; nam omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figurae, FADCVE , os lenia iunt esse, tquadratu n, DL, a s quadratum, AV , cuin J. quadrati , It pie lautem quadcatum , ΗΡ, aequale quadrato, AV , S ideolunt, rquadratum, D as quadcatum, id , curia quadrati, H P, vel xt 3 iadratum, RZ, id quadratum, AV, cu n, quadrati, AV . Pro ucantur nunc aiymptoti, Np, ΗΥ, verius, E , cui productan ei dant m ,, i, est ergo rectangulum , SEl, aequale quadrato, ruiu 'ζς .i. quadrato, EZ, & ideo rectangulum , b El, cum quad δἰO, Zi 'φ' duplum est quadrati, EZ, vel quadrati, XV, est autem recta pulpiSEl, cuin quadrato, EZ. squale 'uadrato, S Z ,& ideo quadra , SZ. duoluin est quadrati, V, est autem , ut quadratum , SE, Uquadratum, V V. Ha quadra um , ZO, ad quadratum , OV , es Qquadratum, ZO, erit duplum quadrati, OU, vel eo im quadrus a. f. quad. atum, ZR , duplum qua di at , AU ; quia vcro dictuni est omnia quadraca, PC, ad Omnia quadrata figurae, FADCVE, ut qua dc uum, R L, ad quad. atum, AU, cum quadrati, AV , '
ut quadratum, RZ, ad quadrao , AV, S est quadratum , B cidi lum quadrati, AV, ideo quadratum, Re , esit , quadrati.AVici 50
418쪽
ergo quadratum, RZ, ad quadratum, AU, cum . quadrati, AV,
erit ut ζ. ad r. . i. ut 6. ad ψ. in ratone lex quialtera,ergo Cin aquadrata, FC, ad Omnia quadrata figurς, FADC U E,erunt in ra tione lexquialtera. igitur conuertendo omnia quadrata figurς, FADCUE, d Omnia quadrata, FC, erunt m ratione lLbi ex lu: altera, . i. vi 4. ad 6. sunt autem omnia quadrata, rc , ad Omna quadrata, NP, ut qua dratum, ZR, ad quadratum, AV, idest dupla vi G ad S Omnia qua diata, GP , i uiri tripla omnium quadratorum tria lagulo. rum, IO, Uti Ρ, iunt ad iija, ut 3. ad I. ergo ex ςquali, Omnia quadrata lagure, FAD . UE, ad O initia quad. triangulorum, NI O, OH P, erum vι q. ad I . . corum quadrupla, quε erant Ostin denda.
OVoniam vero in Propos. anter. ostensum est ae in ei s figura, omnIa quadrata, FC, ad omnia quadrata Dura, FADCUE, isse
419쪽
lateri transuersa parallata, quod Jum itur pro regula, ita inquam, ut omnia qu.rd, Ma descrIpti parallelogramni ad omma quadrata figura dictis lateribus, quae transuerso t itera aequidi aut, O ab , Idem fecitionum oppositarum inclusis portio uibus compraebensa , demptis ora bus quadratis triangulorum sub asymptotis , ct ab iis inclusis portio nibus laterum, parallelogrammι transuerso lateri aequillistantium ,
habeant datam rationem, dummodo ea siit maioris inaequalitatis : Sitru fietura Propos. 2 l. data ratro maioris inaequalιtatis, quam habet,
ΚΒ, ais, Gu , ct supponatur ductam fuisse , FE , aequidistantem lateri
transuerso, AC, Ita ut quadratum, FE, ad quadratum. AV , sit vi, ΚΒ, ad , GH, oe constructam fuse laurum. velutila factum est, patetrgitur, quia omnia quadrata, FC, ad omnia quadrata figure , FADC E, Jut ut quadratum, FE, ad quadratum, AV, e x Coroll. antec.dem piis ta nen ab omnibus quadratis dictae figurae, omnibus quadratis trianguloru M, 2 OT, HOS, quod ideo ad eadem erunt in ratione da ta .s tu ea quam habet, ΚΓ, ad , Gu.
THEOREM A XXlI. PROPOS. XXIII.
SI duo parallelogramma utcunq; sectionibus oppositis
circumscripta fuerim modo solito, habentia scilicet duo opposita latera, quae sint oppositarum hyperbolarum bases, & reliqua duo lateri r tant uerso a quid istantia, rcgula una dictarum basium i Omnia quadrata unius parallelogrammi, demptis omnibus quadratis oppositarum hy perbolarum communes cum eo bases habentium , ad omnia quadrata alterius parallelogrammi, demptis omnibus quadratis oppositarum hyperbolarum communes cum eo bases habentium, erunt ut parallelepipedum sub altitudine axi, vel diametro unius hyperbolarum, cuius est con
munis basis cum parallelogrammo primo dicto,basi recta gulo sub dimidia transuersi lateris, & sub composita ex eadem dimidia, & axi, vel diametro dictae hyperbolae, una cum . quadrati eiusdem axis, vel diametri, ad parallele pipedum sub altitudine axi, vel dia inetro hyperbol ae, cuius est communis basis cum parallelogrammo secundo dicto, basi rectangulo sub dimidia transuersi lateris, di sub composita ex eadem dimidia, & axi, vel diametro hypcD. bois
420쪽
LIBER V. 399boIae postremo dictae , una cum ' . quadrati eiusdem axis, vel diametri.
Sint oppositis sectionibus, FAD, EUC, quorum latus transuet
sum, AV, centrum, G, circumlcripta paralleliagramma utcunque
EC, TN , quorum duo opposita latera sint bales oppositarum hyperbolarum a FD, EC, nempe hyperbolarum, FAD, EVC, &, TY, MN, hyperbolaru n, TAY,MVN, nempe sint ad axi in , vel dametr utrant ueriam, AU,ordua at in applicata,&. reliqua latera, ad secundum axim, vel da- metrum, quae sit, XL, pariter Ord malunapplic ta, regula autem una dustarum ba. sium, i, EC. Dico ergo Omnia quadra.
ta, FC, demptis omnibus quadratis oppo sitarum hyperbolarum, FAD , EUC, ad Omnia quadrata, ΓΛ, dein ptis omnibus quadratis Oppolitarum hyperbolarum, rAT, HV i, , ella ut parallelepipedu n Iubaltitudine, LV, baia rectangulo. Uod, cu . qua irati, ZV, a i starallelepi sedu n lub ali tudine, qU , basi rectangulo, UOS, cuin quadrati, a V o. nnia . quadrata , FC. de.npc sis nu bus quadratis oppositarum hyperbolarum, FAD, BUC, ad Omnia quadrata, I N, deinp. s omnibus quadratis Oppo sitarum hyperb alaru n , ΓΑΥ, M VI, , habent rationem comprusita in ex ea, quam habeat om n a quadrata, Ex , de .nptis Omn bus qua iratis oppositarum hyperbolarum , FAD, E , ad omnia quadrata, FC, & ex ratione horum ad omma quadrata , TN ,&ex ratione i florum ad Omn a eorundem quadrata , demptis Omnibus quadratis Oppositarum hyperbolarum , TAY, MUN ; verum Omn a quadrata, FC, demptis omnibus quadratis oppositarum hyperhoiarum. FnD. EUC, ad omnia quadrata , FC. lunt virectangulum, AOZ, b s, cum=quadrati, LU. ad rectangulum, A ao.huius, Z γ : Ginma ιtem quadrata, PC, ad omnia quadrata, TN, habet rationem comuoluam ex ratione, FE,ad, TM, vel , EX, ad, xl H, siue, Eo, ad, S,S ex ratione quadrati, EC,ad quadratum, MN, Defin.ia. siue iectanguli , ALV , ad rectangulum, A, V r I audem omnia . i. . quadrata, 1 N ad eadem demptis omnibus quadratis oppositaruhyperbolarula, T AY, MVN , iunt ut rectangulum, A MD, ad rectangulum, AUS , bis, cum I. quadrati ,ΣV, habemus ergo has i :huiuis