Geometria indiuisibilibus continuorum noua quadam ratione promota. Authore P. Bonauentura Caualerio ..

431쪽

GEOMETRIAE

ΦΙΛ ρF7, a parallalogrammo, β Ω, ablatis ab ijHem omisnibus quadratis oppositarum hyperbolarum, in P, ΣΟ 3. quae dicatur figura parallelogrammi, an, esse ut paralle lepipedum sub, QV, & quadrato. VZ, una cum parallelepipedo sub, QT, & composito ex quadrato, SO, & quadrati, ab his dempto parat telepipedo sub , SO, & quadrinto, ΟΥ,& cubi , ΟΥ, ad parallelepipedum sub , ΛΩ, &quadrato, Ω , Vna cum parallelepipedo sub , Λ , & cominposito ex quadrato, SO, & . quadrati, Λ , dempto paral

lelepipedo sub, SO, & quadrato, O 6, cum cubi, O 6.

Nam omnia quadrata figurae parallelogrammi, TV, demptis iam dictis, ad omnia quadrata figurae parallelogrammi,-dem

piis iam dictis, habent rationem compositam ex ratione omni

quadratorum primo dictae figurae, demptis, &c. ad omnia qua drata, W,. i. ex ea, quam habet parallelepipedum sub , Q U , 11 antec. quadrato, UZ, una cum parallelepipedo sub , QZ, & compotita ex quadrato, OS,& l. quadrati, , dempto ab his parallelepis pedo sub, SO, & quadrato, OΥ, & l. cubi, OY, ad cubum. TU, te

ex ratione omnium quadratorum, TU , ad Omnia quadrata , O ,. idest ex ratione cubi, UT, ad cubum, Q , quia parallelogramma, TU, ει , sunt similia, cum sint circa eandem diametrum, & tande ex ratione omnium quadratorum, β n, ad omnia quadrata figurae Exinta parallelogrammi,m, demptis iam dictis, . ex ratione cubi, M. ad parat Iesepipedum Iub, An, & quadrato, o , una cum paralle'

lepipedo sub , Λ , & composito ex quadrato, SO, &l. quadrati, al, ab his dempto parallelepipedo lub, ΣΟ, & quadrato, OG una cum . cubi, Uci rationes autem parallelepipedorum primo dia rum, dempto parallelep pedo sub , SO, & quadrato , ΟΥ, cum l. cubi, OL ad cubum, ZV, cubi, ZV, ad cubum,n q, & cubi , n , ad parallelepipeda postreinb dicta, dempto parallelepipedo sub , So, & quadrato, O6, cum l. cubi, O6, componunt rationem paἄDefin. ii. rallelepipedorum primo dictorum, dempto iam dicto ad parallele. i. D pipeda postremo dicta, dempto iam dicto, ergo omnia quadrata figurae parallelogrammi, TV, demptis omnibus quadratis oppoGtarum hyperbolarum , AEC, MON, ad omnia quadrata figurae parallelogrammi, MI, demptis omnibus quadratis oppositarum

hyperbolarum, LE Γ, Σ Ο 3, erunt ut parallelepi edum sub , QT,& quadrato, UZ, una cum parallelepipedo lub, π, & comto to ex quadrato, SO ,&l. quadrati, π, ab his dempto parallele

432쪽

Pi pedum lub, ΔΩ, de quadrato, o , una cum parallelepipedola δε , & composito ex quadrato, SO,& q. quadrati. Λε , ab his depto parallelepipedo sub , SO , & quadrato , O6, cum I. cubi, O

quod ostendere opus erat.

HIης patet, quod eadem meth nda ostendemus omnia quadrata L. gurae par.illelogrammi, TU , nihil ab eis dempto , ad omnia quadrata figura parallelogrammι ι n, nihil pariter ab eis dempto,esse ut parallelepipeda primὸ dicta ad parallelepipeda secundὸ dre a.

THEOREM A XXIX. PROPOS. XXX. IN omnibus huius Lib. v Propositionibus, in quibus

duarum quarumcunq; figurarum notificata fuit ratio omnium quadratorum, iuxta regulas in eisdem assumptas, nota etiam evadit ratio similiarium solidorum, quae ex illis gignuntur figuris, iuxta easdem regulas.

Quoniam enim ostensum est Lib. I. Prop. a I. ut omnia quadrata duarum figi rarum inter te lumpta cum datis regulis, ita esse solida initaria gemta ex ij:dem figuris iuxta ealdem regulas, ideo cum in huno Libri Propositionibus nueta est ratio omnium quadratorum duaruin figurarum cum talibus regulis, colligemus etianunc eandem esse rationem duorum similarium tolidorum , quae ex illis figuris iuxta eaidem regulas genita dicuntur aquae amplius in sequentibus dilucidabimus isingulas Propolitiones, quae Oppo tunae fuerint, denuo assumentes . . Undecuin in prima Rcopos . exempli gratia ostensum est comspecta denuo eiu idem figura omnia quadrata hyperbolae, DBP, regula, DF, ad omnia quadrata, AF, elle ut compotitam ex , N B, S BE, ad , OE, eandem comperientu habere rationem Iolidum similare genitum ex hyperbola, Ubh, ad . alidum similate genituex, AF, iuxta communem regulam , DF ; S e me in pacto colligeismus, veluti omnia quadrata hyperbolae, UBF, ad omnia quadrata trianguli, DBF, lunt uc compolita ex lexqui altera. OB , & ex.

433쪽

GEOMETRIAE

ad sibi similare genitum ex triangulo, DBF. iuxta communem re gulam, Dr.

OUOniam vero ex Propos q3. Lib. Primi babetur, quodsi quaecunque conoιsbyperbolIca, tu curus basi sit cylindrus, ct conas ετ circa eundLm axem, vel diametrum secetur planis basia ι id n-tιbus, quibus pariter secentur cylindrus , ct conus , fient solidis silura similes basi, ideo omnia plana eorundem regula basi erut' 'l' omnes fisura similes dictorum findorum, in quabus si ducatur pta per producet sit figuras earundem, ν ΣεConoide parallelogrammum in cylindro, hyperbolam ιη conoide, 'Hyperb Iulum in eo no, dicta aurem solida erunt similoerrae Cor 3 -σenitricibus itixta communem regulam Ffam basim , ct ideo eor .1 α' ratis nota erιt , qara scimus quam ratιonem habeant inter se omnia

2cζ:ζ. quadrata dictarum genitricium figurarum, regula basi. cautem

limiliter prosequentibus memorιa temantur, ra quibus siet uoserum solitum exemplum per reuolutionem figurarum circa suos axes, ut habeamus omnes figuras similes genitorum solidorum, drametros in figuris genatricibus, quibus sint eνecti, sitas habemaes, licet eadem ver centur . Fumpns non axibus,sed tantum diamereu, ut alibi plurιes repetitum est, ex dιctis autem infrascripta habentur corollaria .

VΤ igitur fiat nostrum exemplum in Prop. I. reuoluatur Pa rallelogrammum, AF, Circam manentem axim, BE , ut natex parallelogrammo, AF , cyl ndrus, AF, ex hyperbola, DBP, conois, UBF ,& ex triangulo, DBF, conus, DBF,colis liguur ergo c lindrum, AF, ad conoide, DBF, elie vi, OE, ad compositam ex , N B, & B E, cono dem autem, DBF, ad conum, DBF, et levi compositam ex lexquialtera, OB, & ex. BE, ad OE & ita elle lol da quaecunque similaria genita ex eil dein fguris .i. ex parallelo. grammo, AF, hyperbola, DBE, & tria. gulo, DBF, iuxta communem regulam,

DP, ut iupra dictum eiu quq declararc oportebat. CC

434쪽

INProp. 2. assumpta eius fg ura, dimiss s parallelograirnis, ΛΖ, CG, de rectis, CH, RG, LR , ut fiat nusrum in naplumis.

uoluatur tigura circa manentem axim, NE, ut fiat ex parallelogrammo, Sh ,ey,l Dd vis, Siri ex triangulo, D MF, conu

DMF,&ex hyperbolis , DN F, FING, conoides hyperbolicae , DN F, UNG, patet ergo ex hac Propol. conoidem, DNF, ad conoidem, HNG,abicissam plano, HG , aequid istante psa plano, DF, esse ut parallelepipedu sub, XE, S quadrato, EN, ad parallelepipedum sub, XM, S quadrato, MN , &scesse quod slibet solidum similare genitum ex hy- .perbola, DN F, ad sibi similare genitu ex hyperbola, HNG, iuxta communem D

regulam , DF. .

IN Prop. 3- patet in luperioris fi gura, in qua eius exemplum constructum est, cylindrum, SP, ad frustum conoidis. HDFG, esse virectangulum, OEN, ad rectangulum sub , ΟΕ,&,NM. una cum rectangulo sub composita ex ME,&iub, ME. Et conum, D MF, ad idem frustum esse, ut rectangulum, EN, ad rectangulum sub, ΟΕ, & tripla , NM, una cum rectangulo sub composita ex, NX,&, ME,&lub, ME; & sic esse solidass-milaria quaecunq; genita ex eisdem figuris, parallelogrammo ne pe, SP, frusto hyperbolae, I DFG, di triangulo, DMF, iuxta coismunem regulam, DP.

435쪽

INProp. 4. iterum assuinpta figura Coroll. 1. patebit Glindrin SP, ad frustum hyperaolicum, H DFG , ab eo dempto cylindro, Huo esse ut rectangulum, OEN, ad rectangulum sub composita ex P. EM, integra, ΜΝ, & I. NO. Conum vero, D ME . ad idestustum, dempto cylindro, Hu, esse virectangulum,OEN,ad rectangulum lubcomposita ex, EX, & dupla. N M: & fieesse quaecunq; solida similaria genita ex elidem figuris. l. parallelogram .uo, SP, stulto hyperbolae, H DFG, dempto i lido similari genito ex. Ha, dc triangulo, D ME, iuxta communem regulam.s DE.

INP p.ri assumpta iteru n figura Prop. 1. dimissis rectis,CP.R a Lh, te triangulo, Du, &, ut fiat Iolitum exemplum. ea

reuoluta circa axem, NA, ut ex , Α

F, fiat cylindrus, ex hyperbola, κDNP, eo iois , UNe, quae solida sint tecta plano, SZ, basi, DP,ἔqui distante, patet cylindrum, AF , de, pia conoide, DN F, ad cylindrum, bri dempto seu sto conoidis, Di GF, ei se ut parallelepipedum iub co . potita ex , XE,EN,& lub quadrato, NE,ad pa allelepipeduin lub commposita ex, XE,EN,N M,& iub quadrato. ME; & sic Eine quodlibet solidum sim lare genitum ex , AP, dempto solido similari genito ex hyperbola, DN F, ad sibi sit larege ivtum ex, SP , dempto solido si nilari genito ex frusto hyperbo, ita, DHEG, iuxta communem regulam, DF.

436쪽

IN Prop.6.exposita eius figura,& ut fiat nostrum exemplum ea.dem circa, EM, reuoluta, patet pia num transiens per, SU , aequidistans bas, FG, a conO:ec, PEG, reiecare conoi. dem, SEU, quae ad conum, SEU, habet rationem datam, quam nemph habet, HR, ad , RL , idq; diicimus essicere qumcunque solido similari existente, FEG, cuius ligura genitrix sit, FEG, a qu. .s. sciemus abscindere per planu basi εqu distans solidum sibi similare, quod nem ph erit genitu ex hyperboIa,SEU, quod ad lolidum sibi similare genitum ex trita gulo, SEU, habeat rationem datam, dummodo data ratio sit quidem maioris in aequalitatis, sed minor sexquialtera.

COROLLARIUM VII.

IN Prop. I. exposita eius figura, dimissis tamen rectis, E SOXO, & parallelogrammis, AGx, GR, eadem reuoluatur cirinca manentem axim, CV, ut ex triangulo, HCR, fiat conus, HCR, S ex hyperbola, SOX, cOnois,sOX, patet ergo conum sHCR , ad conoidem, SOX, esse in ratione composita ex ea, qua habet Quadratum, SX, ad qua dotum, HR, & rectangulum,

. MO, ad rectangulum, Buta

437쪽

436. GEOMETRIAE COROLLARIVM VI L

IN Prop. 8. sumpto exemplo ex anteced. figura , in qua trap Eium, THRP, in reuolutione geauit frustum coni, THRP , α frustum nyperbolae, lYXS, ge nuit frustum conoidis,lΥXSipatet frustum coni,THRP, ad frustum conoidis, LYXS, habere rationem compositam ex ea, qua habet rectangulum sub,GP,VR, cum quadrati earum differen tiae ad quadratum, vX, & ex ea, quam habet rectagulum , BUO, ad rectangulum iub, BU, - , una cum re si angulo sub compinsita ex I. BO,& l. GU,& iub, GU;&sic esse quodlibet solidus milare genitum ex trapezio , THRP, ad sibi similare genitum ex frusto hyperbolae, ISTY, iux in communem regulam , HR.

COROLLARIUM IX.

EX Propos. p. conspecta figura Corollari, . manifesto colli. gitur Conum, P CR, ad conoidem, S , esse ut cubus, Cu, ad parallelepipedum ter sub, CO. & quadrato, OU, cuincubo, OV, & sic etiam esse quaecunq; solida similaria genita ex triangulo,HCR, ad sibi similaria genita ex hyperbola, Si, iuxta commu'nem regulam, HR.

COROLLARIUM X.

IN Prop. io. colligimus lolida similaria genita ex hyperbolis, AOC, OUX , habete inter te rationem compositam ex ratio nibus ibi appositis, quae breuitatis gratia ini bi recolantur.

COROLLARIUM XI.

IN Propos. Ir. exposita eius figura, habemus conoides hyperabolicas ab eadem conciιde diremptas, habere inter te rat ione

438쪽

compositam ex duabus rationibus ibidem appositis. Ut autem fiat nostrum exemplum , iste i l:gatur D inpia in qua dimittantur asymptoti, S rectae, ad, DC, UV, VX, PU, i E, BL , csic axon,i quam reuoluatur L gu Ia, Vt LX by FQuoia , HL , hac LLLO: serbolica, ADC; ulteri u per,

asymptot circa hyper ν OA , traducatur planum, OA , crectum plano genitricis hyperbolae, ADC, cuius pars in conoide concepta erit ellipsis, X, cuius malordiameter, OX , minor autem in Ggura propo sitionis linea, PO, ha bemus igitur ex Prop. I I. conoi dem, ADC, ad con Oidem, OV habere rationem compolitam ex

ratione rectanguli sub , MB , ΗΙ, ad rectangulum sub, RI, EB,& ex ratione parallelepipedi sub altitudine hyperbolae, ADC, bali quadrato, AC, ad parallelepipedum sub altitudine hyperbola: , OUX, basi autem rectangulo lub, XU, OP , veluti lunt amnia quadrata hyperbolae, ADC, regula, AC, ad omnia rectangula hypzrbolae, OUX, regula, OX, similia rectangulo sub , XO, GP , siue Omnes circuli eisdem ad omnes elliptes hyperbolae, OUX, simileSellipsi, Corol. 1.

cuius coniugati axes, vel diametri lunt, XO, ΟΡ, XO, maior, GP, 33. l. 3. minor, nam Omnes dicti circuli sunt omnia plana cono idis, ADC, regula, AC, & dictae omnes ellipses sunt omnia plana conOidis, o VX, eandem autem rationem supra dictae comperiemus habere quαcunq; lolida non quidem simi alia inter te, ted quorum omnia plana sint omnes figurae similes genitricium figurarum, ADC, OUX , a quibus genita dicuntur , quae habeant inter te ea Dden ra. tionem ei, quam habet quadratum, AC, ad rectangulum, AOP.

IN Propos. ia . conspecta tibus figura,& completis conoid hus,

BAD, HMQ, patet eorum rationem esse compositam ex ra. tionibus ibi explicatis, ubi videri poterunt. Qua, quidem rat,ones comperiemus etiam habere quaecunc; lolida, licst et tam nota similaria ad inuicem, gei. ita tamen cx clidem figurib, quasiam is, .nes figurae similcS inter se, quq lunt vi iub, Vita utq;. tam vita guste

439쪽

Eliciture

i8 GEOMETRIAE

praediata omnia quadraLa, vel rectangula, ut supra ad inuicem comparata.

COROLLARIUM XIII.

IN Prop. 1 3. habetur ii miles coniades hyperbolicas esse intripla ratione axium, vel diametrorum earundem, quippe quae ex simillibus hyperbolis nascuntur . Igitur in anteced. Corollari, figura, si supponantur similes hyperbolae, BAD ,HMQ, ut fiant ex illis similes conoides hyperbolicae, FEG, HTS ,illae erunt intexis in tripla ratione axium, AC , ΜΡ ,& sic erit quodlibet solidum similare genitum ex hyperbola, FSG , ad sibi similare genitum ex hyperbola, HTs, iuxta regulas, FG, HS.

IN Prop. 4. exposita eius figura, ut nate em plum, reuolua tur circa axim, DG, vi ex, EG. fiat Ecylindrus, Eri&ex trilineo, DGB,so lidum, DBGF, quod vocetur . Apex hyperbolicus t patet ergo Iindrum, EF, ad apicem, BDF, este vi, BD , ad sui reliquum , dempta ab eodem semihy- Aper Ia, BED, una cum excessu, quoipla superat 'i .paralle Iogramm . BD,&BΜ; & scesse patet, quodlihet ili, dum similare genitum ex , BD, ad sibi similare gentium ex lenii hyperbola,BED, iuxta communem regulam, ED.

COROLLARIUM XV.

IN Propos ty. expolita

eius figura, ut fiat exe- Pluin , eadem voIuatur ci ca axim , GD , ut ex , FD, fiat culmdrus, FH, &ex rhyperbola, CBD, solidu n, CBD QH, quod voeetur: Sem anulus strictus hyperbolicus et intelligantur aute γsemper haec lolida secarie Per axem, Ut lis producantur figurae, quae in re tu tione Diuiligeo by Corale

440쪽

tlone eadem generant, nempe ex tenso plano, vD, per axem , G . D, produci figuram, FH, compositam ex duobus parallelograminmis, FD, DM, & figuram, CBDNH,compositam ex duabus hyaperbolis, CB D, D N H; patet ergo cylindrum, FH, ad iolidum , CBDNH, esse ut, FD, ad hyperbolam, e BD, & sic esse quodlibet solidum limitare genitum ex , FD, ad sibi similare genitum ex hy perbola, CBD, iuxta communem regulam, CD.

COROLL XVI. SECTIO PRIOR.

IN Prop. 16. ut fiat exemplum, reuoluatur eius figura circa axim,HMrutex, EM, fiat cylindrus, Fin& ex hyperbola, CBD,lolidum, CBD, Soa, quod voce. ture Semlaisnulus latus hyperboIicus patet ergo cylindrum, F , ad semianululatum liype

bolicum, CBDSOQ, esse ut, FD . ad hyperbolam, CBD,& sic esse quodlibet solidum similare genitum ex, F D, ad sibi similare genitum ex hyperbola, CBD. uxta Communem regulam , CD.

SECTIO POSTERIOR.

VNde habetur ex Corollario cylindrum, FH, in figura C rollaris antecedentis ad te mi anulum strie um hyperbolicu, CBD NH, elle ut cylindrum , Fu, in mura huius corollar j ad semianulum latum hyperbolicum, CBDSOin.& siciolidalim, lana, Sc.

IN Prop. i . li, ducta parallela axi, Vel diametro hyperboIae. BE, sit, GD, pacet in ligura Corollar ij ι . quam rationem h Ggg a beat