장음표시 사용
441쪽
beat cylindrus, FH, ad lolidum, Cd NH , quod vocetur a semibam sis columnaris i tricta hyperbolica: Si vero dicta parallela sit, HM, patet in figura Corollarii anteced. quam rationem habeat cylindrus, FQ, ad solidum, CBOQ,quod voceturi Seinibalis colum. naris lata hyperbolica: si tandem sit, RS, voluto, FS, circa axim , RS, vi cx, FS, fiat cylindrus, FH, & ex figura, CBRs, inlidum, CBDH, quod vocetur: Se-C mi basis columnaris media hyperbolica: patet cylin. drum, FH. ad tem ibasim, CBDH, esse ut quadratum, CS, ad quadratum, SE, quadratum, EI.&rectangulum bis lub, VE, ES, vidi imida similaria ex eisdem genita iuxta commune regulam , Cs .
IN prop. i8. habetur, visis proximis antecedentibus figuris, seo mianulum latum hyperbol cum , CBDSOQ , ad temi anulum strictum hyperbolicum, CBDNH, csse ut, L M, MD, ad , DC; &sic solida similaria,&c.
IN Prop. 19. habetur, visa figura Corollari j I .conoidem hyperbolicam genitam ex femi hyperbola , CBE, ad lemi anuluitrictum hyperbolicum, CBD NH, este ut quadratum , IE, ad re .ctangulum iub, CD, & dupla, V E.
VNde in Corollario colligitur eandem conoidem ad semianuis tum latum hyperbolicum esse ut quadratum, Et, ad rectan. gaeum sub composita ex ,CM, MD, & lub dupla, VE, &sic soli. da similaria ex elidem figuris genita iuxta communem regulam, CD
442쪽
IN Prop. zo. exposita eius figura, & ut fiat solitum exemplum, ea circa axim, FE, reuoluta, ut ex, BE, fiat cylindrus, essi oppositis hyperbolis, BND, AMC, fiant conoides, BND, AMC,quq pariter dicantur ;COnoides oppositε, Patet cylindrum, BC , ad reliquum, demptis ab eodem opposuis conoidi . bus, AMC, BND, esse ut rectangulu, N EO, ad rectangulum, NOE, bis, cum Τ.quadrati, ME; Sc sic esse quod- . libet lolidum similare genitum ex , BE , ad reliquum, demptis ab eodemiolid: s similaribus genitis ex sem hy. Tperbolis, BN F, A ME, vel sic lol:dum quodlibet similare genitum ex ,BC,ad relliquum ab eodem, demptis solidis . similaribus genitis ex hyperbolis opis positis, BN V, AMC, iuxta commuis nem regulam, AC.
IN Prop. ai. exposita eius figura, & ea circa axim , LX, reuinluta, ut ex , DX, nat cylindrus, DE, & ex figura, DRFEVC, solidum, DAEEVC,
quod vocetur: Tym. Panum hyperbolicui& ex triangulis, HLO, OXN, oppositi coni, HOS, NOΥ,
patet cylindrum, DE , ad tympanum, DAFEVC, esse ut qua dratum, FE, ad qua dratum, AV, cum l. quadratu HS, . Vel ut aliter ibi explicatur ut quadratum , BZ, ad quadratum, AV, una cum rectangulo sub, AZ , S lexquitertia, ZU; & sic esse quodlibet tolidum similare genitum ex, DE, ad sibi
443쪽
similare genitum ex figura, . DAE LUC , iuxta communem regulam, FE.
IN Prop. a a. si in superioris figura supponamus, FR, esse aequale in ei, quae tangens lectionem, DR F, in. A , concluditur in ter, A,& aly mptoton, ON, habetur cyl:ndrum, DE. elle lexqui alterum tympani hyperbol ci, DAEEVC,& hoc tympanu esse quadruplum conorum, NOY, HOS, S sic esse iolida similatia ea elidem fguris genita iuxta communem regulam, DC.
IN Coroll. r. habetur cylindrum, D E,ad tympanum hyperbo - -licum, DAP EUC, demptis conis oppositis, HOS, NOY, esse ut quadratum, DC, ad quadratum, A V, & in calu praetentis Prop. elle eorum dupla, & sic tolida limitaria, &c.
IN Coroll. 2. discimus inuenire cylindrum descriptum a parallelogra inmolectionibus oppositis circumscripto, ut ibi dicitur, quod ad reliquum tympani hyperbolici, demptis oppositis conis, habeat rationem datam, dummodo ea sit maioris inaequalit. idem intellige de lol dis similacibus, &c.
IN Prop. a r. assumpta eius figura, &, ut fiat exemplum, ea circa axun, R L, reuoluta, ut ex , EC, fiat cylindrus, FC,&ex, TN, cylindrus , T N. & ex oppositis, hyperbolis, FAD, EUC,oppositae conoi des, FAD, EVC.& ex, TAT, MUN, Op- poli tae, conoides , T AY , M UN, Dat et er- κ .go cylindrum, EC, demotis oppositis co. noid bus, FAD, E V ad cylindrum,d N, demptis Oppolitis conoidibus,TAX, MUN, esse ut parallelepipedum sub , Z V, &basi rectangulo, UOL , cum l. quadrati, ZV, ad parallelepipedum lub, o, basi e .igulo, UOS, cum quadrati, a V,&
444쪽
sie esse quodlbet solidum similare genitum ex , IC, de I soli dis similaribus genitis ex ops csti, Lyi ei Libs, i , L ,aolo lidum si hi similare genitum ex , I I, , din pistolidis sn. ilaribus genitis ex oppositis hyperbolis, IRI, MI N , iuxta L sin n. uutanregulam, EC.
IN Propos. 2 . exposita cius figura , & , ut fiat exemplum, ea Circa axem, XL, reuoluta, vi ex figura, EU DAF .fiat tym panum hyper Iicum, EUCDΑP. & ex sigura , MUNYRI , vat tympanum hyperbolicum, MUNYAT, patet tympa cnum, EUC DAF, ad tympanum, MUNTAT , esse ut paralleli p pedum lub, XL,S quadiato,RZ, cum diaplo Zquadrati, AV, ad paralIelepipedu n lub , HG, & quadrato, Bdi, cum duplo qua Cdrati, AV ;& sic esse quodlibet lolidum sitn: lare gentiuex rigura, EUC DAF, ad sibi similare genitum ex figura, MVNYR Γ, iuxta communem regulam , CD.
IN Pror. s. visa figura anteced. Coroll n qua ex triangulis, QOP, l Κ, geniti sint coni opposti, COP, IUΚ, S ex trian gulis, Π n. coni opposit . Π Ω, R C&, patet tympa Dii, nVCD AF, demptis con s,s OF, IUX, ad tympanum , MVNVAT, demptis coni, , Πι o. 8 C&, esse ur, XL, ad. HG; S sic esse sinlidum si dare genetum ex figura, EVc DAP, demptis sol .dis simi laribus genitis ex triangulis, in 'P, Ioli , ad solidum similare genitum ex figura, TAYNUM , dempus lolidis similaribus genitis ex triangulis,&OR ,- II, luxca communem regulam, ΑUω
IN Prop. 26. v ss figuris c orollarii 13. 2.1. S supposito, FC ,
445쪽
drum, PC, in figura Coroll. 13. demptis Oppositis conoidibus . FAD, EvC, ad tympanum hyperbolicum genitum ex figura,EUCD AF, in figura Coroll. 1 . scilicet ad tympanum hyperbolicum, EVCD AF, habere rationem compositam ex ratione rectanguli, AoZ, bis cum quadrati, Ud, ad rectangulum , AZO, dc ex ratione rectanguli sub , DO, vel, RZ, 6c lub , EC , ad quadiatum , AV, cum quadrati, XI, vel cum rectangulo iub , ,& lexqui. tertia, Z V, 6c sic esse quodlibet solidum similare genitum ex , FC , de n ptis lolidis limitaribus genitis ex oppositis hyperbolis , FAD, EUC, iuxta communem regulam, EC, ad lolidum similare sibi genitum ex figura, EUC DAE, iuxta regulam , CD.
IN Prop. 7. coni pecta figula Coroll. 1 I. intelligantur descriptae lectiones, BIG, kMΡ, quae dicuntur coniugatae sectionibus, DAP, CVE, ex quibus in reuolutione genitae fuerint oppositae conoides. B G, kM P, patet igitur cylindrum, DR, ad tympanum hyperbolicum, D AF, EUC, demptis oppositis con Oidibus , BIG, KM P, ella ut parallelepipedum lub, ZC, de sub quadrato Z quae habetur extensa, Z C, ad a.ymptoton producta .f. ad ,OS, cui occurrat in , O, a l narallele i ,edum bis lub , XM . te quadra . to, MO , cum cubo, M 3, 6campi us I. e uidem cubi i de sic esse quodlibet lolidum similare genitum ex, FC, ad sibi similare gi nitu ex figura, DA FEUC, demptis lolidis similaribus genitis ex oppositis hyperbol s, BIG, KMΡ, i uxta comune regula n, FE, vel,AR
N Prop. 18. illius assumpta figu- ara , eadem reuoluatur circa axe, Bd Ι , vel, GZ, sit autem reuolutio in I, vel, GL, ut autem reuolutio
circa,&Y; patet ergo cylindrum genitum ex , TU, nempe, s V, ad reliquum , ab eodem demptis solidis geniti, ex quatuor hyperbolis coniugatis, Bh Η, Pi Q, AEC, MON, esse ut cubus, ZV, vel, SY, ad parallele
conposito ex l. quadrati, ZQ. &qua Irato, SO, ab his tamen dempto parallelepipedo sub, SO, de quadra to, G, cum . cubi. OY. & se esse
446쪽
solidum similare quodcunque genitum ex parallelogrammo, TV, ad sibi similare genitum ex figura, TBFΗRU IPA, demptis solidis similaribus genitis ex oppositis hyperbolis, AEC,MON, iuxta communem regulam , R U; eadem vero esse ostendemus lumpta pro regula ipsa,UX, & reuolutione facta circa axem, GZ.
IN Coroll. colligitur cylindrum,TV,ad cylindrum,ΤΡ,&, HV, cum tympano,BFI QIP, esse ut cubus,YS,ad parallelepipedusub,ΚY,& quadrato, YS, una cum parat telepido sub, KS, S composito ex quadrato, SO,& I. quadrati,SK;&sic solida similaria ex et idem figuris genita iuxta ibi assumptam regulam, RU.
IN Propos. 29. visa eius figura, eaque reuoluta circa axem,& ut in anteced. conspicitur, patet lolidum in reuolutione de . scriptum a figura residua, demptis a parallelogrammo, T U,qua. tuor hyperbolis, d FH, PIQ, AEC, MON, ad solidum descriptum in reuolutione ex figura residua, demptis a parallelogrammo, ΤΩ, quatuor hyperbolis, 9F7, di I A, L E l , ΣU3, esse ut parallelepipe dum sub Qu.& quadrato,VZ, una cum parallelepipedo iub,QZ, di composito ex quadrato, O, & . quadrati, QZ, ab his dempto parallelepipedo sub , SO,& quadrato, ΟΥ,6c . cubi ,ΟΥ, ad parat. lelepipedum sub, An, di quadrato, ΩΑ, una cum parallelepipedo sub , A , & composito ex quadrato,SO,& l. quadrati, A , dempto parallelepido sub,SO,& quadrato,o cum l. cubi ,O6: Sic etiam patet esse quodlibet lolidum similare genitum ex figura, TBFURVinri,demptis solidis similaribus genitis ex opositis hyperbolis,AEC, MON, ad sibi similare genitu ex figura,B9F7r ΩΛ ΦΛ demisptis solidis similaribus genitis ex oppositis hyperbolis ,LE Ι ,ΣΟΙ,
1N Coroll. colligitur eadem solida, genita nempe ex figuris ἰTBFHRUQlpl. 39F an AjΦ Δ, iuxta communem regulam,RU, nihil ab eis derripto, cile ut dicia paralleluipeda, nihil patiret ab e iidem dempto.
447쪽
LIBER SEXTUS. In quo de Spatijs Helicis , & Solidis imde genitis, ac alijs quibusdam ex . superioribus dedures, speculatio instituitur.
I, dato quocumque circulo , super eiusdedicentro, ad distantiam omnium punctorum Desu.i redii transitus ipsius semidiametri, circulO-l. rum circumferuntiar describi intelligantur; praedictar circumferentiae simul su Omnes circumferentiae dati circuli. II.
ET si a praelato circulo qu cumque figura abscisa in
telligatur ; portiones omnium clicum fercntiarum didit circuli, conceprae in abscissa figura, dicentur. Omnes circumferentiae eiusdem abscisiae figurae.
448쪽
CIrculorum aequalium, necnon sectorum aequalium , & ab eodem , vel aequalibus circulis abscisiorum, omnes circumserentiae sunt aequales.
Haec Propositio facile per superpositionem ostendetur . si enim circuli aequales ad inuicem luperponantur, ita ut centrum centro congruat, etiam ipsi circuli congruent, cum supponantur aequales, unde& eorum rad0 sint aequales, congruentibus autem circulis, etiam omnes unius circumferentiae congruent omnibus alterius circumferentus, & ideo inter se aequales erunt. Eadem Dariter superpositionis adhibita via, ostendemus sectorum aequalium, ab eodem, vel et qualibus circulis abscissorum omnes circumferentias inter se aequales esse, quod erat demonstrandum.
ΤΗΕOREMA II. PROPOS. ILO Mnis circulus aequalis est triangulo rectangulo, cuia
ius radius est par uni eorum , quae sunt circa rectum angulum , circumferentia vero basi. Hae e ostenditur ab Archimede lib. de Dimensione Cireuli,Pr,pos. I .propterea ibi recolatur.
THEOREMA III. PROPOS. III. O Mois sector circuli aequalis est triangulo rectanguo
lo, cuius circuli radius est par uni eorum, quae sunt circa rectum, circumserentia vero basi illius sectoris.
Si circulus, ABCD, cuius radius, ED,§or, EDC, exposito vero triangulo, ΗΟM, cuius angulus, ΗMO, sit rectus, &letus, ΗM, aequale ipsi, ED, &, MO, circumserentiae, ABCD, 3 3. Scxi Isit, MN, aequalis circumferentiae, CD; di iungatur, HIN. Dico lem. ergosectorem, ECD, aequari triangulo, IJNM, . Nam circulus, nyeri ABCD, ad scistorem, CED, est ut circumserentia, ABCD, ad cir
449쪽
cumserentiam, CD, est autem circulus, ABCD , aequalis triang. HOM, ergo triangulus, HO M , ad tectorem, ECD. est ut circumferetia, ABCD. ad circumferentiam, CD, idest ut , OM. ad, MN,id- est ut triangulus, HOM, ad , Η N M, igitur idem triangulus, HOM, adse--- - -- ctorem, ECD, ad trian D gulum, HNM, eandem habet rationem , ergo sector, ECD, est aequalis triangulo,HNM, quod ostendere opus erat.
HInc patet, si sumpto utcumque puncto in , ED, H, X, eentro E, ad dιstant am, X, circu ferentia , FZX , descripta fuerit in .super ab cissa, HR, aequali sti, EX, per , R, ducta fueris, S paritela
ipsi, O M, secans, HV, is, I, traperium,OS RΜ, aquari residuo circuisti, ABCD, ab eo dempto circulo, FZY, quod residuum dicatur fascia circulorum, BD, FX, nam circulus, BD, ad circulum, FX, est ut quadratum, DE, ad quadratum, EX , idest ut quadratum , NH, ad quadratum, in , idest ut triangulus, HOD, ad triangulum, HSMunde quia circulus, BD, squatur triangulo , HOΜ, etiam circulus , FZx, aequatur triangulo , HSII, unde fascia, BF, aquatur traperto, OSI Μ ;. eodem modo colligemus residuum se toris DEC, ab eo dempto sectore, XEZ, quod dicatur eorundem sectorum fascia, scilicet ipsum,ZXDC, aequarι trape qia, IRMI .
450쪽
sunt eireulorum,d quibus abscinduntur partes proportionales, psi autem circuli sunt, ut diametrorum quadrata.
THEOREMA IV. PROPOS. IV. D Ati circuli, necnon similes sectores inter se sunt, ut
omnes eorundem circumferentiae. Sint in eadem antecedentis figura circuli quinque, BADC, FXZ, descripti super eodem centro, E, & ab ijsdem intelligantur abscissi similes lectores, DED, XEZ. Dico circulos, DABC, FZX, necnon scinctores, DEC, XEZ, inter se
esse, ut omnes iplorum cir cumferentiae . Sit denuo expositu triagulum, HOMcuius sit angulus rectus, HMO, latus,HM, aequale ra.
dio, ED. &, Mo, circum ferentiae , DCBA, abscissa autem, HR, aquali ipsi,
tela ipsi, ΟΜ, quae sit, SR, intercepta lateribus, EO, EM, patet,
ut dicebatur in Corol.a. ant.Propos. quod circumferentia, FZX, aequatur ipsi ,SR, eodem moco abscindentes ab ipsis, ΗM, ED, verius, H, ε, puncta aequales quascunque rectas lineas, & per e rum terminos ducentes parallelam quidem ipsi,ΟM, in triangulo,& circumser entiam luper cenrro, E , in circulo, ABCD, manifestum erit praedi ctam circumferentiam aequari praedictae parallelae, lateribus, ΗΟ, ΗM, interceptae, & unicuique circumserent ae in eirculo, ABCD, se deI criptae respondere luam parallelam in tria-gulo, HOM, cum sint rectis ΗM, ED, aequales, igitur concludemus Omnes circumserentias circuli, DABC, aequari omnibus lioneis trianguli, HOM, regula, ΟM, sicut etiam omnes circums rentias circuli, FZX, aequari omnibus lineis trianguli,ESs, repuisla eadem, OM, quapropter, ut omnes lineae trianguli, LON, ad omnes lineas trianguli,HSR,idest vitri agulum, BCM, ad , HSR, 3. idest ut circulus, DA 8C, ad circulum, ΙΣΣ, ita omnes cilcitas rentiae circuli, ABC D, erunt ad omnes circum farer i ab circuli