장음표시 사용
461쪽
etiam parallela , ΕΣ , abscindit ab , LA, er' 's, A, t. ipsius, LA,
sic ergo puncta notata erunt, et, T. Z, er, Δ, P, Πεμα si extendatur cur ua linea , dico propin-
deirneari praedicta ne-ρὶ puncta esse In Parabola , cuius diame ter, Aa,σbos,qX, etenim habet haec pro Σ 987 a 3436prietatem in praebabito corollario declaratam, vel , νι clarius loquar, XF, ad, ER, exempli gratia habet rationem eo ostiam ex ratione , X F, ad, FV, idest, propter constructionem, ex ratione, FA,M,AE, ct ex ratione, UR ad , ER, hac est adhuc ex ratione, se, ad , ME, dua auterationes, FA , ad, AE, componunt ratione quadrati, FA, ad quadratum, AB, ergo, XF, go, Ery, est Ut quadratum, F , ad quadratum. A
F, ct Parabolam circas iametrum, Aa, in basi, si x , ergo punctum .R, est in tali par bola: Hoc id ostendemus eodem modo de ceteris punctis, Π.r, Δ, γ,σ,Z Υ, ergo dicta puncta sunt omnia in dista pa-νabola . Hic quid modus debuissetponr Lib. .siue in meo Tractatu de spreuio orio iam in lucem edito, sed quia oritur bis ex proprietate proxime demonstracta, nee illud prius mentι subuenit propterea idip suis bic subiungere libuit.
SI inspirali exprima reuolutione orta sumatur punctu, quod non sit initium , nec terminus eiusdem spira Iis, ab initio autem spiralis ad dictum punctum agatur recta linea, & super initio spiralis centro ad distantiam dicti pucti describatur circulus, eiusdem portio comprehensa ducta linea, de portione eius, quae dicitur reuolutionis initia. tiua, quam abscindit circumferentia dicti circuli, & circularentia eiusdem, quae est ad consequentia , tripla est figurae comprehensae ducta linea, & portione spiralis,. quae est ad consequentia usque ad initium spiralis . iΚ a Sit
462쪽
' Sit spiralis ex prima reuolutione orta, AOUE, primus circulus,GG, sumptum in sprali utcumq; punctum, U, & centro, A, in teruallo autem, AU, circulus descriptus, VHX . Dico portione, AOVA, comprehensam spiralis portione, AOP, & recta, AU ,eia se . . pordionis eiusdem circuli comprehensae rectis, ΑV, AC,&circumferentia,UHxC. Exponatur triangulus rectangulus,ΗkF, rectum habens angulum, FΚΗ, cuius latus, ΗΚ, aequale sit ipsi , AC,& kF, circumferentiae, CXHV, erit ergo triangulus, H Fh , aequalis portioni circuli, cuius basis est circumferentia, CXHU; descripta deinde intelliβatur parabola , FRN, cuius vertex, Η,
quam tangat, ΚΗ , in , Η. &, FK, sit axi eiusdem aequidistans .fico trilineum, Η Fh, esse aequalem spatio circumferentia,UHXC, spirali, UOA, & recta, AC, contento quod spatium breuitatis caula dicatur residuum portionis circuli, VHC,ὶ si enim non, erit eo maius, vel minus, sit primo maius, & ut in antecedenti trilineo, HRFh, fisura circumscripta intel ligatur ex triangulo, HM ,&ex trapexijs, Ps, Mi Fo, composipa, & alia inscripta ex trapezijs,
463쪽
φ, P 6, Rh,pariter composita, ita ut circumscripta superet inici, piam minori lpatio quam sit differentia dictarum figurarum quq differentia sit spatium, ita,) igitur trilineum , ΗΙyFΚ, minori qua,titate superabit figuram inscriptam, quam spatium residuum ρογtionis circuli, VHC, ergo figura inscripta erit maior dicto residuo, quod est ablurdum, nam si, AC, diuidamus similiter, ut, ΚΗ, in punctiῖ,t BD, & delcripserimus per eadem puncta super centro, A, circumfer ntias, INS, BRZ, D Π ΟΣ, ostendemus, ut in antecedenti figuram compostam ex fascijs, 1Bis, BDΔ, DCXΦ, esse aequale ita figurae inlcripta trilineo, HI Fh, & consequenter esse maiorem spatio residuo portionis circuli, VHC, cui tamen inscribitur, quod qst abluddum. Sit nunc irrimum, H RFk, minus eodem, n, dicto residuo, &Caetera, ut prius constructa, quia ergo circumicripta figura superat in icripta minorr quantitate, quam sit,n, superabit ipsum trilineu, His ΕΚ, multo minori quantitate, ergo figura circumscripta minor erit spatio residuo portionis circuli, VHC,Ostendemus autem, ut supra figuram compositam ex lectore, ANI, & ex fascijs, IBR, BDO, DCV, esse aequalem 'gurae circumscriptae trilineo, H Fk, ergo erit minor spatio residuo iam dicto, cui tamen circunscribitur quod eli absurdum, trilineum ergo, HNFk, neq; maius, neq; m nus est spatio residuo iam dicto, ergo illi aequale , sicut triangulus, Elicitur H FK , est aequalis portioni circuli, cuius basis est circumferentia, ex prima CHV, sed triangulus, ΗΕk, est sexquialter trilinei , ΗΙ FK, ergo' talis portio est sexqui altera spatij residui iam dicti, ergo est tripla spatii, quod spirali, ARO v, & recta, AU, continetur, quod erat ostendendum.
I ab initio spiralis in prima reuolutione ortae educaniatur rectar lineae utcumque ad ipsam spiralem termina. tes, spatia sub portionibus spiralis abscissis per eductas
versus initium , erunt ut cubi earundem eductarum. . Sit spiralis in .prima reuolutione orta, AC DB, ipsῆ, ΑΒ , reuO- Iuta, & spiralis initium, A , a quo ad iplam spiralem terminantes sint eductae utcumq; AC, A D. Dico spatium sub portione spira. iis, AXC,& educta, AC, a I spatium sub portione spiralis, AX CD,& educta, AD, esse ut cubum, AC,ad cubum, AD. Centro igitur, Δ, interuallis, C, D, sint descripti circuli, EMUN, DcῖE, & sit Pr
464쪽
Coroll. . 3 .huius. 33. Sexti. Elema
producta, AC, usq; ad circumferentiam circuli, - . eui incidum, , portio igitur circuli, CAUN , ad portionem .circuli, DA EGO,
habet. rationem composita ex ea,
quam habet portio, CAUN, ad portionem, OAEG, id est ex ratiori 'ne quadrati, VA, ad quadratum. A aE , & ex ratione portionis, OAΕG, ad portionem, DA EGO , idest ex r itione circumferentiae, EGO, ad circumserentiam, EG D, idest ex ratione, VA, ad, AE, duae autem rationes quadrati, VA, ad qua iratum , ΑΕ, di ipsius, UA, ad, AE, componunt rationem cubi , , A , ad cubum, A E, ergo portio, CAUN , ad portionem , DA EGO , erit ut cubus, VA, ad cubum, AE, sunt aulem spatia, A XC, AX CD, tertiae partes dictarum portionum, ergo spacium, AXC , id irarium, A XCD, erit ut cubus, UA, ad cubum, AE, quod erat Ostenden
THEOREM A XII. PROPOS. XII. Compraehensum spatium sub spirali, q ae est minor
ea, quae sub prima reuolutione fit, nec ab et term irinum initium spiralis,&rectis quae a terminis ipsius inspiralis initium ducuntur , ad sectorem habentem radium aequalem maiori earum, quae a termino ad initium spiralis ducuntur, arcum vero, qui intercipitur inter duas rectas secundum easdem partes spiralis, habet eandem rationem, quam rectangulum compraehensum sub rectis a terminis in principium spira Iis ductis, una cum .quadrati excessuri quo maior dictarum linearum superat minore, ad quadratum maioris linearum a terminis ad initium spiralis contuis
465쪽
Sit spiralis ex prima reuolutioneeuo , OPRQX, primus circu Ius, Ωhu, cuius, radius, & voluta sit , OX, spiralis, minor ea, quae sub prima reuolutione fit, nec habet terminum initium spiralis, iunctis autem, OA, O , & ijs usque ad circumferentiam, FnΚX, productis, cui incidant in, ca, P. Dico trilineum, ROO, ad sectorem, AOQ esse ut rectangulum, AOR, cum l. quadrati, AR, ad quadratum, AO. Exponatur parallelogrammum rectan. gulum, ED, cuius latus, CD, sit aequale ipsi, OX, &, BD, circum. ferentiae, F ΩΚX, & sit iuncta, BC,S, CT, sit aequalis circumseretiae, Xkn, TM, circumferentiae, nF, &, ME, circumferentiae, FA& per puncta , M , T , ducantur ipsi , CD, parallelae, M Η, TN. quarum, MΗ, secet, BC, in, I, & per, I, ipsi, EC, parallela ducatur, IG , erit ergo, MC, aequalis circumferentiae, XLod , & quia circumferentia, XF Ωk, ad circumferentia, I okX, est ut, X ad, ΟQ, idest, EC, ad, CM, est ut, Xo, ad, O , est autem , EC, ad , CM, ut, G, ad, MI, ergo, EB, ad. MI, erit ut, Xυ, ad , OQ, sunt autem ipsae, XO, EB, aequales, ergo etiam aequales erunt ipsae, M
466쪽
e 1 Ι, QO, sic Ostendemus esse aequales ipsas, , ra, quia ergosea, 'huii: ctor, Aou, adiectorem, o DF, est ut quadratum, iaO, ad quadra tum, OP, idest ut quadratum, IM, ad quadratum, MI , idest ut Omnia quadrata, MG, regula, EB, ad omnia quadrata, MN , &ω.ι , lactor, o P, ad circulum, FX., est ut circumserentia, a P, ad ci ' cumferentiam, Fn X, idest ut, MT, ad, EC, idest ut omnia quadrata, MN, regula, EB, ad omnia quadrata, ED, & circulus,ΩΚX. . F, spatij,.ΟXu ΡΟ, triplus est, idest, se habet ad illud, ut omnia ''' quadrata, KD , ad omnia quadrata trianguli, EBC, regula, Ed, item spatium, OXQRP, ad spatium, Odi PO, est ut cubus, OX, v 'x is cubum, OQ. idest ut cubus, EB, ad cubum, MI, ides ut omnia
quadrata trianguli, EBC, ad omnia quadrata trianguli, MIC, er-Cor go ex aequali sector, AOQ, ad spatium , OQMPO, erit ut omnia - ' quadrata, MG, ad omnia quadrata trianguli, MIC, & quia spatiu, OQRPo, ad spatium, VPΟ, est ut cubus, Ud, ad cubum, Ulv, id- est ut cubus, MI, ad cubum, TL, idest ut omnia quadrata triangu-
467쪽
matium. pN, erit ut Omnia quadrata, MG , regula, MI, ad Cninnia quadrata trianguli, TLC, est autem Idem lector, ACQ, ad ipatium OPRI. ut Omnia quadra a, MG, ad omnia quadrata trianguli ' MICAegula eadem, ergo lector, AO , ad reliquum lpatium, dempto spatio, OPF, a spatio, OPFQ, erit ut O nia quadrata, MG, regula, Mi , ad omnia quadrata trapea', ino , ted haec lunt, ut quadratum, GT, ad rectangulum, GTL, cum .quadrati LG, ergo,conuertendo, spatium, ROQ, ad te lorem, AUQ, erit ut rectangulum, AON, cum tertia parte quadrati, AF, ad qua dratum, Ao, quod erat Ostendendum.
IN eadem antecedentis figura centro, O, distantia, O , descripta circumferentia, RY, Ostendemus trilineum , AR ad trilineum, R , esse ut, O, cum ' Α, ad , O, cum tertia parte ipsius, P A.
Quia enim ex antecedente sector, AO , ad spatium, QRP, est Vt quadratum, AO, ad rectangulum, AON, cum quadrata, A ', per conuersionem rationis, idem sector ad trilineum, ARQ, erit ut quadratum, AO, ad rectangulum, OF Α, cum l. quadrati, NA, nadempto rectangulo, AOF, a quadra O, AO, remanet rectangulu, O A M. i. rectangulu,ORA,cum quadrato δ' A, a quo ablato rc. . manet rectangulum, OF A , cum ζ quadrati, NA, idest cum re i. shetin u
et rido initur trilineum , ARa, adiectorem , AUQ, erit ut Coroll. L.
bouadrati RA, ideo sector, AO d reliquum dempto a i patio, rumo sectore, Og, idest ad triticum, FΥ.er ῆ Vt quadratu, s.ferendi Ao 'exuunt tectanguli, AOR , cum quadrati, R A, ab eo Elam. , ' 3, - o D O.idest ad rectangululi , CPA, Cum qua
468쪽
ru:n altitudines lunt aequales, ideo trilineum AI in ad trilineum, R', erit ut, O-cum l. R A, ad , O , cum tertia parte, , , quod ostendere opus erat.
SI duae rect ae lineς ducantur, quarum altera parabolam
tangat, a itera vero ducta axi, vel diametro eiusdem aequi distans, eandem secet, iuncto vero puncto contactus cum hoc sectionis otincto, rursus ab hoc puncto ad latusi Ili oppositum in facto triangulo recta producatur, qua curuam secabit parabolae, a quo sectionis puncto ducatur axi, vel diametro parallela quousq; incida ι tu tangentem; Triangulum sub eductis ad secantem a puncto contactus, ad portionem parabolae eisdein interceptam erit, ut qua dratum totius tangentis ad rectangulum sub eadem, & sub illius abscissa per eam versus punitum conta eius per secu- do ductam axi, vel diametro parallelam, una cum qua drati differentiae di et arum tangentium.
Sit parabola curua, BIA, quam tangat, DA, in puncto, ADB, vero axi, vel diametro ei uidem p ira tela eandem lecet in puncto, B, iunctis vcro, RA, a pundio, A, ducatur intra triangulum, ABD, ad latus oppositum, BD, utcumq; AC, iccans curuam, AIB, in, I, a quo versus tangentem, AD, ducatur. Ι E , axi, vel diametro iam dicto aequi distans. Dico igitur triangulum , ABC, ad trilineum , ABI, ezle ut quadratum, DA, ad rectangulum, DAE, una cum V . quadrati, DE . Exponatur parallelogrammum, F Ρ, cuius an.
gulus , o PH, sit aequalis angulo, ADB, &, OP, aequalis ipf,AD, S, H P, ipsi, BD, abicindatur deinde ab, Ρ, verius, O, ipla, ON, aequalis ipf, AE, & per, N, ducatur, GN, parallela ipsi , H P, s cans iungentem, HO, in, M, sint enim iuncta, H, O, punistare- iob bi cta, HO, 'vem regula, i P . Quia ergo, BD, ad , DC, est ut, Dhi ii, ad A, ad, A E, per conuersionem rationis, S conuertendo, CB, ad, B posteriore D, erit ut, ED, ad, DA, idest v , NP, ad, PO, id est ut Omnia qua- demonii. drata, GP, ad omnia quadrata, FP. regula, ΗΡ, sed ut, CB , ad, B φ. sic triangulus, ABC, ad triangulum, ABD,ergo ut Omnia qua drata, GP, ad omnia quadrata, EB, sic erit triangulus, ABC, ad triangulum, ABD, quod serua,
469쪽
Insuper omnia quadrata, FP, sunt tripla omnium quadratorum trianguli, OH P , &ideo fune ad illa, ut triangulus , ABD, ad sectionem , AIB, cuius est triplus, quod etiam serua. Ulterius om- Eliciturnia quadrata trianguli,OH P; ad omnia quadrata trianguli OMN, pyiR'δsunt ut cubus, PO, ad cubum, ON, idest ut cubus, DA, ad cubum, ' '' ΑΕ, id est ut lectio, Ald, ad lectionem, XI, sunt enim tertiae par F.Cor.aa. tes triangulorum, Ad D, AI S, qui inter te lunt, ut cubi, DA, AE, l. a. ergo ex aequali omnia quadrata, GP,ad omnia quadrata trianguli, OMN, erunt ut triangulus, ABC, ad lectionem , AXI, sed omnia quadrata, GP, ad omnia quadrata trianguli, OH Ρ, erant ut idem triangulum, ABC, ad seditionem, AIB, ergo omnia quadrata, GP , ad reliquum, demptis omnibus quadratis trianguli, OMN , ab i , omnibus quadratis trianguli,OHΡ, lcilicet ad omnia quadrati tra. 'peZij, VH PN, erunt ut eriangulus, ABC, ad reliquum, dempta sectione, AXI, a sectione, Alis, scilicet ad trilineum, AIB, sed omnia quadrata, GP, ad omnia quadrata trapezij, M H PN , sum ut quadratum, H P, ad rectangulum sub, H p, MN , Vna eum l. quadrati, GM, id est ut quadratum, P ad rectangulum sub,PO, UN, una cum quadrati, ΡN, ergo triangulus, ABC, ad trilineum , ABI, cric vi quadrat uix, Po, ad rectangulum, PON,una cum I.qua drati, pN, idest ut qua iratum, DA, ad rectangulum, DAE, una cum l. qxadrati, DS, quod erat ostendendum.
Q patium sub spirali ex quacunq; reuolutione genita, ἰὼ praeterquam ex prima, ct recta eiusdem numeri cum
470쪽
spatio, ad circulum eiusdem numeri, est ut compositum e κτcctangulo sub radio eiusdem circuli, & sub radio circuli Unitate minoris, una cum a. parte quad. differentiae vir viqi radii, ad quadratum maioris radia praedictorum.
Sit quicunq; circulus, CDFB, spatium eluidem numeri cum eo, quod cotinetur sub spirali, GMSIB,& voluta, GB i circulus unitate minor iplae, YΛHG. Dico spatium dictum ad circulum, BCDF, esse ut rectangulum, B AG , cum tertia parte quadrati, GB, ad quadratum, AB. Exponatur triangulus, LPQ,rectum habens acingulum ad , Ρ, cuius latus, LP, sit aequale ipsi, AB, & latus, PQ, sequale composito ex tot circumserentijs circuli, CDFB, quot rais dii primi circuli sunt is, AB, deinde intra triangulum, uia, veris,.. l. tice, L , descripta sit parabola, cuius curua erant eat per , Q, quaesit, Laa, ita ut, LΡ, sit eandem tangens in , L, & secans paralleisla axi ipla, QP, abscindatur deinde ab, LP, recta,Lβ, aequalis ipsi.