장음표시 사용
451쪽
ad sectorem, sed ad aliam quamcunq; figuram ex sectoribus com positam compararetur, ostenderemus,easdem figuras esse inter se, ut omnes earundem circumferentiae, quod demonstrare opus
PAtet autem, veluti ostensum est sectores, AIO, AOP, esse ut omnes eorum circumferentia eodem modo demonstrari posse . circulum, VOB, fictorem, AOB, ct in uniuersam circulos ,σ suossessores inter se esse, ut omnes eorum circumferentia.
SI in circulo ab eiusdem centro ad circumserentiam curuam quaedam linea illius conditionis producatur, ut quaecunq; rectae lineae a centro ad ipsam pertingentes c praeter illius extrema iungentem intra illud spatium c mdant, quod comprehenditur ducta curua, & illius extrema iungente: Erit diduim spatium ad propositum circulum, Vel quemcunq; sectorem, ut omnes eiusdem circumferentiae ad omnes illius circumferentias.
Sit quicunque circulus, NOQT,¢rum, A, curva, AFN, ducta a centro, A , ad periphaeriam, cui incidat in , N , S sit eius Conditionis, qualis luppositum est, sitq; iuncta, AN . Dico igitur spatium, seu fguram , AFN, ad circulum, NOQT,vel ad quemcunque sectorem, esse Ut Omnes eiusdem circumferentiae ad omnes illius circumferentias. Fiat
ut circulus, Nom,ad fguram, NEA, ita circumferentia, Noud , ad circumferentiam, Q R, ita enim erit, & circulus, di COT, ad lectorem, O AR, iunctis, A, AR, unde sector , QAR , erit aequalis figurae, AEN, vel ergo Omnes circumferentiae, QAR, aequantur etiam omnibus c:rcum.
452쪽
QT, et ut omnes eisdem circumferentiae ad omnes illius cireum etiam agara, APN, at circulum, NoaT,& consequenter etiam ad quecu nq; illius lectorem per anteced. Prop. & Cor. erit ut omnes circumfer. ad omnes circumferentias: Uel , nisi omnes circu- ferentiae, QAR, aequantur omnibus circumferentijs figurae, AEN, erunt eisdem imiores, vel minores, sint prim5 maiores, quantitate omnium circumferentiarum χαoris, AST , intellecta autem a centro, A, ducta ipsa, AO, tangente curuam, AFN, in puncto, A, quae circumferentiae incidatin, secetur circumserentia, o
N, bifariam in, L, & rursus partes , OL, LN, bifariam in punctis, P, M, & hoc semper fiatriis. . donec ad circumferentias deueni his, 'φ' tum sit, quarum una quaeque sit minor, ST, scilicet iplae, OP, ΡL, LM, MN , & a centro, A, ad
puncta, P, L, M,extendantur re. hae, AP, AL, AM, quae secabunt curuam, AFN, earum enim PO tiones inter centrum, & curuam interceptae, ex hypote si cadunt intra ipatium, AN EA, iecent m, C. F, I, & centro, A , interualli , AC, AF, AI, arcus describantur, BCD, EFG, HIΚ, incidetes pro ximis rectis lineis, a centro eductis, in punctis, B, D; E, G Η, k-Quoniam ergo Omnes circumferentiae sectoris, QAR, superant omnes circumferentias figurae, AEN, quantitate omnium circum. serentiarum lectoris, AST , omnes autem circumferentiae figurae compositae ex lectoribus, NAM, IAH, FAE, CAB, idest figurae spatio, AFN , circumicriptae, luperant omnes circumferentias figurae compositae ex lectoribus, ΚΑΙ, G AF , DAC, idest figurae e dem spatio inscriptae, quantitate omnium circumserentiarum se
mul adaequantur omnibus circumferentijs lectoris, MAN , ut faciis ottendi potest, propterea omnes circumferentiae figurae circu. scriptae superant Omnes circumferentias mscriptae quantitate Omonium circumferentiarum sectoris, MAN, quaecum sint minores omnibus circumserent ijs sectoris, TAS , ideo omnes circumferen tiae ligurae, circumlcriptae luperabunt omnes circumferentias in. scriptae minori quantitate, & eaedem multo minori quantitate i perabunt omnes circumserentias ipati j, AFN, quam omnes circu-
ferentiae lectoris, AdR, superem omes circumserentias spatij, A
453쪽
PN, ergo omnes eircumserentiae figurae circumscriptae minores gith erunt omnibus circumserentiis lectoris, R, cum vero figura ex ς 'lectoribus composita ad sectorem, sit ut omnes circumferentiae ad Omnes circumferentias, ideo etiam figura circumscripta minor erivsectore, RAR,& multb micior er i figara, AFN. sectore, QAR, sed S aequalis illi ostensa suit,quod est amurdum, igitur absurdum etiaest dicere omnes circumferentias lectoris, QAR, maiores esse Om nibus circumserentijs spatij, AFN. Dico nunc neque esse mininres, si hoc verum est, sint minores omnibus circumterent ijs secto ris, S AT, & repetita eadem constructione, sit spatio, AFN, circu- scripta figura ex sectoribus composita. & alia inscripta, ita ut circumscriptae figurς omnes circumferentiae superent omnes circum ferentias inscriptae minori quantitate , quam sint omnes circum' ferentiae sectoris, SAT, ergo omnes circumferentiae figurae, AFNasuperabunt omnes circumferentias figurae inscriptae multo minori quantitate, quam eaedem superent omnes circumscrentias, QAR, ergo Omnes circumferentiq inlcriptae figurae maiores eruot omni bus circumferentiis sonoris, AR, ergo figura inscripta maiore tiam erit scistore, QAR, & eodem multo maior erit figura , AFN contra hypotesiin, est enim illi aequalis, quod est obiurdum, igitur absurdum etiam est omnes c rcumserentias sectoris, QAR, mino res esse omnibus circumferenti js figurae, AEN, led neq; sunt illis maiores, ut ostensum est, ergo lunt eisdem aequales, sed omnes ci cum serentiae sectoris, AQR, ad circulum, OQSN, vel quemcunq; sectorem comparatae sunt, ut spatium ad spatium, ergo spatium Ex antae, quoque, AFN, ad circulum, OQ3N,vel ad quemcunque sectorem, erit, ut omnes illius circumfer. ad omnes illius circumserentias, quod,&
SI inspiralem ex prima reuolutione ortam incidant dup
lineae a puncto, quod est initium spiralis , & producatur vla, ad circumferentiam primi circuli, eandem ratione inter se habebunt istae in spirale in incidentes , quam arcus circuli, medij inter terminum spiralis,& limites linea tum productaruin in citcum serentia factos, sumptis in consoquentia arcubus a fine spiralis.
454쪽
THEOREM A vIII. PROPOS. HII. SI inspirales in aliis reuolutionibus genitas, quam in
prima incidant diis lineae ab initio spiralis, habebunt illae in.
ter se eandem ratione, quam arcus circuli pri. mi , intercepti, veluti dicitur in anteceden- vie, cum integra circu- ferentia toties assumpta, quotus est unitate minor reuolutionum numerus. lΗ duq Propositiones Ostenduntur ab Archimede lib. de pir.
I PQ prima reuolutio e orta sit spiralis, ACER, R TVIUG, in seis
eunda, ct, AC, AE, pertingant ad primam, AV, AN , ad secundam, erit, AC, ad, AE, ut circumferentia, RSO, ad , RSV, - , vero ad, ΑΜ, erit ut circumferentia tota, RVOS, cum, 'SO , ad , RVOS, totam, cum, RSOP , ct sic in cateris .
SPalium comprshensum aspirali ex prima reuolutione orta, & prima linea, quae initium est reuolutionis,est tertia pars primi circuli.
Sit spiralis in prima reuolutione gen ita ipsa, AIE, AE, vero re uolutionis initium, & centro, A, interuallo, A E , sit primus circulus descriptus, ES M. Dico spatiuin, AIE, tertiam partem esse circuli , EMS . Sumpto itaq; utcunq; puncto, ut, U,in, AE, centro, Α, interuallo, ΛV, circulus describatur, UIT, & iuncta, ΑΙ, pr
455쪽
ducatur ad , s, deinde exponatur triangulum rectangulum , OQR, cuius latus, OQ, circa rectum, O R, si aequale ipsi ME, &, Θ, circumferentiae, SME, & compleatur rectangulum, . , abscindatur autem, OX, aequalis, A U, S per, X, ducatur, XY, parallela, RE, secans, ZR, in, Y, &, OR,in, N,& vertice, o, per punctu , R, describatur semiparabola, B GO, circa axem, CZ, quam secet, YX,in, G, &per, G, agatur, G B, parallela, OQ, incidens ipsi,ZO, in, B. Quoniam ergo quadratum , ZR, ad quadratum, EG, est 38.&se. Vt, ZO, ad , OB, ideo , RQ, ad , GX, erit ut quadratum, QO, ad 4 .l. 3. quadratum, , idest ut uuadratum, EA, ad quadratum, AU, sed
sic etiam est circumferentia, ESM,ad circumserentiam, IIV, etenim ad eam habet rationem compositam ex ratione circumseretiae, ES M, ad circumferentiam, IVT, idest ex ea, quam habet, EA, C.Cona. ad, AU,& ex ratione circumferentiae, I UT, ad circumserentiam, 3.huius.
ITU, idest circumferentiae, M SE, ad circumferentiam, SME, idest ex ratione, EA, ad, AI, vel ad, A V, duae vero rationes, EA, ad, Α 7 hRiΠΤ v, componunt rationem quadrati, ΕΑ, ad quadratum, ΛV, ergo E ia MY
456쪽
Circumserentia, MSE, ad elaeumserentiam, ITU,est ut quadratu EA, ad quadratum, Ari idest ut, RQ, ad, XG, est autem, RQ, M. qualis circumferentiae, M SE, ergo &, Gx, circumferenti , id V, aequalis erit, & sic ostendemus quamlibet circumferentiam ipsi Α, concentricam, & interceptam inter spiralem, AIE, & rectam AE, tamen extralpatium helicum, AIE, adaequari ductae in trili, neQ, RQ, ipsi, RQ, ductae parallelae, quae nempe abicindunt versus puncta, in Α, ipsarum, O AE, partes qquales, & quia,OQ, ΑΕ, supponuntur aequales, ideo omnes lineς trilinei, OG R Jegula, R omnibus circumserenti js trilinei recta, AE, lpirali, AIS,&circinerentia, MSE,cur hensi aequales erunt. Similiter, quia est, RQ,ad, NX, ut, QO,ad,ΟX,vel , EA, ad , AV, vel circularentia, MSE, ad, TIV, aequatur autem, RQ, ipsi, MSE, ergo,NX, aequatur circumserentiae, TIU, & sic ostendemus omnes lineas trianguli,ORQ, adaequari omnibus circumferentiss circuli,M SE, ergo ut trianguli, ORQ,Omnes lineae ad omnes lineas trilinei, Ga.Lia RQ, vel Ft triangulum, ORQ. ad trilineum, OG RQ, ita omnes
457쪽
eireumferentiae cireuli , MSE, erunt ad omnes cireuolarentias fi gurae spirali, AIE, recta, A E, & circumferentia, MSE . conesulae &per conuersionem rationis triangulum, ORQ, vel, OZR, ad vguram, OGR, erit Ut Omnes circumferentiae circuli, MSE, ad om
nes circumferentias spati; helie i, RIE, idest ut circulus ad spatium, AIE, quia curva, AIE,esi talis conditionis,qualem postulat Prop.,is ut elicitur ex Prop. 7. huius cum vero semiparabola, CGRE, sit sex qui tertia triangul i, OZR, unde diuidendo figura, OGR, sit tertia pars trianguli, OZR, ideo, & spatium helicum, AIE, tertia pars erit circuli, M SE, quod demonstrare oportebat.
HUeu': per methodum indivisibilium etiam in hoe Liseo linia
procedere, ut innotesceret nos posse, qua Arebimedes ostendit Lib. de Spiralibus, circa Da tiorum mensuram, etiam tali artificio dein monstrare, etenim si quis hoc attentaverit circa sequentes Propositio. nes, idipsum obtineri posse facile animaduertet, veruntamen hoc ambitrio, ac iudicio Lectoris relinquendo, placuit etiam Dio veteri,aIiter tamen ab Archimede, easdem propositiones semonsi re. Praefata Propos alia demonstratio.
SIt alia spiralis ex prima reuolutione orta, ASRMB, AB, vero
initium reuolutionis, & centro, Α, interuallo, ΑΒ ,st primus circulus descriptus. ECDB, deinde exponatur triangulus , FHG, rectum habens angulum ad, G, cuius latus, FG, sit aequale ipsi, AB, & HG, circumferentiae, ECDB, erit ergo trianguIus, FHG, ae qualis circulo, ECDB, intelligatur deinde in eiusdem trianguli ia huius. plano transire parabolam, HLF, cuius vertex sit, F, &, HG, parallela eiusdem axi, ad quem ipsa, GF,sit ordinatim applicata,quq '' ,'' tanget lectionem in puncto, F. Dico igitur. FLΗG , trilineum i, aequari spatio residuo, dempto a circulo, ECDB, spatio helico sub Conie. spirali, ASRMB, &, AB, u enim non est illi aequale, erit eodem, s. vel malas, vel minus, sit primo maius quantitate spati', quod Vin 'cetur, n, rursus diuidatur, HG, bifariam in , Π,& iungantu Fn, disicipiae, ΛΠ, Π G, dividantur bifariam in, P, P, dc iungantur, PF, TF, sicque semper fiat donec deuentum sit, ut ad triangulum,
FrG, quod sit minus spatio, n, deueniemus autem, nam a ma gnitudine proposita, & his, quae relinquuntur , semper aufertur i. Decimeduntatum, lacent autem iungentes,P,cum diuisionum punctis cum Elcm
458쪽
uam parabolae in punctis, I , Κ, L, per quae ipsi , ΗG, parallelae ducantur, XQ, T ZI v, secantes, FG, in punctis, Q. , V,di co , FG, per haec secari in partes aequales, nam, HG, ad , G Γ, ha bet rationem compositam ex ea, quam habet, HG,ad, IQ, ad, FG, sed, AG, ad, IQ, est ut quadratum, GF, ad quadratum, FQ, &, IQ, ad, IV, ut,)Z, ad , FG, idest ut quadratum, QF , ad rectangulum, QFG, ergo, HG, ad , G Γ, habebit rationem com- ζβ' positam ex ea, quam habet quadratum, GF, ad quadratum,FQ,&Coroll. i. quadratum, F ad rectangulum, QEG, quae erit eadem ei, quam l. . habet quadratum, GF, ad rectangulum , GFQ, idest ei, quam ha ... sexti bet. GF, ad, Fia, igitur, I G, ad ,GΓ, erit ut, GF, ad , Fin eodem Elem. modo ostendemus, ΗG, ad , G I, esse ut, GF, ad, ET,& HG, ad, D s..i, GP, ut, GP, ad, FV, unde, FG, diuisa erit in partes aequales; ha. f. i ' φ' bemus ergo spatio, FLHG, circumlcriptam figuram ex triangu . s. l. i. Io, FIQ, & ex trapezijs, ΚQ, LT, HV; compositam, S aliam in-icriptam ex trapeaijs, Pri OL N compositam, & excessus ci
459쪽
eumscfiptae super inscriptam sunt trapeaia, HL, α, Κ I. cum triangulo , IF Q. quet, quia quaiamr trapezijs. TV, VN, NQ, &triangulo, IF a, nam dicii trapeata sunt residua triangulorum in qualibus basibus,& altitudinibus constitutorumbi idest triangulo, F lG, subinde sunt minora spatio,Ω, & ideo circumscripta superatias eripta minori spatio,quam sit G, ergo trilineum, FLHG, exceditia scripta multo minori spatio,excedit autem spatium residuum circuli, ECDB, iam dictum spatio Ω, ergo sgura inscripta erit maior dictio spatio residuo; quod serua. Diuidat ut nunc, AB, sim bter, ac diuidi tui, FG, in punctis, 3, 6, 7, Centro autein communi, A. ad distantiam punctorum , 3, PB describantur circumierentiae, 3 Δ, ΑΣRβ, 78s M, secantes spIralem in punctis, S, R, M, per quae transeant eductae a centro, A , productaeque usque ad circumferentiam, ECDA, rectae, AD, AC, AE, ut igitur in praehabita demonstratione ostendemus circumfer. II, 6c rectam, Id, inter se aequales esse, & similiter circumferentiam, RΣ ε, aeviari rectae, I T, &,M987 , ipsi, LV,&quia, . s. circumferentia ad circumfer. Σ i, est, ut, Α, ad, A , idest ut, QF. dyr
d, ET, idest ut, IQ, ad , NT, est autem ρqualis, 33, ipsi, IQ,ergo, 'μ'μΣ , erit qqualis ipsi, NT,& est, 3 4, equalis ipsi, QT, ergo laicia, s 3
Σ, erit qqualis trapeato, I QTN; eodem modo ostendemus fascia, R987 , aequari trapezio, Κ V, & fasciam, MECDB7, Uuari tra-pexio, PLUG,& ideo figura composita ex dictis fasci 1s squalis erit figuret compositε ex his trapeaijs inscriptet trilineo, FLHG,est autem haec figura inlcripta maior spatio residuo circuli, ECDB,abeo dempto spatio sub spirali, it voluta, AB , ergo figura composita ex dictis spatijs erit maior spatio dicto residuo. cui tamen est inscripta, quod est absurdum, non ergo trilineum, FLEG, maius est dicto residuo. Dico neq; esse minus. Sit, si fieri potest, milius spatio eodem,' Ω, sit autem ut supra trilineo, FLHG, circumscripta figura , ex trapea ijs, ΚαLT, HV, & triangulo, ΙFk, composita, & alia eidem inscripta ex trapea js, PO, On Ninita ut earum differentiast minor spatio, Q, igitur circumscripta excedet trilineum, FLI G, multo minori l patio, ergo circumscripta figura minor erit spatio residuo iam dicto circuli, ECDB, quod excedit trilineum, FI HG, spatio, n: quod tameni est absurdum, nam sectorem, Asy, patet equalem elle triangulo, PIQ. fasciamque,ap Σεῖ,aequari ostedemus trapezio, hQ, modo supra adhibito, & sal clami a i 87 ,ipsi trapezio, LT, & totam fasciam, trapeta 6, HV , unis e figura composita ex dictis fascijs, & seetcre, AI 3, erit qqualis com. . . ELE . posi.
460쪽
positae ex dictis trapezib, & triangulo, Fla, quae ostensa est effeminor spatio residuo iam dicto circuli, ECDB, & ideo figura com .posita ex dictis falcijserit minor spatio residuo iam dicto, cui tamen circumlcribitur, quod est absurdum, non est ergo trilineum , FLHG, minus dicto spatio residuo circuli, ECDB,& ostensum est neq; esse illo maius, ergo erit illi aequale, & triangulus, FHG , est aequalis circulo, ECDB, ergo triangulus, FHG, ad trilineum , FLHG, erit ut circulus, ECDB, ad residuum spatium ab eo demisplo lpatio sub spirali, AN MJ, & voluta, AB, ted triangulus, FHG, est sexqui alter trilinei, FLHG, ergo circulus, ECDB, erit sex-quialter spati; residui iam dicti, &consequenter erit triplus spatij, quod coinprehenditur sub spirali, As3MJ,& voluta, AB, quod
H Ine pater eductas 4 vertice parabola ad secantem qMmcunqῆ
diametro eiusdem parallelam , parabola , ae tangente rbidem interceptam, similiter secare easdem , ac transiens per punctum cur ua parabola, rn quo praedicta eam diuidit, eidemq; parallela , secat ip sam tangentem, estensum enim est, ex. g. HG, ad G Γ, esse ut, GF, ad, FQ. ex quo nouus , ni fallor, ac pulcherrimus describendι parabolam elicitur modus.
SD describenda parabola diameteν, Aa, basis, qx , cui per, A, Ddacta parallela, LRsintque, AF, AL, aequales ipsis, a X, 22, de qualιbus,secta autem, AF, ιn quotcunq; partes aquales , ut in quin qae. veluti etiam, LA, in punctis, Κ, I, II, G, B, C, D , E , per ipsa du cantur diametro, Aa, aluissautes, ΚΣ, I9,H8,GI, BI, CA, DI, EG secantes similiter basim, QV, tu aequas partes ιn punctis, Σ,9, 8, 7, 3, 6, 3, 6, tandem iuuisis,, LO, FX, ipsae similiter secentur ac, AF, vel, AL, scilicet in quinq; partes aquales in punctιs , R, S, T,U, Μ, Η, O, P, ct ad baec puncta ducantur ab, A, recta linea, AR, AS, AT, AU, AM, AR, AO, AP, necnon, AR, AX, notentur autem pun dia, in quibus educta G, A, Dcant parallelas diametrosear,ea tam , tu quibus educta diuidunt eas parallelas, qua vieqsim abscindunt de ipsis, AL, AF, versus, A, eaudem partem, quam ab Ipsis, syL,XF,a sc indunt educte, versus tamen puncta, L, F, vi ex. I. notabimus pannctum, T, in quo educta, AP, abscindit r. ipsius, at, versus, L, sicut