장음표시 사용
471쪽
AG, S per, β, ducatur, βδε , parallela psi, QP, secans curuam ea-rabolae in, &iunctis, LΩ, producatur, Lm, viq; ad , Qd , cui in te. cidat in , Σ. Quia igitur eli, P, ad , PΣ, VI, P L, ad , , per Con' huiu,. I uersionem rationis, P Lad, ΩΣ, erit ut , I P, ad , Pi3, quo tu ple poster de. ergo est, L P, ipsius, Pig, radio primi circuli aequalis, totuplex erit, monstris QP, ipsius, QΣ,eil autem etiam tot uplex, QP, circumferentiae,CDEd, ergo, QΣ, erit aequat: scircumferentiae, CDFB, est autem, LP, aequalis ipsi, Ad, ergo triangulus, LRΣ, circulo, CDPB, aequa lis erit. Dico vlterius trilineum, LQι , aequari ipatio circuli, CD iui , FR, nempe contento sub lyirali, GSi & voluta, G d, si enim no, huius erit eo maior, vel minor, fit primo,maior quantitate spatij seorsim expositi, S, diuisa autem bifariam, QΣ, in , F, iungatur, Lyt, rursus bifariam diui tantur, inu, RΣ, in punctis, &, Π , & iungantur,&L, Π L ,& sic semper fiat donec deuentum sit ad triangulum mi. norem spatio, 8, sit is triangulus, LΠΣ, per puncta aut ςm , in qui ' rukii p., bus, LΠ, Lye, Lir, secant curuam, ian, icilicet per, O, V, Z , d cantur, γ, parallelae, Ir, 69,ΦΦ, quα si producantur lecent, βP, in punctis, 2, 3, , quia ergo, ia&, , Π , ΠΣ , sunt aequales facile ostendemus per Coroll. Prop. 9- buiu , etiam aPq, ya3z, Iux. Coia2β, esse aequales, similiter facile ostendemus, trapeZia, QZ, Z V,V i. tertiae O, & triangulum, Lor, simul collecta aequari triangulo, L ΠΣ, . i. huius. esse minora spatio, 8, habemus ergo spatio, Lian, circum scriptam figuram ex triangulis,LQS, L FZ,L9U ,LTO, & aliam eidem ii, scriptam ex triangulis, , LVis, LOT, LΩΣ, compositam, quam circumscripta excedit minori spatio, quam sit , 8, ergo tri- . ilineum, LQΩ, excedet inscriptam multo minori spatio, ergo imscripta erit niaior spatio, G MSI B, quod est ablurdum, nam si cen. tro, A, semidiametris aequalibus ipsis, L , L , LΣ,describantur lectores, vel sectorum residua . AklR,XSN I ME, habebimus t patio, BISMG , inscriptam figuram ex lectoribus , vel lectorum resi. duis iam dictis compositam , &aliam circumscriptam ex lectori. bus, vel sectorum residius, BAC, IAR, SAN. MAE,compostam, Corol. - .
ad, BK, idest ut circumferentia, CDEB, ad circumferentiam, L n, mohst. inam dum punctus, 13, describit totam circumterentiam, CDI' B, Punctus dei cribens spiralem percurrit iplam, ,& dum, B, determpsit circumferentiam, CR, idem punctus percurrit ipsam 1 M, eii sis hi ii, autem, QT, aequalis circumferentiae, CDPB, ergo, Q&, aequali. Ei .. se V erit circumier. CB, est vero, Q&, ad , Vt, Pia ais, Lq, ideli Vt, ii Elem. BA. ad, Ah, idest ut circumferentia, O , ad circumferentiam, IK,
472쪽
ergo, ΦZ, erit aequalis circumferentiae, IK, & est altitudo trianguisti, Lo Z, id est L , aequalis ipsi, k A, ergo triangulus, LΦZ , sectori, TAI, aequalis erit. Eodem modo ostendemus triangulum, LUB, aequari lectori, AXS, & triangulum, Lor, sectori, AT M, S tamdem triangulum, Abyn, sectori, AHG, ergo figura inscripta trilineo, LQΩ, aequalis erit inlcriptae spatio, GMSIB, est autem illa maiori patio, GMSld , ergo ligura inscripta spatio, GMSIB, erit eodem spatio, GMSIB, malor, quiad est absurdum , non ergo trilineus, LQΩ, maior est i patio, GMSIB . Sed dico neq; esse minorem eodem spatio, GMSIB, si enim est
si adhuc defectus spatium, 8, modo autem supra adhibito circumscribatur trilineo, ina, figura , & alia inscribatur ex triangulis composita, ita ut circum scripta superet inscriptam minori spatio, quam sit, g, deserviant autem nobis iam in prima parte descriptaengurae, tum intra, & extra trilineum, Laa, tum intra , vel extra spatium, GMSIB . Igitur figura circumscripta trilineo, Ina, superabit eundem trilineum multo minori spat:o,quain sit, 8, nempe quam spatium, GHSIB, excedat tril. neum , L na, ergo figura huic trilineo circumscripta erit mmor 1 patio,GMSIB, ostendemus gutem eandem quari figurς circumscriptae eidem spatio, GMSl B, modo supraposito, ergo figura circumicripta spatio. GMSIB, erit eodem minor, quod eli ab turdum, igitur trilineus, Ind, neq; est maior, neq; minor i patio, GMSIB , ergo est eidem aequalis , di est triangulus, LQΣ , aequalis circulo, CDEB., ergo circulus, si DF B, ad spatium, GMSIB, erit ut triangulus, LQ Σ. adtriinemn, LQn, est autem triangulus, LQΣ, ad trilineum, LQΩ, ut quadratum, PLad rectangulum, PIβ, unam 4. quadrata, s Rcrgo circulus, CD FB, ad spatium , GUSib, erit ut quadratum, FL, ad rectangulum,PL3, una cum I. quadrati, Pi , ideli ut quadratum, JA, ad rectangulam, BAG, ura cum quadrati, G B, quod erat nobis ostende.
Poterant autem, ut in Prop. s. oe 6. butus, eo ovi mura, quae heumscribuntur , ct inscribuntur, ex reveri,s, is quo casu, circumscriptio , σ mscriptio intelligi debuisset circa tr lineum, ΩΣ, vel tu supra demonstratis propoliostibus poterant dicta figura ex triangulis eomponi, veluti in hac efectum est, ct tune rari u scrΡpuo, o ιnscriptio sectionibus, FLm in Schemate postera OrIs dem ira- a ronis Trop. g. O H F, in Propos. lo. fieri debuiiset ιntelligi, bane
amen varietatem prosequotussum, ut pateat utroq; modo uos, quod
473쪽
SI in spirali ex quacunq; reuolutione genita sumatur
punctum, quod nyn sit initium, nec terminus eiusdem spiralis, &iungantur cum puncto , quod est initium reuori lutionis , quo tanquam centro ad distantiam sumpti puncti circulus sit descriptus huius sector , vel sectoris res duum, cuius basis sit circumferentia inter hoc punctum, & princupium circulationis ad partes consequentes ines usa, ad spatium helicum ab ebdem sectore , Vel sectoris residuo, arprehensum, erit ut quadratum semidiametri descripti cidiculi, ad rectanguli m sub eodem , & sub radio circuli eius demo umeri cum spirali unitate praedicta minoris, una cutertia parte quadrati excessus utriusq; rad ij.
Conspiciatur antecedentis figura, in qua sumpto utcuns; pumeio in spirali, GMSIR, quod intelligatur descriptus circulus, IR, Κ . Dico igitur lectorcsn , vel eius residuum, cuius basis est circumferent: a. ad rectas. l A, Ak , terminata, ad spatium sub spiralis portiones, ISMG, S rectis, IA, AG, esse ut quadratu, IA, ad rectangulum sub, IA, AG, una cum l. quadrati, Gh ; in ipsa enim, Q Σ, iam habebus,' aequalem circumserentiae,CDFB, terminanti ad ,C, B, producatur, sti, quousque sccet ambas, LΠ,LΣ,vet inel, H,& quia,&Σ,ad, Z hJ,eii vi ,ΣL,ad, L, ij,Vel Vr,PL,ad, Iuxta L , siue, BA ad, ΑΚ, siue circumserentia,CDEB,ad circumferetiam, Sexti EIAIRεK, ideo circumferentia, IR a' , erit aequabs ipf, ZM, si ergo diuidamus,Z, V.,bifariam,& factas portiones adhuc bifariam,& se se- per fiat,iungetes diuisionum pucta cum L,& per puncta,in quibus istς iungetes lecant curua parabolς, Zn, ductis ipf,Zi3,parallelis, ut in antecedenti circumscripserimus trilineo,LZιὶ, figuram,& alia inscripserimus, ex triangulis compositam, & similiter spatio, AISMG A, figuram ex lectoribus, vel eorum residujs compositam citacumscripterimus, velut in antecedenti quam quia artecedentis
propositionis methodo similis est, hic explanare mitto & aliam
inscripserimus, tandem ostende us tralineum, Ic n , neq; maius,
neq; minus esse spatio, Al SMGA , & ideo illi esse aequale; similiter ostendemus triangulum, I ZIJ, lectDri, lPOX, vel sectoris resi' DE h. ii duo, aequalem esse, nam triangulus, L , ad trianguluna, LZ 3, L
474쪽
Corolla Iary. l. a s. Sexti Elem. Coroll. . I9. l. a. Coroll. 1.3. huius. Defin I a. L I. Iuxta Lahuius Iq.huius.
habet rationem compositam ex ratione trianguli, LC Σ, ad triangulum, L&Σ, idest ex ratione, QΣ. ad, Σ&, vel ex ratione circuminserentiae, CDEBC, ad circumserentiam,CD B, quia praedictis aequatur idest ex ratione circuli, CDFB, ad sectorem , vel eius resi duum, AC DEBA,& ex ratione trianguli , L&Σ , ad triangulum, LZi 3, idest ex ratione quadrati, PL, ad quadratum,L , id ei ex ratione quadrati. 2 A, ad quadratum, AK, idest ex ratione sectotis dicatur sic breuitatis causa, siue sit sector, siue eius residuum AC DF B, adsectorem, AlRεχA, quae duae rationes componunt rationem circuli, CD EB, ad lectorem, AIRaKA, ergo triangulus , LQΣ, ad triangulum, LEM, erit ut circulus, CD FB, ad lectorem, ΑΙ R. X. A, sed triangulus, LQΣ, est aequalis circulo,CDFB, ergo iii gulus, LZ 3, sectori, AIRONA, aequalis erit, & est trilineus, LZn, aequalis spatio, AISMG A, ergo lector, AIRεKA, ad spatium, AISMG A. erit ut triangulus, LZU, ad trilineum, LZΩ, .i. ut quadratum, L,ad rectanguluin lub, L,Lβ,cum y. quadrati,4β, .i. Vt qua dratum, IA, ad rectangulum, sub, IA, AG, cum l. qu rati, G quod erat ostendendum.
475쪽
MBER VI. 4 VTHEoREMA XVII. PROPOS. XVII.
Compraehensuin spatium sub spirali, quae est minor ea,
quae sub una reuolutione fit, nec habet terminum initium spiralis, & rectis, quae a terminis ipsius in reuolutionis initium ducuntur ad sectorem habentem radium aequalem maiori earum, quq a termino ad initium reuolutionis ducitur , arcum vero, qui intercipitur inter duas iectas secundum easdem partem spiralis ι habet eandem ratione, qua rectangulum compraehensu in sub rectis a terminis ad initium reuolutionis ductis, una cum tertia parte qua drati excessus, quo maior dictarum linearum superat minorem , ad quadratum maioris carundem.
In eadem antecedentis figura luppona inus assumptam, Is,por tionem spiralis in una reuolutione genitae, qu i noli habG t terminum initium talis spiralis, a cuius extreiu S punctis, i, , , imi du'ctae ad, A, initium reuolutionis ipsae, SA , In , S si ii Oor, IAR . cuius semidiameter sit aequat s maiori ductarum . IA , AS , nempe ipsi, lA . Dico sectorem, IAR, ad tritu eum, IAS, ellexi quadratum, RA, ad rectangulum, RAS, una cum quadrati, RS, viamur constructis in eadem figura ' ector igitur,' II εKR, est aeqLalis triangulo, LZi', ut in antecedenti Unci sum cst, eodem modo probabimus triangulum , L Ρ , esse inqualem sectori, A p εX A , ergo reliquus triangulus, LZ b, erit in qualis reliquo lectori, IAR: smiliter iuxta antecedentem O. tendemus i patium, AISMGA, este aequalem trilineo, LT Ω, & lpatium, ASMGA , esse aequa em tr.- 1 lineo, LVΩ ergo reliquum l patiuin, IAS, er: t aquale trit neo, L ZV, erπo sector, IAR, ad trilineum, LZV,erit ut ii iangulus L . Φ, ad trigineum, LZV, id cli ut quadratum, I q, ad scet angulum lub, 4L3, cum ', quadrati, 34, id est ut quadratum, i A , ves, RA , ad rectangulum Iub, RA, A , una cum l. quadrati, RS, quod ostende.
THEOREM A XVIII. PRO FOS. XVIII. TR ilineum, III S, ad trilineum, ISX, erit ut , SA, cum
476쪽
Huius demostratio non erit alia a demostratione huius , propterea ibi recolatur.
THEOREMA XIX. PROPOS. XIX. ΡRimi circuli spatium helicum ad spatium helicum s
cundi circuli erit, ut tertia pars quadrati radij primi eirculi ad rectangulum sub rad io primi, & secundi circuli, a cum tertia parte quadrati excessus rad ij secundi circuli super radium primi. Spatium vero secundi circuli adipatium tertij erit, ut rectangulum sub radio eiusdem, de sub radio circuli unitate minoris, idest primi, una cum temtia parte quadrati differentiae horum radior u, ad rectangu- Ium sub radio eiusdem, & sub radio circuli unitate mal ris, idest tertij, una cum tertia parte quadrati differentiae istorum radiorum, & sic deinceps in reliqui .
Exponantur super eodem centro, A, circuli , primus, HRVo, secundus ,hLNM, tertius autem , CDFB, cum spatiis sub lpiraliabus eiusdem numeri cum circulis, primo, AGHA, iecundo, HreMΗ, tertio autem, MZSBM. Dico spatium primum ad secunduesse vi I. quadrati HA, ad rectangulum sub, HA, AM, una cum I. quadrati, HM,lecundum vero ad tertium este ut rectangulum sub, HA, AM, cum quadrati, HM, ad rectangulum sub , MA, ΑΒ, Vna cum l. quadrati, MB. Nam spatium, AGH, ad spatium,ΗΡkM, habet rationem composita ex ratione spatij, AGH, adci . culum, OURI , idca ex ratione l. quadrati, ΗΑ, ad quadratum,HA, &ex ratione circuli, OURΗ, ad cicculum, ML , idest ex coholi. i. ratione quadrati, HA, ad quadratum, AM, & cx ratione circuli,Cii. l. ;. DF d, ad i patium, HYMH, idest ex ratione quadrati, MA, adre. 13. huius. ctangui um, MAH, una cum d. quadrati, MN, quae ratioues com. R' Ponunt rationem l . quadrati, AH, ad rectangulum, MAH , cum D quadrati, I M. Item spatium, HEMII, ad spatium, MZSBΜ, habet rationem compositain ex ratione spatij, H pM H, ad circulum, kLNM, idest ex ratione rectanguli, HAM, cum l. quadraci, s. n W- HM, ad quadratum, AM ,& ex ratione circuli, kLNM, ad circu-c, bli CDFB, idest quadrati, M A, ad quadratum , AB, & tandem . ex ratione circuli, CDEB, ad spatium, MZSBM , idest ex rationeis in uia . quadrati, BA, ad rectangulum, BAM, cum l. quadrati, Mu, quae
477쪽
rationes componunt rationem rectanguli, HAM, eum l. quadrati, HM, ad rectangulum, MAB, cum l. quadrati, MB. Et sic deinceps ostendemus tertium spatium ad quartum esse, ut rectangulu, M AB, cum l. quadrati, M B, ad rectangulum sub , B A , S radio circuli unitate maioris, una cumri quadrati differentiae horum radiorum, quae differentia semper est aequalia radio primi circuli, quod ostendere opus erat.
EXponatur triangulus, ETI, habens rectum angulum ad , Τ, cuius latus, E l, sit aequale radio primi circuli, &, TI, ei uide circumstrentiae, S per, EI, transeat parabolAE curua quam tangat, TE, in, E, vertice, secet vero, TI, in , I , eiusdem axi aequid istans, deinde in finite producta, ET, verius, Τ, in ea sumantur tot paris iter aequales ipsi, ET, quot radi j primi circuli sunt in radio, AB,γς φ'''' Mmm a sint,
478쪽
sm ET, TY, 4 Z, & per puncta , Ζ, ducantur parabulae axi aeis
quid illantes, Y X, Zu, cur i .e eluidem indefinite prodolia: occurientes in punctis, X, Q, & iungantur, EX, E in Erit igitur sectio, EIX, ad lectione in , E l, ut cubus, YE, ad cubum, ET, sic enim lunt eorum tripla scit cet tr angula, ElT, EXY, quod elicitur exprima Lib. q. &, diuidendo, trilineum, EXI. ad lectionem , ERI, , , erit ut parallelepipedum ter iub, ET, ac quadrato, TY, & ter lub, ' YT,& quadrato. TE, cum cubo, TY, ad cubum, TE, vel ut horusubtripla, scilicet, ut parallelepipedum semel lub, YT, & quadrai to, TE,&sub, ET, & quadrato, TY , ic licet sub , YT, & rectanis gulo, Υ ΓΕ, cum I. cubi , ΓΥ, idest cum paraleleppedd lub, 1Y,&:. quadrati, I f, ad L cubi, TE, idcit ad parallelepipedum iub, TE, vel, I Υ, S tertia parte quadrati, FE, nemph ut parallelepipeis dum lub, TY, & quadr. ET, & rectangulo, YTE, S tertia parte quadrati, T Γ, quod conficit parallelepipedum lub. YT, & rectangulo lub, Y ST, & iub tertia parte quadrati, YT, ad parali elepi- pcdu n lub, T Γ, bc sub imita pes te quadrati, TE, & quia horum
parallelepipedoruin altitud mes sunt eaedem , ideo erunt, ut baies P. G. Cos.lcili det, ut rectangulum lub, Υ ET, cuin tertia parte quadrati, I 4. rete . ad , '. qua irati, ET. Eodem modo Ostendemus trilineum, EQ
adici lineum, EXI. esse ut excellus cubi, ZE, lupercubum,YE, ad excelsum cubi, ΥΞ, luper cubum, TE, .i. Vt parallelepipedum ter' iub, ZY, & quadrato, Υ Ε, ter lub ET , & quadrato , YA , cum cu-b i, YZ , at parallelepipedum ter sub , ET, & quadrato, d Y, ter
479쪽
sub, YT, & quadrato, TE, cum cubo, TY, vel ut horum sub tri pla .i. ut parallelepipedum lub, ZΥ, di quadrato, YE, lub, ΕΥ, &quadrato, YZ; . i. lub, ZY , & rectangulo, ZYE, cuin tertia parte cubi, ZY, quae conficiunt parallelepipedum .ub, ZY, S his iunctis 3 in idest rectangulo, ZYE, quadrato, Y E . cum tertia parte quadi ali, Τῖ' i' 'ZY, idest lub, ZY, & rectangulo, ZEΥ-cum tertia parte quadrati, ZY, ad parallelepipedum sub, YT , & quadrato , TE, Iub, ET,&quadrato, TY, cum tertia parte cubi, TY, quae esse aequalia ost demus parallelepipedo lub, YT, S rectangulo YET, cum tertia parte quadrati, YT, igitur trilineum , EQX , ad trilineum, EXI, erit ot parallelepipedum sub, ZY, S rectangulo, ZEY, cum tertia parte quadrati, ZV, ad parallelepipedum. lub, Y Γ, lde i iub, ZΥ, Η G Cor.& sub rectangulo, YET , cum tertia parte quadrati, TY, & quia 4. gener. haec parallelepis emigriti in eadem ali tudine, ideolunt ut bales, 3 . l. z. igitur trilineum, E X, ad trilineum, hXI, erit ut res angulum,ZE . Y, Cum tercia parte quadrui; Z ait rectangulom, XEd ,cum ter. ' tia parte quadrati, FTι es a stem se ii O, ERl, aequaus i iratio, Ac Litelius Η, tu arthneum, EXI, patio, H PME,& trilineum, Ex X,ipatio, ex is .huibi Z RM,Crmipatium, Al. H , ad lpatium , H pM H , era vi ter- u . ita pars quadrati TE , ad rectangulum , TEΥ, cum terici parte quadrati, TY, id est ut tertia pars quadrati, HA , ad tecta D ultim , HAM', eum tertia parte quadrati, HV . 'Similiter concludemus spatiu na, HPluo, adspat vim, M ZSEM, clle ut rectangulum, H SM, cum tertia parte quadrati, HM, ad rectangulusu, MAB, cum I a parte quadrati, M B, quod bstendere septis chri .
HIne patet si ducatur quadam tangeηs parabolam , quae in partes
quotcunq; aequales diuidiatur , o per puncta diuision tim duis cantur recta linea diametro parallela, quot fg, incidant in curuam parabolae, his incidentia punctis cum contactus puncto iunctιs , spatium sub prima iungente , Iubtensa curua parabola ad Irit Ineum sub prima, ct secunda iungente, ct a illis apprἀbensa curua , tisa vixertrapars qaadrati prιmae parras tangentis est ad rectangulum Iubprima parte, ct composito ex prima σ secvηda cum larita parte qua, dratis secunde. Similater boc trilineum ad trilinetim sub fecunda, ct tertia iungente, ct ab illis apprahexfr curua parabolae , οἶ ut re
tangentis enumeratione semper a puncto comatim inces t a cum tertia parte quadratis: cunda ad rictu Muίum sAb c dira i a pι ima,
480쪽
secunda, O sab eomposito ex prima, ecunda, oe tertia parte ,
νηa cum tertia parte quadrati tertia partu, σ sic tratra ea deine sseqηentia esse, ut hae rectangula deinceps sequentia cum tertia parte victorum quadratorum, eodem enim modo supra adhibito hoc ostende. tur. Quotiescunqa autem tangens sit aqualis radio circuli upiralium Hrcπius numera veluti fuit, EZ, aqualιs ι , .AR, o diutiatur in tot ρ tes aequales, in quot radius talis erreuli diuiditur a cucumferentiis ruferIstrum circulorum, tune nedum is parabola dicta spatia se habent, ut dictum est, sed etiam sunt aequalιa 'M8s ictorum circulorum , primum nempe primo , secundumIecundo , o sic deinceps, dpuncto contanus parabola dictorum spatiorum enumeratione facta , quod est admiratile, hec autem ex supradictis mam M sunt.
THEOREMA XX. PRO S. XX. SI parabolam tetigerit recta linea , quae diuidatur in
quotcunq; partes aequa Ies , per puncta autem diuisionum ,& extremum ducantur rectae lineae diametro parabolae, aequid istantes, quousq; in eiusdem curuam incidant, iungantur autem puncta incidentiae cum puncto cotactus. Spatium sub prima iungente, & subtensa ab eadem curua
erit septima pars spatij sub prima, & secunda iungente, &
ab ijs appraehensa curua compraehensi. Hoc vero adspatium sub secunda, Se tertia iungente, & appraehensa curua, erit vi 7. ad ις Hoc autem adipatium sub tertia, ct qua ta iungente & ab iis inclusa curua , ut i s. ad 37. & sic deini, eeps,prout indicat apposita numerorum series.
Sit tangens parabolam, AH F , ipsa , A E, diuisa in quotcumqt partes aequalas, AB, BC, CD, DE, ductis autem a punctis, B,
D, E, diametro parallelis, quousq; incidant curuae, AUF, ipsae, BN,CM, DIJ, EF, iungantur puncta incidentiae,quae fuit, F,H,M,N, evin puncto, A, S, AN, dicatur prima iungens, AM,lecunca, ΑΗ, tertia,& sic deinceps. Dico spatium sub, AN , S ab ea sub tenta curua, esse ad spatium sub. NA , AM, & curua , MN , idest ad trilineum, AMN, ut ad 7. hoc vero ad trilineum, ΑHM, ut Ex Coto. 7. ad 19. & sic deinceps, prout indicat opposita numerorum series le habere trilinea deinceps subsequentia. Est enim spatium,AlN, ad trilineum, AMN, ut I. quadrati, AB, ad rectangulum, CΑΒ,