장음표시 사용
481쪽
Series spatiorum I. I. 3. q. I. O. T. Series numerorum I. I. I9. 37- ο I. 91.127.
eum ἶ. quadrati, CB, si ergo, AB, statuatur 3. erit, AC, rectaningulum, C AB, t 8. tertia pars quadrati, BC, erit 3. quae iuncta ipsi a g. essicit 2I. erit ergo qualium partium quadratum, ΑΒ, est s. Iectangulum, CAB, cum tertia parte quadrati, BC, a I.& tertia pars quadrati, Ad, est a. est igitur spatium, AIN, ad trilineum , AMN, ut 3. ad at . idest ut 1. ad 7. Eodem modo reperieaeus trilineum,ΑNM, ad, AMΗ, esse ut T. ad ι 9. & hoc ad trilineum, AUF, ut I9. ad 37. & sic deinceps, prout indicat series numerorum supra possita, quod demonstrandum erat.
Hrae patet fi exposita sint spirales in quoteunque revolutionibus genita, initro circulationis existente is, Κ ,sint autem Gluta sa, KL, LO, OP, PG, σ spirales eodem ordine procedentes, XU, LSO, OTP, FVG, quod si, FG, fuerit aequalis ipsi AE, O diuisa inpun-L, O, P, prout diuiditur, AE, in punctis, B, C, D .spatriam , X L, Eliciture aeru aquale Datio, AIN, σ, LSO, trilineo, AZUR, O , OT P, trili ' t.' ' πτο, ANH, ct rudem, FVG, irrim ea, F, o sie deinceps , ωnde etiam bae spatia se babebunt, prout indicat supraposita ferres nudire i Secunda series num. r. 6. II. 11. 24. 3Ο. l
482쪽
subnectere non inutile mihi visum fuit. Hoe autem tantum eirca pre fatas demonstrationes dicam, quod licet in Trop. I 2. O I . indiuisibilιbus, nempe omnibus quadratis parallelogrammorum, qua ιοι de. scribuntur, usus fuerim , tamen etiam modo consueto potuissent demonstrara,si emovice omnium quadratorum parallelogrammi, EL ,re.
guta , ER, ibi aisumpta, usus fuissem parallelepipedo sub altitudine,D S, basi autem quadrato, EB, vel pro omnibus quadratis trianguli, BE, regula eadem, E B, Hus estem pyramide sub Histudine, CE, ba si eodem quadrato , ΕΒ, etenim similiter demonstratio absolui potuiseset, Dac omnium quadratorum parallelogrammorum ibIdem conside ratorum dimissa congerie, O substitutis parallelepipedis, vel pyrami dibus, aut earum fr. is , ubi opus erat. Haec inuenire volu ι , ut prae . dicta omnia stylo veteri demonstrabilia esse, etiam aliter ab Archi mede pals it.
SI exponatur sexies spiralium, & circulorum deinceps a primis, in spatias vero sub spiralibus, & volutis,cylin
drici,& conici in eadem altitudiue stantes intelligantur consti tuti tamquam in basibus, similiter & in circulis consti tuti esse cylindri, & coni intelligamur. Cylindri inter se, de cylindrici pariter inter sic, siue ad cylindros compa rati , siue coni inter se,& conici inter se siue ad conos comparati eandem rationem,quam bases habebunt.
Patet haec propositio, nam cylindrici, & conici in eadem alti- η tudine constituti sunt inter te, ut baies; sunt autem praedicta soli--zda per constructionem in eadem altitud ne posita, ergo erunt in i. ter se, ut iplae bases; Uocentur autem Cylindri, & Cylindrici, nec non Conici eiu idem nuineri cum lpatiis, quibus insistunt pri mus cylindrus, vel conus, qui est in primo circulo, secundus cylin, drus, vel conus, qui est in iecundo circulo tamquam in basi; primus cylindricus, vel conicas , qui est in spatio hesico primi circuli tamquam in basi, secundus cylindricus, vel conicus, qui est in spa
483쪽
Er qμia insuprapscis Propositionibus basium praedictorum foliadorum ratio fuit adinventu, ideo eandem pro dictis fotidis rationem inde colligemus.
THEOREM A XXII. PRO POS. XXII. PRimus cylindrus nonuplus est primi conici.
HVc Propositio pariter manifesta est, nam primus cylindrus ad primum cylindricum est, ut primus circulus ad suum spatium idest in ratione tripla, primus vero cylindricus ad primum conicueit in ratione tripla, quia sunt in eadem basi , quod est lpatium pri 'hhz .r mi circuli , & in eadem altitudine, & ideo primus cylindrus ad sa. primum conicum eli tu ratione nonupla, quae ex duabus triplis
THEOREM A XXIII. PROPOS. XXIII.
SEcundus cylindrus ad secundum conicum est, ut triis plum quadrati radi j secundi circuli, ad rectangulum sub radio eiusdem secundi, & radio primi circuli, una cutertia parte quadrati differentiae eorundem radiorum.
I ,huius. Secundus enim cylindrus ad secundum cyIindricum est, ut secu-dus circulus ad tuum spatium idest ut qua iratum radi j secundi cir culi ad rectangulum sub radio eiusdem , S sub radio primi una cuI.Coro. . tercia parce quad. atl differentiae eorundem radiorum,fecundus vingenerit . ro cylindricus triplus eli conici secundi, quoniam in eadem basi & altitudine cum eo conitituitur, ergo est ad illum , ut dictum re ctangulum sub radijs primi, & secundi circuli, una cum tertia par te quadrati differentiae eorundem ad horum coniunctorum tertia partein ,& ex aequali secundus cylindrus ad secundum conicum erit ut quadratum radii primi circuli ad tertiam partem rectanguli sub radiis primi, & secundi circuli, cum nona parte quadrati disserentiae eorundem radiorum, idest , ut triplum quadrati radij se cundi circuli ad rectangulum sub radijs primi, te secundi circuli , una cum tertia parte quadrati differentiae eorundem radiorum.
484쪽
HI c pare eliquorum cylindrorum ad conicos eiusdem numeriratronem eandem is D ult, quam babet triplum quadrati radii circuit, qar est basiis talu cylindri,adrectangulumsub eodem radio,ctradio ctrculi unitate minoris,inna cum tertia parte quadratι disseren 'tia νπιuri, Hij, quod eod. modo ostendetur.
PAtet insuper, quod eadem methodo facile inuenimus rationem cuiuscunq; cylindri, vel frusti cylindri, o conici, velfrusta conici, in basibus aliquibus ex tam consideratas spatiis constιtuit, qua ob facilitatem Lmitto ; ut ad al/qua ex antecedentium librorum, hui'μs propositronibus constructa Problemata,sive Theoremata ,specula tionem nostram conuertentes, utilitatis exrmia, quam superius tra dιω do Irina, etiam ad praxi deducta, asserae potest, illustriora qκα dam praebeamus argumenta.
CYlindrum , vel conum constituere aequalem datae sphaerae, vel sphaeroidi, vel eiusdem portioni.
Sit sphaera, vel sphaeroides, AC EG,circa diametrum, ΑΕ,OpQ toll.i. tet illi cylindrum, vel conum qualem constituere. E ponatur 3 .l. s.' cylindrus, RQ,& conus, SPQEquorum altitudo,ut, o V,ut aequalis ipsi, AE,& basis aequalis circulo transeunti per centrum, ri, qui lit, CG,recte axem lecans, leu pro sphaeroide, i, AE,non sit axis, Ria, altitudine habeat aequalem altitudini sphaeroidis iuxta pianai, G, assumpti,& sit in basi aequali ellipsi,CG . Erit ergo cylindrus, Ria, sexquialter sphaerae, nil sphaeroidis, R CEU , ta conus subduplus ei uide, si igitur in eade basi fiat cylindrus,culub altitudo sit ζ.ipuus, SV,hic erit aequalis datae sphaerae, vel ipaeroid , si velo,nat conus altitudinis duplae ipsius, VS, in ea deui pariter basi , ille eidesphaerae, vel sphaeroidi aequat is erit, coni enim, ci cylindit .in eadebasi constituti sitnt, ut altitudines.
485쪽
iuxta planum, DF, assum ptae, erit igitur hic cylin. drus ad portionem, D AP, ut, OE, ad compositam exl. OS,&l. OA , hanc au tem rationem habeat,S V, ad aliam altitudinem, critergo cylindrus, R ad cylindrum altitudinis inuentae, & in eadem basi, Pinconstitutum, ut , Og, ad compositam ex I. OE, &Κ. Ο Α, a. ut cylindrus, RQ, ad portionem, DAE , igitur inuentus cylindrus erit aequalis portioni, DA F. Triplicetur nunc alti. tudo inuenti cylindri, &fiat conus talis altitudinis, in eadem cum eo basii, hie igitur conus erit aequalis inuento cylindro, & Iub. inde portioni, DA P. Eodem modo inueniemus cy. lindrum , vel conum .
PROBLEMA II. PROPOS. XXV. Solido quocunq; in eadem ba fi . & altitudine cum cy
lindro constituto, ad quod cylindrus notam ratione habeat, cylindrum ,& conum, inuenire , aequalem dato
Sit solidum quodcunque,DAF,ad quod cylindrus,BF,in eadem
has,raF,&eade altitudine cum eode costitutus, habeat notam rationem. Oportet cylindrum inuenireo conum,aequalem dato χ' lido. Fiat ergo i cyliudrus,BF, ad solidum,DAF,uc altitudo,quaesit, AE, ad altitudinem, Et, & per, I, ducatur planum produces in cylindro, BF, circulum, GK, constituensque cylindrum, GF, igitur, ut, Ata ad, BI, sic erit cylindrus, G, ad cylindrum, GP, ω
486쪽
. sic cylindrus, BP, ad iolidum, DA F, Vnde cylindrus , GF, erit aequalis s lido, DAF. Rursus triplicetur altitudo , EI ,.&fiat conus eiusdem al. titudinis in hiasi, DF, hic igitur cOnus erit aequalis cylindro. , GF,&subinde solido, DAP, quod inueni re opus erat.
HIne patet nos etiam pose i venire Olindrum, o eonum, nedia aqualem octo solido,sed q i ad ipsum babeat datam rationem, si enim altitudo inuenti otiosi , vel eoni qualis dicto solido, me id ali am altitudinem in data ratione, tamen eonuersa, oe harum altatudinum ultimo inuentarum in eisdem basibus cum praedictis Mitulindrus, ct eouus, babebunt isti ad dictum solidum datam rationem , ut facile apparet.
H die etiam patet cytisisum in basi apicis obaralis, veI Hoba- Coro.1reroidalrs, constitutum cuius altitudo ad altitudιnem eiusdem Ha. 3. vicissit, ut, L ad 2I. esse qualem eidem vici.
UZterius habetur quoq; Ulindrum . ad cuius actitudinem aliis do tympani θbaratis, vel obaeroidalissit, ut semidiameterhasis tympanι ad reliquum, dempta ab eadem recta linea, ad quam dimidia seeunda diametri eireuit, vel ellipsis sit, ut eirculus ad quadratum, cui cireumferabitur simul cum excessu, quo dicta linea excedit l. tertia proportionalis femidiametri basis tympana , ct imidiae secundae diametra icti circuli, vel ellipsis, GP aqualem dato tym- Coro,iapam spharali, His areidali,si' in basii eiusdem tympani. 3 l 3.
ET li rum, ad euius altitudinem, altitudo anuli stricti eiseu.taris , veι elliptica, sit ut quadratum ad circulum, cui cιrcum. scribitur, in bas exoratem cuculo, cuius radius sit aequalι3 secunda
487쪽
maωνι parabolicis . Ty vas' hyperbolico, portionibus eorunde supra consideratis, oe cylindracis , veι conicis, qui an basibus stat s sub spiralibus, ct volutis constituuntur. TriplIcatis autem attriuis dinibus inuentoriim cylindrorum, in quιbus, σ eisdem basibus eum lindris, constituantur coni, isti prae ιctis solidis aquales erunt , eriuxta coroll. I. anteebdontis iuventemus pariter eylindrum , vel conum qui ad quodvis ex praedictis solidis datam ratione m habeat.
Phaeram inuet ire aequalem dato cylindro. Similiter,&sphaeroidem circa datum axim aequalem dato cyin
in Arcta ad propo . lacu adide Sphae. ra, de Cyliadro.
cio ' Sit cylindrus datus, A, oportet illi aequalem sphaeram inuenire. Fiat cylindrus rectus, CFD alexquialter cylindri, A , deinde inier, altitudinem , FE , &basis diametru, CD,
duae mediae continuόproport: Onales, iuxta methodu ab alijstraditam, inueniantur , '
lcripto autem circuislo circa altera dictarum ediarum tanquam diametrum , ut circa ,
GH , stat is basis cu inuidam cylindri altitu- V Edinis aequalis ipsi, G H,& sit tanilam sphaera, B, circa diametrum aequalem, const: tuta. Dico sphaeram, Eleaequalem cylindro,R . Eu cnim CD, ad, GΗ, Π, M, ad, FE, permutatia , CD, ad , M, en Vt,
488쪽
H, vel, LX, altituto, ad, EE, ut vero, CD, ad, M, ita quadratum CD, ad quadratum, GH, vel circulus, CD, ad circulum , GH , edigo ut, LK,ad, FE, sic circulus, CD, ad circulum , GH , ergo cylindri, CFD, GLH, sunt aequales, est autem cylindrus, CFD, lex- E. G. quialter cylindri, A, ergo cylindrus, GLH, erit sexqui alter cylin. dri, A, est aurem cylindrus, GLH, etiam sexquialter sphaerae circa i=' diametrum, GH, vel illi aequalem, NO, descriptae idest sphaerae,B, Coroll. t. ergo sphaera, B, erit aequalis dato cylindro, A. 34. l.3. Sit nunc datus axis, No , circa quem sit constituenda sphaerois aequalis dato cylindro, A , si igitur lphaera circa diametrum , NO, esset aequalis dato cylindro , non posset circa hanc diametrum se. ri alia sphaerois squalis dato cylindro, sed talis sphqrois esset eadesphqra. Non sit autem εqualis sphqra, B, cylindro, A, tunc fatiph gra ς qualis cylindro, A, quq sit circa diametrum, ST, deindenat, ut, NO, ad , ST, sic quadratum, ST. ad, XI, bifariam diuisamin, B, centro, & fiat sphqrois circa diametros, No , XI, igitur pri. mi axes, NO, ST, reciproce respondent secundorum axium, ST, vel, 3 , XI, quadratis ergo sphqra, ST, erit εqualis sphqroidis,NX Corol.is. OI, ergo sphirois, NXOI, circa datum axim, erit squalis dato cylindro, Α, quod erat inueniendum. l 3acci. .
HIne colligitur euicunq; ex solιdis in antecedenti , ct coralia.
rais eiusdem nominatis sphaeram aequalem nos scire constitu re , necnon sphaeroidem aqualem circa datum axem, spharamque, ac sphaeroidem, qua ad quodcunq; ex ipsis datam rationem bgbeata Tro ,1 .hesiis. posito enim ex illis quocunque solido , inuenietur primo cylandrus,
qui ad ipsum datam rationem habeat, deinde fiet sphaera, vel sphaerois
eirea datum axιm, aqualis reuento c7lindro , qua subinde ad datum solidum datam rationem habebit: Et uniuersaliter patet si discamus, dato cylindro aquale solidum ex ram sonsideratorum genere construe. re, consequenter eiusmodi Ioltdum nos scire construere, quod ad aliis quod ex nominatis ιn antecedentι Tropositione, ct eiusdem corolla. νjs, datam rationem habeat.
DAto cylindro apicem sphaeralem aequalem Onstitueis re, vel sphaeroidalem, & hunc circa datum axem.
489쪽
Utamur antecedentis figura, in qua supponamus datoeylla dro, A, constituendum esse aequalem apicem sphaeralem, vel sphq
. , roidalem ,& hunc circa datum axem. Exponatur autem cylin
drus, FCD, qui ad cylindrum, A, sit, ut M. ad I. deinde inter, CD, PE, sumantur duae mediae continue proportionales, GH, M,& fiat cylindrus altitudinis, GH, qui sit, GLH , ac supponatur ipsi, LK, assumptam esse aequalem iplam, No, igitur ductis tangentibus circulum circa, NO, in punctis, O, R, di , quae sint, OZ, ZR,RN, concurrentibus in Z, Fit, patet. OZ , esse aequalem ipsi , GK,
S, FZ, aequatur ipsi, Lk, ergo cylindrus, qui naiceretur ex reuo Iulione parallelogrammi, N Z, circa manentem axem, FZ, esset aequalis cylindro, GLΗ, ostendemus autem, ut in antecedenti cy. lindrum, GLΗ, esse aequalem cylindro, CFD , unde patebit cylindrum genitum ex , NE, ad cylindrum, Α, esse vi 2 r. ad r. sed idem Cottit . u. ad Uicem, qui nasceretur ex reuolutione tril mei, OZR,circa, BZ, olo. est ut a I. ad I. nam cylindrus ex, NZ, duplus est cylindri ex , BZ, ergo apex genitus ex trilineo, OZR, aequalis em cylindro, A. Sit nunc inueniendus apex sphaeroidalis circa datum axem.RZ, vel illi aequalem, qui sit aequalis cylindro, A, si ergo talis esset apex sphaeralis, qui fit cx, UER, non eiset alius apex sphaeroicialis circa, RZ, vel illi aequalem i qui eis et aequalis cylindro, A ; si vero non sit, inueniatur apex sphaeratisse ut, lΔ4, aequalis cylindro, A, dein
de vr, RZ, ad huius faeti apicis axim, Δ, ita fiat dimidii diametri basis eiuldem, ideli, J Δ, quadratum ad quadratum, OY, sue, BI,& per. I, trant eat elliptis, NIO, & ducatur eandem tangens in, I, quq sit. lΥ, igitur quia, RZ, ad , ΑΔ, axim facti apicis lphaeralis et , ut quadratum, J Δ, diuidij diametri balis, ad quadratum , O idest, ut circulus, qu est balis facti apicis sphaeralis, d Δ . ad circulum, qui est basis alterius, ideo isti apices erunt aquales e nam se habebunt, ut cylindri in eisdem cum illis basibus, ci circa eos-dcm axes existentes , qui cylindrici erunt aequales , nam axes basibus reciproch respondet; ergo apex luphαroidalis , qui fiet ex , OYI, & est circa axim, IV, aequalem ipsi, R T, datae, erit aequalis cylindro, A, quae inuenienda erant.
Pinet autem, quod laxi et Corollarium antecMentis poterimus etiainuenire apices f erales,vel obarmdales circa datum a vim, ad datum quodcunqι solidum ex enumeratιs in ditio Corollario vitam ratoinem babentes.
490쪽
DAto cylindro tympanum sph;erale eidem aequale eo stituere, cuius axis semidiametro basis sit aequalis.
Sit datus cylindrus , ABC, cuius axis, AD, basis , BC, oportet illi ζαquale tympanu sphqrale constituere, cuius et
axis semidiametro basis sit aequalis . Ut hoc
sat exponatur recta linea terminata quaecu-
ecta in , G, 9 ut quad. Circulo cuicunq; circi, ' H Iscriptum ad eundem circulum, ita fiat, GE, ad , EF, sumatur deinde, FH, quaesit excessus, quo, PE, superat
a lauarum , IE, EG, deinde vi, HI, ad, IE, ita fiat, AD , ad , in , altitudinem alterius cylindri in basi, NP, aequali ipsi, BC, eristentis, & tandem inter LO, &, ON, basis semidiametrum, sumantur duae mediae conti. nuo proportionales, γ, OR, ω in altitudine aequali, OR, nemispe, I 8, basi, R8, aequali eidem , OR, fiat parallelograminum rectangulum, s8 , in cuius plano deteribatur semicirculus , SYR ,&ipsum cum parallelogrammo reuo uatur circa m. nentem axim,
I 8, donec redeat unde dilcessit, patet autem, quod ex parallel grammo fiet cylindrus, ut, ΣΦ , & ex figura, SYF8T, tympanum sphaerale, s ΥΦ. Dico igitur hoc tympanum esse aequale dato cy. lindro, ABC, &, T 8, aequalem ipsi, 8yr, semidiametro basis, T. . Sint parallelograminum, S Φ, & fgura, sΥΦ, per axem transeuntia, &X&, per centra, X, S, circulorum ducta, lecan S, I 8,m, rimanifestum est igitur, quod, XZ, bifariam lecabitur a circumst. rentia, SYR, ut in , Y, cum, 8F, sit Aqualis, ,& ipsi, XZ, SN, autem sit dupla, XY, unde si secetur, F8, bifariam in , q, erit, Wq , aequalis ipsi, XY, lit autem ab ea dempta, F l. ad quam, F,sit ut