장음표시 사용
491쪽
quadratum ad inscriptum circulum, & in, R8, sumpta, W7, aequalis excessui, quo, 3yt, luperat, terti proportionalis duarum,., 4, patet ergo, quod cylindrus, s φ. ad tympanum, SYΦ, est ut, RCorol.i z. 8, ad, 87. Quoniam vero, ut, Lin ad, OO, sic est, QO, ad. OR, 34 ut, LO, ad, OR, vel, T8, ipsi aequalem', ita quadratum, LO, ad quadratum, Oa, vel ita quadratum, RO, seu quad ratum, R8, ad quadratum, NO, vel ita circulus, Iest, ad circulum, NP, ergo duo cylindri, SΦ, , quorum axes reciproch basibus reipondent. . Co . erunt aequales, quod terua . Vlterius, quia vi, Iri ad, in , sic est, gener i Harim.& ut, EG, ad , EF, sic quadratum ad inscriptum circu. 'φ' lum, & ita etiam, F , ad, NI, ergo ex aequali, IE, ad , EF, erit ut, 8S, ad, 3 . Similiter quia, IE, ad , EG, est ut, 8yt,ad, Bl , &, EG, ad ρ. tertiae proportionalis duarum, IE, EG, est ut, qyt, ad s. tertiae proportionalis duarum, 88t, Rψ, ideo ex aequali, ut, IE, ad, . tertiae proportionalis duarum, lE, EG, ita, 88t, erit ad . tertio proportionalis duarum, 8R,R , eaedem autem, IE, 8yti ad , Frisht, erant in eadem ratione, ergo ad excellus duarum, EF, R3, fu, per t.tertiarum proportionalium, lΕ , EG, ex una parte, &, 8M 4, ex alia, erunt in eadem ratione .i. vi, IE, ad, FH, ita erit, ετ, ad, 37, sed etiam, ut, IE, ad, EF, sic esse Oilentum est, 8 , ad, RI, ergo, coli gendo, ut, IE, ad, Eli, ita, 8yt, ad , T i&per conuersionem rationis, & conuertendo, ut, Hl, ad, IE, idest ut . AD, , Lo, ideli ut cy. indrus, BAC, ad cylindrum, NLP, vel illi aequale, SΦ, ut ostentum est in ita, 78, ad, 8R, sed vi, 78, ad , 8 R, ita tym-Corol. i. panum, ΣΥΦ, ad cylindrum, Sst , ergo, ut cylindrus, BAC , a fris . l. s. ' lindrum, cist, ita tympanum, SΥΦ , ad cylindrum, ΣΦ, ergo niis drus, BAC, aequatur tympano, SYe , cuius axis, I 8, lemidiametro
basis, F8, est aequalis, quod, S
Colligitur autem iuxta Corollarium Proposit. 26. huius, nos posse in uentre t=mpana obstraDa, quorum axes semIdιami. tris basium sint aequales, qua ad datum quodcunq; ex fotidis insedIιone I. Coroll. a. Propos a F. butus enumeratis, datam rationem habeant.
PROBLEMA VI. PROPOS. XIX. DAto cylindro anulum strictum circularem aequalem
492쪽
sit datus cylindrus, A, oportet illi anulum strictum circularem aequalem inuenire. Reperiamus ergo cilindrum, qui ad cylindruΑ , sit, ut duplum cuiuisuis quadrati ad circulum dicto quadrato inlcriptum,& deinde huic inuento eylindro alius inueniatur εqua. lis, BC, cuius axis sit
qui diuidatur bifariain, R, & per, R. ducto plano oppositis
hasibus aequid istan. te, sit Constitutus cylindrus. DC, in quo
planum per axem ductum produxerit parallelogrammum,
DC, quod in duo se, parabitur quadrata per ipsam, RN, sint illis inscripti aequales ei Culi, E, F, ex quorum reuolutione circa , RN , intelligatur effectus anulus strictus circularis, EF. Dico hunc esse aequalem cylindro, A. Nam, BC, ad, A, est ut parallelogrammum, BN . . i. ut dupluquadrati, DN, ad circulum, E, sic autem est. BC , ad anulum strictum genitum ex , E, igitur hic anulus cylindro, Α . aequalis erit, quod inuenire opus erat.
DAto cylindro anulo latum circuIarem squalem inue
nire , dato circulo, qui per reuolutionem ipsum g nerat ἱ oportet autem datum cylindrum maiorem esse anilo stricto ab eodem circulo per reuolutionem Senito.
Sit datus cylindrus, E , datus circulus , CD . sit autem datus cylindrus, E, maior anulo stricto per reuolutionem dati circuli circa ipsum rectam tangentem genito. Oportet anulum latum circularem inuenire ab eodem circulo per reuolutionem gen itum, aequalem dato cylindro, E. Sit tangens circulum, CD, in puncto, D, i pia, MN, circa quam fieri intelligatur reuolutio, ut describatur anulus strictus circularis ex , CD, sat deinde, ut anulus strictus ab eo genitus ad cylindrum, E, ita, DC, diamcter eiuldem ad aliam, FH, quae erit eadem maior, quia etiam c lindrus, E, est Maior Ooo a dictori in Pr . pol. 2εν huius. Elieitur ex Corol.
493쪽
CD. Dico anul u ε----- latum circularem descriptum per, AR, reuolutum ci rara, MN, in tali situ, cylindro, E, qualem esse. Nam strictus anuluS de .
cylindrum, E, est ut, DC,ad, FH,&quia, Gl, est aequali ipsi, AD,&,CD, ipsi, HI, erit , GH, aequalis ipsi, AC, ergo Vt, DC ad , FH, ita est eadem,UC,ad, IGH, vel a Elie tur exU AC, siue, AR, ad, ADR, nam composita ex, AD , DR , est aedictis in qualis compositae ex, D Λ, AC, est autem vi, AR , ad composita Corol. Rex, AD, DR, ita anulus strictus genitus ex circulo, CD, ad anulul a', i latum genitum e circulo, AR, ergo anulus strictus genitus ex ciris ea eirculis culo, C D, ad anulum latum genitum ex circulo, AR, erit,ut idem applicetur.anulus strictus ad cylindrum, E, ergo anulus Iatus genitus ex circulo dato, AR, siue, CD, in tali ii tu, aequalis erit cylindro, E. Ia- uentum ergo est, quod opus erat.
IVxta coroll. autem Prop. 26. huius, manifestum est vos etiam octos anulos in data ratione ad datum cylindrum im/entre posse ,σsubinde etram in data ratιone ad quodcunq- ex solidis in Se I. Iocor. 2. Prop. huius enumeratis .
Hiaebetur injupersi in recta, Diae, indisinitὸ producta, eontinuem
tur a pundio, D, quales circulorum diametra; ab eisdem cis culis per reuolutionem circa, NH, deinceps genitos anulos sese habere, ut numeros impares ab untiate continuo progredientes . uuod
494쪽
desinitὸ producta, eontinuentur ὀpunctos D, parallelogrammora m reoctangulorum, In eademq; altitudine existentium, aquales bases, uis: bifariam sectis, ab effectι spuη Iis educantur parallel rammorum dι-ctorum diametri, circa quas exi stant alia plana figurae eius conditionis , ut ducta quacunq; parallela, AD, illιus portiones in his figuris conceptasint aequales, tum an uti scripti a dictIs parallelogrammis se habebunt Di num iri impares ab unitate deinceps expositI, tum etiaanuli geniti 2 praedictιs figuris et Etenim isti anula deinceps se babebunt . ut quedratum prima aequatrum retiarum lineerum , in ipsa, DA, assumptarum , coe excessus quadratorem deinceps subsequentium aequalium linearum , ut facile innotescet, si In memorIam reuocentur, quae dicta funt ιn Coroll. 29. 7q. Lib. 3. pro ibι covsideratιs figuris, quibus baec quoq; adaptantur.
MAnifestum etiam est nos posse iuxta supradictam metbo me atera folida attentare, ut eadem dato UlIndro tum aqualia, tum etram in data ratione inueniamus , veluti ex.gr. basim columnarem stractam, latam, ae m diam, malum Moum, Cur um, oe reissus, qua in Sect. y cor. a. Prop. 1 . burus enumerantur, visubinde cuia libet ex eonsideratis inhoe volumine foliis inuenιamus ex genere cuiuslibet nedum aquale ,sed etiam in data ratrone, qua omnia singil. Iatim prosequi minime volui, tum ad ν Itandam prolixitatem, tum etiam, ut aliis iucundi exerciti' occasionem non eripiam, velutι, σcentri grauitatis nouorum folidorum rnuentιonem, neminι, quod scia adhuc tentatam, ali s pro nunc relinquam, δεβctar enim rn praesenti praedicta folida inueniendi rationem aliqualiter declarasse , centrIDarauitatis dictoramDlidorum inuestigant materiam praebursse .
A Duertendum est aktem circa supradicta solida, quorum mensurgprac se non inven1mus, vi ex. g. patet de πιιιbus spharali-b is tympanis, anulis, re alijs plurimis, neq; 1ηuentionem praeoctam esse, vel fore pracfam, non tamen aspernendam, cum prox t adve νιtatem accedat ,
495쪽
THEOREM A XXIV. PROPOS. XXXI. SI in spatio helico primi circuli spiralium conicus in
eadem altitudine cum apice parabolico, in basi dicto circulo existente , sit constitutus; apex parabolicus erit sexquialter dicti conici.
Patet haec Propositio, nam si in dicto circulo, ut in basi, & eidica eundem axim cum dictis solidis sit cylindrus constitutus, hic ei it texcuplus apicis parabolici, de nonu plus dicti primi conici,er. go apex parabolicus ad cylindrum erit, ut 3. ada 8. & conicus ad ipsum, vi 2. ad I 8. unde apex adconicum erit, ut 3. ad a. idest in ratione sexquialtera, quod erat ostendendum.
THEOREM A XXV. PROPOS. XXXII. SI circa diametrum basis semianuli stricti parabolici
tanquam circa propriam diametrum sphaera, vel sphtrois, fuerit constituta, cuius secunda diameter sit aequalis altitudine, siue axi, eiusdem semianuli ι dicta sphaera, vel sphaerois ipsi semianulo aequalis erit .
Haec etiam patet, nam cylindrus in eadem basi cum semianulo. dicto, & eadem altitudine, est eiusdem sexquialter, est autem etiasexquialter dictae sphaerae, vel sphaeroidis, & ideo dicta sphaera, ves sphaerois, erit aequalis dicto semianulo, quod ostendendum erat.
THEOREMA XXVI. PROPOS. XXXIII. SI cylindrus, & conus, haemisphaerium, vel haemisphς-
roideS , conoides parabolicum , apex parabolicus, &sphaeralis, fuerint in basi eodem circu Iob, & circa eundem axim, infra scriptam rationem inter se habebunt Sit cylindrus, BE, in basi circulo, CE, circa axem, FD, in qui'
bus sint etiam haemisphaerium, uel haemii phaeroides, CFE, con Oi' des parabolicum, CREkE, conus, CFE, apex parabol cus, Cy FZE, & apex sphaeralis, vel sphaeroidalis, CXFYF , qualium igi urparcium cylindrus,BE, est ta6. talium hae in sphaeriuria est 8ψ co
496쪽
noides conus 42. apex para bolicus a I. apex lphaeralis I a.
unde patet haemisphqriuin, veIhaemisphaeroides sexqui tertium es Ie conoidis parabolici, quadruplum apicis parabolici , & leptuplum apicis sphaeralis. Conoides vero parabolicum triplum ess e apicis parabolici, &
quintuplum te quiquartum ap:cis sphaeralis, quae ex ipsis nume 'ris colliguntur, similiter conum, PCE, duplum esse apici para iaci, triplum sex qui alterum proxime apicis spaeralis ,quoad api-cem lpnaeralement in temper proximam dictam ratione intellige, ' raudem apex Parabolicus ad sphaeralem erit lexquisuperis ipartiena quartas. v r r
THEOREMA XXVII. PROPOS. XXXIV. SI in basi cylindri, &circa eundem axim, suerintha
mi ipnarraum , vel haemisphaeroides, conoides parabo lacum, hyperbolicum , ct conus , secto vero axi utcunque, cucatur planuli per punctum sectionis basi a quid istans. Abscissae per ductum planum a di et is solidis portiones erut ad solida , a quibus abscinduntur in ratione infra scripta. uni liter demptis dictis solidis singillatim a cylindro , abicitiae perdu um planum portiones ad residuum cylindri,cempti. Iolidis iam dictis , erunt in ratione infra scripta. Sit cylindrus, BP, in basi circulo, DP, & circa axim, AE , circag in stad in basi sit haemisphaeri uin, vel haemii phaeroides, DUA 1 P, Conoides parabolicum DOARE, hyperbolicum , DNA, P, cc conus, D MAIF,sumpto aute utcunq; puncto in ,AE,quod sit,h, per, k,ducatur planu,CG, bali, DP, aeqitidi ilans. Igitur haemilphe-riu,vel haemisphaeroides, DU ATF, ad portioue, V AT. erit ut pa- ς' 'li 7 rallelepipedia iubdupla, AE,& quadrato, AE,ad parallelepipedum lub composita ex dupla, ΑΕ, S ex , ΕΚ,& lub quadrato, kA.CO noides parabolicum , DO A RE, ad conoides, OAR , era ut quadratuin, EA, ad quadratum, d Κ. Conoides hypobolicum, UN, F , ad conoides , NAS . ut parallelepipeduiu iub composita eX C , alii. Iexquialtera traniuersi ciuidem uictis, &, EA, & Iub quadraco, E 30. . . Ased
497쪽
L. Oroll. 4. gener.3 . l. 2.D. G.
A,ad parallelepipedum lub composita P
misphaeroides, DUATE. Igitur per )emonstrata patet reliquum cylindri ab abscissam ab eo portionem perductum planum esse, ut
cubus, AE, est ad cubum, EK. Dempto autem conoide parabolico ab eodem cylindro; reliquum cylindri ab abscissam portione erit, ut quadratum, AE, ad quadratum, EK. Dempto vero co-noide hyperbolico ab eodem cylindro, reliquum cylindri ad ab . scissam portiovem erit , ut parallelepipedum sub composita ex sexqui altera transuersi lateris, & dupla axis eiusdem, & sub quadrato eiusdem axis, ad parallelepipedum sub composita ex sex qui altera ei uidem trant uersi lateris ,& axibus utriusq; portionis,&subquadrato excellus maioris axis super minorem . Tandem dempto conO, DA F, a cylindro, BF, residuum cylindri ad abscissa portionem erit, ut cubus, A E, ad parallelepipedum sub sexqui ait ra, LE,&iub rectangulo, AKZ, cum R. quadrati, ΚΕ. Nam cy. lindrus, d P, ad reliquum cylindri, CF, dempto frusto coni, DMIF, habet rationem compositam ex ea, quam habet cylindrus, BF, ad cylindrum, CP, id est ex ea, quam habet, AE, ad, ΕΚ, & ex rati ne cylindri, CF, ad reliquum, dempto a cylindro, CF, frusto, D MIE, quae cit ea, quam habet quadratum, DE, ad rectangulum, C MK cum '. quadrati, CM, vel quadratum, EA, ad rectangulum, EΚΑ, cum l. quadrati, E K, est autem reliquum cylindri, BF, dempto cono, DAE, eiusdem cyl ndri, ergo reliquum sylindri, BF, dein pto cono, DAP, ad reliquum cylindri, CF, dempto frusto, DMis', erit in ratione composita ex ea, quam habet l. AE, ad, EA, id est, ΑΕ, ad sexqui alteram, E K,& quadratum, A E, ad rectanguluin, AKE , cum I. quadrati. kE quae duae rationes componunt rationem cubi, A E, ad parallelepipedum lub sexquialtera , Elc, &
498쪽
pto fruito, DMlF ; caetera autem ex suis Propositionibus patent, quae explicanda Iroponebantur.
LIcet autem insuperioribus bre ius Libri Proposinonibus tantam. m Ao cylindros, conos, spbaras,spharo des, conoι des paraboli eas, ct hyperbolicas, apices sphaerales, atque anulos, apices parabo. licos, ct femianulos, ae catera consimilia solida fuerimus contemplari, quorum omnia plana sunt omnes figurae similes figurarum, qua eo. rundem genitrices appellantur, scilicet in his solidus, assumptis tantum similibus figuris, qua siἡt circuli, vel ellipses; tamen manifestum est, si vice eireulisum, vel ellipsium atra fuissent assumpta similes mgurae, quod eadem circa talia solida Theoremata, vel Problemata similia praepositis conbuere potuissemus 4 Vude ex .g. velutι in Pro .aε. huius inuenimus sphaeram aquaiso dato cylindro, ita si vice eylindri habuissemus cylindricum, cuIus basis fuisset traangulum aqui laterum, poteramus vice sphaera iuueturesolidum, Ulιndrieo dato β.milare , genitum ex circulo, cuius nempe omnia plana fuissent omnes figura similes,idest omnia triangula aquilatera, circuli,quι erat sph rae ,σ est huius solidι genitrix figura, σ eodem modo in caeteris hanc commutationem prosequi, assumptis quibuscumque similibus figuris genitricium figurarum , ex quibus dicta solida ad inuicem similaria genita dicuntur, quam varιetatem, ut σ alia quamplurima tum Pr blemata, tum Theoremata , qua ex hactenus ostensis deduci posent, quaq; Lectoris rudustria relinquuntur, cuiq; licebit ruxta propositam methodum facile meditari, propterea cιrca hac non amplius ima morandum mihi esse censui.
499쪽
In quo quacumque in antecedentibus Libris methodo indiui ilium demonstrata fuere ,
alia ratione . ab eadem independem te, breuiter ostentantur. PRAEFATIO.
per eam, quam mdiuisibiliam methodam non incongrue appellamus, bactenus promote, talιs D it, qualιs hucusq; viderι po tuit, structura , nec non talia , quatra lacia sunt fundamenta- Illa quidem actis firma , atq; incor ussa , undecuri, ut vezuta inmantina summorum ingeniorum tamquamaaretum retitas pulsata ne minimum qur deuutantis agnoscerentur: Hoc eum Mathematicarum dignisur, ac fumma certItudini, qu .im pra omnibus aliis immanis fetentiis, nemι- ne pbitosopborum reriam ante , ipse sibi vindicarunt, maximὸ eomis. mre m-festum est. An ιd Nofuscienter prastiterim a torum iussi. GO relinquam , unicui Ine enim hac perlegenti ex animi fus sementia iudicare lieebit. Haud quidem me latra carca contιnus composiationem, necnon circa insinreum , plurima a phιlos Ubιs disputari, qua iners principiis obesse non paucιs fortasse νιdebuntur , propterea nempe basitantes i quod Omurum linearum .seu omn/um ρὶanorum, con ceptus cimeriis m ista obscurior tenebrιs ιnapprehensibilis videatur rVel quod tu continui ι x indauisibilibus commmionem mea sententia
prolabatur: Uel tali dem quod unum infinitum alio malas dari posse pro firmissimo Geometria sternere auferim μηdamento, circa qua mιι- tibus , qua pasm in scholis circumferuntur argumentis, ne Acbiis Iea
500쪽
Iea quidem .rma resistere posse existi vianta . His tamen ego per ea, qua Lib. 1. Prop. I. ac illivs Scholio praecipue decliarata, ac demon stratasunt, fatis fieri posse dijudicauit quoad conceptum en Im omniuunearum, seu omnram planorum es metrudam, facιse bover uera ιionem nos consequi pom extimavi, ιta nempe ut nulla itueara , seu planorum, excludi ιntelligathr. Muoad contruui autem compγ-
sitionem manifestum est ex praeostensis ad ipsum ex iudiuisibilabus er-
ponendum nos minime cogi, sola in enim conlisua sequi indivisibilium propρrtionem, conuerso, probare ratentumsuit, quod qu/dem cuutraq; positione stare potest. Tandem vero dicta Indiu sibilium aure gata non ita pertractaurmus ut infinitatis ratronem , propter tinnitas linearisen plana , subire Fidentur , sed quatenus, finit atrs quandam udrtionem ι ρο natinam sortiuntur, ut propterea, O augerι, σωιmanui possint, ut ibidem ostensum fuit, si tria prout dioiuita suilis
accrpiantur. Sed his nibilo minus fonὲ ob repetit Philosophi, reclamabunt Τ; Geometra , qui puri nos veritat s latices ex claras Is haurire fontibus consuescunt sic objeientes . Hic dicendi modus dis . huc videtur subobscurus, durιor quam par est evadit hic omnrum li-yearum, seu omnιum planorum conceptus, quapropter hunc tua Geometr a ceu Gordium nodum acit auferas, aut fallam frangas, nisi
dissoluas . Fregissem qu idem fateor , 5 Geometrae, vel Ommnd a prioribus Libris sustulissem, nisi indiguum facinus mibi Usum fuisset nova bae Geometria veluti in eriaIapientis mis abscondere viras, ut, . bis fundameutis, quibus tot conclusionum ab H ijs quoq; ostensarum
verrtates adeὸ mirὸ concordant, alicuius industria metrus forte concinnatis , huiusce nodi exoptatam illis dissolutionem aliquando prae gare posmi is Interim qualiscumq; mea fuerit illius tentata dista- . ria, ipsum tamen ἔn praefenti. L1bro, nouis alijs denuo stratis fundamentis , quibus ea omnia, qua indiu sibilium methodo in antecedentrinbus Libris iam ostensa fant, alia ratione ab insinteatrs exemptaconce ptu comtrobantur, omnino . medio tollendum esse censit. Ηoe vero praecipue a nobis factum est, rum N apud eos, quibu 1 u ira bac indi. uisibilium metbodus minus probabitur, non indiga nsram hanc de
continuis dactrinam Geometria titulo iusignfra clarius cncescat; tu aetiam ut appareat, qui/d uon leur rati ne dιcti , cum possemus cuncta per indiu latrum methodum p ostensa, tantum per o Mas Lι,r fundamenta demonstrare, ιllam quo/ue methodum tanquam uouam, ac consititeratιone dignam, fuιmus prosequuti . 2Modum vera ipsum, cur negotium face rct, non inanIter in praeseden Ibus Lybris reli fumesse, quιni umo n Os Ujuxu alic u Alexandro aret fraVendum,aut iuxta scrupulseranι cι ι fg, G. ometra vola drsu udum , mcrιtὸ rc r.