장음표시 사용
51쪽
& insuper numerus 18 , diuisus per numerum 7, producit numerdui . Rursus qualescunque sint numeri B & C, eo ipso quod numerus C, diuisus per numerum B, producit numerum Ar etiam numerus A ductus in numerum B , producit numerum C. Exempli gratia , quia numerus as diuisus per numerum Α, producit numerum Tetetiam numerus 7 dumis in numerum 4, producit numerum 28 . . Dubium esse posset circa examen diuisionis , quando productum constat ex numero integro, & fracto , ut accidere potest inodiuisione integrorum numerorum. Exempli gratia productum ex numero as , diuiso per numerum 7, producit qui est numerus compositus ex integro, & fracto, & hactenus non egimus nisi de multiplicatione integrorum numerorum . Vt hoc vel simili casu diuisio examinari postit mediante multiplicatione, notare sufficit, quod si integer numerus productus ex diuisione, ducatur in diuisorem, atque huic producio addatur numerus scriptus supra line Iam , habet, itur numerus citca quem est instituta diuisio. Exempli
gratia , quia nun eius as ; diuisus per numerum 7 producit numerum 3 ,. etiam numerus 3 ductus in numerum 7 , a uctus numero A, producit numerum a s : nam numerus 3, ductus in numerum 7, dat Numerum et I : cui addendo numerum q, seriptum supra lineolam , habetur numerus a S.
Proponuntur aliqua, pro operationibus Arithmeticis instituendis circa numeros vulgares fractOS.
Expositis operationibus Arithmeticis , quae instituuntur eirca
integros numeros vulgares : venio ad alteram partem Arithmeticae vulgar s , quae docet easdem operationes instituere circa numeros , qui dicuntur fracti; in quem finem, imprimis nobis exponendum est, quomodo a prioribus discrepent polieriores . Numerus dicitur qui numerat. siue indicat unitates, unam scilicet, vel plures: etenim a nobis non minus appellatur numerus, quod unicam unitatem indicat: quam quod indicat plares unitates. Praeterea vox unitas, ita intelligenda est , ut significet idem , quod significat vox unum, siue individuum . Iam vero unitas considerari potest ut genus est , siue illud praecise quod dicitur unum, hoc est indiui.
52쪽
Caput VI. De fractis numeris. 63'
diuiduum consideratum praecis8 ut individuum est: atque haec unitas, appellatur unitas genetica, siue individuum genericum - Vnitas generica restricta, dicitur unitas specifica: etenim unitas generiis ea non subdiuiditur in diuersa unitatum genera , sed tantum diuiditur in diuersas species unitatum: atque generica unitas, est aliquid idem in singulis vilitatibus specificis; si aut an mal, est aliquid idem, in singulis animalium speciebus; hinc unitas genetica est eadem in binario , ternario, quaternario, unitate totali, unitate partiali, licet singulae illae unitates specie disserant inter se; singulae enim sunt unitates genericae diuersimode restrictae: ipsa vero unitis generica restricta, dicitur unitas specifica: atque unitas generica pluries eodem modo restricta constituit plures eiusdem speciei unitates: ipsa unitas generica pluries, sed diuersimode restricta , constituit plures diuersae speciei unitates . Exempli gratia, unitas hominum, siue unus homo : est unitas specie diuersa , ab unitate Leonis, siue ab uno Leone; ex quo fit, quod unus homo plus uno Leone, neque faciat duos homines , neque duos Leones. Similiter, unitas hominum alborum , siue unus homo albus : specie differt ab unitate hominuminigro rum , siue ab uno homine nigro; ex quo fit, quod unus homo albus plus uno homine nigro, neque faciat duos homines albos , neque duos homines nigros. Rursus, unitas diuisa per quatuor, specie
dissere ab unitate diuisa per tria ς ex quo fit, quod unitas diuisa per quatuor plus unitate diuisa per tria , neque constituat duas unitates diuisas per quatuor, neque duas unitates diuisas per tria. Denique uniuersaliter unitas generica diuersimode restricta , atque contracta ad unitates plus quam numero inter se differentes, constituit unitates specificas diuersae speciei. Ex quo satis patet, quid sint unitates eiusdem , vel diuerse speciei; quodque duae unitates erunt eiusdem speciei, si non disserant quo ad restrictionem , sed solo numero ab inuicem discrepent; & quod duae unitates erunt diuersae speciei , si disserant quo ad restrictionem, atque magis quam numero ab inuicem discrepent. Disserentiae restringentes unitatem genericam, atque illam contrahentes ad specificas unitates vulgares: vel sunt restrictiones dependentes a diuisione , vel non dependentes a diuisione . Priores , compendiata scriptione indicat vulgaris Arithmetica, in qua, posteriores , vel productiori scriptione indicantur, vel habentur ex hypothesi : a qua , exempli gratia , dependet quod unitas
simplex , unius , vel alterius speciei unitates repraesentet: nequialiunde quam ex hypothesi potest cognosci, cuius speciei unitatem significet unitas simplex, haec enim quantum est ex se, plane indifferens est , ad significandam cuiuslibet speciei unitatem. Restrictio
53쪽
dependens a diuisione, compendiate indicatur per genitores talis diuisionis i sic quando dicitur unitas diuisa per quatuor; exprimitur numerus habens restrictionem dependentem a diuisione, in qua superior genitor est unum , inferior genitor est quatuor. Similiter quando dicitur, unitas diuisa per tria: exprimitur numerus habens restrictionem dependentem a diuisione, in qua superior genitor est
unum , inferior genitor est tria. Pari modo quando dicitur, quatuor diuitum per duodecim: primitur numerus habens restrictionem dependentem a diuisone, cuius superior genitor est quatuor, inferior genitor est duodecim . Iam vero vulgaris numerus fractus dici potest numerus vulgaris habens restrictionem dependentem a diuisione. Vulgaris fracti numeri numerator, dicitur, superior penitor illius diuisionis a qua numerus fractus restrictionem habet. Vulgaris fracti numeri denominator, appellatur, inferior genitor illius diuisionis a qua numerus stactus restrictionem habet. Ex his constat quid sint vulgares fracti numeri, & quid intelligatur per numeratorem , aut denominatorem vulgaris stacii numeri. Vt vulgaris Arithmetica fractum numerum repraesentet compendiata scriptione : interposita lineola numeratori lubsci ibit denominatolem a
Lxempli gratia , numeri A, B, C, D, singuli compendiata scripta cina. exhibent fractum numerum vulgarem; numerus A legitur una quarta pars: vel unum diuisum per quatuor: vel una quaternarii unitas; tribus istis diuersis modis legendi fractum numerum, nihil diuersum, sed idem plane significatur; primus magis usitatus est in vulgari Arithmetica ; secundus usitatior est in nostra logistica; quod qui primus a secundo non disserat quoad significationem, etiam apud eos, qui tradunt vulgarem Arithmeticam : satis patet, ex prima diuisionis praxi proposita cap. s. quae apud vulgaris Arith-Α et meticae ea rosiores maxime ustata est , & subsistere non , ' posset, si duo priores modi legendi fractum numerum non significarent idim . De tertio modo legendi fractum vulgad 1 rem numelum paulo post iecurrent aliqua. Numerus B, i 7 gitur, una tertia pars: vel unum diuisum per triar vel una ternarij unitas. Numerus C, legitur, quatuor duodecimae C partes: vel quatuor diuisum per duodecim: vel quatuor duOIa denarii unitates . Nun erus E, legitur , quatuor Pr n a par- D tes: vel quatuor diuisum per unum; vel quatuor integrae nitates . Lx his satis patet quomodo legi possint quiuis alij numeri vulgares fracti . Circa modum legendi nutrer . rum fractum E. aduertendum est , quod pars prima unita tia ira debeat intelligi, ut idem significet, ac integra vortas,
54쪽
Caput VI. De si actis numeris. 67
ex quo fit, quod quatuor partes primae unitatis, non sint aliquid
diuersum , a quatuor integris unitatibus: & similiter, quatuor diuisum per unum, non differat ab integro numero quatuor et ex quo ulterius sequitur, nullum numerum habentem pro denominatore unitatem vulgarem, significare aliquid diuersum, ab eo, quod signi. ficatur per solum numeratorem ; adeo ut numeri E, & F, diuersa
scriptione idem significent: idemque plane significetur, dicendo
quatuor primae partes, vel quatuor diuisum per unum , vel quatuor integrae unitates , vel quatuor; immo hinc fit, quod integri numeri vulgares omnes censeantur pro denominatore habere unitatem vulgarem; quem tamen denominatorem , vel exprimere, vel negligere, liberum est: quandoquidem per hoc non varietur numeri significatior & nisi in hac parte mecum conuenirent scriptores vulgaris Arithmeticae , statuere non possent, inter se specie conuenire numeros vulgares, qui conueniunt quo ad denominatorem : illos vero specie uifferre, qui disserunt quo ad denomii totem , etenim numeros E, & F, hoc est quatuor primae partes , & quatuom, etiam iuxta ipsos , sunt numeri eiusdem speciei: & tamen non coda vene quoad denominatorem, si integer numerus F, siue quatuor , non intelligatur pro denominatore habere unitatem simplicem, quae est denominator numeri E. Si quaeras, quare in vulgaribus numeris numeratorum inaequali ias non cau et diuersitatem specificam , se tame ita, denominatorum inaequalitas causet diuersitatem specificam , inter duos vulgares numeros: atque exempli gratia via uin diuisum perquatuor, & unum diuisum per tria , sint numeri diuersae speciei: &tamen unum diuisum per quatuor; & tria diuisum per quatuor, sint
numeri eiusdem speciei: licet priores duo quo ad denominatores non magis disserant, quam posteriores disserant quo ad numeratores. Rei pondeo unum diuisum per quatuor, significare unam qua . ternarii unitarem , vel unam quartam partem et de unum diuisum per tria , significare unam ternarii unitatem , siue unam tertiam partem: quandoquidem igitur quaternarii, & ternarii unitates , sint unitates diuersimode restrictae, atque inter se plus quam numero differentes et ex iis quae paulo ante dicta sunt de numeris specie disserentibus , manifestum est, praedictos duos numeros inter se specie disse re . Utrum unum diuisum per quatuor , significat unam quaternarii , nitatem, vel unam quartam partem : atque tria diu: sum perquatuor significat tres quaternaris unitates , siue tres quartas partes: ex quo patet duos istos numeros significare unitates eodem modo restrictas , atque inter se solo numero diuersas: & consequenter duos
illos numeros non differre specie. Ex hac responsione videtur talis
55쪽
manifestum , quare in numeris vulgaribus sola inaequalitas numera-rorum non causet diuersitatem specificam, & tamen sola inaequalitas denominatorum causet diuersitatem specificam i dixi sola inaequalitas numeratorum: etenim .si duorum vulgarium numerorum numeratores , non tantum inaequales sint, sed amplius inter se disserant: etiam numeri specie differret, licet habeant eosdem denominatores. Exempli gratia unitas ternarii diuisa per quatuor, specie differt, ab unitate binarii diuisa per quatuor: ut satis patet ex paulo ante dictis de numeris specie disserentibus: & tamen duo isti numeri eumdem denominatorem habent. Idem verum erit de una libra diuisa per quatuor uncias, & de una uncia diuisa per quatuor uncias; quis tamen negare potest, eiusmodi numeros , ulgares esse . vel a vulgari Arithmetica considerari. Hinc colliges, quod quando vulgaris Arithmeticae expositores statuunt , specie conuenire numerob vulgares, qui conueniunt quo ad denominatorem: atque specie differre numeros vulgares, qui differunt quo ad denominatorem : id in
telligendum esse; de numeris fulgaribus expressis compendiata scri- Ptione apud ipsos usi lata, atque insuper adhibita in eadem hypothesi: siue de numeris compendiate repraesentatis per solas vulgares unitates simplices,atque supposito quod unitas simplex semper idemsgnificet. Denique ut intelligatur, singulos modos legendi fractos numeros paulo ante propositos idem significare, sufficit intelligeri numeros, repraesentatos productiori scriptione,quorum numerorum notitia , supponitur ab ijs qui vulgarem practicam Arithmeticam tradunt, & vix , aut ne vix quidem declaratur, ab illis, qui tradunc Arithmeticae vulgaris practicae, speculativa fundamenta , qua de re plura inuenies in postrema parte huius opusculi. Numerus fractus , S. fractio, idem significant: fractionis termini dicuntur ', numerator, & denominator fractionis ; hinc fractio , siue fractus numerus, minoribus terminis constare dicitur,quo
fractio habet minorem numeratorem , & denominatorem , Duae factiones dicuntur aequales inter se, quae aequales nume
4 ros significant. Exempli Gratia fractiones A & B , sunt Α fractiones aequales : quia si anificant numeros aequales . vi satis patet ex ijs, quae paulo ante diximus de significatione fractionum .
a Numerus vulgaris erit simplex , si unicum habeat denominatorem; erit compositus, si duos , aut plures denomina tores habeat. Exempli gratia numeri η , item Iao, item ', item P, singuli simplices sunt, verum numerus Ia 3 est compositus.
Duo numeri vulgares erunt eiusdem speciei, si non disserant quoad de
56쪽
Caput VI. De fiam s numeris . sis
ad denominatorem , & insuper, ex vi hypothesis, unitates simpliaees a numeris indicatae, non disserant. Duo numeri vulgares erunt diuersae speciei et si disserant quo ad denominatorem , vel unitates simplices a numeris indicatae . ex vi.hypothesis . aisierant later se . Mensura numeri A , dicitur quilibet numerus integer B , qui seis mel, vel saepius sumptus; potest aequari numero A . Exempli gratia
numeri 24 ,mensura est numerus 6: quia numerus o quater sumptus, aequatur numero ra: similiter numeri 24,mensura est g: quia nnmerus 3 ter sumptus aequatur numero a .Pari modo numeri a mεsurae sunt numeri r 2,8,6, 3, ,2q;etenim numero 24 squatur numerus Ia bis sum plus ite numerus 6, quater sumptus,item numerus 3, octies sumptus, item numerus I vigesies quater iumptus; item numerus 24, semel fumptus. Verum numeri a ..mensura non ed numerus ετ quia
quinquies semptus est maior quam Μ: minus quam quinquies sumptus est minor quam a .' Similiter numeri a , mensura non est numerus 7 : qui quater sumptus est maior quam numerus 14 ; minusquam quater sumptus est minor quam numerus aq . Mensura duobus numeris A & si communis , est quiuis numerus. qui tam numeri Λ quam numeri C mensura est. Exemplii. gratia numerorum 24 & ao, communis mensura est numerus 4: quia sexies sumptus aequatur numero a : & etiam quinquies sumptus aequatur
Duorum numerorum maxima communis mensura, dicitur, nu. merus, quo non datur maior, qui sit communis mensura . Exem.'pli gratia numerorum a , & i 6, maxima communis mensura est nu. merus 1: quia numerus S est mensura communis numerorum V,
& 16 :& non datur numerus maior . qui sit communis mensurar licet dentur alij numeri minores, qui singuli sint communis mensura
numerorum 24 & i6: tales enim sunt Α, a, I. similiter numerorum 2 & 19 , maxima communis mensura est numerus I: etenim numerus I , est mensura communis numerorum 24 & I9:, et non da
tur alius: numerus maior qui sit communis mensura utriusque illius
Problemata et lilia pro operationibus Arithmeticis , qua in Pituaniur circa actos numeros vulgares. SIngula problemata quae hic proponuntur , usitata sunt apud exispotitores vulgaris Arithmeticae practicae: licet enim singula non sint plane necessaria pro operationibus instituendis circa fractos nu-G meros
57쪽
meros vulgares: tamen maxime utilia sunt, pro vulgari Arithmetica practica.
Inuenire maximam communem mensuram, propositorum duorum numerorum A & B , qui singuli sint numeri vulgaris integri . M A iorem numerum A, diuidendo per minorem B , inueniatur
huius diuisionis residuum C. Rursus praecedentis diuisionis ciuisorem B, diuidendo per residuum iC inueniatur nouum residuum D. Rursus preecdjntis diuisionis: diuisorem C, diuidendo per residuum D , inueniatur nouum residuum E; atque hoc ordine continuentur diuisiones, donec pro residuo inueniatur o , siue nihil .ltimae huius diuisionis diuisor erit maxima communis mensura quaesita. Exempli gratia, propositi sint numeri ao &ia, quorum maxima communis mensura inuenienda sit. Primo , ro diuidendo per ra, habetur residuum s . Rursus ra diuidendo per 3 ; habetur residuum 4 . Rursus , 8 diuidendo per ψ, habetur residuum oue ita. εque numerorum χο& II, maxima communis mensiura est . Simili. ter propositi sint numeri 32 & i6. quorum maxima communis mensura inuenienda sit , a a diuidendo per r6 , habetur pro residuo o ;itaque numerorum 32 & I6, maxima communis mensura est 16
Propositum fractum numerum vulgarem reducere ad minimos terminos . ΡRiino per primu problema, inueniatur maxima comunis me sura
conueniens numeratori, & denominatori propositae fractionis . Deinde propositi fractionis numerator, diuisus per inventa maxima mensura communem , producet nouum numeratorem,& etiam propositae fractionis Oenominator,diuisus per inuenta maximam mensura communem, producet nouum denominatorem. Deniq;nouus numerator, cum nouo denominatore , constituet fractionem quaesi
58쪽
Caput V I. De stactis numeris fr
iam. Exempli graria, proposita fractio sit , numeratori ia, &denominatori Io conueniens maxima communis mensura, est 4 rdeinde radiuisum per ψ producit nouum numeratorem 3 3 de mdiuisum per producit nouum denomiuatorem sz adeoque Inuenista fractio erit 3 et quae fractio aequivalet propositae fractioni et neque possibilis est ulla fractio quae aequivaleat propositae fractioni, de con Mee minoribus terminis quam inuenta fractio .
Propositos duos fractos numeros vulgares reducere ad communem denominatorem. ΡRimo, numerator primae fractionis propositae, dueris in den
minatorem secundae fractionis propositae, dabit primum numeratorem nouum; deinde . secundae stactionis propositae numer tor , ductus in denominatorem primae fractionis propositae,dabit secundum numeratorem nouum . Tertio primae fractionis propositae denominator, ductus in denominatorein secundae fractioni x propositae, dabit nouum denominatorem communem. Denique primus numerator nouus . cum inuento communi denominatore, . Onsti tuet nouam fractionem , aequivaIentem primae fractioni propositae t& secundus numerator nouus, cum inuento communi denomiaat re, constituet nouam fractionem aequi ualentem secundae fractioni propositae et atque adeo habebuntur duae nouae fractiones, habentes communem denominatorem , atque aequiuaIentes propositis duabus fractionibus. Exempli gratia proposita prima fractio sit , I cunda fractio proposita sit '. Quoniam a ductum in s , dat Io: priamus numerator nouus erit ιο . Et quia 6 ductum in t , dat ta: . scicundus numerator nouus erit ra. Praeterea cum 3 ductum in f, deeI I communis denominator erit rue . Denique prima noua fractio erit' secunda noua fractio erit atque nouae duae fractiones eκ-hibebunt propositas cuas fractiones, reductas ad communem den
59쪽
Propositum stactum numerum vulgarem, reducere ad alium fractum numerum, habentem datum denominatorem, in casu in quo ici fieri potest. PBopositae fractionis numerator, ductus in datum denominatorem, producet aliquem numerum, qui diutius per denominatorem propositae fractionis, dabit nouum numeratorem et noui is numerator cum dato denominatore , constituet qua sitam fractionem. Exempli gratia, proposita si actio sit : datus denominator fit 3 . Quoniam , A ductum in 3 , dat ra: & insuper ta diuisum, Per 6 , dat a r nouus numerator erit a : de noua fractio erit ἰ; quae habet datum denomina torem 3 , & etiam aequivalet propositae fractioni, Si fieri non possit quod praescribitur pro solutione problematis Casus propositus censetur impossibilis. Exempli Gratia , proposita fractio sit : datus denominator sit 3 ; hoc casu, 4 ductum in s dat sor sed ao diuisum per 5, non dat integrum numerum : adeoque fieri non potest quod praescribitur in solutione problematis, quare casus propositus censetur impossibilis , & proposita fractio ', non potest reduci ad aliam fractionem , quae habeat denominatorem S.
De operationibus Arithmeticis, quae instituuntur circa fractos numeros vulgares.
SVpposita intelligentia eorum quae praecedenti capite dicta
sunt de numeris vulgaribus fractis: & notitia operationum Arithmeticarum , quae insituuntur circa integros vulgares numeros; breuiter propono , quomodo Arithmeticae operationes absoluantur, quando ex datis pro operatione numeris . aliquis fractuo sit, atque vulgaris; operationum singularum definitiones non . ni rere-
60쪽
Caput VII. De s actis numeris. s 3
repeto, quanaoquidem illae a nobis propositae sint in praecedentibus
capitibus. Praeterea unico capite complector operationes omnes, quae circa vulgares fractos numeros instituuntur: faciles enim sunt,
neque in ipsis superest specialis disticultas, praesupposita notitia eorum quae hactenus tradidimus . Obseruandum hic est, quod nus. quam expresse agamus de operationibus vulgaris Arithmeticae, illa, casu , in quo aliquis ex datis numeris est compotitus, ex integro &fracto, aut diuersis fractis numeris: quandoquidem tali casu, compositus numerus prius reduci possit ad alium aequi ualentem noris compositum et atque ad hoc abunde susticiant pauca superioris capitis ploblemata .
De Additione numerorum fractorum Uustar um. VT inueniatur productum, quod oritur ex Additione duorum,
aut plurium numerorum vulgarium, quorum aliquis sit fractus numerus. Primo si singuli numeri dati non habeant communem denominatorem, per problema I. capitis s. reducantur ad alios numeros , habentes communem denominatorem. Quo facto, numeratores simul additi dabunt nouum numeratorem qui cunia. communi denominatore, constituet fractum numerum productumqx proposita additione . Exempli Gratia , si fractus numerus ', addendus sit alteri fracto numero et hi numeri,per problema 3. capitis 6. reducti ad alios, habentes communem denominatorem, erunt ἰ' de ἰ r numeratores aciatque at simul additi, producunt I οῦ quare numerus productus.
ex proposita additione erit: adeoque verum erit quod plus lproducant Similiter si integer numerus η, addendus fit fracto numero hi numeri per problema 3 capitis 6 reducti ad alios, habentes communem denominatore erui, ' S :' numeratores zo & 3 simul additi, producunt a 3 et quare numerus productus ex proposita additione erit 3; atque adeo verum erit,quod plus I, produc x I. Non erit inutile hie reflectere, quod pro 3dditione numerorum integrorum , uigarium , pitaci se requiratur, atque lassiciat, additio
numeratorum manente eodem denominatores quod verum est,quia omnes numeri vulgares integri, eumdem habent denominatorem .
Similiter, quoties fracti uti meri habent eumdem . siue communem denominatorem ' pro illorum additione, praecise requiritur, & su D ficit, additio numeratorum, nianente eod in denominatore. Si