장음표시 사용
101쪽
rentia angulorum L 4 LXA id est EX N erit totus arcus
OF una cum medietate arcuum MN. EF. Sed medietas a cuum MN EF. minor est angulo AO. id est arcu KO. Igiatur si communis addatur arcus OF erit arcus KF maior arcu OF una cum medietate arcuum MN EF at vero arcus
A est differentia angulorum FAD KAD. Marcus OF una cum medietate arcuum MN EF est differentia angulorum I FA. LX R. Igitur maior est differentia angulorum FAD. SAD quam angulorum I FA LSA. Quare rursus si per 1 . primi huius statuantur duo recti prima quantitaS, duo itidem recti secunda quantitas , tertia autem quantita Ssit angulus FAD. quarta AD. quinta LFA sexta KA.
ac ex prima quantitate , nempe ex duobus rectis auferantur tertia FAD. quarta XAD ex secunda autem,videlicet ex duobus rectis demantur quinta I FA.& sexta LXA sitquGFAD.maior quam LFA.&quam KAD. LFA. maior qua pronunc.
LXA Nam LFA. maior est quam LOA. &LOA. maior quam LΚΑ. ut supra ostensum est &differentia angulorum FAD.ΚAD. maior differentia angulorum I FA. LXA. erit ex dicta propositione q. primi huius maior ratio angu I IJ h 'I KAL. ad angulum FAL. videlicet complementiquartae KAD ad complementum tertia FAD quam complementi anguli ΚΛ.qui sexta quantitas est, ad complementum anguli LFA qui quinta quantitas , positus est. Atque ita in quolibet alio situ ostendemus, quod propositum est. Quaresiduo triangula&c. Quod fuit demonstrandum c.
Hanc propositionem,etiam in sequenti,quam multo ampliorem reddidimus, facilius, ac breuius demonstrabimus, ut inde variae probandi rationes,in nabac eadem materiata, elucescant , quod a veteribus Geometris , ac Pappo praeser-
sertim , in collectionibus mathematicis , factitatum simus
102쪽
s Curui ac recti proportio promota THEOREM A XIII. PROPOS. XIII. S duo triangula duo latera aequalia habuerint,
utrumq; viriq; , in eodem vero triangulo inae
qualia, Mangulum ij comprςhensum angulo inaequalem cinguli aequalibus lateribus com-
praehensi, maior ad minorem, maiorem habent rationem, quam complementa angulorum reliquorum ad duos rectos si basibus, ac maiori laterum item basibus ac minori laterum contenti, maioreLque cum minoribus constrantur. I figura non huius, habeant duo triangula LAR . LAO.duo latera LA.AI .duobus LA.AO.aequalia trumq; utrique, angulus compraehensus LAIC maior sit compraehenso LAO. Dico maiorem esse rati nemianguli AR . ad angulum LAO quam complementi anguli . Mi L. ad duos rectos, ad complementum anguli OL. Item quam complementi anguli ALV. ad complementum anguli ALO. producantur AL in T. AO in V. AE . in . erunt anguli LR . TLO. complementa angulorum ALA ALO. ad duos rectos,&anguli A L. VOL. complementa angulorum AR L. AO Quoniam maior est ratio anguli LAR . ad angulum AK quam anguli LAO ad angulum OL Gitcomponendo,&permutando maior ratio angulorum LAX.AXL simul ad angulos LAO AOL simul,quam anguli
103쪽
AXL ad angulum AOL. Quare cum maior sit ratio totius I ΑΚ. AKL.simul,ad totum LAO.AOL simul,quam partis AKL ad partem AOL. etiam reliqui I AK ad reliquum
LAO. maior erit ratio,quam totius I AK AKL.simul,ad totum LAO.AOL. simul ipsis autem I AK. AKL. simul aequalis est externus I LX. ipsis LAO AOL simul aequalis est externus I LO. Igitur maior est ratio anguli LAK. ad angulum LAO.quam anguli TLR .ad angulum L O. Rursus quoniam maior est ratio anguli AK ad angulum AI Κ. quam anguli LAO. ad angulum ALO.ut constat ex nonis cundi huius erit componendo, & permutando, maior ratio I Ax ALX simul ad LAO ALO. simul qua ALK.ad ALO. ideoque cum maior sit ratio totius AK. I K. ad totum LAO. ALO. simul,quam partis ALS ad partem ALO. etiareliqui LAS. ad reliquum LAO. maior erit ratio quam totius LXA AKL ad totum LAO ALO. sed toti LAX. LX. est aequalis angulus XX L.& toti LAO.ALO. aequalis est a gulus VOL. Igitur anguli AK ad angulum LAO maiorcst ratio quam anguli XS L. ad angulum OL. Idem , eodem prorsus modo demonstrabitur in duobus triangulis quocumque situ collocatis; ut in triangulis LAE.LAF. item in triangulis LAO. LAE. Eadem enim ubique demonstrandi forma, propositum efficiemus, ut inducenti manifestissime patet. Quare si duo triangula duo later aequalia habuerint c. Qu9d fuit demonstrandum.
idem punctum maiores , minor eris ratio angulor rahensrum ' am suorum complementorum sminores , maior beA22 primi huius, Vi minor es rario LAX. ad LAO.quam D .ad DAX. maior vero rario, L .ad --
104쪽
s Curui ac recti proportio promota. THEOREM A XIV. PROPOS. XIV. S duo triangula duo latera aequalia habue
rint, utrumque trique, in eodem vero triangulo inaequalia, angulum ijs compraehensum angulo ina ualem exangulis autem aequalilibus lateribus copraehensis in oppositas bases perpendiculares demittantur: anguli, quos perpendicularium maior cum lateribus facit, in maiori sunt ratione, quam quos minor, si maiores ad minores
IN figura superiorum propositionum, sint rursus triangula,quorum toties facta mentio, L AK.LA O. ducantur ex pun sto A ad bases LX.LO.perpendiculares A R. haec maior,illa minor. Dico maiorem esse rationem anguli LAR. ad angulum RAO quam Nanguli Am ad angulum MX. Angulus enim LOA. maior est angulo LXA. Eo quod arcui F. insistat, qui maior est quam arcus NE. Idem angulus LOA. maior est quam OLA. oblatus Ac subtendens maiusquam latus m. 4ngialiis OLA. totum maius
isserentiam angulorum LO A LXA mctitur medietas arcus N. idest xo. medietas arcus FE ob arcus F. E. quibus dicti
105쪽
anguli insistunt.Differentia autem angulorum OLA. KLA. est angulus OLK.minor medietate arcus O. nas duceretur recta ΚF.angulus ΚFO. externus , aequalis medietati a cus ΚΟ. est maior interno OLK. Igitur differentia angulo io. rum ad O. ωK. maior est differetia angulorum OLA. ΚLA. b. Quare si angulus rectus statuatur tam prima quam secunda quantitas Lo testia; I KA. quarta; OLA. quinta KLA. scXta erit per I . I. huius,maior ratio coplementi ΚA Iid complementum OAR. quam complementi AQVid complementum LAR. Quare&na aior crit ratio LAR ad LA ς' 'l quam AR ad KA L&permutando maior AR ad
Eodem modo sistatuantur mangula A L. A L. ita quorum bases productas cadant perpendiculares eaedem ,
AR A maior erit ratio LAR. ad FAR. id est,ad RAO. aequales enim sunt anguli FAR RAO. quam LAQ ad μ' - EA a qui ipsi QAK. est aequalis. Denique in triangulis AF LAK in quorum bases L F. pr ductam, L K. intra triangulum, cadant eaedem perpendicusares R. A eodem modo ostendemus,maiorem esse rationem AR ad FAR. quam A ad QAΚ. Quod erat ultimo probandum.
THEOREM A XV. PROPOS. V. IIsdem positis' Dico maio
rem esse rationem I AF ad LAE quam O AD ad KAD. Nam probatum est maiorem csse rationem AF ad LAE. quam AOL. ad AKL.&AOL. ad AKL naaiorem , quam OAD ad AD. Igitur LA F. ad LAE maior est ratio, quam
106쪽
y Curui ac recti proportio promota. THEOREM A XVI. PROPOS. XVI.
I circulo ABC cuius centrum. F. diameter E su
matur extra circulum in diametro producta punctum D. a quo ducantur in conuexam peripheriam duae rectae S. DK qua productae secent cauam in B. C. sintq; puncta . Κ. S. subiuncto contactus G. quein cffcit tangens circulum ducta recta G. expuncto D. connectantur FK. S. Dico maiorem esse rationem ansuli FSD ad angulum FKD. quam anguli B EO. ad angulum C E D.
Ducantur CFL. BFM. secantes circulum in L. M. erit
differentia angulorum LCK. MBS. id est KC. SB. illis aequalium medietas arcus ML dc medietas arcus S. Differentia vero angulorum FEC FEB. id est CE FBE. illis aequalium est medi lassola arcus CB. id est medietas arcus L. maior igitiirest differentia angulorum KC. SB. tiam differentia angulorum EC FEB. maior etiam est angulus CF. id est KF angulo ECF. id est EC idemq; angulus CKF cst maior angulo S F. t patet ex superioribus,&angulus EC maior angulo EB. Quare si cx duobus
rectis auferantur ΚC. SB. item etiam ex duobus rectis demantur EG EB maior crit propoitio comPlementoplius ISB. ad duos rectos, nimirum an uti S D. ad complementum ipsius XC nimirum ad FKD. Quam
complement ipsius EB videlicci ipsius BED. ad complemcntum ipsius EC. nempe ad CED. usdfuit pro
107쪽
THEOREM A XVII. PROPOS. XVII. SI ab extremitate diametri duo arcus inaequales,
accipiantur ad quos ex duobus punctis diametri singulis duae sectae ducantur, sintq; duae xpuncto propiore extremitati duelae , aut aequales inter se, aut propinquior minor remotiore, angulorum ad punctum remotius constitutorum aYtamus, maior sit angulo quem ex datis punctis ductara remotiorem arcum essiciunt anguli quos illa:
cum diametro essiciunt constituti adiunx una re motius ab extremitate diametri, maiorem inter se proportionem habent, quam constituti ad propin quius, si maiores cum minoribus conferantur.
In circulo CD cuius diameter AH. sumantur ab extremo puncto. . duo arcus inaequales BD. maior BC. minor &in diametro duo puncta, A. G. quorum illud extremitati . viciniussit, hoc remotius ex quibus ductae sint ad arcus rectae C. AD GC. GD eLncientcs cum diametro angulos illae quidem GAB. minorem, DAB maiorem;iis CGB. minorem GB. maiorem;sintq; rectae A D. AC aut aequales inter se, aut C. minor;&angulus GD maior angulo GDA. Dico maiorem esse rationem anguli GB ad angulum CGB quam anguli DAB ad angulum AB. Sint primum linea AC. AI inter se aequalcs. Qu9niam duo triangula CAG. DAG. habeat duo latera. A. G. duobus lateribus A. AG aequalia, angulus DAG. comprehensus minor est angulo compraehenso CAG. maiorq, est
108쪽
Curtii ac recti proportio promota.
o. r. huius angilius GD angulo ADG. ex suppositione,maior erit
ratio anguli GA ad anguluna ADG. quam CGA ad ACG. componendo maior ratio GA ADG. simul ad ADG. quam GA ACG simul ad ACG. permutando maior ratio DGA ADG simul a CGA AC G. simul quam ADG ad ACG. Cum ergo totius GD ADG. simul, ad totum GA AC G. simul imaior sitra 33 tio quam partis ADG ad partem Ac G. 4eb DGA. ad reliquum GA maior erit ratio quam totius GA, ADG. id est anguli DAB ad totum CGA A CG simul, id est angulum AB.
Sit rursus linea AC minor linea AD.producatur AC. in E.& sumatur AE. aequalis ipsi AD. Miungatur E. Cum quales sint AE AD. eodem prorsus modo quo priore parte huius,ostendemus maiore esse rationem DGA.ad EGA.
, quam DAB ad EAB. sed adhuc maior est ratio GA ad CGA.quam ad EGA. cuminor sit CGA. ipso EGA. Igi tur anguli GA ad angulum GA. maior est ratio quam anguli AB ad angulum AB. Quod fuit&c.
THEOREM A XVIII. PROPOS. XVIII. S duo triangula habuerint duo latera circa angulos inaequales proportionalia auguli malo ris compraehensi ad reliquos maior erit ratio quam anguli minoris compraehensi ad reliquos, si
prout proportionalibus lateribus Opponuntur, ter se conferantur. Et trianguli, in quo est minor angulus compraehensias , cliquorum angulorum maior ad minorem maiorem habet ratione, quanain alio triangulo reliquorum maior ad minorem.
Sint duo triangula ABC DEF. quae habeant duo latera AB. E. Idem C. DE circa angulos inaequalcs
109쪽
ABC. maius EF minus, proportionalia; sitq; ut AB ad BC. ita DE. ad F. Dico maiorem sic rationein anguli ABC ad angulum AC quam anguli DEF. ad angulum EDF. Item maiorem ABC ad BCA quam EG ad EG D. Deniq; si FD. maior sit quam DF maiorem esse rationem EFD. ad EDF. quam BCA. ad B A C. Fiat ad rectam aDE. angulus D EG. aequalis angulo ABC. sumatur EG. aequalis ipsi EF. Quoniam est ut AB ad BC ita DE. ad EF ex hypothesi, sivi DE ad EF ita DE. ad EG ipsi. EF samptam aequalem erit ut AB ad BC ita DE. ad EG. sunt autem,ex hypothesi, anguli ABC DEG aequales erunt ergo triangula ABC AEG. similia. Qusniam ergo in triangulis DEF. DEG angulus EG maior est angulo DEF. latera DE. EG lateribus DE EF.
qualia sunt,constat primo eY9. proposit. secundi huius ma- .χ.huius.
iorem esse rationem anguli DEG ad angulum EGD. id est ABC ad BCA quam anguli EF ad angulum EFD. Item maiorem eiusdem anguli DEG ad angulum EDG. id est ABC ad BAC quam EF ad EDF. Constat se
cundo ex o .propositione secundi huilas maiorem esse ratio aα1.huius.
inaequalere proportionaba, aptavimus propositiones no-namo decimam huius. Eadem vero ratione illis accommoda-rip ant qa. cumG propositionibus 11. 12. 13. Iq. II. Amonstrata
110쪽
9 uxu ac recti proportio promota.
aiasunt; Nam quae Ο; de inaequali angulorum ratione, in trianguis duo latera aequalia circa inaequalem angulum habemtibus inens uni, eadem etiam triangulis rio later proportionalia circa angulum inaequacim obtinentibus conueniani; mori latera unius,aus maiora, imiuora, eopacto, quo in hacprv Arion ictum P, adlatera alterius redAcantur. Odquia mani μορ-m e probatione, potesveruacanea,Amnebo Habent autemsuperiores propositione ac praesertim postiri res a nona, mirum in Geometricis sumo ex siquentibnspassim con bis ac quemadmodum insuperiori libro,ex aequatitate
zoeius anguli,m duobusrriangulis,magno uinqui fuimus inaequalem laterum rationem, proposit. 2 3. 2q. 23 ita hic ex duobAsiateribus aut aequalibus au proportionalibus, in duobus triangulis angulorum inaequalemproportionem non minori compendio serue gamus. Vt vero memoriae consulamus, eorum quae hac de re hactenus probammuS, hic epilogismus isto. Insigaraa 3. huiusinspiciantur duo trian uia AV. LAO. quae hiaeant A. M. Dieribus LA. s. aer aequalia autρroportionalia,circa angulos LAS LAO maiorem itum hunc mι-hui I. AR ad SL. maiorem habet rationem quam LAO. ad AOL. s. huius II. L X. - ALX mi orem habet rationem LAO.